全國統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第7章不等式第1講不等關(guān)系與一元二次不等式2備考試題文含解析

第七章不等式第一講不等關(guān)系與一元二次不等式1.[2024湖南六校聯(lián)考]已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|log2(x-1)≥0},則A∩B=()A.{x|2≤x<3} B.{x|2<x≤3}C.{x|1≤x<3} D.{x|-1≤x<2}2.[2024福建五校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若f(a)=f(b)且a<b,則不等式logax+logb(2x-1)>0的解集為()A.(1,+∞) B.(0,1)C.(12,+∞) D.(13.[2024北京市海淀區(qū)期中考試]設(shè)a,b∈R,且a<b<0,則()A.1a<C.a+b24.[2024廣東省梅州市質(zhì)檢]若1a<1b<0,則不等式①1a+b<1ab;②|a|+b>0;③a-1a>b-1A.①④ B.②③ C.①③ D.②④5.[2024合肥三檢]若x,y∈R,則x2>y2是xy>1成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.[2024陜西西工大附中4月模擬]不等式x2-2x+5>a2對(duì)隨意的x∈(1,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[-2,2] B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.[2024蘇州市吳江中學(xué)一檢]已知角α,β滿意-π2<α-β<π2,0<α+β<π,則3α-β的取值范圍是8.[2024海南中學(xué)4月模擬]當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式x2+mx+2>0恒成立,則m的取值范圍是.

9.在R上定義運(yùn)算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)<1對(duì)隨意的x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

10.使不等式x2+(a-6)x+9-3a>0(|a|≤1)恒成立的x的取值范圍為.

11.[2024黑龍江省六校聯(lián)考]若2a+1=3,2b=83,則有以下結(jié)論:①b-a<1;②1a+1b>2;③ab>34;④b2>2A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)12.[2024浙江杭州質(zhì)檢]若a+b>0,則()A.lna+lnb>0 B.a3+b3>0C.tana+tanb>0 D.|a|>|b|13.設(shè)0<b<1+a,若關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整數(shù)解恰有3個(gè),則a的取值范圍是()A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,3) D.(3,5)14.已知函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若?x0∈R,使f(x0)<0和g(x0)<0同時(shí)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(7,+∞) B.(-∞,-2)∪(6,+∞)C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(7,+∞)15.[2024河南南陽模擬]不等式x(sinθ-cos2θ+1)≥-3對(duì)隨意的θ∈R恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

答案第七章不等式第一講不等關(guān)系與一元二次不等式1.A解法一由題意可得A={x|-1<x<3},B={x|x≥2},所以A∩B={x|2≤x<3},故選A.解法二因?yàn)閷?duì)數(shù)中真數(shù)大于0,所以集合B中的元素大于1,所以1?B,則1?A∩B,故解除選項(xiàng)C,D;又2∈A,2∈B,所以2∈A∩B,解除選項(xiàng)B.故選A.2.Af(a)=f(b)?|lga|=|lgb|?lga=±lgb?a=b或a=1b,因?yàn)閍<b,所以0<a=1b<1,所以logax+logb(2x-1)=logax-loga(2x-1)=logax2x-1>03.D∵a<b<0,∴1a>1b,故A錯(cuò);∵a<b<0,∴a2>b2,即b2-a2<0,ab>0,可得ba-ab=b2-a2ab<0,∴ba<ab,故B錯(cuò);∵a<b<0,∴a+b4.D由1a<1b<0,得b<a<0.①因?yàn)閍+b<0,ab>0,所以1a+b<1ab成立,即①正確;②因?yàn)閎<a<0,所以-b>-a>0,則-b>|a|,即|a|+b<0,所以②錯(cuò)誤;③因?yàn)閎<a<0,且1a<1b<0,所以a-1a>b-1b,故③正確;④因?yàn)閎<a5.B解法一若x2>y2,令x=-3,y=1,則xy<1,所以“x2>y2”不是“xy若xy>1,則x,y同號(hào),當(dāng)x>0,y>0時(shí),x>y>0,則可得x2>y2;當(dāng)x<0,y<0時(shí),x<y<0,則有-x>-y>0,所以有x2>y2.所以“x2>y2”是“xy>1”的必要條件.解法二x2>y2?|x|>|y|?|x||y|>1?xy>1或xy<-1,所以“x2>y6.A由于直線x=1是y=x2-2x+5的圖象的對(duì)稱軸,所以當(dāng)x>1時(shí),x2-2x+5>12-2+5=4,所以a2≤4,解得-2≤a≤2.故選A.7.(-π,2π)設(shè)3α-β=m(α-β)+n(α+β)=(m+n)α+(n-m)β,則m+n=3,n-m=-1,解得m=2,n=1.因?yàn)?π2<α8.(-22,+∞)(分別參數(shù)法)當(dāng)x∈(1,2)時(shí),不等式x2+mx+2>0恒成立等價(jià)于m>-(x+2x)在x∈(1,2)時(shí)恒成立,即等價(jià)于m>[-(x+2x)]max.因?yàn)閤∈(1,2),所以-(x+2x)≤-2x·2x=-22,當(dāng)且僅當(dāng)x=2x,即x=2時(shí)取等號(hào).故m>-29.(-12,32)由題意知,(x-a)(x+a)<1可化為(x-a)(1-x-a)<1,即x2-x-a2+a+1>0,則不等式x2-x-a2+a+1>0對(duì)隨意的則Δ=1+4a2-4a-4<0,即4a2-4a-3<0,解得-12<a<32.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-110.(-∞,2)∪(4,+∞)將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式得(x-3)a+x2-6x+9>0.令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,因?yàn)閒(a)>0在|a|≤1時(shí)恒成立,所以(1)若x=3,則f(a)=0,不符合題意,舍去;(2)若x≠3,則由一次函數(shù)的單調(diào)性,可得f(-1)>0,f(綜上可知,使原不等式恒成立的x的取值范圍是(-∞,2)∪(4,+∞).11.D由2a+1=3,2b=83,得2a+1·2b=8,所以a+1+b=3,則a+b=2.又2a+1=2·2a=3,所以2<2a=32<2,所以b>1>a>12.對(duì)于①,因?yàn)?b2a=2b-a=169<2,所以b-a<1,故①正確;對(duì)于②,1a+1b=a+bab=2ab,因?yàn)?<ab<(a+b2)2=1,所以1a+1b=2ab>2,故②正確;對(duì)于③,ab=a(2-a)=-(a-1)2+1,因?yàn)?2<a<1,所以-(a-1)2+1∈(34,1),所以ab>34,故③正確;對(duì)于④,因?yàn)?3b=(2b)3=(83)3=51227>16=24,所以3b>4,b>43,所以12<a12.B取a=b=1,則lna+lnb=0,|a|=|b|,解除A,D;取a=π4,b=3π4,則tana+tanb=0,解除13.C關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2等價(jià)于(a2-1)x2+2bx-b2<0,即[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0.因?yàn)樵摬坏仁降慕饧械恼麛?shù)解恰有3個(gè),且a+1>0,所以a-1>0,即a>1.又0<b<1+a,所以該不等式的解集為-ba-1<x<ba+1,且0<ba+1<1,所以解集中的3個(gè)整數(shù)解是-2,-1,0,所以-3≤-ba-1<-2,即2<ba-1≤3,即2a-2<b≤3a-3.因?yàn)閎14.A解法一(1)當(dāng)a=0時(shí),g(x)=0,不存在x0∈R,使得g(x0)<0.(2)當(dāng)a<0時(shí),g(x)=ax-2a在R上單調(diào)遞減,且其圖象恒過點(diǎn)(2,0).當(dāng)x>2時(shí),g(x)=ax-2a<0.易知函數(shù)f(x)在(a2,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x>2時(shí),f(x)>7-a>0,不存在x0∈(2,+∞),使得f(x0)<0(3)當(dāng)a>0時(shí),g(x)=ax-2a在R上單調(diào)遞增,且其圖象恒過點(diǎn)(2,0).當(dāng)x<2時(shí),g(x)=ax-2a<0,則命題轉(zhuǎn)化為不等式x2-ax+a+3<0在(-∞,2)上有解.①當(dāng)a2<2,即0<a<4時(shí),需滿意f(a2)=-a②當(dāng)a2≥2,即a≥4時(shí),需滿意f(2)=7-a<0,解得a>7綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(7,+∞).故選A.解法二由f(x)=x2-ax+a+3,知f(1)=4.若存在x0∈R,使f(x0)<0,則對(duì)應(yīng)方程的根的判別式Δ=a2-4(a+3)>0,即a<-2或a>6.又g(x)=ax-2a的圖象恒過點(diǎn)(2,0),故當(dāng)a>6時(shí),作出函數(shù)f(x)和g(x)的大致圖象如圖D7-1-2所示,當(dāng)a<-2時(shí),作出函數(shù)f(x)和g(x)的大致圖象如圖D7-1-3所示.由函數(shù)圖象知,當(dāng)a>6時(shí),由g(x)<0可知x<2,所以a>6,當(dāng)a<-2時(shí),由g(x)<0可知x>2,此時(shí)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3的圖象的對(duì)稱軸方程為x=a2,且a2<0,又函數(shù)f(x)的圖象恒過點(diǎn)(1,4),所以不存在x0∈(2,+∞),使得f(x0綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(7,+∞),故選A.【解后反思】本題中解法一是從代數(shù)的角度動(dòng)身,通過分類探討,并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與圖象特征求得最值,從而解決問題.解法二是從形的角度動(dòng)身,通過數(shù)形結(jié)合,讓問題直觀獲解.15.