中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型復(fù)習(xí)

中考數(shù)學(xué)新題型專題復(fù)習(xí)

專題復(fù)習(xí)新題型解析探究性問(wèn)題

傳統(tǒng)的解答題和證明題，其條件和結(jié)論是由題目明確給出的，我們的工作就是由

因?qū)Ч驁?zhí)果索因。而探究性問(wèn)題一般沒(méi)有明確的條件或結(jié)論，沒(méi)有固定的形式和方

法，要求我們仔細(xì)收集和處理問(wèn)題的信息，通過(guò)視察、分析、綜合、歸納、概括、猜

想和論證等深層次的探究活動(dòng)，仔細(xì)探討才能得到問(wèn)題的解答。開(kāi)放性、操作性、探

究性和綜合性是探究性問(wèn)題的明顯特征。這類題目形式新奇，格調(diào)清爽，涉與的基礎(chǔ)

學(xué)問(wèn)和基本技能非常廣泛，解題過(guò)程中有較多的創(chuàng)建性和探究性，解答方法敏捷多變,

既須要扎實(shí)的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)和基本技能，具備確定的數(shù)學(xué)實(shí)力，又須要思維的創(chuàng)建性和具

有良好的特性品質(zhì)。

1.閱讀理解型

這類題主要是對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言（也包括非數(shù)學(xué)語(yǔ)言）的理解和應(yīng)用進(jìn)行考查。要求能

夠讀懂題目，理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，特殊是非數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并能進(jìn)行抽象和轉(zhuǎn)化與文字表達(dá)，

能依據(jù)引入的新內(nèi)容解題。這是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的起先和基礎(chǔ)。

例1.（1）據(jù)《北京日?qǐng)?bào)》2000年5月16日?qǐng)?bào)道：北京市人均水資源占有量只有300

1]

立方米，僅是全國(guó)人均占有量的世界人均占有量的記。問(wèn)：全國(guó)人均水資源占有

量是多少立方米？世界人均水資源占有量是多少立方米。

（2）北京市一年漏掉的水，相當(dāng)于新建一個(gè)自來(lái)水廠。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，全市至少

有6義1。5個(gè)水龍頭、2x105個(gè)抽水馬桶漏水。假如一個(gè)關(guān)不緊的水龍頭，一個(gè)月能漏掉

a立方米水；一個(gè)漏水馬桶，一個(gè)月漏掉b立方米水，則一年造成的水流失量至少是多

少立方米（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（3）水源透支令人擔(dān)憂，節(jié)約用水燃眉之急。針對(duì)居民用水奢侈現(xiàn)象，北京市將

制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定三口之家樓房每月標(biāo)準(zhǔn)用水量，超標(biāo)部分加價(jià)收費(fèi)。假設(shè)不

超標(biāo)部分每立方米水費(fèi)1.3元，超標(biāo)部分每立方米水費(fèi)2.9元，某住樓房的三口之家某

月用水12立方米，交水費(fèi)22元，請(qǐng)你通過(guò)列方程求出北京市規(guī)定三口之家樓房每月標(biāo)

準(zhǔn)用水量為多少立方米。

分析：本題是結(jié)合當(dāng)前社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題一一環(huán)保問(wèn)題設(shè)計(jì)的題組，著

重考查運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力，以與閱讀理解、檢索、整理和處理

信息的實(shí)力，解好本題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀理解題意，剖析基本數(shù)量關(guān)系。

300--=2400,300--=9600

解:(1)832

答：全國(guó)人均水資源占有量是2400立方米，世界人均水資源占有量是9600立方米。

(2)依題意，一個(gè)月造成的水流失量至少為(6*10%+2*1。5圻立方米

所以，一年造成的水流失量至少為(72*I。'。+2-4x立方米

(3)設(shè)北京市規(guī)定三口之家樓房每月標(biāo)準(zhǔn)用水量為x立方米

依題意，得L3無(wú)+2.9(127)=22

解這個(gè)方程，得x=8

答：北京市規(guī)定三口之家樓房每月標(biāo)準(zhǔn)用水量為8立方米。

例2.閱讀下列題目的解題過(guò)程：

已知a、b、c為AABC的三邊，M^a2c2-^2c2=a4-M,試推斷AABC的形態(tài)。

解.,:a2c2-b2c°=a&(A)

c2(tz2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)(B)

c2=a2+b2(C)

AA3C是直角三角形

問(wèn)：(1)上述解題過(guò)程，從哪一步起先出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出該步的代號(hào)：

(2)錯(cuò)誤的緣由為：；

(3)本題正確的結(jié)論為：。

分析：仔細(xì)閱讀，審查每一步的解答是否合理、有據(jù)、完整，從而找出錯(cuò)誤與產(chǎn)

生錯(cuò)誤的緣由。

答：（1）C；（2）A2也可以為零；（3）小短。是等腰三角形或直角三角形。

例3.先閱讀第（1）題的解法，再解第（2）題：

p2—p—3=--------3=0P+」

（1）已知qqp、q為實(shí)數(shù)，且P"l,求鄉(xiāng)的值。

?「pqW:,p^―

解：q

11

又,：p一7-3=0,--------3=0

qq

：.P和-是一元二次方程/-X-3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

q

由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得P+-=-（-1）=1

q

1

（2）已知2"-3根—7=0,7/7+3〃-2=0,口為實(shí)數(shù)，且加〃01,求n

的值。

分析：本題首先要求在閱讀第（1）題規(guī)范的解法基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納出逆用方程根

的定義構(gòu)造一元二次方程，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式值的方法，并加以應(yīng)用。但

這種應(yīng)用并非機(jī)械仿照，須要先對(duì)第（2）題的其次個(gè)方程變形轉(zhuǎn)化，才能實(shí)現(xiàn)信息遷

移，建模應(yīng)用。

解.+3”-2=0,八為實(shí)數(shù)且〃00

可得2?d）2—3?（工）一7=0

nn

又2加之-3m-7=0

mnw1—

n

：.m、工是方程2——3x-7=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

m—=—(—)——

由根與系數(shù)的關(guān)系可得“22

說(shuō)明：本題考查了閱讀理解、舉一反三、觸類旁通、創(chuàng)建性地解決新問(wèn)題的實(shí)力。

例4.閱讀下列材料：

^'1-173=2^-^,

5x7257

1一1)

17x1921719

1」+里」)+中二)+…+匕，」

2323525721719

__I-------------1--------------1-------1_???_|______

5577

9,,

19

解答問(wèn)題:

----------1-------------1------------1-*,?

(1)在和式1義33x55x7中，第五項(xiàng)為,第n項(xiàng)為,

上述求和的想法是：通過(guò)逆用法則，將和式中各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)數(shù)之差,

使得除首、末兩項(xiàng)外的中間各項(xiàng)可以,從而達(dá)到求和的目的。

(2)解方程x(x+2)(x+2)(x+4)(x+8)(%+10)24

分析：本題是從一個(gè)和式的解題技巧入手，進(jìn)而探究具有類似特征的分式方程的

解題思路。

解：(1)第五項(xiàng)為9x11,第11項(xiàng)為(2〃-1)(2〃+1),上述求和的想法是：通過(guò)逆用

分?jǐn)?shù)減法法則，將和式中各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)實(shí)數(shù)之差，使得除首、末兩項(xiàng)外的中間各

項(xiàng)都可以相互抵消，從而達(dá)到求和的目的。

(2)方程左邊的分式運(yùn)用拆項(xiàng)的方法化簡(jiǎn)：

1111111.5

一(--------1--------------------------F?,?H-------------------------)=-----

2xx+2x+2%+4x+8x+1024

化簡(jiǎn)可得（x+12）（x-2）=0

解得=2,%2=-12

經(jīng)檢驗(yàn)，X,=2,9=T2是原方程的根。

例5.閱讀以下材料并填空。

平面上有n個(gè)點(diǎn)（〃之2）,且隨意三個(gè)點(diǎn)不在同始終線上，過(guò)這些點(diǎn)作直線，一共

能作出多少條不同的直線？

（1）分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；

當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí),

可連成10條直線；

（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可連成直線的條數(shù)S“，發(fā)覺(jué)：

點(diǎn)的個(gè)數(shù)可連成直線條數(shù)

1o2x1

21==

22

「。3x2

33=do=

32

4X3

46=NQ=2

510=55=^

52

..........

nC〃("-1)

S〃=2

（3）推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線，取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取

其次個(gè)點(diǎn)B有5T)種取法，所以一共可連成—1)條直線，但AB與BA是同一條直線,

?(n-1)

3“-------------

故應(yīng)除以2,即2

0〃("-1)

3“=-----------

(4)結(jié)論：2

摸索究以下問(wèn)題：

平面上有n(?>3)個(gè)點(diǎn)，隨意三個(gè)點(diǎn)不在同始終線上，過(guò)隨意三點(diǎn)作三角形,

一共能作出多少不同的三角形？

(1)分析：當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作個(gè)三角形；

當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作個(gè)三角形；

當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作個(gè)三角形；

(2)歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)S“，發(fā)覺(jué)：

點(diǎn)的個(gè)數(shù)可連成三角形個(gè)數(shù)

3

4

5

..................

n

3)推理

4)結(jié)論

分析:本題是從閱讀材料中得到探討數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法:分析一一歸納一一猜想一一

推理一一結(jié)論，再用這種方法探究解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

解：(1)當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作1個(gè)三角形;

當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作4個(gè)三角形;

當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作10個(gè)三角形。

(2)

點(diǎn)的個(gè)數(shù)可連成三角形個(gè)數(shù)

33x2x1

6

44x3x2

6

5x4x3

5

6

..........

〃("1)("2)

n

6

(3)平面上有n個(gè)點(diǎn)，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一

個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取其次個(gè)點(diǎn)B有(〃-1)種取法，取第三個(gè)點(diǎn)C有(〃—2)種取法，所以一

共可以作〃(〃-1)(〃-2)個(gè)二角形彳日AABC、AACB>ABAC、ABCA、ACAB、

n(n-1)(〃一2)

=----------

ACB4是同一個(gè)三角形，故應(yīng)除以6,即6

°n(n—1)(〃—2)

3”=---------------------

(4)6

2.探究規(guī)律型

例6.視察下列各式：

44

—x4=—+4

33

-x5=-+5

44

想一想，什么樣的兩數(shù)之積等于這兩數(shù)之和？設(shè)n表示正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表

示這個(gè)規(guī)律為：X=+。

、、

n+1--/-?（〃+n1）+=1----

分析：本題從比較簡(jiǎn)潔的例子入手，探究算式的規(guī)律，易得出“〃

+（〃+1）,其中n為正整數(shù)。

例7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，第一次將AQ鉆變換成八。45，其次次將與變換

成AOA2B2,第三次將AOA2B2變換成AOA3B3O

AA

已知A(1,3),A(2,3),2(4,3),3(8,3)；B(2,0),與(4,。)，B2

(8,0),生(16,0)o

（1）視察每次變換前后的三角形有何改變，找出規(guī)律，按此變換規(guī)律再將Aa4353

變換成。444，則4的坐標(biāo)是,自的坐標(biāo)是。

（2）若按第（1）題找到的規(guī)律將八。鉆進(jìn)行了n次變換，得到八°44，比較每次

變換中三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)有何改變，找出規(guī)律，推想4的坐標(biāo)為，紇的坐標(biāo)是

分析：仔細(xì)視察不難發(fā)覺(jué)，無(wú)論鉆怎樣變換，A點(diǎn)和B點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，

橫坐標(biāo)按兩倍遞增。所以得為的坐標(biāo)為（16,3）,區(qū)的坐標(biāo)為（32,0）,依此規(guī)律類

推，不難推想出右的坐標(biāo)為（2",3）,瓦,的坐標(biāo)為（2向，°）。

例&在AABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AC邊上的隨意一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)0。某學(xué)生

在探討這一問(wèn)題時(shí)，發(fā)覺(jué)了如下的事實(shí):

AE_1_1AO_2_2

（1）當(dāng)k5=幣時(shí),有AD32+1（如圖1）；

AE_1_1A（9_2_2

（2）當(dāng)就一&-時(shí),有A。-％—2+2（如圖2）；

AE_1_1A0_2_2

（3）當(dāng)4。一廠］+3時(shí),有A。52+3（如圖3）；

AE_1A0

在圖4中，當(dāng)而一。時(shí)，參照上述探討結(jié)論，請(qǐng)你猜想用n表示茄的一般結(jié)論,

并給出證明（其中n是正整數(shù)）

BDC

圖4

AE1A02

解：依題意可以猜想：當(dāng)就一小時(shí),有AD2+"成立。

證明：過(guò)D作DF〃BE交AC于點(diǎn)F,如圖4。

.?.D是BC的中點(diǎn)

，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)

,AE1FlAE1

由一=——可知----

AC1+nECn

AE2AE_2

~EFnAF2+n

AO_AE_2

ADAF2+〃

說(shuō)明：本題讓我們閱讀有關(guān)材料，從中感悟出結(jié)論，提出猜想，并對(duì)猜想進(jìn)行證

明。將閱讀理解與探究猜想連接在一起，是考查實(shí)力的一道好題，同時(shí)它又賜予我們

發(fā)覺(jué)真理的一個(gè)思維過(guò)程：視察一一分析一一歸納一一猜想一一驗(yàn)證一一證明。

例9.已知：AABC是。。的內(nèi)接三角形，BT為。。的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上一

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P做BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F。

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（如圖），求證：PA?PB=PE?PF；

（2）當(dāng)點(diǎn)P為線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題的結(jié)論還成立嗎？假如成立，請(qǐng)

證明；假如不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

AB=472,cosZEBA=-

（3）若3,求。0的半徑。

分析：第（1）問(wèn)是證明圓中等積式，利用弦切角定理與平行線性質(zhì)易得出兩個(gè)三

角形相像，從而得比例式；第（2）問(wèn)是探討題設(shè)條件下一一點(diǎn)P為線段BA延長(zhǎng)線上一

點(diǎn)時(shí)，第（1）問(wèn)的結(jié)論是否還成立？探求圖形改變中不變的數(shù)量關(guān)系，須要據(jù)題意正

確地畫出圖形，分析圖形的幾何性質(zhì)，進(jìn)行猜想、推斷，并進(jìn)行推理和證明。

證明：（1）：BT切。0于點(diǎn)B

ZEBA=ZC

EF/IBC

ZAFP=ZC

ZAFP=ZEBP

ZAPF=ZEPB

\PFA~"BE

PAPF

"PE~PB

PA?PB=PE?PF

解：（2）當(dāng)P為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題的結(jié)論仍成立（如圖）。

???BT切于點(diǎn)B

NEBA=ZC

???EPIIBC

ZPFA=ZC

NPFA=NPBE

又?/ZFPA=ZBPE

APFA~\PBE

PFPA

"PB~PE

：.PA?PB=PE?PF

(3)解法一：作直徑AH,連結(jié)BH

ZABH^9CP

■」BT切。0于點(diǎn)B

ZEBA=ZAHB

cosNEBA=—

3

cosZAHB=—

3

??-sin2ZAHB+cos2ZAHB=1,又NAHB為銳角

.,,口2-J2

sinNAHB=-----

3

在RfAABH中

AD

vsinZAHB=——，AB=4V2

AH

AH=———=6

sin/AHB

，。0半徑為3。

解法二：作直徑BH,連結(jié)AH（如圖）

:.ZBAH=9CP

??.BT切。0于點(diǎn)B

NEBH=90°

,/cosZEBA=-

3

AH

sinZABH=—

3BH

設(shè)AH=x,則BH=3x

在RtAABH中，AB=4垃

由勾股定理，AB2+AH-=BH"

BH=6

。。半徑為3

3.探究條件型

探究條件型問(wèn)題是指問(wèn)題中結(jié)論明確，而須要完備使結(jié)論成立的條件的題目。解

答探求條件型問(wèn)題的思路是，從所給結(jié)論動(dòng)身，設(shè)想出合乎要求的一些條件，逐一列

出，并進(jìn)行邏輯證明，從而找尋出滿意結(jié)論的條件。

例10.已知：如圖，在AABC中，AD1BC,垂足為D,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)。

(1)EF和AD之間有什么特殊的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你找到的結(jié)論。

(2)要使四邊形AEDF是菱形，需AABC滿意什么條件？

解：(1)EF垂直平分AD

???是中位線

EF//BC

■：ADLBC

ADLEF

?：AE=EB,EG//BD

AG=GD

ER垂直平分AD

⑵由⑴知瓦L。AG=DG

二要使四邊形AEDF是菱形，只須要EG=GP

明顯須要滿意.nAC(或N3=NC),即滿意43。是等腰三角形這個(gè)條件。

例11.如圖，已知點(diǎn)A(0,6)、B(3,0)、C(2,0)、M(0,m),其中m〈6,以M為

圓心，MC為半徑作圓，則

(1)當(dāng)m為何值時(shí)，與直線AB相切？

(2)當(dāng)m=0時(shí)，OM與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？當(dāng)m=3時(shí)，OM與直線AB有怎樣的

位置關(guān)系？

(3)由(2)驗(yàn)證的結(jié)果，你是否得到啟發(fā)，從而說(shuō)出m在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，O

M與直線AB相離？相交?

((2)、(3)只寫結(jié)果，不必寫過(guò)程)

分析：(1)屬探求條件型問(wèn)題，是由給定的結(jié)論一一以M為圓心，MC長(zhǎng)為半徑的。

M與直線AB相切，反溯探究M點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)具備的條件。過(guò)點(diǎn)M作必垂足為H,

若MH等于半徑MC,依據(jù)直線與圓相切的判定定理，則。M與直線AB相切，再進(jìn)一步追溯

使MH=MC時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)m的值。

解：(1)過(guò)點(diǎn)M作"HUB,垂足為H,若MH=MC,則以M為圓心、MC長(zhǎng)為半徑的OM

與AB相切。

在及AMOC中，根據(jù)勾股定理，MC=^m2+4

AMAH=ZBAO

RtAMAH?RtABAO

MHMA

"BO~BA

，療+46-m

■--3-=VFTF

整理得〃/+3m—4=0

解得加=1或加=—4

經(jīng)檢驗(yàn)m=1,加=-4都是原方程的解

當(dāng)m=1或根=-4時(shí)，OM與直線AB相切

(2)當(dāng)m=0時(shí)，OM與直線AB相離；當(dāng)m=3時(shí)，OM與直線AB相交

(3)當(dāng)-4(利＜1時(shí)，0M與直線AB相離；當(dāng)1＜7篦＜6或機(jī)＜T時(shí)，0M與直線AB相

交。

例12.當(dāng)a取什么數(shù)值時(shí)，關(guān)于未知數(shù)x的方程62+4尤-1=0只有正實(shí)數(shù)根？

分析：本題是探究條件的題目，須要從關(guān)于x的方程以2+4龍-1=0只有正實(shí)數(shù)根

動(dòng)身，考慮a可取的全部值。首先要驗(yàn)證a=0時(shí)，方程為一元一次方程，方程是否有正

實(shí)根；然后再考慮。。。，方程為一元二次方程的狀況。

解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，方程為4x-1=0

1

4

(2)當(dāng)aw0時(shí)，△=4，-4a(-1)=16+4a

令16+4a20,得a2-4且aw0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根<1>

設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為七、%

要使方程只有正實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，需

14

%]?尤2=>0,目.X]+%2=>0

aa

解之，得a<0<2>

由<1>、<2>可得，當(dāng)TWa<0時(shí)，原方程有兩個(gè)正實(shí)根

綜上探討可知：當(dāng)TWa<0時(shí)，方程改2+4x-1=0只有正實(shí)數(shù)根

4.探究結(jié)論型

探求結(jié)論型問(wèn)題是指由給定的已知條件探求相應(yīng)的結(jié)論的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題的

思路是：從所給條件(包括圖形特征)動(dòng)身，進(jìn)行探究、歸納，大膽猜想出結(jié)論，然

后對(duì)猜想的結(jié)論進(jìn)行推理、證明。

例13.如圖，馬路上有A、B、C三站，一輛汽車在上午8時(shí)從離A站10千米的P地動(dòng)身

向C站勻速前進(jìn)，15分鐘后離A站20千米。

(1)設(shè)動(dòng)身x小時(shí)后，汽車離A站y千米，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)汽車行駛到離A站150千米的B站時(shí)，接到通知要在中午12點(diǎn)前趕到離B站30

千米的C站。汽車若按原速能否按時(shí)到達(dá)？若能，是在幾點(diǎn)幾分到達(dá)；若不能，車速最

少應(yīng)提高到多少？

I1--------------------1-----------1

APBC

分析：這是生活中的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。解第（1）問(wèn)的關(guān)鍵是讀懂題意，求出汽車從

P地動(dòng)身向C站勻速前進(jìn)的速度。

第（2）問(wèn)，沒(méi)有給出明確的結(jié)論，須要依據(jù)所給的條件探求，汽車行駛到B站后,

若按原速行駛，到達(dá)C站的時(shí)間。

=40（千米/小時(shí)）

解：（1）汽車從P地動(dòng)身向C站勻速前進(jìn)，速度為60

j=40x+10

（2）把丁=150代入上式，得150=40X+10

解得x=3.5（小時(shí)）

又8+35=11.5

汽車到達(dá)3站的時(shí)間為n點(diǎn)30分

若汽車按原速行駛，由3站到6占所需時(shí)間為生=0.75（小時(shí)）

40

V11.5+0.75=12.25>12

汽車按原速行駛不能按時(shí)到達(dá)C站

30

=60（千米/時(shí)）

12-115

.??汽車要在中午12點(diǎn)前趕到離B站30千米的C站，車速最少應(yīng)提高到60千米/時(shí)。

例14.如圖，AB為半圓的直徑，。為圓心，AB=6,延長(zhǎng)BA到F,使FA=AB。若P為線段

AF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)與A點(diǎn)不重合），過(guò)P作半圓的切線，切點(diǎn)為C,作皿鉆，垂足為D。

過(guò)B點(diǎn)作5ELPC,交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)AC、DE。

（1）推斷線段AC、DE所在直線是否平行，并證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)AC為x,AC+BE為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

FA0B

分析：本題是要依據(jù)圖形的條件探求AC、DE所在直線的位置關(guān)系。本題的難點(diǎn)在

于P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AC與DE也始終在隨P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而改變。在這種改變中，它們的相對(duì)

位置是否有一種特定的聯(lián)系？這就要求我們透過(guò)現(xiàn)象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，考察其中的

必定聯(lián)系?？捎蓜?dòng)到靜，把動(dòng)點(diǎn)P設(shè)在AF上的隨意一個(gè)位置，依據(jù)題意畫出草圖，再視

察、猜想、推理、推斷AC與DE是否平行。

解：（1）依題意畫出圖形，如圖，推斷線段AC、DE所在直線相互平行，即AC〃DE。

證明.?：CD1AB,BE±PE,NCPD=/BPE

RtAPCD~RtAPBE

PCPD

"PB~PE

???PC與。0相切于C點(diǎn)，PAB為。0的割線

PC2=PA?PB

PCPA

"PB~PC

PA_PD

"PC~PE

AC!IDE

(2)連結(jié)BC

???A5為半圓直徑

ZACB=90°

AC2+BC2=AB2

AC=x9AB—6

BC2=36-x2

???PC與半圓相切于點(diǎn)C

ABAC=ZBCE

RtAABC~Rt\CBE

AB_CB

"BC~BE

BC2x2

:.BE-------=6------

AB6

y=AC+BE

x2

y--------Fx+6

6

?.?點(diǎn)P為線段AF上一動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)與A點(diǎn)不重合)

.??點(diǎn)P與點(diǎn)廢合時(shí)，AC的值最大，可求得此時(shí)AC=2g

2

y-.........FX+6,5c中0<XW2A/^

6

例15.已知：AB為。。的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。。的切線，設(shè)

切點(diǎn)為C。

(1)當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如圖1所示時(shí)，連結(jié)AC,作NAPC的平分線，交AC

于點(diǎn)D,請(qǐng)你測(cè)量出NCDP的度數(shù)；

.......

圖1

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如圖2和圖3所示時(shí)，連結(jié)AC,請(qǐng)你分別在這兩個(gè)圖

中用尺規(guī)作NAPC的平分線(不寫作法，保留作圖痕跡)，設(shè)此角平分線交AC于點(diǎn)D,然

后在這兩個(gè)圖中分別測(cè)量出NCDP的度數(shù);

C

圖2圖3

猜想:NCDP的度數(shù)是否隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置的改變而改變？請(qǐng)對(duì)你的猜想

加以證明。

解：（1）測(cè)量結(jié)果：ZCDP=45°（2）（作圖略）

圖2中的測(cè)量結(jié)果：ZCDP=45°圖3中的測(cè)量結(jié)果:

NCDP=45°

猜想：NCDP=45。為確定的值，NCDP的度數(shù)不隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置的改變而

改變。

證法一：連結(jié)BC（如圖）

；AB是。0的直徑

ZACB=90°

°C切。。于點(diǎn)C

Z1=NA

???PD平分NAPC

Z2=Z3

VZ4=Z1+Z2,ZCDP=ZA+Z3

ZCDP=N4=45°

猜想正確

證法二：連結(jié)0C（如圖）

■-■PC切。0于點(diǎn)C

PCLOC

:.Z1+ZCPO=9Q°

尸。平分NAPC

Z2=-ZCPO

2

OA=OC

ZA=Z3

???Z1=ZA+Z3

:.ZA=-Z1

2

ZCDP=ZA+Z2=1（Z1+ZCPO）=45°

猜想正確

5.探究存在性型

探究存在性型問(wèn)題是指在確定的條件下，推斷某種數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的問(wèn)題，它

有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情形，解答這類問(wèn)題，一般先對(duì)結(jié)論作確定存在的假設(shè),

然后由此確定的假設(shè)動(dòng)身，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)出沖突，則否定從前假

設(shè)；若推出合理的結(jié)論，則說(shuō)明假設(shè)正確，由此得出問(wèn)題的結(jié)論。

例16.已知：點(diǎn)A（一"T）在拋物線一1）必一2（左-2）x+l上

(1)求拋物線的對(duì)稱軸;

(2)若點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，問(wèn)是否存在與拋物線只交于一點(diǎn)B的

直線。假如存在，求符合條件的直線；假如不存在，說(shuō)明理由。

分析：要求過(guò)拋物線上點(diǎn)B且僅交拋物線于一點(diǎn)的直線，除了應(yīng)用判別式A=0解

出直線外，不要遺漏與對(duì)稱軸平行的這一條直線。

解：(1)"J3點(diǎn)A(—1，—1)在拋物線y=(卜—l)x——2(左—2)x+1上

.?.—1=左2—1+2(左一2)+1

即左2+2左一3=0

解得左1=1,k2——3

???上2—1/0

二.h=1應(yīng)舍去

k=—3

：.拋物線的解析式為y=8x2+10x+1,其對(duì)稱軸為直線x=-|

⑵?.?5點(diǎn)與拋物線上的點(diǎn)A(-l,-1)關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱

=-1

即8點(diǎn)坐標(biāo)為(-工，-1),且8點(diǎn)在拋物線上

4

〈1>假設(shè)存在直線y=蛆+〃與拋物線y=8/+10X+1只有一個(gè)交點(diǎn)

貝?。菀?二一工機(jī)+〃，即機(jī)一4〃=4<1>

4

將<1>代入y=8，+io%+i

整理得8,+(10-m)x+1-〃=0

???直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)

A=(10-m)2—32(1—〃)=0<2>

由<1>、<2>解得加=6,n=—

2

(9—1)X-X-

〈2＞過(guò)B4且與拋物線的對(duì)稱軸8平行的直線是4,也與拋物線

只有一個(gè)交點(diǎn)

y—o/xH—1,x——1

所以符合條件的直線為’24

例17.已知拋物線＞=?2+法+°,其頂點(diǎn)在x軸的上方，它與y軸交于點(diǎn)C(0,3)

與x軸交于點(diǎn)A與點(diǎn)B(6,0),又知方程0代+汝+0=03*0)兩根的平方和等于40。

(1)求此拋物線的解析式；

(2)試問(wèn)：在此拋物線上是否存在一點(diǎn)P,在x軸上方且使5“.=254的。假如存

在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，假如不存在，說(shuō)明理由。

解：(1)設(shè)玉、/是方程分+樂(lè)+c=0的兩根

二A、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(七，0)、B(々，0)

???3點(diǎn)坐標(biāo)是(6,0)

..x2=6

由X；+%；=40,解得/=±2

??.A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)或(2,0)

.?.拋物線頂點(diǎn)在x軸上方，且與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于點(diǎn)B(6,0)

A(2,0)不合題意，應(yīng)舍去

因此，可設(shè)所求拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6)

又?.?拋物線過(guò)點(diǎn)C(0,3)

3=ax2x(—6),解得a=——

4

所求拋物線的解析式為y=-；(x+2)(x-6)

即y=+x+3

(2)假設(shè)拋物線上有一點(diǎn)P(x,y)使SAPABUZSAGAB

c?AB'\y\.,

..SAB_2_Iyl_n

?q-1-a—

%CAB_.AB?3

2

.'.ly|=6

?.?點(diǎn)P在X軸上方

>0y=6

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,y的最大值是4

???點(diǎn)P（x,6）不在拋物線上，即不存在點(diǎn)P在x軸上方且使=2SACAB

例18.如圖，已知AABC中，AB=4,點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)D不與A、B重合），DE//BC

s

交AC于E,連結(jié)CD。設(shè)SMBC=S,S^JEC=io

（1）當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，求S的值；

AD=%,—=y

（2）若S,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式與自變量x的取值范圍；

s,>-s

（3）是否存在點(diǎn)D,使得4成立？若存在，求出D點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由。

解：（1）-：DE//BC,。為AB的中點(diǎn)

ADAE1

^ADE~AABC,

AB~AC~2

UDE_（A。、?1

「7萬(wàn)J4

SMDE_AE