2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：勾股定理典例精析

勾股定理典例精析

模塊一勾股定理及證明

例題1

(1)勾股證明的方法成百上千種，其中《幾何原本》中的證法非常經(jīng)典，是在一個(gè)我們非常熟悉的幾何圖形中實(shí)現(xiàn)的(如圖所示),

如果直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c(c為斜邊)，以這三邊向外作三個(gè)正方形，試?yán)么藞D證明a2+b2=c2.

⑵如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,則正方形A,B,C,D

的面積之和為.

【解析】⑴如上圖可知：△ACFSAADB,

S正方形ACED-2SADB，S加水AFGP-^ACF'

b2=S矩形AFGP，同理a2=Sa2+b2=c2.

(2)49cm2.

【教師備課提示】這道題考查勾股定理證明和勾股樹(shù).

例題2

⑴若把直角三角形的兩條直角邊同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則斜邊擴(kuò)大到原來(lái)的().

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

(2)若一個(gè)直角三角形三邊的長(zhǎng)分別是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為—

(3)下面幾組數(shù):①7,8,9;②12,9,15;(③/+n2,m2-n2,2mm(m,n均為正整數(shù),m>n);@a2,a2+l,a?+2.其中能組成直角三角形的

三邊長(zhǎng)的是().

A.①②B.②③C.①③D.③④

【解析】(1)B;

(2)可知三邊為3,4,5,所以周長(zhǎng)為12;

(3)B;容易知道①錯(cuò)誤②正確,對(duì)于③,由(nI2—n2)2=m4—2m2n2+n4,(2mn)2=4m2n乙(m2+n2)2=m4+2m2n22+n4所以

(m2—n2)2+(2mn)2=(m4-2m2n2+n4)+4m2n2=(m2+n2)2.

所以，以這三條線段的長(zhǎng)為邊的三角形是直角三角形.答案選B.

【教師備課提示】這道題主要考查常見(jiàn)的勾股數(shù)，常見(jiàn)的勾股數(shù)五種境界要了解.

例題3

△4BC■中,BC=a,AC=b,AB=c.若乙C=90。,,如圖3-1,根據(jù)勾股定理.貝！Ja2+b2=c?.若△4BC不是直角三角形，如圖3-2,

乙C<90。;如圖3-3/C<90。.請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想a2+/與c?的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

AA,

A

圖3-1圖3-2

【解析】圖2猜想：＜?+從＞/.

證明：過(guò)點(diǎn)A作4D_LBC于D,設(shè)CD=x,AD2=b2-x2,c2=(a-x)2+&-x2)=

2ax>。，故a2+b2>c2.

圖3猜想：a2+b2<c2.

證明：過(guò)B作BD_LAC,,交AC的延長(zhǎng)線于D.

設(shè)CD為x,則有BD2=a2-x2.

根據(jù)勾股定理，得(b+x)2+a2-x2=c2.

即a2+b2+2bx=c2,

■■■b>0,x>0,2bx>0,a2+b2<c2.

模塊二勾股定理的逆定理及應(yīng)用

例題4

(1)如果直角三角形的兩邊長(zhǎng)為4、5,則第三邊長(zhǎng)為—.

(2)如果直角三角形的三邊長(zhǎng)為10、6、x,則最短邊上的高為—.

(3)(七初半期)若|a-6-l|+y/a+2b-4=0,則以a、b為邊的直角三角形的第三邊為_(kāi)___

【解析】⑴3或TH;⑵8或10;(⑶遙或倔

【教師備課提示】題型：已知直角三角形的兩邊求第三邊，A卷填空必考題，也是易錯(cuò)點(diǎn)，在斜邊不確定的情況下，切記要分類

討論，以斜邊討論.

例題5

在A4BC中.AB=15,AC=13,高AD=12,,則三角形的周長(zhǎng)是」

【解析】32或42.

【教師備課提示】題型：已知三角形的兩邊及第三邊高求第三邊，B卷填空必考題，一般題目無(wú)圖，為易錯(cuò)題，切記要分類討

論，分形內(nèi)高和形外高.

例題6

(1)如圖6-1,四邊形ABCD中,A4B1BC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四邊形ABCD的面積.

(2)如圖6-2,在四邊形ABDC中,BD1CD,BD=6,CD=8,AB=24,AC=26求該四邊形面積.

BCA

圖6-1圖6-2

【解析】（1）V5+1;

（2）96.四邊形ABDC的面積為96.

連接BC,根據(jù)勾股定理可得.BC=10,

因?yàn)锽C2+AB2=4片所以44BC為直角三角形，

故四邊形ABDC的面積.S=SABC-SBCD=120-24=96.

【教師備課提示】題型：利用直角三角形求不規(guī)則四邊形面積，即為直角三角形的構(gòu)造.

例題7

⑴如圖.梯子AB長(zhǎng)2.5米,頂端A靠在墻AC上,這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE位置,BD長(zhǎng)0.5

米，則梯子頂端A下落了一米.

⑵梯子靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米，現(xiàn)將梯子的底端向外移動(dòng)到C,使

梯子底端C到墻根O的距離等于3米，同時(shí)梯子的頂端B下降至D,那么BD（）

A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.以上結(jié)果都不對(duì)

⑶如圖,梯子AB斜靠在墻面上,AC_LBC,AC=BC,當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯子B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與

y的大小關(guān)系是（）

A.x=yB.x>y

C.x<yD.不確定

【解析】（1）0.5;⑵C;

⑶選B,設(shè)AC=BC=a米,由勾股定理得：Va2+a2=J(a-x)2+(a+y)2,化簡(jiǎn)得2a(x-y)=x2+y2>0,x>y.

【教師備課提示】題型：扶梯問(wèn)題，相對(duì)較簡(jiǎn)單，主要是理解.

例題8

（1）（成外半期）若直角三角形斜邊長(zhǎng)為4,周長(zhǎng)為4+3加,，則三角形面積等于一

⑵（西川半期）如圖,△ABC中.NBAC=90。,AD_LBC于點(diǎn)D,若4D=竿,BC=2年請(qǐng)求出4ABC的周長(zhǎng).

【解析】嗚

AB2+AC2=（2何?

2）｛；解得4B+BC=6,金江=6+2%.

ABXAC=2y[5x—

\5

【教師備課提示】題型：直角三角形與知二推二綜合，各校B卷高頻考點(diǎn).

BDC

例題9

⑴已知9-1,如圖所示，折疊長(zhǎng)方形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，如果AB=8cm,BC=10cm,求EC的長(zhǎng)

⑵如圖92已知矩形ABCD沿著直線BD折疊使點(diǎn)C落在C處,BC交AD于E,AD=16,AB=8,則DE的長(zhǎng)度為.

⑶如圖9-3,矩形紙片ABCD的長(zhǎng)AD=9cm,寬AB=3cm,沿EF將其折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,則折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)__cm.

【解析】⑴由題意得,AF=AD=10cm.

在4ABF中,應(yīng)用勾股定理得.BF=6cm.

所以FC=BC-BF=10-6=4cm.

在4CEF中,應(yīng)用勾股定理,設(shè)EC=xcm得(8-x)2=42+/.解得x=3,即EC=3cm.

⑵設(shè)ED=x,因?yàn)镹CBD=NEBD=NEDB,則EB=ED=x,AE=AD-ED=16-x.在RtAABE中，由勾股定理可得:

(16-x)2+82=x2,x=10,即DE=10.

(3)設(shè)AE=x,因?yàn)镹BEF=/DEF=NBFE,貝!]BE=DE=BF=9-x,

根據(jù)勾股定理得：AB2+AE2=BE2,BP32+x2=9+x2=(9-工尸,解得:x=4;AE=4,，DE=BF=5,，CF=DM=4,；.EM=1,

根據(jù)勾股定理得：EF="+12=V10(Cm);

【教師備課提示】題型：翻折問(wèn)題，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角度相等.

非常挑戰(zhàn)

若x>0,y>0且x+y=12,求:Vx2+4++9的最小值.

【解析】如下圖,不妨設(shè)AB=12,AC,AB,BD±AB,AC=2,BD=3,

P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),AP=x，于是PB=y,PC=Vx2+4,PD=J3+9,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C,D之間距離的最小值.當(dāng)P,C,

D三點(diǎn)不共線時(shí)，有PC+PD>CD;當(dāng)P,C,D共線時(shí),PC+PD=CD.

于是點(diǎn)C,D之間距離的最小值為7(2+3)2+122=13.

【教師備課提示】數(shù)形結(jié)合，幾何構(gòu)造，將軍飲馬.

復(fù)習(xí)鞏固

模塊一勾股定理及證明

演練1

如圖皿，分別以直角三角形A、B、C三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用，Si、Sz、S3表示，則不難證明Si=S2+S3

.(正三角形面積是邊長(zhǎng)平方的亨)

⑴如圖1-2,分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用Sx、S2、S3表示，那么Si、Sz、S3之間有什么

關(guān)系？(不必證明)

(2)如圖1-3,分別以直角三角形A、B、C三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用Si、Sz、S3表示，請(qǐng)你確定Si、Sz、S3

之間的關(guān)系并加以證明.

圖1-1圖1-2圖1.3

【解析】⑴設(shè)BC、CA、AB長(zhǎng)分別為a、b、c,則1=十+從3=S?+S3；

222

(2)S1=S2+§3證明如下：顯然，Si=yc,s2=ya,s3=yh,

222

???S2+S3=y(a+b)=yC=

【點(diǎn)評(píng)】分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作“相似形”，其面積對(duì)應(yīng)用S1、&、S3表示,則Si=S2+S3(設(shè)斜邊所做圖形面

積為S)

演練2

已知a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng)，a=2n2+2n,b=2n+1,c=2n2+2n+1(n為大于1的自然數(shù))，試說(shuō)明△ABC為直角三角

【解析】因?yàn)?n2+2n+1>2n2+2n>2n+1,

(2n2+2n4-I)2-(2n2+2n)2=4n2+4n+1=(2n+l)2.

所以(2n+1)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+1產(chǎn)所以△ABC為直角三角形.

模塊二勾股定理的逆定理及應(yīng)用

演練3

如圖,四邊形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,CD=24cm,DA=26cm,且乙4BC=90。,則四邊形ABCD的面積是（）cm2.

A.336B.144

C.102D.無(wú)法確定

【解析】答案：B.連接AC,運(yùn)用勾股定理逆定理.

演練4

如圖，一根長(zhǎng)5米的竹篙AB斜靠在與地面垂直的墻上，頂端A距離墻根4米，若竹篙頂端A下滑I米，則底端B向外滑行了

多少米？

【解析】設(shè)竹篙頂端下滑I米到A1點(diǎn)，底端向外滑行到.B]點(diǎn).

由題意得.441=Im,A-iC=AC-AAt=3m,

在RtA41cBl中:Bj_C={—41c2=

在RtAABC中:BC=yjAB2—AC2=3m,

BB,=B]C—BC=In,

即竹篙頂端A下滑1米，則底端B向外滑行了1米.

演練5

（1）（石室期末）在A4BC中4B=15,AC=13,高4D=12,^]SABC=

⑵（育才期末）如圖,A4BC中.ABAC=90°,AD1BC于點(diǎn)D,若AD

【解析】(1)24或84(分類討論:行外高和行內(nèi)高.對(duì)應(yīng)例5)

(2)4+2V3.(對(duì)應(yīng)例8考查直角三角形與知二推二綜合).

演練6

(1)如圖6-1,已知△ABC是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以RtAABC的斜邊AC為直角邊，畫(huà)第二個(gè)等腰RtAACD,再以

RtAACD的斜邊AD為直角邊，畫(huà)第三個(gè)等腰RtAADE...........依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的