教師資格認(rèn)定考試初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2019年上半年

教師資格認(rèn)定考試初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2019年上半年一、單項(xiàng)選擇題1.

下列選項(xiàng)中，運(yùn)算結(jié)果一定是無理數(shù)的是______。A.有理數(shù)與無理數(shù)的和B.有理數(shù)與有理數(shù)的差C.無理數(shù)與無理數(shù)的和D.無理數(shù)與（江南博哥）無理數(shù)的差正確答案：A[解析]有理數(shù)與有理數(shù)的和、差是有理數(shù)；有理數(shù)與無理數(shù)的和、差是無理數(shù)；無理數(shù)與無理數(shù)的和、差可能是有理數(shù)，如(π+1)-π=1，(π+1)+(-π)=1。故本題選A。

2.

在空間直角坐標(biāo)系中，由參數(shù)方程所確定的曲線的一般方程是______。

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]由可得x+y=acos2t+asin2t，z2=a2(2sintcost)2=4xy，所以將參數(shù)方程化成一般方程為故本題選B。

3.

已知空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換公式為則在球坐標(biāo)系中，表示的圖形是______。A.柱面B.圓面C.半平面D.半錐面正確答案：D[解析](方法一)設(shè)球坐標(biāo)中任意一點(diǎn)P(ρ，θ，φ)，根據(jù)題目中空間直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的變換公式可知，ρ表示原點(diǎn)O與點(diǎn)P之間的徑向距離，θ表示OP'到OP的有向角，其中OP'是OP在xOy坐標(biāo)面上的投影，φ表示Ox軸到OP'的有向角，如圖1所示。因此，表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以射線OP為母線，以z由為中心軸的半錐面，如圖2所示。故本題選D。

圖1

圖2

(方法二)將代入到得消去參數(shù)整理得，該方程是由yOz平面上的射線繞z軸旋轉(zhuǎn)得到的，它表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以射線為母線，以z軸為中心軸的半錐面。故本題選D。

4.

設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次初等行變換得到的矩陣，則下列結(jié)論正確的是______。A.|A|=|B|B.|A|≠|(zhì)B|C.若|A|=0，則一定有|B|=0D.若|A|＞0，則一定有|B|＞0正確答案：C[解析]對(duì)n階矩陣A作如下三種初等行(列)變換得到矩陣A'：①互換矩陣的兩行(列)；②用一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣的某一行(列)；③把矩陣某一行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)上，則對(duì)應(yīng)行列式的關(guān)系依次為|A'|=-|A|，|A'|=k|A|，|A'|=|A|。因此，若n階矩陣A經(jīng)若干次初等行(列)變換得到矩陣B，則有|B|=k'|A|，k'是一個(gè)非零常數(shù)，從而當(dāng)|A|=0時(shí)，一定有|B|=k|A|=0。故本題選C。

5.

已知?jiǎng)tf(1)=______。A.-1B.0C.1D.π正確答案：B[解析]因?yàn)樗詅(1)=sinπ=0。故本題選B。

6.

若矩陣有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，λ=2是A的二重特征根，則______。A.x=-2，y=2B.x=1，y=-1C.x=2，y=-2D.x=-1，y=1正確答案：C[解析]因?yàn)槿A矩陣A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，且λ=2是A的二重特征根，所以齊次線性方程組(2E-A)x=0有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，于是3-r(2E-A)=2，r(2E-A)=1。因?yàn)椋砸箁(2E-A)=1，則有，即x=2，y=-2。故本題選C。

7.

下列描述為演繹推理的是______。A.從一般到特殊的推理B.從特殊到一般的推理C.通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)論的推理D.通過觀察猜想得到結(jié)論的推理正確答案：A[解析]演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā)，運(yùn)用邏輯證明或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得出特殊事物應(yīng)遵循的規(guī)律，即從一般到特殊的推理。歸納推理是由個(gè)別、特殊到一般的推理，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)論和通過觀察猜想得到結(jié)論的推理，都是歸納推理。故本題選A。

8.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》從四個(gè)方面闡述了課程目標(biāo)，這四個(gè)方面是______。A.知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度B.基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、問題解決、情感態(tài)度C.基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思考、情感態(tài)度D.知識(shí)技能、問題解決、數(shù)學(xué)創(chuàng)新、情感態(tài)度正確答案：A[解析]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程目標(biāo)分為總目標(biāo)和學(xué)段目標(biāo)，從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等四個(gè)方面加以闡述。故本題選A。

二、簡(jiǎn)答題(每小題7分，共35分)一次實(shí)踐活動(dòng)中，某班甲、乙兩個(gè)小組各20名學(xué)生在綜合實(shí)踐基地脫玉米粒，一天內(nèi)每人完成脫粒數(shù)量(千克)的數(shù)據(jù)如下：

甲組：57，59，63，63，64，71，71，71，72，75，

75，78，79，82，83，83，85，86，86，89。

乙組：50，53，57，62，62，63，65，65，67，68，

69，73，76，77，78，85，85，88，94，96。

問題：1.

分別計(jì)算甲、乙兩組學(xué)生脫粒數(shù)量(千克)的中位數(shù)；正確答案：根據(jù)中位數(shù)的定義可知，甲組學(xué)生脫粒數(shù)量的中位數(shù)是，乙組學(xué)生脫粒數(shù)量的中位數(shù)是

2.

比照甲、乙兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)你給出2種信息，并說明實(shí)際意義。正確答案：①通過兩組數(shù)據(jù)能夠求出甲、乙兩組學(xué)生脫粒數(shù)量的平均值，根據(jù)平均數(shù)的大小比較可知，甲組脫玉米粒速度更快。

②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，能夠看出甲組數(shù)據(jù)更為穩(wěn)定，而乙組數(shù)據(jù)波動(dòng)很大。進(jìn)而可知，甲組學(xué)生的脫玉米粒能力差不多，而乙組學(xué)生脫玉米粒的能力存在很大的個(gè)體差異性。

3.

試判斷過點(diǎn)P1(2，0，1)，P2(4，3，2)，P3(-2，1，1)的平面π與平面的位置關(guān)系，并寫出一個(gè)與平面π垂直的平面方程。正確答案：由題意知，則平面π的一個(gè)法向量為因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為所以有n∥m，又點(diǎn)P1(2，0，1)不在平面上，所以兩平面平行。

設(shè)平面π1與平面π垂直，則平面π1的法向量與平面π平行，不妨取平面π1的一個(gè)法向量為故可設(shè)平面π1的方程為2x+3y+z+d=0，將P1的坐標(biāo)代入該方程，解得d=-5，所以平面π1的方程為2x+3y+z-5=0。

4.

已知方程x5+5x4+5x3-5x2-6x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為1與-2，試求該方程的全部實(shí)數(shù)解。正確答案：因?yàn)?與-2為原方程的解，且易知0也是原方程的一個(gè)解，所以原方程等號(hào)左邊的多項(xiàng)式可以被x(x-1)(x+2)整除，作除法運(yùn)算，得x5+5x4+5x3-5x2-6x=x(x-1)(x+2)(x2+4x+3)=x(x-1)(x+1)(x+2)(x+3)=0，故原方程的所有實(shí)數(shù)解為1，0，-1，-2，-3。

5.

用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的過程，主要包括哪些步驟?正確答案：用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題一般有如下幾個(gè)步驟。

①建立數(shù)學(xué)模型。分析實(shí)際問題，由實(shí)際問題抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

②收集數(shù)據(jù)。根據(jù)實(shí)際問題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，或選擇其他適當(dāng)方法(調(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量)收集數(shù)據(jù)。其中，在收集數(shù)據(jù)的過程中，可以全面觀測(cè)所有總體并得到數(shù)據(jù)，這一過程稱為普查；選取適當(dāng)抽樣方法從總體數(shù)據(jù)中抽取部分樣本進(jìn)行觀測(cè)并得到數(shù)據(jù)的過程叫作抽樣調(diào)查。

③整理數(shù)據(jù)。對(duì)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行審核、校正、整理，從而使之系統(tǒng)化、條理化，并用文字、圖畫、表格等方式表示數(shù)據(jù)。其中，可運(yùn)用條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等直觀地表示數(shù)據(jù)。

④分析數(shù)據(jù)。運(yùn)用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)字特征，對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并進(jìn)一步估計(jì)出總體的數(shù)字特征。

⑤解釋數(shù)據(jù)。結(jié)合總體數(shù)字特征，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解讀。

⑥得出實(shí)際問題的相關(guān)結(jié)論。

6.

評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)采用多樣化的方式，請(qǐng)列舉四種不同類型的評(píng)價(jià)方式。正確答案：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的形式多樣，主要有口頭測(cè)驗(yàn)、書面測(cè)驗(yàn)、開放式問題研究、活動(dòng)報(bào)告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、建立成長記錄袋等。下面列舉幾種不同的評(píng)價(jià)方式進(jìn)行闡述(考試中寫處4種即可)。

①口頭測(cè)驗(yàn)，是指在教學(xué)過程中教師通過與學(xué)生之間的言語互動(dòng)，及時(shí)地了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，找出問題并及時(shí)糾正。

②書面測(cè)驗(yàn)，是指教師對(duì)學(xué)生的作業(yè)或者其他測(cè)驗(yàn)報(bào)告所做的書面性的評(píng)價(jià)。這種評(píng)價(jià)方式可以幫助教師了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀態(tài)以及知識(shí)掌握水平。

③書面評(píng)語評(píng)價(jià)，教師對(duì)學(xué)生的作業(yè)或者其他活動(dòng)報(bào)告所做的書面性的評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)形式不僅僅是分?jǐn)?shù)或者等級(jí)，評(píng)語一般以鼓勵(lì)為主，用以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)與解決問題。

④課后訪談，是指教師通過課后與學(xué)生的溝通交流了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的一種評(píng)價(jià)方式。這種評(píng)價(jià)方式可以幫助教師更直接地了解到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況。

⑤建立成長記錄袋，是指將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行有效記錄而形成的書面存檔。這種評(píng)價(jià)方式既可以幫助教師隨時(shí)了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成長經(jīng)歷，也可以有效地幫助學(xué)生確立今后的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

三、解答題(本大題共10分)設(shè)R2為二維歐氏平面，F(xiàn)是R2到R2的映射，如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)ρ，0＜ρ＜1，使得對(duì)于任意的P，Q∈R2，有d(F(P)，F(xiàn)(Q))≤ρd(P，Q)(其中d(P，Q)表示P，Q兩點(diǎn)間的距離)，則稱F是壓縮映射。

設(shè)映射T：R2→R2

1.

證明：映射T是壓縮映射。正確答案：證：設(shè)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)是R2上任意兩點(diǎn)，則即存在滿足題意的所以映射T是壓縮映射。

2.

設(shè)P0=P0(x0，y0)為R2中任意一點(diǎn)，令Pn=T(Pn-1)，n=1，2，3，…，求正確答案：解：設(shè)O(0，0)是二維歐氏空間R2的原點(diǎn)。當(dāng)P0是原點(diǎn)時(shí)，顯然有Pn=(0，0)，，此時(shí)當(dāng)P0不是原點(diǎn)時(shí)，因?yàn)門(O)=O，所以由第一小題得，，記d(P0，O)=r＞0，則有，因?yàn)?，所以由夾逼定理得，，根據(jù)點(diǎn)列極限定義可知，

綜上所述，

(方法二)

因?yàn)椋渣c(diǎn)列{Pn}收斂，且

四、論述題(本大題共15分)1.

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，請(qǐng)結(jié)合實(shí)例談?wù)勅绾斡煤瘮?shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容。正確答案：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，它貫穿于整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容均與函數(shù)有非常密切的聯(lián)系。

①函數(shù)與方程。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中一元二次方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化成求對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)問題。例如，求方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，即求函數(shù)的零點(diǎn)問題。由此可以看出，方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了思考函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題。利用函數(shù)的整體性質(zhì)可以研究方程的根的性質(zhì)，判斷根的個(gè)數(shù)，并估計(jì)根所在的區(qū)間。

②函數(shù)與不等式。用函數(shù)的觀點(diǎn)看，不等式就是確定使函數(shù)y=f(x)圖像在x軸上方或下方的x的區(qū)域。中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一元二次不等式的求解問題，可以借助二次函數(shù)的圖像找到不等式的解集。例如，求不等式x2-3x+2＞0的解集，可以通過畫出函數(shù)f(x)=x2-3x+2的圖像找到使函數(shù)值大于0的所有x組成的集合，而這個(gè)集合就是該不等式的解集。

③函數(shù)與數(shù)列。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集或自然數(shù)集的子集。數(shù)列是離散的函數(shù)，表現(xiàn)在坐標(biāo)系中是一些離散的點(diǎn)的集合。中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一次函數(shù)的離散化，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是二次函數(shù)的離散化，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式都是指數(shù)函數(shù)的離散化，因此可以借助函數(shù)的性質(zhì)來研究數(shù)列。例如，求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n在第幾項(xiàng)取得最小值，可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)=x2-4x的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)問題，根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，即Sn在第2項(xiàng)取得最小值。

總之，在方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容中，可以用函數(shù)思想思考問題，用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。

五、案例分析題(本大題共20分)閱讀案例，并回答問題。

案例：

甲、乙兩位數(shù)學(xué)教師均選用如下素材組織了探究活動(dòng)，如圖1所示，這是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別為50cm，25cm和15cm。A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，B點(diǎn)上有一只螞蟻，想到A點(diǎn)去吃食物。請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從B點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到A點(diǎn)，最短路線是什么?

圖1

兩位教師的教學(xué)過程如下。

甲教師：用大屏幕展示問題情境，組織小組討論，學(xué)生開始讀題，教師巡視過程中看到有的同學(xué)把臺(tái)階畫出來，與教學(xué)預(yù)設(shè)不符，立即中止了大家討論，指著題目說：“同學(xué)們請(qǐng)注意讀題，是‘沿著臺(tái)階面’，你們把這張圖畫出來有什么用?”

在接下來討論中，教師又遇到新情況，有的畫展開圖，卻把尺寸弄錯(cuò)了，于是老師終止思考。

乙教師：展示情境，將問題進(jìn)行分析，出示了一張臺(tái)階模樣紙片，邊說邊將紙片拉直，如圖2所示，然后讓大家研究。很快，有同學(xué)說出答案，教師解釋了下，同學(xué)們都明白了。

圖2

甲、乙教師課后交流：兩個(gè)教師在教學(xué)中均有探究。

問題：1.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)是教師教與學(xué)生學(xué)的統(tǒng)一”，教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。請(qǐng)說明兩位教師的教學(xué)是否符合要求?正確答案：甲教師的教學(xué)在落實(shí)課標(biāo)這一理念的過程中缺乏對(duì)實(shí)際情況的應(yīng)急應(yīng)變，并且其為引導(dǎo)學(xué)生思考而設(shè)置的問題目的性不強(qiáng)。在教學(xué)過程中，甲教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，這體現(xiàn)了教師的組織者角色，但在學(xué)生討論例題的過程中，甲教師沒有設(shè)置鋪墊問題，也沒有做進(jìn)一步的引導(dǎo)，所以甲教師在身為組織者和引導(dǎo)者方面存在不足。此外，當(dāng)學(xué)生討論的結(jié)論與自己預(yù)設(shè)的不同時(shí)，甲教師雖然意識(shí)到學(xué)生進(jìn)入了思維誤區(qū)并及時(shí)中止了學(xué)生的思考，但是其中止之后并沒有設(shè)計(jì)教學(xué)問題以引導(dǎo)學(xué)生走出思維誤區(qū)，只是一味地批評(píng)學(xué)生的錯(cuò)誤思路，從而導(dǎo)致第二次終止討論，所以甲教師在身為合作者和引導(dǎo)者方面存在不足。

乙教師的教學(xué)在落實(shí)課標(biāo)這一理念的過程中雖然其引導(dǎo)者的作用得到了充分的體現(xiàn)，但是學(xué)生主體地位的體現(xiàn)有些缺失，教師的合作者以及組織者的角色落實(shí)不到位。在教學(xué)過程中，乙教師能夠引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析，進(jìn)而帶領(lǐng)學(xué)生突破知識(shí)的難點(diǎn)，這體現(xiàn)了乙教師的引導(dǎo)者角色，但乙教師的講解過于詳細(xì)，從而限制了學(xué)生的思維，所以沒有很好地體現(xiàn)以學(xué)生為主體的深標(biāo)要求。此外，在學(xué)生討論的過程中，乙教師既沒有做好明確的分組，也沒有進(jìn)行巡視指導(dǎo)并參與到學(xué)生的討論中去，所以乙教師在身為組織者與合作者方面存在不足。

2.

兩位教師組織的探究活動(dòng)各自存在什么問題?請(qǐng)簡(jiǎn)要說明并簡(jiǎn)述理由。正確答案：甲教師存在的問題：①討論的問題對(duì)于學(xué)生有一定的難度，需要教師給予一定的引導(dǎo)或問題鋪墊，如對(duì)最短路線的探討，何為最短路線，螞蟻爬過的路徑如何進(jìn)行計(jì)算，等等。②在學(xué)生探究之初僅僅因?yàn)榕c教學(xué)預(yù)設(shè)不符就開始質(zhì)疑學(xué)生，中止討論，并且當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤太多時(shí)終止思考，這些行為都反映出該教師對(duì)于課堂的一些突發(fā)情況缺乏應(yīng)急應(yīng)變能力。③該教師既沒有讓學(xué)生在討論探索中去發(fā)現(xiàn)問題，也沒有做到充分的引導(dǎo)，因此沒有真正落實(shí)課標(biāo)提出的以學(xué)生為主體的要求，造成了“偽探究”的現(xiàn)象。④該教師在教學(xué)過程中的措辭不當(dāng)，如“畫圖有什么用”等。這顯得教師不夠尊重學(xué)生，沒有平等地對(duì)待學(xué)生。而在探究學(xué)習(xí)過程中，教師要成為學(xué)生活動(dòng)的參與者，與學(xué)生一起體會(huì)曲折的學(xué)習(xí)過程，感受學(xué)習(xí)中遇到的失敗和成功。

乙教師存在的問題：乙教師在教學(xué)過程中的引導(dǎo)過多，從而導(dǎo)致學(xué)生被動(dòng)地接受結(jié)果，失去了學(xué)生探究的真正意義，沒有讓學(xué)生的思維得到充分的發(fā)展。

兩位教師的教學(xué)活動(dòng)雖然設(shè)置的是探究活動(dòng)，但都忽略了探究活動(dòng)是為了發(fā)展學(xué)生的綜合應(yīng)用的能力。兩位教師都只注重知識(shí)結(jié)果的呈現(xiàn)，而忽視了數(shù)學(xué)方法的呈現(xiàn)，學(xué)生在活動(dòng)中的體驗(yàn)和對(duì)學(xué)生學(xué)情的思考，對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展并沒有產(chǎn)生積極效果。

3.

組織數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，需要注意哪些事項(xiàng)?請(qǐng)說明。正確答案：組織數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，需要注意以下事項(xiàng)。

①探究活動(dòng)內(nèi)容的選擇要合理。要使探究活動(dòng)更有效，需要發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，同時(shí)探究內(nèi)容要有激發(fā)性，也就是說，探究的問題能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，問題的設(shè)置要在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

②探究活動(dòng)的指導(dǎo)要合理。在探究活動(dòng)中，教師要扮演好組織者、引導(dǎo)者、合作者的角色。首先要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的情境，其次要保證學(xué)生有探究的時(shí)間，再次探究活動(dòng)并不是讓學(xué)生毫無節(jié)制的大談?wù)?，而是精心編制的教學(xué)活動(dòng)，所以教師不能孤立于學(xué)生之外，要及時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)，并對(duì)學(xué)生的探究結(jié)果做出合理的評(píng)價(jià)。

③在探究活動(dòng)中，正確處理教師的“引”和學(xué)生的“探”的關(guān)系。在探究過程中，學(xué)生作為探究的主體，需要通過自己的探究去發(fā)現(xiàn)新事物。教師作為引導(dǎo)者要發(fā)揮指向燈的作用，既要在學(xué)生脫離主題的時(shí)候，適時(shí)地引導(dǎo)方向，又不能過分地牽制學(xué)生的思想，造成“偽探究”的現(xiàn)象，還要注重全體參與，讓每個(gè)學(xué)生體驗(yàn)成功的樂趣。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題共30分)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》附錄中給出了兩個(gè)例子：

例1．計(jì)算15×15，25×25，…，95×95，并探索規(guī)律。

例2．證明例1所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

很明顯例1計(jì)算所得到的乘積是一個(gè)三位數(shù)或者四位數(shù)，其中后兩位數(shù)為25，而百位和千位上的數(shù)字存在這樣的規(guī)律：1×2=2，2×3=6，3×4=12，…，這是“發(fā)現(xiàn)問題”的過程，在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，需要嘗試用語言符號(hào)表達(dá)規(guī)律，實(shí)現(xiàn)“提出問題”，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)“分析問題”和“解決問題”。

請(qǐng)根據(jù)上述內(nèi)容，完成下列任務(wù)：1.

分別設(shè)計(jì)例1、例2的教學(xué)目標(biāo)；正確答案：例1的教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握必需的獨(dú)立探究和發(fā)現(xiàn)問題的能力。

過程與方法目標(biāo)：通過計(jì)算并觀察結(jié)果與乘數(shù)的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提升自主學(xué)習(xí)能力、獨(dú)立思考能力、發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在探索學(xué)習(xí)的過程中，感受該乘法運(yùn)算中的有趣規(guī)律，發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

例2的教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：初步了解證明方法，掌握公式證明的思維過程，學(xué)會(huì)通過一般性的證明來驗(yàn)證自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

過程與方法目標(biāo)：通過從數(shù)值運(yùn)算到符號(hào)公式表達(dá)的過程，感受數(shù)學(xué)證明中從特殊到一般的過程，從而形成數(shù)學(xué)思維，并養(yǎng)成提出問題、分析問題和解決問題的能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在證明規(guī)律的過程中，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2.

設(shè)計(jì)“提出問題”的主要教學(xué)過程；正確答案：教學(xué)過程

活動(dòng)一：教師讓學(xué)生觀察并討論例1得出的運(yùn)算規(guī)律，之后教師將其板書展示。

師：觀察黑板上的運(yùn)算規(guī)律，15，25，95可以拆分成什么式子來表示呢?

(預(yù)設(shè))生：15=1×10+5；25=2×10+5；95=9×10+5。(教師板書)

師：我們由此可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

(預(yù)設(shè))生：因數(shù)等于因數(shù)十位上的數(shù)字乘10加5。

師：在上述式子中，我們可以發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)字是變化的，哪些又是不變的?

(預(yù)設(shè))生：1，2，9是變化的；10和5是不變的。

師：我們知道變量可以用字母表示，如果用字母a來代表1，2，9，上述式子中的15，25，95可以表示成什么?(學(xué)生討論)

(預(yù)設(shè))生：a×10+5(a=1，2，9)。

活動(dòng)二：教師讓學(xué)生分析例1發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(15×15=1×2×100+25；25×25=2×3×100+25；95×95=9×10×100+25)，并讓其試看運(yùn)用字母a進(jìn)行表示。

預(yù)設(shè)學(xué)生回答：(a×10+5)2=a(a+1)×100+25(a=1，2，9)。

師：假設(shè)a代表小于10的任意正整數(shù)，那么例1中乘法運(yùn)算就可以一般化為一個(gè)公式，即(a×10+5)2=a(a+1)×100+25(a=1，2，…，9)。

師：這個(gè)公式就是我們通過分析例1的運(yùn)算規(guī)律所得出的猜想。

3.

設(shè)計(jì)“分析問題”和“解決問題”的主要教學(xué)過程；正確答案：教學(xué)過程

活動(dòng)一：教師讓學(xué)生自主思考公式(a×10+5)2=a(a+1)×100+25的正確性，討論并證明猜想的正確性。

師：觀察等號(hào)左邊，我們可以發(fā)現(xiàn)什么?

(預(yù)設(shè))生：等號(hào)左邊是一個(gè)完全平方式。

活動(dòng)二：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2。

師：運(yùn)用完全平方公式，可以知道(a×10+5)2等于什么?

(預(yù)設(shè))生：(a×10+5)2=a2×100+2a×10×5+25。

師：進(jìn)一步運(yùn)算可以得到什么?

(預(yù)設(shè))生：a2×100+2a×10×5+25=a2×100+a×100+25=a(a+1)×100+25(a=1，2，…，9)。

師：我們可以看到，運(yùn)算的最終結(jié)果是等號(hào)兩邊的式子相等，即公式得證。

4.

設(shè)計(jì)“推廣例1所探究的規(guī)律”的主要教學(xué)過程。正確答案：教學(xué)過程

師：繼續(xù)觀察例1中的算式，還能有什么發(fā)現(xiàn)呢?請(qǐng)觀察每個(gè)式子中的兩個(gè)因數(shù)。

預(yù)設(shè)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)式子中的兩個(gè)因數(shù)都是一樣的