閃耀人類的數學家3210-Optimized

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯書中主要講述了從古希臘時期至20世紀,30余位重要數學家的一生.看他們如何用短暫的生命發(fā)明出人類永恒的智慧。數學如今近乎成了煩瑣無情的公式與題海,無關熱愛與奮斗。本書將打破人們對數學和數學家的刻板印象,讀者可沿著數學家們深刻、動人的生命軌跡.真正控制數學的核心思想.真正懂得贊賞數學的魅力.真正理解數學于我們、于世界的重大意義,真正獲得追求真理的欲望和動力……永遠欽佩.好漢們?yōu)檎胬慝I身的勇氣;永遠追隨，大師們對數學執(zhí)著熱愛的情懷。產品經理。時一男李曉彤責任編輯特約編輯繪者_主不凝責任印制趙明趙聰營銷經理肖出版監(jiān)制_吳高林貝爾教授已經出色地完成了他的作品……任何學習數學的人都會從閱讀這本書中獲益.因為他使得這一學科變得人性化，并有助于我們加深對數學歷史環(huán)境的了解。___伯特蘭·羅素極度和睦一致……數學哲學的第一本教材……貝爾的風格異常令人賞心悅目。《紐約時報》E.T.貝爾教授已經寫出一本引人入勝的著作。大量傳記的細節(jié)和數學知識被壓縮到600頁的紙上，這確實令人驚嘆……他吸引著讀者，他吊起了胃口?！短烊弧冯s志上架建議:數學?科普閃耀人類的數學家MenofMathematics(第2版)E.T.貝爾美國科學院院士，曾任美國數學協會主席、美國數學學會副主席和美國科學促進會副主席，曾獲美國數學學會博歇獎；先畢業(yè)于斯坦福大學，后于華盛頓大學獲文學碩士學位,于哥倫比亞大學獲哲學博士學位,先后在華盛頓大學、芝加哥大學、哈佛大學、加州理工學院擔任數學教授。伽羅瓦|EvaristeGalcimage黎曼|GeorgFriedrichBernhardRieman戴德金|JuliusWilhelmRichardDedekind閃耀人類的數學家MenofMathematics（第2版）③[美]E.T.貝爾一一著羅長利——編譯目錄1伽羅瓦p.18克羅內克EvaristeGaloisLeopoldKronecker2凱萊p.259黎曼ArthurCayleyGeorgFriedrichBernhardRiemann3西爾維斯特p.35JamesJosephSylvesterErnstEduardKummer4魏爾斯特拉斯p.49KarlTheodorWilhelmWeierstrassJuliusWilhelmRichardDedekind5柯瓦列夫斯卡婭p.6512龐加萊p.153SofiyaVasilievnaKovalevskayaHenriPoincaré6布爾p.7513康托爾GeorgeBooleGeorgFerdinandLudwigPhilippCantor7埃爾米特pCharlesHermite編后記pMenofMathematics1伽羅瓦EvaristeGalois諸神親手與愚蠢舉行斗爭,卻沒有取得勝利。一席勒阿貝爾死于物質上的貧窮，伽羅瓦則死于精神上的愚蠢。這里的愚蠢指的是世人愚蠢的偏見?？v觀伽羅瓦一生，他身邊總是圍繞著自負的教書匠、無恥的政客，以及高傲自滿的院士。這些庸俗而愚蠢的人想方設法將才華橫溢的伽羅瓦拉到與他們同等的水平,泯滅他的天才,抑制他的能力。伽羅瓦也正是在同一個接一個不可打敗的蠢材的斗爭中,粉碎了自身非凡的能力,耗盡了自己的生命。接下來，我們就一起走進伽羅瓦的故事。被數學拯救的少年1811年10月25日,埃瓦里斯特·伽羅瓦出生在巴黎城外一個名叫拉賴因堡的小鎮(zhèn)上，他人生中的前11年異常痛苦美滿。父母對他疼愛有加，施以準確、開明的教誨方式，引導他成為一個正直、鄭重并且極為重視感情的人。但大概他們的教誨太過于正直，反倒令孩子長大以后在世俗偏見的包圍下顯得格格不入。埃瓦里斯特的父親尼古拉-加布里埃爾·伽羅瓦是18世紀的遺老。他有教養(yǎng)、聰明、寬裕哲學思想，對王權暴政深惡痛絕,對自由無限熱愛,管理著一所有60多名學生的寄宿小學。在拿破侖建立“百日王朝”期間，老伽羅瓦被擁戴共和的小鎮(zhèn)居民選為鎮(zhèn)長。拿破侖徹底垮臺后，他保留了鎮(zhèn)長的職務，帶領小鎮(zhèn)居民應對波旁王朝的統(tǒng)治,支持村民們反駁教士,在集會上用自己創(chuàng)作的老式詩歌鼓勵人心。從父親身上，伽羅瓦繼承了作詩的才華和對暴政統(tǒng)治的極端厭惡。母親阿代拉伊德·瑪麗·德芒出身于顯要的律師世家，外祖父有幾分韃靼血統(tǒng)。12歲之前,伽羅瓦向來在家里采納母親的古典文學和宗教教誨。然而，阿代拉伊德并沒有將從父親那里學來的東西原封不動地教給大兒子，她在這種古典教誨里融入了堅忍、勇敢、恬淡等相宜男性的精神。在朋友們的印象里，阿代拉伊德是個剛強的女子，她有主張，很慷慨，具有探索精神，并且有良好的發(fā)明能力。她跟她的丈夫一樣憎恨暴政，直到生命即將結束時，她仍保持著清晰有力的思維能力。伽羅瓦的父母都是不流于世俗之人，但他們雙方的家族中都沒有人展示過出色的數學才干。伽羅瓦的數學才干在青春期時才爆炸似的迸發(fā)出來，而他一展示才華，就遭到了教師們的誤解。1823年，12歲的伽羅瓦進入了他人生中的第一所小學——巴黎路易大帝皇家學院。這里與其說是一所小學，不如說是一座戒備森嚴的監(jiān)獄。教師們一心忠于復辟的王朝，想把學生們培養(yǎng)成波旁王朝的順民。伽羅瓦起初在學習上成績異常不錯，母親對他在古典文學上的輔導異常勝利，他延續(xù)三年被評為優(yōu)等生，希臘語作文還得了獎。但是，伽羅瓦慢慢對獎勵變得淡漠。因為學校有一次居然在沒有通知家長的情況下，一口氣免職了幾十個學生,僅僅因為他們否決在教堂里唱贊歌,抵御教師們的專制教育。在此之前，暴政、專制這些詞只是停歇在父母的口頭教誨上，如今伽羅瓦親眼所見，他被震動得說不出話來。而這些學生也用實際行動教給了他什么是勇氣，伽羅瓦在內心也更堅定了反抗暴政的信心，從此內心秉持正義，平等待人。隨后，伽羅瓦開始對宣講溫和和謙恭的說教感到討厭，古典文學中冗長的語法也讓他變得不耐煩。盡管他仍耐著性子去做修辭學、拉丁文和希臘文那些沒完沒了的練習,但教師們開始將“成績低劣”“行為不檢”等評語用在伽羅瓦的身上。他們委婉地建議伽羅瓦留級,伽羅瓦只得繼續(xù)停歇在那些讓人討厭的課程里，開始敷衍了事，既不努力也不感興趣地混日子。這時，數學浮上了，拯救了伽羅瓦。在當初的小學里,對照古典文學這種鄭重的課程,數學只是一種附帶的功課,是學生們利用課余時光學習的東西。伽羅瓦正是在他留級的這一年開始學習正規(guī)的數學課的。數學世界里彌漫了無窮無盡的奧妙，滿意了少年探索未知的張揚和愉快，伽羅瓦便在此時表現出了驚人的數學天賦。勒讓德的《幾何基礎》，據說就連數學成績異常出色的學生都要花費兩年時光才干控制。這本標準的初等幾何教程以更容易令人采納的形式重臨了歐幾里得的《幾何原本》，從1794年到1881年共發(fā)行了15版。伽羅瓦閱讀起來卻像孩子們讀一本童話故事那樣容易，幾何學喚起了伽羅瓦的學習熱烈，這件由寬裕發(fā)明性的數學家創(chuàng)作出來的藝術品,把初等幾何學的結構晶瑩剔透地展示在伽羅瓦面前,表現了數學推理的嚴密美好。幾何之后便是代數。伽羅瓦對代數最初是異常厭惡的，因為他學習的是小學里墨守成規(guī)的教科書,教師們的教學也異常機械化,這跟伽羅瓦直接從勒讓德這樣的大師那里學習幾何的方式完全不同。于是，他不顧教師們一板一眼的課堂教學，開始自學。他閱讀了拉格朗日、阿貝爾等人關于代數的巨著，年僅十四五歲就通曉了專業(yè)數學家們才干理解的方程數值解、解析函數論，以及微積分。伽羅瓦幾乎是徹低依賴心算去理解和學習大師們的著作的，這種異常天賦不是通過在課堂上聽教師講授能夠養(yǎng)成的。他平時的數學成績平平無奇，這是因為教師們堅持的那些機械運算和按部就班的主意對他來說太容易、太瑣碎了，這讓衰老氣盛的伽羅瓦總是感到不耐煩。可是,他又能在小學舉辦的數學比賽中頻頻獲獎，讓教師和學生們驚訝不已。伽羅瓦就是在這些震動的目光中，毫不猶豫地占領了屬于自己的數學王國?，F在，再回過頭來看看那些帶著愚蠢偏見的人是如何對待伽羅瓦罕見的天賦的。一個十幾歲的少年,猛然發(fā)現自己蘊含著足以和當代數學大師相匹敵的龐大能力時，他變得無比自豪，也無比沖動，他巴望得到認可，也對那些愚蠢的見解舉行取笑。于是,伽羅瓦在所有人眼中都變得很神奇。小學里的教師和同學們對他驟然展示的天才感到害怕和妒忌，教師們則異常善于打壓學生的自由天性。他們在年初學生報告里這么評價伽羅瓦:“他很溫暖，身上有許多良好的品質，但是他也很神奇?！彼^的“神奇”,無非是孩子不尋常的頭腦讓他看到了比別人更多的東西，因為沒有準確的引導，這種“神奇”很快變成了“爭強好勝”“喜歡取笑同伴”。伽羅瓦在數學上取得的勝利，也被指責是“假裝胸懷大志和有獨到見解”。惟獨一個修辭學教師短暫地承認過伽羅瓦在文學研究和數學上都很出色。不過，他很快就跟大多數教師站在了一起，并且評價伽羅瓦不可救藥:“他高傲自滿，令人不可容忍。他對數學太過于瘋狂了，我想他的父母最好讓他只學數學。他在這里只會浪費他的時光，并且通過不斷折磨他的教師們給自己招來譴責?！辈坏貌怀姓J,這個教師的建議其實很實用,倘若伽羅瓦真的只學習數學，那他說不定會活得更久一些。而這名教師疾馳改變態(tài)度的緣故是伽羅瓦對修辭學敷衍了事，把所有精力都投入了數學。這個時候，他已經迷戀在數學之中，無論別人怎么評價，數學可以讓他聽不見、看不到充斥在偏見中的惡意。考試失敗對數學的自信讓伽羅瓦開始從事正經的數學研究,他的目光首先投向五次方程求根公式。很神奇的巧合是，他跟阿貝爾一樣,都將五次方程當作自己事業(yè)的起點,而他們在五次方程上的遭遇也幾乎一模一樣。伽羅瓦一度認為自己做到了不可能做到的事一找到了五次方程的解。事實證實,那只是在推理過程中浮上了誤差。伽羅瓦很快認識到自己的錯誤，他發(fā)現拉格朗日曾經指出,在低次方程統(tǒng)一解法中,方程的求解和根的置換相關聯,也就是說，低次方程的解法對五次以上方程無效，從而預言“用根式解高于四次的方程是不可解決的問題之一”。同時，伽羅瓦找到了高斯在1801年對五次方程的見解:這個問題大概是不可解的。伽羅瓦意識到五次方程不可解，繼續(xù)尋求解法沒存心義，于是開始轉而尋求五次方程不可解的證實。與此同時，伽羅瓦的數學教師韋尼耶向來希翼他能按部就班地完成學業(yè)，所以勸說他去參加巴黎綜合理工大學的入學考試。這所小學堪稱法國數學家的搖籃，創(chuàng)辦于法國大革命時期，為土木工程師和軍事工程師們提供了當初世界上最好的科學和數學教育。這所小學異常相宜雄心勃勃的伽羅瓦，首先他的數學才干可以得到更好的發(fā)掘和培養(yǎng)，第二他可以掙脫宗教王權對人身和言論的束縛。至少在伽羅瓦眼中，綜合理工大學的學員們都致力于推翻專制的王權統(tǒng)治,是一群愿意獻身的愛國青年,跟他所在的小學里那些腐朽的教師徹低不同。然而，伽羅瓦考試失敗了。連曾經嘲笑過他的教師和學生們都對此感到驚訝,畢竟無論伽羅瓦多么不討人喜歡,他在數學上的天賦是有目共睹的。大家開始疑惑是否主考官不稱職，才導致這個難得的數學天才被淘汰。20多年后，數學雜志《新數學年鑒》的編輯泰爾康（他時常利用雜志來維護報考綜合理工大學和師范小學的考生的利益）對伽羅瓦的失敗做出了平等的評價，因為除了伽羅瓦，其他考生也遭遇了主考官的不平等對待。泰爾康說道:“一個智力卓越的報考者，敗在了一個智力平平的主考人手中。他們徹低沒有了解報考者是個什么樣的人，就匆匆給出了判定結果?！边@次考試失敗，堵住了伽羅瓦從事數學研究的正常晉升之路,他必須徹低依賴自己來完成對數學的追逐。固然,這也造成了他的不幸?！胺▏陌⒇悹枴?828年,17歲的伽羅瓦從巴黎綜合理工大學考試失敗的挫折中很快恢復過來，并且碰到了第一個水平高，又能了解他的數學才干的人,那就是高等數學教師路易-保羅-埃米爾?里夏爾。1821年,里夏爾26歲的時候被授予數學教授職稱。與路易大帝皇家學院的其他教師不同，他時常利用空余時光去巴黎大學聽有關幾何學的高級講座,及時了解當初數學家們的最新進展，并及時傳授給學生們。他為19世紀的法國培養(yǎng)出了不止一位數學家,這其中包括與亞當斯共同發(fā)現海王星的勒威耶、代數學家和算術家埃爾米特、第一個系統(tǒng)地闡述伽羅瓦方程論的塞爾，以及伽羅瓦本人。里夏爾教學不拘泥于形式，既注重培養(yǎng)學生熱愛科學的精神,控制住研究的害羞向,又善于用詳細問題鍛煉學生熱愛科學的精神，提高他們的研究能力。這位謙恭自處的教師把自己的所有才干都貢獻給了學生們，忘我地投入教書育人的偉事件業(yè)中,許多受他所教的學生都衷心地謝謝他,學習他的為人和柔美獨特的教學風格。在給伽羅瓦上第一堂數學課的時候，里夏爾就意識到自己遇到的是一個怎樣的學生。面向自己出的難題，伽羅瓦思路靈巧，見解獨到,語言流暢地闡明了自己的解答,里夏爾禁不住嘲笑他是“法國的阿貝爾”。進一步了解伽羅瓦后,里夏爾給了他最平等的嘲笑,并聲明：伽羅瓦徹低可以不經過考試而直接進入綜合理工大學。他給了伽羅瓦一等獎學金，并在學期報告中寫道：“這個學生有著遠遠超越其他學生的顯然優(yōu)勢.他異常相宜在數學最艱深的前沿進行研究工作?！边@和小學里無數教師的見解相反，他們認為伽羅瓦自視甚高，一位修辭學教師甚至說：“他的聰明智慧現在還是我們不能相信的傳說?！边@時,伽羅瓦在學習拉格朗日的著作時有所發(fā)現,他證實了關于連分式的一條定理，發(fā)展了拉格朗日的研究成績。里夏爾對學生取得的成就欣喜若狂，趕緊將文稿推薦給了《純粹與應用數學年鑒》。伽羅瓦17歲就發(fā)現的這個方程理論,對推進數學發(fā)展起到了重大作用，它經過一個多世紀的發(fā)展與應用，仍顯示出強大的生命力!1829年3月1日,伽羅瓦在《純粹與應用數學年鑒》上發(fā)表了他關于連分式的論文,這足以向世人證實,他不僅是一個具有數學才華的中學生，更是一個實實在在、寬裕發(fā)明力的數學家。發(fā)表獨創(chuàng)性的數學論文對伽羅瓦是個極大的鼓勵，他開始投入更多時光和精力去學習研究數學。伽羅瓦深耕的一個領域就是對方程根的置換,這讓他愈加了解根的置換和代數求解之間的深刻聯系。然而,現實生活中的虛偽偏見和專制壓迫正如洪水猛獸向著他奔涌而來，他憎惡，他憤恨，卻無力逃脫，唯有數學研究里的探索發(fā)現能夠使他獲得暫時的歡愉和驚奇。接踵而至的災害伽羅瓦在18歲時再次參加綜合理工大學的考試，這是他進入這所小學的最后一次機會。這次，他的主考人態(tài)度狂妄無禮，學識淺薄,連給伽羅瓦削鉛筆都不配,可就是這樣的主考人卻可以決定伽羅瓦能否進入這所一流小學。面試的內容涉及方程求解,伽羅瓦天然而然將他對隨意次方程根式解的理論提了出來。那些主考人對這樣一個重大發(fā)現不但視而不見，反而流露出輕蔑的態(tài)度,僅僅因為他們無法理解伽羅瓦陳述的事實。這個時候,伽羅瓦已經明了他注定無法進入綜合理工大學，畢竟主考人根本聽不懂他的答辯。正在他決定離開時，愚昧的主考人喊住他，就一個深奧的問題做出了提問。伽羅瓦覺得這個問題沒什么難度，主考人卻接二連三地圍繞這道題拋出一些錯誤的提問，伽羅瓦不決定回答，等待著一些更鄭重、更有難度的挑戰(zhàn)。但是主考人誤以為伽羅瓦這個好高騖遠的學生被自己難住了，對他發(fā)出了無情的嘲笑。伽羅瓦再也不能忍受了，在惱怒和失望中，他狠狠地將黑板擦扔在了主考人的臉上。綜合理工大學的大門從此對他緊緊關閉了。這個打擊讓伽羅瓦對波旁王朝統(tǒng)治下的封建勢力深惡痛絕,加深了他擁戴革命的信心。另一個災害則是父親的慘死。老伽羅瓦擔任鎮(zhèn)持久間，一直支持村民們反駁獨斷專權、蒙蔽人民的神父，挑戰(zhàn)了神權的權威。因此，復辟后，他成了教士們搞詭計詭計的靶子。在一場選舉風暴過后，一個詭計多端的衰老神父組織了一場反駁老伽羅瓦的詭計，他利用眾人都知道的鎮(zhèn)長善于寫詩的特點，編寫了一組針對伽羅瓦家庭成員的下流詩文，再簽上鎮(zhèn)長的名字，在市民中廣泛散發(fā)。人品正直、思想老派的老伽羅瓦在這場迫害中被逼得幾乎發(fā)狂,他趁妻子外出的時候,獨自來到巴黎,在離兒子就讀小學不遠的一個房間里自殺了。老伽羅瓦出殯時，小鎮(zhèn)上爆發(fā)了嚴重的騷亂，惱怒的市民向神父們投擲石塊，并砸中了其中一個神父的額頭，伽羅瓦親眼看著父親的棺木在一片混亂、無序和不公中被埋入墳墓。這件事以后，伽羅瓦孤傲的性格和仇恨王權的態(tài)度越發(fā)一發(fā)不可收拾，他開始疑惑善良這種品行在世上已經消失了。強忍著喪父之痛，伽羅瓦必須完成他的結業(yè)考試。然而，學校里絕大多數教師都對伽羅瓦抱有偏見，在結業(yè)考試的評語里，主考人對伽羅瓦的數學和物理的評價是“很好”,面試的評語卻是這么寫的:這個學生表現出智慧和卓越的研究精神,但是他在闡述一些他在應用分析學中的新發(fā)現時,不能清晰地表達自己的思想?！麑σ恍┪闹R題回答得很糟糕，而且他是唯一幾乎什么都不知道的學生。我聽說他對數學有一種非凡的才華,可是通過這次考試,我驚訝地發(fā)現他沒有任何才華。他勝利地向所有人隱瞞了這一點，所以我很疑惑他能否成為一名優(yōu)秀的教師。這樣的評語簡直令人驚訝，任何一個教過伽羅瓦的合格的老師都會堅定地一定這個評語的內容。第二次報考綜合理工大學失敗意味著伽羅瓦失去了繼續(xù)研究數學的晉升通道，父親的離世則代表著他喪失了經濟來源。所以，他必須為自己的前途和生計考慮了。伽羅瓦決定順從里夏爾教師的意見，報考巴黎高等師范小學科學系。1829年10月25日,伽羅瓦被錄取為高師決定生,翌年2月簽字愿意為國家服務6年,轉為正式生。按照傳統(tǒng),師范院校學生享受公費待遇,伽羅瓦的生活費用總算有了著落。數學史上聞名的巴黎高等師范小學，這時候的水平還相當低。伽羅瓦的數學才干得不到那些暮氣沉沉的教授的欣賞。他只能按照自己的主意自立舉行數學研究工作。這一年，他深入考察根式求解方程各種運算步驟的實質，也就是他自己所說的“我在這里舉行分析之分析”“新奇的問題需要使用新名稱、新符號”.并為此寫出了關于代數方程論的三篇論文。在對問題實質的分析中，伽羅瓦提出了置換群及其子群、數域及其擴域等一系列新概念。所謂的群是指反映對稱的數學概念。群表明一個體系的結構,從而可以對一些事物的存在與否、特征如何給出解答。伽羅瓦在探討可用根式求解的方程的特性問題的時候,用了根的置換式羅列的概念。例如,設x1、x2、x3、x4是一個四次方程的4個根,則在包含這些x1的任何表達式中交換x1和x2就是一個置換,可用(x1x2x3x4x2x1x3x4)來表示。又宛若時交換x1、x2和x3、x4是一個置換,可用(x1x2x3x4x3x4x1x2)來表示。如采取伽羅瓦把對方程的系數施行四則運算產生的數域的各個層次的擴域和根的置換群的各個層次的子群聯系起來，建立了后人所謂的“伽羅瓦對應”;通過群的研究來了解域的構造,從而解決方程可不可以用根式解的問題。所謂方程不可用根式解,就是方程的根不在對系數施行代數運算產生的數域中。我們打個不大確切的比喻，來說明伽羅瓦對應的意義。倘若把數域比作實物，那么伽羅瓦對應就是X光攝影洗印裝置,它使實物和它們的X光照片對應起來。這里X光照片就是和數域對應的群。宛若通過X光照片可以分析實物的構造,通過對群的研究也可以來了解數域的構造。引入更復雜的概念，舉行更深入的分析之后，伽羅瓦不但證實了普通高于四次的代數方程不可能用根式解,而且得到了隨意一個代數方程可不可以用根式解的判定的準則,徹底解決了五次及以上代數方程根式解的問題。因為幾何上尺規(guī)作圖問題和代數方程根式解相聯系,因此利用伽羅瓦理論不難證實:用尺規(guī)三等分隨意角和由已知正方體的棱,做出體積為其2倍的正方體,都是不可能的。在里夏爾的建議下，伽羅瓦將代數方程論的論文提交給了法蘭西科學院，并且去參加數學大獎賽。這項大獎是數學研究中最高的榮譽，惟獨當初第一流的數學家才有資歷去競爭。代數方程解的問題向來是“許多學者望而卻步的研究”,伽羅瓦寬裕獨創(chuàng)性的工作徹低解決了這個問題，所以他的論文徹低有資歷獲獎。不幸的是，另一場災害發(fā)生了。論文最初交由柯西審閱,他是當初法國數學界的領袖,對年輕的數學家而言,他是個鼓勵者,對有發(fā)明力的數學成績而言,他是個權威的鑒定人。糟糕的是，他太忙了，總會在最重要的時候有所疏忽。之前他冷落了阿貝爾，現在又怠慢了伽羅瓦。這兩位極有才華的青年沒有得到他的扶持，使數學發(fā)展蒙受了重大損失,而這種損失原本是可以避免的。在接到伽羅瓦的論文之初,柯西沒有賦予明確絕對,可能是因為伽羅瓦和阿貝爾的研究過于雷同,也可能他本人在1815年時對置換群有所研究,不肯意推崇它。隨后，伽羅瓦又將論文寫了一份交由科學院的秘書處，作為參加大獎賽的審核文章，這次由傅立葉院士審定。這位敢于一定歐拉和拉格朗日的意見、斷言隨意函數可以展開為三角級數、在研究熱現象中建立“傅立葉分析”而名垂青史的數學家,也沒有積極研究伽羅瓦的報告。他把稿子帶回家，放了幾個月。同年5月16日,他因心臟病去世,后來稿子竟不知去向,伽羅瓦被輕率地從比賽中排除了。1830年的大獎頒給了雅可比和已經故去的阿貝爾。到年底，科學院才把手稿遺失的消息通知給伽羅瓦，并請他再寫一份研究的概述。衰老的數學天才再一次被深深激怒了,與阿貝爾年紀輕輕就死于物質上的貧窮相比,伽羅瓦認為自己再三受到極不平等的待遇，是因為社會普遍存在精神上的腐敗和偏見。他惱怒地譴責道:“因為對庸人的崇拜、諂媚，總要拋棄平等的原則，天才就要被冷酷的社會埋沒掉。”伽羅瓦越發(fā)憎恨現有的社會制度了，他全力投入政治活動，站在了激進派和共和派的一邊，在當初，這是被政府視為洪水猛獸的派別。卷入革命的洪流1829年,查理十世任命大革命中逃亡貴族的首領、極端?；逝刹謥喛斯艚M閣，引起法國人民的強烈不滿和抗議；1830年,資產階級自由派在議會提出罷免波林亞克內閣的要求。查理十世非但不答應，反而下令解散議會，并改變選舉法和出版法，剝奪人民的選舉權和言論出版的自由。反動的七月敕令一經發(fā)出,趕緊引來舉國抗議。形勢愈演愈烈,起義的槍聲總算在巴黎打響了。七月革命的爆發(fā)讓伽羅瓦感到異常歡喜。他試圖把他的學生們拉進這場運動，但是高等師范小學的校長吉尼奧不允許學生走上街頭游行抗議，并讓他們發(fā)誓絕對不會離開小學。伽羅瓦否決發(fā)誓，并企圖在夜間逃走，但是圍墻太高了，他沒能逃出去。隨后3天,綜合理工大學勇敢、衰老的學員們紛紛走上街頭,為推翻王權、擁戴共和搖旗吶喊，伽羅瓦卻被那名謹小慎微的校長牢牢鎖在小學里。而當起義勝利后，吉尼奧又把學生和小學交到暫時政府手中，任由新政權處置。這種毫無原則的墻頭草做法，將伽羅瓦對舊社會制度的最后一絲夢想徹底擊垮。1830年7月29日,起義軍攻占杜伊勒里宮,查理十世逃亡英國。無產階級群體在這場起義中不斷壯大，這讓資產階級自由派們組織起來的暫時政府感到膽怯，他們不想再建共和政體，而是著手建立君主立憲。于是，與大資產階級更親近的奧爾良公爵路易·菲力浦被推上王位，建立起“七月王朝”。共和派奮起反駁這種歷史倒退。伽羅瓦積極參加共和派的斗爭，在假期里仍然四處活動，宣傳民權思想，他的熱烈令親友們感到意外。伽羅瓦成了一名激進的共和主義分子。在這期間,他結識了布朗基、拉斯拜爾等聞名共和主義者。不久，伽羅瓦參加共和派組織的民友社，同時報名參加了共和派占主導地位的國民自衛(wèi)軍炮兵隊。如此一來，伽羅瓦的思想言行天然和七月革命前站在查理十世一邊、七月革命后又依附自由派暫時政府的高等師范小初中長吉尼奧相對立。1830年爆發(fā)的革命令法國時局動蕩不安，也將不同的人的品格裸露無遺:卑劣之人左右逢源,甘心淪為當權者的走狗;心懷大志之人奔走疾呼，試圖喚醒民眾抵御的意志。伽羅瓦身處革命洪流的中央，他的所見所聞令他不能再繼續(xù)保持沉默，他決定當那個敢于發(fā)聲、披露黑暗的勇者。于是，他給校報寫了一封言辭激烈的信，指責校長吉尼奧趨炎附勢、出賣學生。悲哀的是，這并沒有打倒吉尼奧,反而給了吉尼奧絕佳的借口,可以名正言順地免職伽羅瓦。面向在官場和小學擁有絕對話語權的吉尼奧，無權無勢的伽羅瓦沒有屈服，他又給校報寫了第二封信，呼吁學生們奮起抵御校長的專制統(tǒng)治。他在信中說:“你們要憑你們的良心和人格說話?！北瘎≡俅紊涎?，沒有人肯站出來像伽羅瓦那樣大膽地表達自己的觀點。伽羅瓦沒有懸念地被免職了，他喪失了唯一的經濟來源。他也沒有了任何束縛，可以隨心所欲地做自己想做的事。于是，伽羅瓦開設了專門講授高等代數的私人講課班，講授自己的研究工作，如代數方程求解理論，用純代數處理的數論和橢圓函數等。就這樣，伽羅瓦通過授課勉強維持了生活，并在泊松的鼓勵下，寫出了《關于用根式解方程的可解性條件》的論文，這篇論文中的理論被后世稱為“伽羅瓦理論”?？墒?泊松并沒能理解伽羅瓦的思想，認為他研究的部分結果是阿貝爾已經得出的結論，其余部分則“不能理解”。所以,泊松實際上一定了伽羅瓦的研究。伽羅瓦無法忍受這樣的結論，決心將所有能力投入革命的洪流，他寫道：“我愿獻出我的生命，以喚醒人民?！辟ち_瓦有獻出生命的決心,但是他的死成了一出摻雜著無數愚蠢和偏見的徹頭徹尾的悲劇。點燃這一切的導火索是他兩次被捕入獄。伽羅瓦第一次被捕是因為一次宴會。1831年5月9日，約有200名衰老的共和黨人聚攏在郊區(qū)的“布爾根飯店”,抗議王室解散炮兵隊的命令。其中就有大仲馬、拉斯拜爾等社會名流，伽羅瓦天然不會缺席。為了不驚擾憲兵隊，引起政府的擔心，聚會的動靜最大限度地保持了克制。但是，對這群衰老人來說，光有抗議不夠，他們的惱怒急需一個出口宣泄。就在這時，伽羅瓦一手拿著酒杯，一手握著把打開的小刀喊了祝酒詞。他的祝酒詞不像別人那種“共和國萬歲”之類的革命口號，他喊了一句“為國王路易·菲力浦干杯!”同時短促有力地揮舞了一下手中的小刀,以表示自己對政府高壓政策的不滿。他的這一舉動趕緊贏得了圍在身前的一群衰老人的贊賞，大家紛紛歡呼起來，視他為本次宴會的好漢。而遠離伽羅瓦的人群只能聽到“為國王干杯”，他們嚷嚷著抗議，認為伽羅瓦是個擁立王權的兩面派。一時光場面極其混亂。衰老的炮兵們仍嫌這種表達不過癮，紛紛涌上街頭，通宵達旦地歌唱跳舞，鬧騰了一整夜。第二天，伽羅瓦在他母親的住處被捕，罪名是“聚眾鬧事”。畢竟，一夜狂歡是統(tǒng)治者所不能容忍的，而伽羅瓦是整件事的“始作俑者”，當局天然不會輕易放過他。伽羅瓦以“教唆謀害法蘭西國王未遂”的罪名被起訴，他的律師常常為共和派辯護,所以他為伽羅瓦決定了一套巧妙的辯詞:揮舞著打開的小刀是因為當初正在切雞肉,而非要決定謀殺國王；祝酒詞更是對國王的祝福，根本談不上謀害。這套辯詞為伽羅瓦脫罪沒有任何問題，可是他固執(zhí)地不肯采用這番辯詞。審判期間，伽羅瓦思路清晰、態(tài)度堅定地發(fā)表了一番反駁當下政治迫害的演講。法官和陪審團都被這個衰老人的激情和獻身精神打動，起訴便圍繞著法律上一個模棱兩可的觀點舉行辯論，并總算宣判伽羅瓦無罪。倘若說第一次被捕有驚無險，那么伽羅瓦的第二次被捕便是無中生有了。1831年7月14日是法國大革命攻占巴士底獄的紀念日，這一天，共和黨人將會舉辦一次盛大的歡慶活動。為了防止共和黨人可能會發(fā)明的“聚眾鬧事”，反動當局提前抓捕“危險的共和黨人”伽羅瓦和杜沙特列。這次抓捕毫無征兆，伽羅瓦沒有鬧事，也沒有拒捕。當局沒法以“詭計反駁政府”的罪名起訴伽羅瓦，這個罪名太重了，也沒有任何證據可以說服陪審團給伽羅瓦定罪。當局經過兩個多月的冥思苦想，總算捏造出一條罪名。伽羅瓦在被捕時穿的是炮兵征服，但是炮兵隊已經解散了，所以他們可以給這個衰老人安上個非法穿征服罪,并總算判了他6個月徒刑。伽羅瓦被關進了圣·佩拉熱監(jiān)獄。再次面向社會的黑暗和不公，伽羅瓦變得憂郁、沉悶、絕望。監(jiān)獄里對政治犯的處罰并不重，允許他們在院子里散步或者在小賣部里買酒喝，無數犯人整天喝得醉醺醺的。伽羅瓦不肯意跟他們同流合污，他將自己的悲觀愁苦都吞沒在對數學的追逐中，于是引來了其他犯人對他的奚落和辱罵。幸運的是，浪漫主義作家德萊瓦爾和伽羅瓦關在一個房間。他的愉快開朗影響了伽羅瓦，他們一起愉快地暢談痛飲。一瓶白蘭地，一口灌下去，暫時忘懷疼痛煩惱。德萊瓦爾短暫地治愈了伽羅瓦，他只被關了幾天就離開了監(jiān)獄，伽羅瓦與他密切地道別,并約定獲釋后去拜訪他。1832年，霍亂流行，所有的犯人都面臨被感染的風險。伽羅瓦“太珍貴”了,是個“重要的政治犯”,畢竟他曾經威脅到路易·菲力浦的性命，怎么能讓他輕易死于霍亂這種疾病?為了防止伽羅瓦在霍亂中喪命,當局在3月16日將他轉移到一家醫(yī)院里，隔離保護起來。在醫(yī)院里，伽羅瓦邂逅了院長的女兒，他陷入了人生中第一次,也是唯一的戀愛中?？墒呛芸?伽羅瓦就發(fā)現對方是個喜歡賣弄風情的女子，對感情根本不會專一。伽羅瓦深深受到了傷害，在寫給朋友奧古斯特·舍瓦利耶的信中，他這么說道：“你的信充滿了天使圣徒般的同情，給我?guī)砹艘稽c驚奇。但是，怎樣才干消除我所體驗過的那種熱烈感情留下的足跡呢?……我對世間一切的夢想都已破滅，包括愛情和名聲，這些夢想統(tǒng)統(tǒng)破滅了。”然而,伽羅瓦并非真的喪失了信心,寫完這封信4天后,他便決定去鄉(xiāng)間歇息和思量。他還期待著拜訪友人，還決定在數學上有所建樹，他對人生的計劃還很豐盈。只是這一切都因為一場決斗戛然而止。決斗前夜伽羅瓦初戀的結果是跟好友杜沙特列舉行決斗。杜沙特列受到醫(yī)院院長女兒的蠱惑，堅持認為伽羅瓦有辱于她，便提出了決斗的要求。1832年5月29日，伽羅瓦寫下了《致全體共和黨人書》。他在文中寫道:“我沒有為了我的祖國而死，希翼我的朋友們不要因此來譴責我。我居然會為了一個賣弄風情的女子而死，以至于我的生命要在一場可悲的爭執(zhí)中熄滅。天哪，為什么要為了這樣渺小、這樣卑鄙的事情而死?!”實際上,伽羅瓦已經否決了好友決斗的要求,但是好友鬼迷心竅般不能理解他的苦心，逼著他答應了這場決斗。在決斗前夜，伽羅瓦似乎知道自己不會活著回來，方便用這僅有的一晚，寫下了他的科學大綱?！拔覜]偶爾光，我沒偶爾間?！彼贿呧哉Z,一邊在紙邊空白處寫下自己的內心獨白，然后便只剩下羽毛筆和紙張摩擦的沙沙聲，他迫不及待地潦草地寫下了一段大綱。他知道,自己對數學獨到的見解和思量很快就要失傳，他不能讓數學蒙受這種損失，必須拼盡全力都寫下來。事實證實，伽羅瓦在生命最后幾個小時里寫出的東西，充足讓后世數學家們忙碌幾百年的了。伽羅瓦一勞永逸地解開了折磨數學家們幾個世紀之久的謎題，他解答了什么條件下方程是可解的，勝利運用了群論，是數學世界這一抽象理論的偉大先驅者。做完這些事情后，在1832年5月31日清晨，伽羅瓦與他的對手在“決斗場”相遇。決斗的規(guī)矩是雙方站在相距25步之處用手槍對射。善良的伽羅瓦被擊中了腹部，他頹然倒下，沒有醫(yī)生救治，無人問津。直到上午9點鐘的時候，一個路過那里的農民才把他送到科尚醫(yī)院?？墒菫闀r已晚，腹膜炎已經開始發(fā)作,伽羅瓦知道自己離死神很近很近了。他的弟弟在得到通知后，淚流滿面地趕來撲倒在哥哥身前。伽羅瓦否決了一位要為他向上帝祈禱的神父，他對弟弟說：“不要哭。我需要所有的勇氣在20歲時死去?！睕Q斗前，伽羅瓦把自己寫的數學手稿委托給了好友奧古斯特·舍瓦利耶，請他輔助郵寄給高斯和雅可比。悲哀的是，這兩位數學巨匠都沒有對伽羅瓦的論文賦予回應。直到1846年，劉維爾編輯了伽羅瓦的部分手稿，并將其發(fā)表在《純粹數學和應用數學雜志》上，才使得伽羅瓦的成績重見天日，被世人所贊賞。劉維爾,這位19世紀卓越的數學家,在函數論、微分方程、數論和統(tǒng)計力學諸方面都有重要建樹。他仔細閱讀了伽羅瓦的著作,賦予了充足的絕對。他在編輯引言中批評了柯西等人的失職。接著他分析道:“過分追求容易是這樁憾事發(fā)生的緣故。當論述純粹代數抽象而難懂的問題時,我們首先要避免這種缺點。確實,當我們試圖帶領讀者從剛開辟的小路向更廣大的領域前進時，清晰是最必須的。正如笛卡兒所說:’異常抽象的問題，必須研究得異常清楚。”伽羅瓦總是忽略這句格言?！暗?，現在情況不同，伽羅瓦去世了！我們別沉湎于無用的批評。讓我們來看看功績?！蓖聞⒕S爾說明了他如何研究手稿，并為揀出一件完美無瑕的珍品而大受鼓勵?！拔业臒崆榈玫搅撕芎玫膱髢?。當我看到伽羅瓦的證實徹低準確,而一些細小的缺陷也都被我填補好時,我體驗到一種真正的愉快?！?832年5月31日,伽羅瓦在他生命的第21個年頭去世了。他被埋葬在南公墓的普通壕溝里。今天伽羅瓦的墳墓已無蹤跡可尋。他不朽的紀念碑是他的著作，共60頁。MenofMathematics2凱萊ArthurCayley不變量理論是在凱萊強有力的手中涌現出來的,但是它最后形成一件完美的藝術品,并博得后世數學家們的贊嘆,主要是因為西爾維斯特的智慧以其閃光的靈感照亮了它。——P.A.麥克馬洪“很難對現代數學的廣大范圍給出一個明確的概念，這個范圍不能像一馬平川的原野那樣單調乏味，而應該像一個從遠處一眼看見的優(yōu)美鄉(xiāng)村，能夠讓人們散步其中，靜下心來贊賞山坡、峽谷、小溪、巖石、樹木和花草的美。但是，美只能意會而不能言傳。世間一切美的事物都是如此，數學理論也不例外。”這段話引自凱萊擔任英國科學促進協會主席的就職演說，它也可以作為對凱萊本人的巨著的概括。凱萊跟歐拉、柯西一樣，都是極具發(fā)明力的數學家，他首創(chuàng)了不變量理論、高維空間（即n維空間)和矩陣理論。其中,不變量理論對現代物理,異常是相對論,有重要影響,對純數學思想更是具有永恒不變的重要啟發(fā)。正如本章開始所說，凱萊發(fā)明了不變量理論，但他的朋友西爾維斯特使其大放光彩。n維空間和矩陣理論則為后世的量子力學和相對論打下了數學基礎。可以說沒有19世紀數學的發(fā)展.就算有橫空出世的天才，也難以摸到新物理學的大門。在幾何方面，凱萊為克萊因的出色發(fā)現鋪平了道路，推進克萊因統(tǒng)一了幾何學,形成了由歐幾里得建立的歐幾里得幾何、由羅巴切夫斯基和黎曼創(chuàng)立的非歐幾里得幾何，以及由彭賽列建立的射影幾何。在凱萊的一生中，西爾維斯特是他要好的朋友之一，也對他的數學事業(yè)起到了極大的推進作用。更存心思的是，西爾維斯特和凱萊可以起到互相映襯、互補的作用，他們可以填補對方生活中的不足。凱萊一生驚奇如涓涓細流，他的思想穩(wěn)定而矯健；西爾維斯特則像個斗士，終生都在“與世界搏斗”,他的思想則如洶涌湍急的水流，強烈又刺激。凱萊在談到數知識題時總是確切而嚴謹，西爾維斯特一談到數學就會趕緊變得彌漫詩意和熱烈。兩人的性格截然相反，凱萊一直驚奇地坐在安全閥上，西爾維斯特則時常處于爆發(fā)點，他們卻成了莫逆之交。在下一章內容里，我們會推薦西爾維斯特，現在先來看看凱萊的生平。1821年8月16日,阿瑟·凱萊出生在英格蘭東南部薩里的里士滿,他是家中的第二個兒子。他的母親瑪麗亞·安東妮婭·道蒂據說有俄國血統(tǒng)，他父親的祖先可以向來追溯到1066年諾曼征服時，出自諾曼底一個男爵世家。父親是個從事俄國貿易的英國商人，常年往返于英國和俄國，阿瑟就是在他的父母定期回英國探親時出生的。凱萊淡定、寵辱不驚的性格興許就是遺傳自有貴族血統(tǒng)的父親的家族。1829年，阿瑟8歲時，他的父親結束了商人生涯，退休后在英國定居。阿瑟被送到倫敦布萊克希思的私立小學，14歲時又到倫敦國王學院完成了學業(yè)。他像高斯一樣，很早就顯示出數學天賦，尤其是在數值計算方面有著過人的技巧。其他學生一提到計算就感到各種煩悶，甚至裝病逃避，凱萊卻將計算當成一種娛樂。所以，他很快就超過了小學里其他的學生，成為佼佼者。凱萊碰到的教師和伽羅瓦碰到的教師截然相反，他們從一開始就看出了凱萊是個天生的數學家,并賦予他一切鼓勵和協助,希翼他能夠將數學作為終身職業(yè)。不過，老凱萊極力反駁兒子成為數學家。興許是他覺得數學家都窮得叮當響，沒有什么前途，還不如繼承自己的商貿事業(yè)，衣食無憂地過完一生。但是他總算被學校里的教師和校長說服了，愿意讓兒子鉆研數學。他給了錢，也給了祝福，將兒子送到劍橋大學進修，大概老凱萊明了了一個道理：他家不差錢，卻從來沒有出過數學家。17歲的凱萊在劍橋大學三一學院開始了大學生活。除了數學,凱萊還喜歡閱讀各種古典小說,他的語言修為也異常出眾。在中學時期,他就學習了古希臘語;在大學時,他修習的法語和德語就像他的母語英語一樣優(yōu)秀。凱萊最喜歡司各特，第二是簡·奧斯汀。固然拜倫的作品有維多利亞時代的濃重足跡，但凱萊還是對他的敘事詩大為贊賞。莎士比亞的喜劇則向來是凱萊的最愛。在鄭重文學方面，他喜歡反復閱讀格羅特冗長的《希臘史》和麥考萊文體柔美的《英國史》。在讀遍了維多利亞時代的古典著作后，凱萊開始閱讀德文和意大利文的許多著作，他終生都保持著良好的閱讀習慣。在三一學院，凱萊的數學成績極為出眾，遠遠超越了同齡人的水平。到21歲的時候，他獲得了劍橋大學數學榮譽學位考試第一名，同年他又爭取到了史密斯獎學金。獲得這項獎學金比參加數學榮譽學位考試并獲獎越發(fā)艱巨,但他依然在考試中取得了第一名。隨后，凱萊被選為三一學院異常研究生和助理導師。這項工作的任期是3年,倘若他愿意為教會效勞,擔任圣職,那他的任期還會延伸。固然凱萊是基督教圣公會的教徒，但他無法忍受為了緊緊抓住某個工作崗位而去當一名牧師。盡管當初無數人都是這么做的，但凱萊不希翼任由牧師工作妨礙他對數學的信仰。況且，凱萊的工作本身很輕巧，他只需要帶幾個學生，這既能更好地輔導學生，又能繼續(xù)他自己的研究工作。像阿貝爾、伽羅瓦和其他許多優(yōu)秀的數學家一樣,凱萊也先前人大師們的著作中尋找靈感。他的第一項工作成績發(fā)表于1841年,他那時只是一個20歲的大學生,這項工作成績就是從他對拉格朗日和拉普拉斯的著作的研究中產生出來的。在讀大學期間,他一共發(fā)表了25篇論文,這些早期發(fā)表的論文為他規(guī)劃了此后50年內要研究的方向。在取得學位并獲得一份工作之后，凱萊更自由了，他不用為了生計發(fā)愁,可以做任何自己想做的事情。現在,他可以繼續(xù)大學時期的研究工作了,他在n維幾何、不變量理論、平面曲線的枚舉幾何學，以及橢圓函數理論方面，都有異常貢獻。在他研究成績極其豐盛的時期,他不只是刻苦工作,還時常去歐洲大陸享受愉快的假期。在一路向北的旅游中，凱萊將路上的一切都安頓得井井有條。固然看上去有些單薄瘦弱，他卻擁有健康剛強的體質,常常整夜在丘陵起伏的鄉(xiāng)間跋涉,只需要短暫的歇息，就又像朝露般煥發(fā)生機地開始一整天的活動。他通常在早餐過后花上幾個小時研究數學，然后去爬山、畫水彩畫，盡可能地拓展自己的興趣興趣。在第一次旅行期間，他拜訪了瑞士，舉行了大量的登山運動，從此他又為自己開辟了一項終身興趣。出國度假期間，凱萊遨游了意大利北部。在那里，他開始了另外兩項興趣，那就是對建造的贊賞和對優(yōu)秀繪畫的愛慕。他自己也畫水彩畫，固然沒有修煉到繪畫大師的水平，卻也展示出了極好的天分。因為對優(yōu)秀的文學作品、旅行、繪畫、建造的喜愛,以及對大天然之美的深刻領略,凱萊沒有成為一名枯燥、乏味又古板的“純數學家”。他對萬事萬物彌漫好奇與興趣，令他逐漸成長為一個生活中少有的真切又率真的數學家。1846年,25歲的凱萊離開了劍橋。想在大學里得到一個數學家的席位,就必須出任圣職,這是凱萊無法采納的。不過,作為數學家，凱萊懂得如何化圓為方。當初，法律吸引了英國許多最有希翼、有智慧的人才，許多第一流的大律師和大法官都曾在劍橋大學數學榮譽學位考試中名列前茅，以至于無數人認為數學訓練是進入法律界最完美的決定。固然讓像凱萊這樣有卓越數學天賦的人去起草遺囑、轉讓證書和契約，是社會的愚蠢行為，但法律確實緊緊吸住了凱萊。他進入了林肯法律協會，在一名叫克里斯蒂的律師手下當了3年學徒,并在自己28歲時取得了律師資歷證。3年律師學徒生涯讓凱萊發(fā)現，律師眼中惟獨委托人和錢，幾乎沒什么道德感。他不肯隨波逐流,跟其他律師一起腐化墮落.他否決的事務比他采納的事務還要多。整整14年,凱萊利用律師這個職業(yè)賺取了一定的報酬，過著相對富饒的生活，并維持了自己的數學研究，同時避免了讓自己沉溺在金錢的誘惑中。即便處理枯燥的法律事務，凱萊的耐心也堪稱模范。他主要的工作范圍與財產轉讓業(yè)務相關,他的耐心和嚴謹令他在行業(yè)內的聲譽穩(wěn)步升高,據說他所經辦的一起案件被當作典型案例載入了一部法典。不過凱萊并非圣人，作為凡人的他也會發(fā)脾氣。有一次，他正在辦公室和西爾維斯特研究不變量理論中的一個論點，主人進來交給凱萊一大摞需要仔細審閱的法律文件。凱萊瞥了一眼手中的東西，一致是些瑣碎的爭端，只為了替那些養(yǎng)尊處優(yōu)的委托人省下區(qū)區(qū)幾英鎊。凱萊驟然對這一切感到厭倦，他天才的大腦再也無法忍受這種毫無意義的工作，于是他厭惡地把那些材料扔在地上，大喊了一聲：“該死的垃圾!”接著，他繼續(xù)和西爾維斯特議論數學。這是凱萊唯一一次發(fā)脾氣。在從事律師職業(yè)14年后,凱萊放棄了這個職業(yè)。即便如此,他仍在當律師的時候發(fā)表了300多篇數學論文,其中有許多現在已經成了經典文獻。凱萊和西爾維斯特的友誼就是在他當律師期間建立起來的，此時凱萊已經完成了《論線性變換理論》的論文。他們常常在一起交流，不斷地將不變量理論深入完美。闡述不變量理論的數學概念過于抽象，我們可以用更容易的實例來描述。想象手中有一塊橡皮泥，可以在上面畫出一個圖形，然后將橡皮泥拉伸，但是需要控制好力度，使拉伸的程度不至于把橡皮泥撕碎。這時候，橡皮泥上圖形的面積、角度和周長都發(fā)生了變化，同時有一些因素是不變的,比如點的位置。不變量理論研究的就是拉伸后橡皮泥上圖形的一系列變化問題。再聯想一下愛因斯坦的相對論,當運動物體臨近光速時,它的時光會被壓縮，但在同一個參考系中，事件發(fā)生的順序是不變的。1863年,劍橋大學新創(chuàng)立了一個席位,即薩德勒數學教授席位。他們向凱萊提供了這一職位，凱萊很快就采納了。也是在這一年,42歲的凱萊與蘇珊·莫林結婚,結束了漫長的單身生活。固然作為數學教授掙的錢比律師要少得多，但凱萊并不后悔。他依然生活得順風順水，保持著驚奇淡然的狀態(tài)，他也總是給衰老的數學學習者提供耐心的輔導、慷慨的協助和恰當的鼓勵。事實上，他不僅是一個好的數學家，也是一個好的教誨家。幾年后，大學重新安頓了凱萊的工作，他的薪金提高了。需要教授的課程也由每學期一門課增強到兩門，現在他的生活徹低圍繞著數學研究和教學行政工作展開。凱萊從事過的律師職業(yè)，為他提供了充沛的法律知識和處理瑣碎事務的能力，他本人平和的性格與不受個人情感影響的判斷力，都成為他在教學行政管理上的珍貴財富。凱萊的話不多，而他的話通常是經過沉思熟慮后才說出的，一旦說出，便會被小學當作最后的決定采納下來。凱萊的婚姻和家庭生活異常痛苦，他跟妻子生育了一兒一女。隨著年齡日益增長，他的頭腦仍像衰老時矯健有力，性格則變得越發(fā)溫暖驚奇。倘若有人在他面前說出一些武斷的觀點，他會心平氣和地跟對方探討。在凱萊擔任教授期間，婦女能否采納高等教誨是當初社會上商議極為激烈的問題之一。凱萊利用他的影響力，說服了小學，讓婦女也可以作為學生采納高等教誨,這是他對推進社會普及科學教誨的一大貢獻。凱萊一生都保持著對數學的發(fā)明,就連離世前的那個星期，他也仍以堅毅的勇氣對抗持久遭受帶來的疼痛，繼續(xù)工作。1895年1月26日,凱萊壽終正寢。凱萊的學生福賽思接替了他在劍橋大學的職位，并在《凱萊傳記》中寫道:“他不僅僅是一個數學家,他還是心懷崇高理想奮斗至生命最后一刻的‘愉快戰(zhàn)士’。他崇高的品格、卓越的才識、溫潤如水的性格都對與他相識的人有著重大影響。當他離世時，大家都深刻地感觸到：一個偉人從這個世界上出現了?！眲P萊一生著作等身，為他編纂的《數學論文集》，足有13大卷,收錄了他所寫的966篇論文。他所做的工作許多已經成為數學的主流，也為未來幾代寬裕探索精神的數學家們提供了寶貴的食糧。MenofMathematics3西爾維斯特JamesJosephSylvester大概我可以適當地要求獲得“數學亞當”這一稱號,因為我相信數學理性發(fā)明物由我命名,比同時代其他數學家加在一起還要多?！鳡柧S斯特不肯屈服的猶太少年詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特于1814年9月3日出生在倫敦一個猶太人的家庭，是兄弟姐妹中最小的那一個。他出生時的名字是詹姆斯·約瑟夫，只因他的長兄移居美國，在那里用了西爾維斯特這個姓氏，家里的弟弟妹妹們紛紛效仿，為自己永遠地冠上了“西爾維斯特”這個姓氏。至于為什么一個正統(tǒng)猶太人會給自己冠以基督教所愛慕、猶太人所憎恨的姓氏，恐怕是個永遠的謎題了。西爾維斯特在6歲至14歲上的是私立小學,關于他的童年時代，人們知之甚少，因為西爾維斯特總是對此保持沉默。但是他像凱萊一樣，很早就展露出了數學天賦。14歲那年，西爾維斯特到倫敦大學就讀，師從德·摩根，繼續(xù)深入鉆研數學理論。德·摩根在分析學、代數學、數學史及邏輯學等方面都做出過重要貢獻，并積極準備倫敦數學會，在擔任會持久間，他為英國青年數學家和興趣者們提供了增進擴大數學知識的優(yōu)秀平臺。西爾維斯特在德·摩根的指導下受益匪淺,他在一篇寫于1840年的論文《論共存的導數》中說:“我得謝謝德·摩根教授，我為曾經是他的學生而自豪?！?829年,15歲的西爾維斯特進入利物浦的皇家學院,在這里進修了兩年。他在第一年便獲得了數學獎學金和皇家學院特設的一項數學大賽獎勵。他在數學上的學習已經遠遠超出了同齡人的水平，小學現有的課程早就趕不上他學習的速度，所以需要為他一個人單獨開班授課。與此同時，西爾維斯特還通過大哥和美國建立了聯系，為他后來遠赴美國奠定了基礎。西爾維斯特的哥哥在美國的職業(yè)是保險精算師，當初美國彩票協會碰到了一個彩票抽獎羅列的概率算法問題，這個問題倘若能夠得以解決，將會為彩票商人帶來極大的利潤。大哥向美國彩票協會極力推薦弟弟西爾維斯特來處理這一難題。剛剛在國內嶄露頭角的西爾維斯特給出了完美的解決計劃，為此獲得了一筆500美元的獎金。西爾維斯特在數學上取得的成績有多美好，在宗教上的待遇就有多糟糕。利物浦的宗教環(huán)境并不寬容，那些信奉基督教的年輕學生對猶太教信仰嗤之以鼻，時常捉弄、迫害西爾維斯特，強制他改變自己的信仰?？墒?，與溫潤如水的凱萊不同，西爾維斯特勇敢、坦率，擁有烈焰般的性格，像個天生的戰(zhàn)士，不肯屈服于任何威脅。這讓他在學院的日子越來越心痛，于是他逃亡都柏林。一路奔波與消耗讓這個十幾歲的少年口袋里只剩下了幾先令。幸好在都柏林的一個遠親認出了西爾維斯特，急忙把他帶回家，招待他吃喝，還讓他洗了個愉快的熱水澡，又對他舉行了思想和心理上的開導。西爾維斯特心中的郁結有所紓解后，便帶上親戚給他的路費，返回了利物浦?？墒?，英國針對西爾維斯特的宗教迫害并沒有結束。1831年,17歲的西爾維斯特進入了劍橋大學圣約翰學院。因為身患重病,他中斷了大學學業(yè),直到1837年才參加數學榮譽學位考試,并獲得了第二名的成績。盡管他沒有奪得冠軍,但從此后的發(fā)展軌跡和對數學的貢獻來看,那個衰老的冠軍早就變得不為人知?，F在看來，西爾維斯特沒能得到第一名，可能也是因為猶太人的身份，因為小學以這個理由剝奪了他參加史密斯大獎賽的資歷。9年后，劍橋大學受教會裹挾，否決授予西爾維斯特這個猶太人碩士學位。這次又是都柏林接納了西爾維斯特，三一學院授予他學位,承認了他對數學的貢獻,沒有因為宗教信仰的不同而將他排斥在外。而劍橋大學直到1871年才徹底掙脫教會的束縛，賦予了西爾維斯特應有的榮譽。在這場關于宗教、身份的外在標簽的爭斗中，西爾維斯特用他獅子般奔放不羈的勇氣打敗了英國的傳統(tǒng)保守派，維護了自己的權利。而這份勇氣也讓他的人生彌漫了不肯屈服的火藥味。在知識興趣的廣度方面，西爾維斯特和凱萊相似。他在希臘文和拉丁文古典文學原著上有著淵博的知識堆積,并且終身保持著對文學的興趣。除此之外，他還對法國、德國、意大利的原著文學頗有興趣。這讓西爾維斯特在寫作數學論文時，可以自如順暢地引用古典文學中的內容，恰如其分地闡述數知識題，從而使文章變得生動、活潑、有趣。這樣的例子，在西爾維斯特4卷本的文集《數學論文》中比比皆是。不變量理論中生動的術語、由希臘文和拉丁文鍛造出的數學新詞匯,都要歸功于西爾維斯特的業(yè)余興趣，他還稱自己為“數學亞當”。倘若西爾維斯特沒有成為一個偉大的數學家，那他就會在文學.尤其是詩歌方面有所建樹。西爾維斯特迷戀于詩歌的美好“邏輯”，一生中留下了許多詩作。當初英國最流行的十四行詩，也是他的最愛。西爾維斯特在藝術方面的一個興趣是音樂,據說他曾一度跟隨法國作曲家查理·弗朗索瓦·古諾學習聲樂，這讓他成了一個造詣頗深的業(yè)余興趣者。西爾維斯特喜歡在工人集會上為他們唱歌.“高音C調”的演唱技巧比對不變量理論的完美更讓他感到自豪。上一章講述了凱萊和西爾維斯特之間的密切關系，可以說對數學的熱愛是兩人最大的共鳴,而兩人的差別異常大。其中一點就是學習數學的方式和過程。凱萊依賴博覽其他數學家的著作建立了自己的數學世界；西爾維斯特正巧相反，他沒法忍受去學習控制別人在數學上的發(fā)明性工作。西爾維斯特晚年的時候，曾邀請一位衰老人來教他些關于橢圓函數的問題，因為他想把橢圓函數應用到數論上。課程大約上了3次,西爾維斯特便扭轉授課的角色,開始給這個衰老人講解自己在代數方面的最新發(fā)現。而凱萊似乎什么都知道，全歐洲的作者和編輯都將他當作審稿人征求意見。凱萊也不會忘懷他看過的資料，西爾維斯特卻連記住自己的發(fā)現都很艱難,有一次他甚至商議自己發(fā)明的某個定理是否成立。不過,正是這種性格和行為上的反差,讓西爾維斯特和凱萊成了最好的、最密切無間的搭檔。被點燃的數學激情1838年,24歲的西爾維斯特得到了生平第一份固定工作一在倫敦大學擔任天然哲學教授，他跟教師德·摩根成了同事。在劍橋大學時,西爾維斯特學過化學,并且終生保持著對它的興趣。按理來說，他徹低可以勝任這份工作，但教科學與發(fā)明科學徹低是兩回事,西爾維斯特沒法對教書保持熱烈,大約兩年后,他放棄了這份工作。西爾維斯特的數學成就那樣突出耀眼,卻沒能為他在大學爭取到一個合適的位置，以支持他繼續(xù)開展研究工作，足以看出教會對科學長進起到了多么龐大的妨礙作用。值得慶幸的是,他在25歲被選為皇家學會會員,科學仍為這名數學斗士留了一道門。大概是對英國太過失望，西爾維斯特決定跨越大西洋，遠赴美國，擔任弗吉尼亞大學的數學教授。大概他覺得一個新生的國度會有更多發(fā)展機會。然而，脾氣火暴的西爾維斯特再次遭遇了現實的打擊。他剛在美國教書3個月,一名衰老的學生就在課堂上對他舉行了辱罵,他要求小學嚴懲這名學生,卻遭到了否決。西爾維斯特一怒之下遞交了辭職報告。接下來的一年多時間,他積極努力地向哈佛大學和哥倫比亞大學申請教授職位,均以失敗告終，他不得不返回了英國。大概是西爾維斯特在教授這行里失去了良好的名聲，大概是他對教書徹低喪失了興趣,回到倫敦后,他找了一份人壽保險公司保險精算師的工作。這份工作對一個寬裕發(fā)明力的數學家來說簡直是消失性的打擊,枯燥乏味、毫無建樹的機械運算和錙銖必較的小心眼算計，幾乎扼殺了西爾維斯特作為數學家的生命力。幸而，他收了幾名學生，開設了私人授課班，以便讓自己對數學保持著茂盛的斗士精神。在這些學生當中,有一個直到今天都在世界范圍內享受盛名、備受恭敬，那就是護理事業(yè)的創(chuàng)始人和現代護理教誨的奠基人弗洛倫斯·南丁格爾。19世紀50年代初的歐洲，女性地位并不高，人們對于青年女子的期待異常低，只要她們能打扮得花枝招展，令周圍的人賞心悅目，再加上點虔誠信奉教會、順從父母或丈夫的指令，就沒有人會對她們有任何過多的要求。南丁格爾打破了這個局面，她向頑強的軍隊官僚作風提出了惱怒的抗議，將現代化的護理方式帶入了陸軍醫(yī)院，告訴人們女性可以像男人一樣在戰(zhàn)場上發(fā)揮重要作用。1854年,南丁格爾小姐奔赴克里米亞戰(zhàn)場,西爾維斯特也掙脫了保險精算師這個暫時糊口的職業(yè)，正式參加律師行列。這樣一來，他總算和命中注定的好友凱萊走到了一起。1950年,當初凱萊29歲,西爾維斯特36歲,他們都是單身，都沒有在數學世界里找到自己合適的位置。他們僅有的不同,是凱萊在律師行業(yè)里順風順水地享受人生,西爾維斯特則依舊不停地尋找自己的職業(yè)道路。如今，這兩個人碰撞在一起，喚起了西爾維斯特茂盛的數學生命力,他宛若獲得了一對嶄新的肺,可以自由呼吸著數學,在數學中生活。這對好朋友常常一邊圍繞著林肯法律協會的院子散步，一邊研究著由他們一手締造的不變量理論。后來，西爾維斯特搬家了，他們就在兩人住處的中間位置約定一個地方碰面，繼續(xù)研究數學。1851年,西爾維斯特在他發(fā)表的一篇論文中毫無掩飾地迸發(fā)出他對凱萊的感激之情，這段文字插敘在他闡述線性等價二次形式的子行列式關系中:“上面闡明的定理部分是在同凱萊先生的一次談話過程中提出的……我感激他使我恢復了享受數學生活的樂趣?！币荒旰?西爾維斯特又提到:“凱萊先生,他通常講出來的都是珍珠和寶石?！?5年后,西爾維斯特在牛津大學演講時,又衷心地嘲笑了凱萊:“他固然比我衰老,卻是我精神上的前輩——他是第一個令我睜開雙眼、清除我眼中雜質的人，從而使我能看見并采納普通數學中擁有更高深的奧秘?！眲P萊也總會提到西爾維斯特的卓越貢獻，但顯然西爾維斯特認為凱萊對自己的協助更大。煥發(fā)第二次數學生命西爾維斯特終身未婚。當凱萊在劍橋大學安寧地從事數學研究時,他的朋友西爾維斯特依然在跟世界搏斗。1854年，西爾維斯特同時申請了伍利奇皇家陸軍軍官小學和倫敦格雷舍姆學院數學教授的職位，令人失望的是，他的試用演講有些超出了主管委員會的理解范圍——他太優(yōu)秀了，以至于管理者寧愿挑選一個才干比他略低的人。不過.取代他在伍利奇皇家陸軍軍官小學擔任教授的人一年后因病去世了，小學沒有更好的挑選，只能讓西爾維斯特上任。西爾維斯特在伍利奇皇家陸軍軍官小學任教了16年，直到56歲時被迫退休?！巴诵荨钡木壒视袃蓚€。第一個是小學官僚作風盛行，盡管西爾維斯特仍保持著茂盛的精力、極具才華的發(fā)明力，但是小學管理者認為人一旦到了他這個年紀就沒有了利用價值。換句話說，小學判定退休的標準是“年齡”,而非這個人能否勝任這份工作。倘若說第一個緣故顯得很蠢笨，那么第二個緣故就有些無恥了。西爾維斯特的薪資不是異常豐厚，待遇還包括對公共牧場的使用權?？墒撬炔火B(yǎng)牛、馬、羊這些家畜，自己也不靠吃草生存，這項權利就顯得毫無意義。不過，小學管理者認為以這個借口克扣薪資還遠遠不夠，他們又瞞著西爾維斯特，利用各種主意偷取他的薪資。當事情裸露時，西爾維斯特不肯低頭屈服，他倔強地要求校方全額補足被偷取的薪資。他頑強的斗爭能力令小學退卻了，付足了津貼。西爾維斯特在物質生活上的不愉快跟他在科學上的建樹形成了鮮明對照。他常常得到各種各樣的榮譽，其中有一項科學界人士最珍視的榮譽——法蘭西科學院的外籍通訊院士。因為施泰納去世,幾何部空出一個席位,西爾維斯特于1863年當選為該部的外籍通訊院士。西爾維斯特退休后,住在倫敦。他在長達6年的時光里,沒怎么做過數學研究。他寫詩、下棋、閱讀古典文學作品，甚至出版了一本叫《詩律》的小冊子。這樣的生活愉快又輕巧，他原本可以將這種狀態(tài)維系到生命盡頭,然而,1876年,這位年逾花甲的老人重新殺回了數學世界。西爾維斯特根本就壓制不住體內火熱的數學因子。1875年,吉爾曼在美國馬里蘭州的巴爾的摩創(chuàng)辦約翰斯·霍普金斯大學。有人勸吉爾曼在建校之初招聘一位出色的古典文學學者和一位最好的數學家作為核心教師能力。有了這兩個頂梁柱，其他的一切也會慢慢步入正軌。于是，吉爾曼邀請了西爾維斯特。1876年，西爾維斯特再次跨越大西洋，擔任約翰斯·霍普金斯大學的數學教授。吉爾曼付給他年薪5000美元,這在當初可謂異常豐厚。要知道,在伍利奇皇家陸軍軍官小學時，西爾維斯特的薪水折合成美元惟獨2750美元,這還包含了所謂的牧場費用。不過,大概是被上一所任教的小學的算計和摳門傷害到了，采納招聘時，西爾維斯特提出了一個條件：用黃金支付薪水。1876年到1883年,西爾維斯特在約翰斯·霍普金斯大學度過。這是他生平最痛苦、最驚奇的幾年，這期間他不必再去“跟世界搏斗”，他好似一下子衰老了40歲，煥發(fā)出嶄新的思想，擁有充沛的熱烈和精力。他深深感激約翰斯·霍普金斯大學給他提供了機會,使他在62歲的年齡還能開啟第二段數學生涯。1877年,西爾維斯特在校慶典禮上的講話中,概述了他在數學研究方面希翼完成的事。凱萊教授將數學中的一些東西稱為代數形式。它們與幾何形式相區(qū)別,卻可以體現在幾何形式中,為現實問題提供可供解決的運算計劃。每一個代數形式都與無窮多種的其他形式相聯系,這些形式可以被看成由第一種形式產生的,或是在它周圍浮動著,宛若大氣存在的原始形態(tài)。這些發(fā)散物是無限的,可能是由混合著一些有限數目的基本形式合成的。這些基本形式在代數形式中被稱為標準射線。正如物理學家們忙著決定每一種化學物質光譜中固定的譜線那樣,許多數學家的目標都是找出這些代數形式的基本導出形式,它們被稱為共變式,以及不變量。在這段話中，西爾維斯特對代數做了一個“通俗數學解釋”。隨后他又繼續(xù)鼓勵衰老一代數學家去追逐自己的新發(fā)現:“我目前有一個班，每節(jié)課有8到10個學生來聽我講現代高等數學。他們當中有一位衰老工程師，他天天從早上8點到晚上6點都需要處理自己的本職工作,僅有一個半小時可以用來吃飯和聽講,即便如此,他仍對某個定理提供了我所見過的最好的證實……”偶爾候，鼓勵本身就是最好的教授，這也是證實教學先進的標準之一。對于收養(yǎng)了西爾維斯特的美國，他是如此贊嘆的:“……我相信，全世界沒有一個國家像美國這樣，有特色的才干備受重視……”這正是19世紀處于成長時期的美國.它展開且包容，吸引了無數來自全球各地的精英和人才。他還談起自己的數學生命是怎樣被重新喚醒并煥發(fā)出豐盛的發(fā)明力的:“要不是這所大學的一個學生堅持要跟我學習現代代數,我永遠也不會從事這樣的研究……我不得不讓步,結果怎樣呢?為了闡明我們的教科書上一處含混不清的解釋,我絞盡腦汁,讓熱烈重新活躍起來,一頭扎進了一個已經被我放棄了多年的課題，找到了過去長時光吸引我注重力的精神食糧，它大概要在今后幾個月中有力地占領我所有的思量能力。”西爾維斯特幾乎所有的藏匿演講或篇幅較長的論文，都包含著許多可以引證數學的內容。從初學者到有經驗的數學家，都可以從西爾維斯特的著作擴散選出相應的內容供自己閱讀和學習。大概其他數學家都不會像西爾維斯特那樣，通過寫作如此透徹地展示自己的個性。他喜歡與人交往，并用自己對數學寬裕感染力的熱烈去影響他們。為此，他說過:“只要一個人喜歡群居、愛好交際，他就會不自覺地把正在學的東西傳達給別人，通過與別人交談安撫他腦子里正在沸騰著的思想，而這是一種天性?！?878年,西爾維斯特創(chuàng)辦了《美國數學雜志》,并經約翰斯·霍普金斯大學委任擔任主編。這本雜志無疑讓美國落后的數學地位得到了空前提升。葉落歸根1883年.出色的愛爾蘭數論專家、牛津大學幾何教授亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯在他科學研究的壯年時期去世了。牛津大學邀請年邁的西爾維斯特擔任這一空出的教授席位。西爾維斯特采納了邀請，這使他在美國的無數朋友深感遺憾，認為那個曾經拋棄了他的國家不值得回去。但是，西爾維斯特70歲了,他想家了。也興許美國給了他某種滿意感，讓他知道自己在數學上是可以有所成就的，現在他需要帶著這份成就回國，肩負起自己的責任?；氐脚＝虼髮W后，西爾維斯特以一種嶄新的數學理論——微分不變量開始教誨高年級的學生。除去不可抗力緣故，幾乎每個數學家都很長壽,而且健康,他們的大腦也不會因為年老而遲鈍。西爾維斯特也是如此。可是,人是沒法與時光賽跑的。1893年,西爾維斯特的視力開始衰退,他已經79歲了,隨后他辭去了教授的職位,在倫敦和坦布里奇韋爾斯往返居住。西爾維斯特的老年生活孤單而沮喪，他的哥哥姐姐們和大部分密切的朋友都已經去世，終身未婚令他也沒有兒孫環(huán)抱膝下。盡管他還保持著敏銳的思維，發(fā)明力的鋒芒卻已經遲鈍?，F在，最吸引他熱烈的是哥德巴赫預測。1897年3月,西爾維斯特在房間里研究哥德巴赫預測時,驟然癱瘓，幾日后溘然長逝，享年83歲。他的一生可以用自己的話總結:“我確實熱愛數學?！盡enofMathematics4魏爾斯特拉斯KarlTheodorWilhelmWeierstrass近代得到最偉大發(fā)展的理論，無疑是函數論。一個人能否長時光從事初等教學工作而依然在數學上保持創(chuàng)造力呢?這個問題大概有許多衰老的數學博士都在著急地尋找答案.他們中的許多人感到自己所處的低等職位偶爾候會限制他們的才智發(fā)揮。分析學大師、“現代分析學之父”魏爾斯特拉斯用他精彩的一生給出了答案。在詳細論述魏爾斯特拉斯之前，我們按年代順序把他和德國同時代的數學家列在一起，以1855年——這一年高斯去世了——作為分隔點，標志著新生代數學家與上一世紀的數學家的最后聯系中斷了。從19世紀后半葉至20世紀前30年,這些德國數學家拓寬了數學的領域，提出了令人耳目一新的見解。1855年,魏爾斯特拉斯(1815-1897)40歲,克羅內克(1823-1891)32歲,黎曼(1826-1866)29歲,戴德金(1831-1916)24歲,康托爾(1845-1918)還是一個10歲的小孩子。從這一串名單中可以看出,德國的數學人才輩出,足以繼承高斯的衣缽。這時魏爾斯特拉斯剛剛得到學術界的認可;克羅內克的學術生涯剛起步；黎曼已經做出了一些偉大的成就；戴德金正步入令他名聲大噪的領域——數論；固然，康托爾是個處于成持久的孩子。這些人的研究工作互不相同，幾乎毫無關系，但其中4人都瞄準了數學的一個中央問題，即無理數問題。魏爾斯特拉斯和戴德金繼承了歐多克斯的研究方向，重新開始了對無理數和延續(xù)的研究;克羅內克是芝諾的現代繼承者,他疑惑并批評魏爾斯特拉斯對歐多克斯的修正，造成了魏爾斯特拉斯晚年的不幸；而康托爾闖出了一條嶄新之路，他力圖領略“實無窮”的概念。魏爾斯特拉斯和戴德金開創(chuàng)了分析學的現代紀元，即分析學的鄭重邏輯確切性。微積分自牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立以來，獲得了空前的發(fā)展。但是，它的許多概念還是含混不清的，它的基礎依然薄弱。達朗貝爾首先察覺到需要有一個極限理論來消除混亂；拉格朗日則在《解析函數論》中做了有益的嘗試；高斯比同時代數學家更早排除直觀,對嚴密性提出了更高的要求;柯西把問題大大推進了,他的極限理論對分析的發(fā)展和級數斂散性的判別都是必不可少的?？偹?，魏爾斯特拉斯的發(fā)現令直觀派分析學家感到震動：一條延續(xù)曲線卻到處沒有切線!高斯一度稱數學為“眼睛的科學”,可倘若想讓鼓吹直觀的人“看見”魏爾斯特拉斯的曲線，僅有一雙好眼睛還遠遠不夠。挑選一條屬于自己的路卡爾·特奧多爾·威廉·魏