試論微分的本質(zhì)

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯試論微分的本質(zhì)莫紹揆(南京大學(xué)數(shù)學(xué)系,210008,南京)?Δ搞要一最初在牛頓萊布尼茲時(shí)代人們把微分看作變?cè)臒o窮小增量；自從廢除無窮小概念后,人們把dfX定義為當(dāng)H→0時(shí)fX+H?fX的主部,亦即∑ftXh,它是矢量H的線性式,記為L(zhǎng)H.然后人們或者證實(shí)dx,即hi,或者把dxi定義為hi,這等式是不能采納的.因?yàn)槲⒎殖凉M意關(guān)系式dfX=∑fiXdx,以外還應(yīng)該滿意下列要求:當(dāng)對(duì)X代人以A時(shí),對(duì)dX應(yīng)代入以dA(即對(duì)dx,應(yīng)代入以da1),而當(dāng)dX=H成立時(shí)顯然不能滿意本要求.新近的理論把dfX定義為線性函數(shù)L本身(而不是LH),并把dX關(guān)鍵詞微分,帶參數(shù)的導(dǎo)數(shù),線性函數(shù),外微分,無窮小增量分類號(hào)0172.11記號(hào)先推薦本文所使用的符號(hào).我們把n元函數(shù)數(shù)看作n維矢量的函數(shù).用大寫字母表示矢量,其分量用相應(yīng)的小寫字母表示.例如,A=a1,?,an,H=h1,?,*本文獲國家天然科學(xué)與博士點(diǎn)基金的資助收稿日期：1992-11-22作者簡(jiǎn)介:莫紹揆,男,1917年8月出生.教授,數(shù)理邏輯專業(yè),已發(fā)表“概括原理及其消除___個(gè)完備的邏輯演算“等論文量為0.數(shù)h12+?hn2叫做H的范數(shù)(或模),記為H.多元函數(shù)又叫做場(chǎng),其值為標(biāo)量的叫做標(biāo)量場(chǎng),記為fX,gX等;其值為矢量(其維數(shù)未必與自變?cè)木S數(shù)同)叫做矢量場(chǎng),記為FX,GX等,其分量便記為fiX,giX等,fX對(duì)第i變?cè)钠珜?dǎo)數(shù)記為fiX,亦記為DifX,我們認(rèn)為Di作用于f而得Dif,它再作用于X2古典的微分理論在牛頓、萊布尼茲時(shí)代,人們把自變?cè)獂的無窮小增量θ叫做x的微分,函數(shù)fx的相應(yīng)的增量fx+θ?fx(當(dāng)舍棄了高級(jí)無窮小后)叫做fx的微分,并分離記為dxf(1)對(duì)多元的情況,人們?nèi)园炎宰冊(cè)獂i的無窮小增量θi叫做xi的微分,記為dxi,而函數(shù)fx1,?,xn,當(dāng)舍棄了高級(jí)無窮小后,叫做fx1,?,xnd(2)在一元情況,導(dǎo)數(shù)較之微分遠(yuǎn)為重要,使用它較之使用微分要方便得多.但對(duì)多元情況,人們無法推出一個(gè)相當(dāng)?shù)摹叭珜?dǎo)數(shù)”,而只能使用(全)微分,因此微分概念便是多元函數(shù)解析學(xué)的唯一核心、支柱了.后來,人們廢除了無窮小的概念而代之以極限論,這時(shí)人們首先定義導(dǎo)數(shù)f′xf(3)對(duì)多元函數(shù),同法定義了其第i偏導(dǎo)數(shù)fiX.然后人們引入微分,分兩情況.對(duì)一元的ffx的微分dfx指f′xh(h對(duì)多元函數(shù)fx1f∑(5)換句話說,廢除無窮小概念后,“無窮小增量”θ或θi便換為有限增量h或hi問題在于我們必須引入自變?cè)奈⒎?現(xiàn)在有兩種說法.其一是“證實(shí)”h=dx以及hi=dxi.其證實(shí)的過程如下.由dfx=h,令fx=x,則dx=h.又由dfx1,?另一個(gè)說法是:當(dāng)fx或fx1,?,xn或fx1,?,xn為xi時(shí),則定義為:無論是用定義或者作出“證實(shí)”,所得的兩式即dx=h及dx,=h,都是不準(zhǔn)確的,不成立的.因?yàn)?人們所以要采用微分dx主要在于對(duì)其中的x可以作代入,例如由(1)式而獲得dfgt=f′gtdgt,但是,按照(4)式,無論dx或dx,都是與x或x1無關(guān)的量h,ht,這時(shí)即使對(duì)dx的x作代入它仍是h而非dgt,這是明了易見的,絕不能因?yàn)榘裩寫成dx的有所改變.為什么人們能夠“證實(shí)”(6)式呢?這是一個(gè)顯然的概念混亂所致.因?yàn)閺亩x(4)(5),d是作用于函數(shù)關(guān)系f之上的算子,"dfx"應(yīng)理解為d作用于f得?df,再作用于x數(shù)Inid(6)從而(1)式只能寫為(用X表示矢量x1,d(7)這里是dI作用于x,?dIni作用于X,而不是d作用于填式Ix亦不是d作用于填式Inidd但后面這兩式正是微分論中重要的公式.固然,人們“證實(shí)”了這兩式是成立的,但在證明時(shí)倘若仍用被批評(píng)的兩式,鄭重說來,這證實(shí)仍有問題.初學(xué)者還因?yàn)楣爬侠碚撜J(rèn)為:微分是無窮小增量,而dy=f′xΔx只是近似式,要Δx→0時(shí)方有dy=f′xdx(這其實(shí)是初學(xué)者的錯(cuò)誤體味),遂認(rèn)為dx,?dy是“無窮小”的Δx,Δy;或者“我們的結(jié)論是:說dx=Δx3近代的微分理論在近代,人們不假定偏導(dǎo)數(shù)的延續(xù)性,故先引進(jìn)可微性如下(見[1]-[4]):定義倘若存在線性函數(shù)L(與A有關(guān))使得lim則說函數(shù)fx在A這實(shí)質(zhì)上與古典理論無別,有區(qū)別的是:古典理論把LH叫做fX在A點(diǎn)的微分,記為dfA,亦即,在古典理論里,dfA近代的理論里,dfA=L或從而d因此dfALH實(shí)際上依賴于H,應(yīng)該寫成dHfA,或?qū)懗蒬HfX,當(dāng)fX取值xt時(shí)應(yīng)寫成dHxi,這和牛頓萊布尼茲相沿下來的習(xí)慣不符.如把dfX看作Lx(線性函數(shù)本身,可用關(guān)聯(lián)矢量表示),這時(shí)它便與H無關(guān).可以明確地表示為dfX,無需添H足碼,當(dāng)fX取值x1時(shí),可以明確地寫成dx1,與牛頓萊布尼茲相沿下來的習(xí)慣寫法相符了.這大概是近代理論更改說法的緣故吧。不過這個(gè)優(yōu)點(diǎn)其實(shí)是不足道的,因?yàn)榈荹1]卻給出下列議論:古典理論“在處理多元函數(shù)時(shí),不惜一切地、奴隸般地順從于數(shù)值解釋的老調(diào)(按.指使用LH而不使用L),將會(huì)變得更糟.例如.如此得到的疊合函數(shù)的經(jīng)典公式(8.9.2),已失去任何直觀意義的足跡”(158頁下同).這種說法值得商榷.大家知道.比如,使用sin與使用sinx本質(zhì)上一樣.“sin作用于a”可表示為“在sinx中將x代入以an,高級(jí)函數(shù)φ作用于sin,可表示為:“(帶約束變?cè)?算子φx作用于轄域sinxn.那里會(huì)因?yàn)槭褂肔H而不使用L而導(dǎo)致這么大的紕漏呢?事實(shí)上.經(jīng)典公式(8.9.2)之所以繁瑣,實(shí)際上因?yàn)闆]有使用求導(dǎo)算子DH而使用算子d,并在使用d時(shí)把新近理論把微分dfx定義為L(zhǎng)而不是LH).固然能夠名正言順地寫dfx其一,依然理論,dH把X的函數(shù)f改造成X的函數(shù)LH,它是同層次之間的變換;而依新近理論,d卻把數(shù)值fx改造成函數(shù)關(guān)系L,因?yàn)榫€性函數(shù)L可用關(guān)聯(lián)空間的矢量(所謂關(guān)聯(lián)矢量)來表示,d便把數(shù)值fx改造成(關(guān)聯(lián))矢量L;繼續(xù)下去,d2便把數(shù)值fx改造成以矢量為分量的二層矢量;普通說來.dk便把數(shù)值fx改造成以k?1層矢量為分量的k層矢量,這顯然是異常復(fù)雜的變換(函數(shù)),連[1]亦不得不承認(rèn):“我們不得不再三拋棄初始空間,高而又高地攀登到新的函數(shù)空間去”.亦即使用高層而又高層的矢量.[1]認(rèn)為這是“值得的”,其實(shí)這是無可奈何的不得已、倘若采用數(shù)值解釋,dH把數(shù)值fx其二,即使每次求導(dǎo)(或術(shù)微分)時(shí)所用的參數(shù)H不同,在舊理論中k次微分可以寫為dHk?dHk?1?dH1fx.很顯然地它依賴于nk個(gè)h,其中固然有nk個(gè)含h的項(xiàng),但這些項(xiàng)都可由nk個(gè)h的乘積而得.但在新近理論中,k次微分是k層矢量,而基本矢量有n個(gè)分量,k層矢量顯然有nk個(gè)分量.因此對(duì)新近理論而言,k次微分除依賴于f與X外,還依賴于nk個(gè)分量,比舊理論大大的復(fù)雜了(必須經(jīng)過極仔細(xì)的分析.才干知道對(duì)這nk個(gè)分量的值,實(shí)質(zhì)上只依賴于nk個(gè)h新近理論亦認(rèn)為自變?cè)奈⒎謉xi是線性函數(shù)L的基底,與認(rèn)為dxi為h下面給出我們所建議的新理論。新理論的主要點(diǎn)是:1?dX與H,?dx2H既非dx,從而L3把LH叫做導(dǎo)數(shù)后,通常所說的多元函數(shù)微分學(xué)的內(nèi)容可以根本不提到“微分”4但是,在別的領(lǐng)域,例如,積分學(xué)以及微分幾何等,在其中使用“微分”概念不但是方便的,偶爾還是須要的,不能用別的概念(例如導(dǎo)數(shù))而簡(jiǎn)捷地代替它.因此我們重新定義自變?cè)奈⒎謉X以及函數(shù)的微分df下面便分三部分陳述,其一是多元函數(shù)的可微性,其二是疊合函數(shù)的高級(jí)導(dǎo)數(shù),其三是微分的本質(zhì).4多元函數(shù)的可微性為了推廣到更普通的情況,現(xiàn)在人們研究多元函數(shù)的可微性時(shí)都不假定其偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。因此人們從下列定義出發(fā)。定義倘若存在線性函數(shù)L(與X有關(guān))使得lim則說函數(shù)fX在X以前把LH叫做fX在X點(diǎn)的微分,新近理論則把L本身叫做fX的微分,但H既非dX,叫做微分不妥善,應(yīng)該叫做fX在X點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),因?yàn)樗趾蠬,可叫做帶參數(shù)的導(dǎo)數(shù).注重在一元時(shí),導(dǎo)數(shù)與帶參導(dǎo)數(shù)均存在但不相等(后者多一因子定義?指D1,定理1.LH=定義H??叫做以H為參數(shù)的求導(dǎo)算子;倘若H??fX又在X點(diǎn)可微,則H??H??fX?與D一樣.如其作用域是含變?cè)捻?xiàng),應(yīng)標(biāo)出其伴行項(xiàng)A和作用變?cè)猉,例如寫為?A/在迄今為止的理論中,在研究各級(jí)可微性時(shí),仍需使用線性函數(shù)L,其實(shí),在囫圇可微性的研究中,可以根本不考慮線性式,其結(jié)果卻更天然更有系統(tǒng).為此我們引入一個(gè)新概念。定義倘若將H的第i1,第i2,?,第ik定義倘若maxi≤j≤nhj=hi,則說矢量H定義倘若當(dāng)H沿i帽矢量而→0lim則說偏導(dǎo)數(shù)fiX在點(diǎn)A處是極易證實(shí).我們有:定理2倘若fiX在A點(diǎn)處延續(xù),則fiX在A點(diǎn)崎嶇;倘若對(duì)所有i,fix在A點(diǎn)處均崎嶇,則f證實(shí)極易,今略(第二部分的證實(shí)由下文亦見).今給出可微性的新定義.定義倘若fx的各一級(jí)偏導(dǎo)數(shù)在A點(diǎn)是崎嶇的,則說fx在A點(diǎn)可微;普通,如果fx各k級(jí)偏導(dǎo)數(shù)在A點(diǎn)崎嶇,則說fx在A處定理3新舊兩個(gè)可微性定義是等價(jià)的.證(舊→新),這是眾所周知的.(新→舊).設(shè)fx的各一級(jí)偏導(dǎo)數(shù)在A點(diǎn)崎嶇,今考慮fA+H?fA.因?yàn)镠=h1,h2,?,hn,今按其絕對(duì)值大小而排序,設(shè)hi1≥hi2≥?≥hin.注重,顯然H是f++又因?yàn)槔ㄌ?hào)內(nèi)各被減數(shù)中的H都是某個(gè)i帽的,而被減數(shù)中與減數(shù)中的H又只在某個(gè)i位有相差,按照崎嶇性的定義,我們顯然有(各0都是當(dāng)H→0f按依然定義,知fx在A點(diǎn)可微,而且其中的LH即為H我們已經(jīng)引入下列的函數(shù)集合:定義由延續(xù)函數(shù)組成C0;倘若fx的所有k級(jí)偏導(dǎo)數(shù)均延續(xù),則由它們組成C定義由延續(xù)函數(shù)組成D0,倘若所有k級(jí)偏導(dǎo)數(shù)均崎嶇,則由它們組成Dk由上面的定理,我們趕緊得出下定理.定理4我們有:D集合Dk的重要性在于,只前所有的就Ck而推得的結(jié)果,幾乎無例外地可適用于Dk,因此這些定理可以加強(qiáng)推廣而適用于Dk即k5疊合函數(shù)的高級(jí)導(dǎo)數(shù)第二,再研究疊合(通常叫做復(fù)合)函數(shù)的高級(jí)導(dǎo)數(shù),事實(shí)表明,這時(shí)使用求導(dǎo)算子H°?最為方便.如常例,對(duì)矢量函數(shù)F定義H??FX指H??f1X,H??f又在下列公式中,不言而喻地H??fX中的?指對(duì)f的各變?cè)?即xi)而求導(dǎo),而H??gT中的?定理5當(dāng)A及X為T的函數(shù)時(shí)有H證因A??fX對(duì)A對(duì)fX均是線性的(所謂雙線性,只是它對(duì)fX是算子而非通常的函數(shù)),故對(duì)Di(指對(duì)ti求導(dǎo))而言,有DiA??fX=[按照這條定理,我們便可以逐步求出疊合函數(shù)的各級(jí)導(dǎo)數(shù)的公式了;正和一元情況那樣,普通的k級(jí)導(dǎo)數(shù)的公式是很繁瑣的,應(yīng)逐步求之。從來沒有人去記憶或使用普通的k級(jí)導(dǎo)數(shù)公式.設(shè)gT=fXT,而f(1)H??比較:g′t(2)H??比較:g′′(2.1)HH(一元時(shí)無此情況,無需比較,下同)(3)H+比較:g′′(3.1)H++++如此等等.當(dāng)H的第i分量為1而其余分量為0時(shí),H??變成偏導(dǎo)算子Di,因此由上列公式作特化不難得出不但如此,對(duì)H1,H2等隨意取若干分量為諸h古典理論中,因?yàn)橄薅ㄖTh為諸dx,而dx是不能代入以別的函數(shù)或常數(shù)的,因此由其中的高級(jí)微分dhfX的公式,很難得出gijkT等偏導(dǎo)數(shù).此外,古典理論與現(xiàn)代理論中,其疊合函數(shù)的高級(jí)“微分”對(duì)多層疊合亦可仿此推導(dǎo)如下.定理6設(shè)y=fX,X=H證我們暫時(shí)在?下標(biāo)明它的作用變?cè)?Hf因?yàn)?T已浮上對(duì)多層疊合函數(shù)的高級(jí)導(dǎo)數(shù)亦可如法逐步求得.由上所論,不難看見求導(dǎo)算子的大用了.不難指出，在場(chǎng)論中，我們已經(jīng)大量使用?,由它而定義gradfX,divFX,rotFgradrot等等;但在場(chǎng)論中,H??的幾何意義不顯然,沒有給以專名,從而也沒有專門研究它,只是在有關(guān)div,rot;grad等的公式中,偶爾浮上而已.這么重要的算子,由上可見,在多元函數(shù)的微分學(xué)中,微分概念以及微分算子d的引入,不但沒有必要.反而會(huì)引起種種棘手與不方便.我們應(yīng)廢除它.6微分的本質(zhì)如上所述,在微分學(xué)中,微分概念在理論上(指自變?cè)⒎?是講不通的,在使用上是沒實(shí)用的,甚至于會(huì)引起棘手的,但它卻向來被沿用迄今,從來沒有人提議廢除它.這是什么緣故呢?回答是,使用微分概念,在別的領(lǐng)域(例如積分學(xué)以及微分幾何)帶來極大的方便、值得保留它并將繼續(xù)使用它。首先是積分,積分本來是個(gè)算子,f的積分徹低可以表示為∫f,現(xiàn)在也有無數(shù)人建議使用這個(gè)符號(hào).這樣一來,對(duì)換元積分而言,我們將有:對(duì)一元積分作換元x=∫對(duì)多元積分作換元X=G∫又對(duì)斯提爾底斯積分(另一型式的曲線積分、曲面積分等)我們須引入新符號(hào)一一具有多個(gè)被積分式的積分符號(hào),即∫f;g曲線積分及∫f;g1,?,g∫∫它不但極易記憶,而且極便于運(yùn)用?，F(xiàn)在,連最堅(jiān)定主張使用“∫f′′以代替“∫fxdx”在微分幾何中,曲線X=Xt的方向數(shù)記為dX(即d=dx12+?+dxn2,都是極方便的概念與符號(hào),無法用別的概念代替的.尤其是在曲面論中,當(dāng)X=Xu,v時(shí),由ds2而導(dǎo)出的E?du2+2F?du?dv+G?dv2,所謂第一基本式,更是無法用別的代替,倘若我們說,曲面X=Xu,v此外還有無數(shù)需要使用微分的例子,今不多贅,仔細(xì)考究需使用微分的地方,可以歸結(jié)為對(duì)微分的兩個(gè)要求:1.當(dāng)作換元x=gt或X=GT時(shí),對(duì)dx需作代換dx=dgt,對(duì)dx2.倘若x,y間有關(guān)系y=fx,則dy=f′xd表而看來,古典的以及近代的微分理論是推出這兩個(gè)性質(zhì)的,從而似乎是可以采納的.但是,如上所述,目前所有的兩個(gè)理論并沒有真正的推出這兩個(gè)性質(zhì)(其推導(dǎo)實(shí)際上似是而非,不能采納的).為此我們提出新的主張.我們注重到,在現(xiàn)有的微分理論中,自變?cè)奈⒎峙c函數(shù)(依變?cè)?的微分是截然不同的,而且自變?cè)⒎值亩x是很不合理的.因此,要想改正,似乎應(yīng)該廢棄自變?cè)⒎值母拍睢５?依變?cè)⒎值亩x又是離不開自變?cè)⒎值?怎么辦呢?有一個(gè)主意是:把自變?cè)部醋鲃e的變?cè)暮瘮?shù),而該別的變?cè)獎(jiǎng)t從來不使用的,這樣我們所碰到的便都是依變?cè)奈⒎至?定義異常指定一個(gè)變?cè)?事實(shí)上在別處永不使用)t,x對(duì)t的導(dǎo)數(shù)記為dx,X對(duì)t的導(dǎo)數(shù)記為dX.亦即,dx實(shí)即Dtx按照疊合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),對(duì)微分的上述兩個(gè)要求徹低滿意,因此我們的定義是合適的.但是.特指一個(gè)變?cè)猼而且事實(shí)上在別處從不使用t,更使這個(gè)“特指”顯得十分人工做作。要避免這點(diǎn)毛病,可改用下述說法.定義凡是關(guān)于xX的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).倘若它與求導(dǎo)變?cè)猼無關(guān),即依任何變?cè)髮?dǎo),該性質(zhì)依然成立,則說該性質(zhì)亦是微分dx?dX的性質(zhì).亦即,這時(shí)D,因?yàn)閷?duì)特指的t未給以任何特性.故D,X滿意的性質(zhì)對(duì)任何別的DnX亦成立;反之,如對(duì)任何DnX均成立顯然,當(dāng)所研究的性質(zhì)隨求導(dǎo)變?cè)牟煌煌瑫r(shí),用微分概念來表述是不方便的,這便是為什么倘若在微分學(xué)內(nèi)使用微分概念時(shí),反而不方便的緣故.但是,在無數(shù)情況之下,所研究的性質(zhì)或者不因求導(dǎo)變?cè)淖?或者為對(duì)稱起見不必也不應(yīng)指定求導(dǎo)變?cè)?或者我們只考慮變?cè)?很難說出誰是自變?cè)鹊?這時(shí)使用微分概念便比之便用導(dǎo)數(shù)概念方便得多了。例如.(n維)空間曲線總可用參數(shù)式表示為X=Ft,這時(shí)該曲線的方向矢量便是DtFt,但是我們不必詳細(xì)提到參變方程X=Ft,不必提DtFt(或F′t),只說該曲線的方向矢量為dX便成,它對(duì)任何參變式:甚至于不提參變式均可適用.該曲線的弧對(duì)任何t的導(dǎo)數(shù)均為F′偶爾必須使用微分而不必考慮它對(duì)誰的導(dǎo)數(shù),例如,有了氣體方程式pv=RT后,如求其導(dǎo)數(shù)(帶參),不論求DHT或DHp或DHv,都不外是求T的、p的或v的偏導(dǎo)數(shù),用處不大.倘若我們引入一個(gè)象征變?cè)猼而求DtRT=Dtpv總結(jié)一句,微分就是未明指求導(dǎo)變?cè)膶?dǎo)數(shù),普通均假定該未明指變?cè)灰粋€(gè),從而不使用帶參導(dǎo)數(shù)(即只用d不用dH我們還想說幾點(diǎn)有關(guān)的話。第一,通常認(rèn)為自變?cè)奈⒎志褪瞧湓隽?依變?cè)奈⒎纸朴谄湓隽?當(dāng)增量越變?cè)叫r(shí)它們異常臨近.換句話說,人們認(rèn)為(象萊布尼茲那樣):微分就是無窮小的增量.這種看法是不對(duì)的,應(yīng)該認(rèn)為:諸微分之比近似等于相應(yīng)增量之比,當(dāng)增量趨于零時(shí),兩比相等.這是不難證實(shí)的。第二,關(guān)于積分的符號(hào)。對(duì)單重積分而言,我們用∫fxdx(代替∫這極富直覺性從而極易記憶,從而是極理想的記號(hào)。但對(duì)多重積分而論(下面以三重積分為例),目前卻使用符號(hào)D?fx,y,zdd因此在單重積分時(shí)微分概念顯示出極大優(yōu)越性的,在多重積分情況同樣喪失了任何直覺的滋味,同樣屬于毫無意義的人工假定的記號(hào).因?yàn)檫@個(gè)緣故,近來已有無數(shù)人把多重積分改寫成D?fx,y,zdV,?dV表示n維體積元素.但fX是X的函數(shù)而非V的函數(shù),這個(gè)寫法仍屬隨意的約定,沒有理論根據(jù),況且我們也不能由體積元素dV因?yàn)閷?duì)流形上積分的研究,人們引人外微分理論。但我們無須引人外微分,只引人外乘法,它與通常的乘法一樣,順從結(jié)合律與對(duì)加法的分配律,但交換律卻改為交錯(cuò)交換律:a∧b=?b∧a.只由這幾個(gè)性質(zhì)便極易推出:當(dāng)X=GUd因此倘若把多重積分寫成D?f但是把積分寫成D?fXdx,∧?∧dx,的形狀我們建議,將a∧b寫為ab(中間不用任何符號(hào),只在外面加一括號(hào)),并約定dx1?dx2可寫為d*x1,x2,dx1?dx2?d*xn寫為dx1,x2,奧一高公式:?D?fXd?X?i?=D?fiXd*X,這里斯托克公式:?D?fXd?*W=D??dfXd?*,這里D為ε+1維區(qū)域引用這樣記號(hào)后,對(duì)線面積分的研究可以徹低照外微分理論的方式舉行,但徹低停歇在初等分析的水平上.參考文獻(xiàn)1DieudonnéJ.Elementsd’analyseI.1969.郭瑞芝,蘇維宜譯.現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析第一卷,北京:科學(xué)出版社,19822FlemingWH.FunctionsofSeveralVariables1976.莊亞棟譯.多元函數(shù).北京:人民教誨出版社,