新編數(shù)字圖像處理技術(shù)及應(yīng)用（修訂版）課件 第03章 數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第3章

數(shù)字圖像處理的

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.編程實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像處理中基本運(yùn)算。2.熟悉使用傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換處理圖像的原理和過程。3能調(diào)用Matlab函數(shù)實(shí)現(xiàn)圖像變換。本

章

內(nèi)

容3.1.1點(diǎn)運(yùn)算

3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算點(diǎn)運(yùn)算用于逐點(diǎn)改變一幅圖像的灰度分布。假設(shè)圖像像素矩陣的（i，j）位置的灰度值為f(xi,yj),則圖像的點(diǎn)運(yùn)算為

g(xi，yj)=T(f(xi，yj))(3.1)其中，T（·）表示某類變換，如線性變換、非線性變換；

g(xi，yj)表示運(yùn)算后的結(jié)果（處理后的圖像）。

如：Y=kx+b……3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算圖像的點(diǎn)運(yùn)算操作的作用：1）改變像素的灰度級，應(yīng)用于光學(xué)儀器校準(zhǔn)；2）提高目標(biāo)與背景對比度，達(dá)到突出感興趣區(qū)域的效果；3）利用灰度線劃分圖像區(qū)域，對圖像加上輪廓線。g(xi，yj)=kf(xi，yj)+b等等

主要包括像素間的四則運(yùn)算。假設(shè)兩幅灰度圖像分別為f(x,y)和g(x,y),是大小為M×N的灰度圖像，圖像間的代數(shù)運(yùn)算指的是對應(yīng)像素間執(zhí)行基本四則運(yùn)算（需滿足矩陣運(yùn)算法則）其中，x=0,1,...M;y=0,1,...N。3.1.2代數(shù)運(yùn)算3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算+-×÷表3.1

Matlab中圖像的代數(shù)運(yùn)算函數(shù)(X和Y代表兩幅圖像)加法減法乘法除法Z=imadd(X,Y)Z=imsubtract(X,Y)Z=immulitply(X,Y)Z=imdivide(X,Y)如果用運(yùn)算符號，則為：+、-、.*、./代數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，1）降噪：帶有不同噪聲的同一圖像相加可以降噪；2）圖像相減可以增強(qiáng)圖像的差別；3）圖像的相乘（相除）可以用來校正陰影，等。3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算例3.1設(shè)g(x,y)是無噪聲圖像，η(x,y)是噪聲，觀測gi(x,y)=g(x,y)+ηi(x,y)(i=1,2,...,k),若噪聲η(x,y)在點(diǎn)(x,y)處是不相關(guān)的且均值為零。k幅不同噪聲圖像的平均為：則，數(shù)學(xué)期望重要應(yīng)用：在天文學(xué)領(lǐng)域，單幅成像常伴有傳感器噪聲。使用傳感器陣列獲取圖像（CCD成像），長時(shí)間觀察同一場景達(dá)到降噪的目的。MATLAB中圖像變換函數(shù)為

Z=imlincomb(K1,A1,K2,A2,…,Kn,An,K),其中,K1,K2,...Kn表示權(quán)重系數(shù);A1,A2,...An表示輸入圖像；K表示一個(gè)常數(shù)。該函數(shù)用來計(jì)算圖像間的代數(shù)運(yùn)算：

K1*A1+K2*A2+……+Kn*An+K如果取K1=1,K2=-1,對原始圖像進(jìn)行高斯濾波，即：A2=uint8(filter2(fspecial('gaussian'),A1))此時(shí)，該函數(shù)實(shí)際執(zhí)行了A2-A1+128（即K=128）3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算3.1.3幾何運(yùn)算

包括圖像插值與空間幾何變換。（1）圖像插值：根據(jù)原始圖像的像素值估計(jì)周圍點(diǎn)的像素值，是圖像縮放的基礎(chǔ)。MATLAB提供最近鄰插值、雙線性插值和雙三次插值三種方法：1）最近鄰插值用最近鄰位置的像素值作為目標(biāo)像素值估計(jì)；2）雙線性插值采用最近的２×２鄰域內(nèi)像素值加權(quán)平均作為像素值估計(jì)；3）雙三次插值采用最近的４×４鄰域內(nèi)像素值加權(quán)平均作為像素值估計(jì)。MATLAB的二維圖像插值函數(shù)：ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,Method)

其中，X和Y為原始像素位置，Z為像素值。XI和YI為相應(yīng)的返回值，ZI為目標(biāo)像素估計(jì)值。Method為插值方法——'linear'表示雙線性插值算法，'nearest'表示最近鄰插值，'cubic'表示雙三次插值。即對圖像進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算（2）空間幾何變換

假設(shè)某點(diǎn)P0對應(yīng)坐標(biāo)（x0，y0），經(jīng)過的平移變換后，變換到點(diǎn)P對應(yīng)坐標(biāo)（x，y），在直角坐標(biāo)系下存在變換關(guān)系

1）平移變換3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算

MATLAB中圖像空間幾何變換函數(shù)為imtransform()。3.1數(shù)字圖像的基本運(yùn)算圖3.2為原圖像經(jīng)過

仿射變換后的圖像。原圖像仿射變換后的圖像圖3.2仿射變換實(shí)例I=imread('cameraman.tif');tform=maketform('affine',[100;.510;001]);%T=maketform(‘a(chǎn)ffine’,A)創(chuàng)建一個(gè)N維仿射變換結(jié)構(gòu)T。參量A為非奇異的(N+1)*(N+1)或(N+1)N實(shí)數(shù)矩陣J=imtransform(I,tform);%B=imtransform(A,tform)根據(jù)tform定義的二維空間變換來變換圖像A，并返回變換后的圖像B

3.2數(shù)字圖像的正交變換

3.2數(shù)字圖像的正交變換

關(guān)于正交變換3.2.1傅里葉變換1.一維連續(xù)傅里葉變換（1）定義設(shè)

f(x)為變量x的連續(xù)可積函數(shù),則定義

f(x)的傅里葉變換為

其中，j為虛數(shù)單位，u為頻域變量，x為空域變量。

將

F(u)恢復(fù)到f(x)的變換稱為傅里葉逆變換，定義為

需要注意的是，實(shí)函數(shù)的傅里葉變換，其結(jié)果多為復(fù)函數(shù)。3.2數(shù)字圖像的正交變換

3.2數(shù)字圖像的正交變換（2）特征量

3.2數(shù)字圖像的正交變換3.2數(shù)字圖像的正交變換

3.2數(shù)字圖像的正交變換令g(t)*h(t)、g(t)、h(t)的傅里葉變換分別為F(g(t)*h(t))、G(u)、H(u)、t為空域變量，u為頻域變量，則其中，j為虛數(shù)單位。3.2數(shù)字圖像的正交變換通過這個(gè)變換你發(fā)現(xiàn)了什么？空域的卷積=頻域的乘積2.二維連續(xù)傅里葉變換

一維連續(xù)傅里葉變換推廣到兩個(gè)變量連續(xù)可積的函數(shù)f(x,y)。若F(u,v)是可積的,則3.2數(shù)字圖像的正交變換相應(yīng)的傅里葉譜（幅度譜）、能量譜及相位譜分別定義為

3.2數(shù)字圖像的正交變換

3.2數(shù)字圖像的正交變換4.二維離散傅里葉變換

二維離散傅里葉變換對定義為當(dāng)M=N時(shí),正、逆變換具有下列對稱形式3.2數(shù)字圖像的正交變換

類似于二維連續(xù)傅里葉變換，定義{f(x,y)}的能量譜為F(u,v)與F*(u,v)的乘積，即其中,F*(u,v)表示F(u,v)的共軛。相位：傅里葉頻譜：

MATLAB中二維離散傅里葉變換的函數(shù)為fft2(),相應(yīng)的逆變換函數(shù)為ifft2().3.2數(shù)字圖像的正交變換3.2數(shù)字圖像的正交變換一維傅里葉變換的基本性質(zhì)見表3.2

3.2數(shù)字圖像的正交變換5.傅里葉變換的性質(zhì)（1）可分離性傅里葉變換式(3.44)和（3.45）可表示為由可分離性可知，一個(gè)二維離散傅里葉變換可以連續(xù)兩次運(yùn)用一維離散傅里葉變換來實(shí)現(xiàn)。例如，式（3.46）可以分為如下兩式3.2數(shù)字圖像的正交變換3.2數(shù)字圖像的正交變換可分離性應(yīng)用：把二維傅里葉變換變?yōu)橐幌盗幸痪S計(jì)算(2)平移性質(zhì)（Translation）

f(x,y)與一個(gè)指數(shù)相乘等于將變換后的頻率域中心移到新的位置。f(x,y)的平移并不改變頻譜的幅值（amplitude）。

3.2數(shù)字圖像的正交變換例：一個(gè)簡單二維函數(shù)的中心譜。圖（a）顯示了在512×512像素尺寸的黑色背景上疊加一個(gè)20×40像素尺寸的白色矩形。（b）應(yīng)用了對數(shù)變換后顯示的中心傅里葉譜;(c)未中心對稱(a)(b)?(c)例

圖象的二維離散傅立葉頻譜。％讀入原始圖象I=imread(‘i_peppers_gray.bmp’);imshow(I)%求離散傅立葉頻譜J=fftshift(fft2(I));%對原始圖象進(jìn)行二維傅立葉變換，并將其坐標(biāo)原點(diǎn)移到頻譜圖中央位置figure（2）; imshow(log(abs(J)),[8,10])

（a）原始圖像（b）離散傅里葉頻譜

圖：二維圖像及其離散傅里葉頻譜的顯示

傅里葉變換和反變換均以N為周期，即所以，盡管F(u,v)有無窮多個(gè)u和v的值重復(fù)出現(xiàn)，但只需根據(jù)在任一個(gè)周期里的N個(gè)值就可以從F(u,v)得到f(x,y)。

（3）

周期性和共軛對稱性

如果f(x,y)是實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換具有共軛對稱性（4）

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)（Rotation）上式表明，對旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度對應(yīng)于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度例

二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性

（a）原始圖像（b）原圖像的傅（c）旋轉(zhuǎn)后的圖像（d）旋轉(zhuǎn)后圖像里葉頻譜傅里葉頻譜上例表明，對旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度對應(yīng)于將其傅里葉變換也旋轉(zhuǎn)相同的角度。（5）

尺度變換（Scaling）（a）原始圖像

（b）比例尺度展寬前的頻譜

（c）比例尺度a=0.1，b=1，展寬后的頻譜clc;closeall;clearall;img=imread('1.jpg');img=rgb2gray(img);img=double(img);f=fft2(img);%傅里葉變換f=fftshift(f);%使圖像對稱r=real(f);%圖像頻域?qū)嵅縤=imag(f);%圖像頻域虛部margin=log(abs(f));%圖像幅度譜，加log便于顯示phase=log(angle(f)*180/pi);%圖像相位譜l=log(f);figure(1);subplot(2,2,1),imshow(img),title('源圖像');subplot(2,2,2),imshow(l,[]),title('圖像頻譜');subplot(2,2,3),imshow(margin,[]),title('圖像幅度譜');subplot(2,2,4),imshow(phase,[]),title('圖像相位譜');3.2.2離散余弦變換對圖像離散余弦變換（DiscreteCosineTransform,DCT）也是數(shù)字圖像處理中常用的正交變換之一，但只是變換到實(shí)數(shù)域，從而更適用于圖像處理。DCT主要用于對聲音和圖像（包括靜止圖像和運(yùn)動圖像）數(shù)據(jù)有損壓縮，因?yàn)椴糠肿匀恍盘枺ò曇艉蛨D像）的能量都集中在離散余弦變換的低頻部分。3.2數(shù)字圖像的正交變換3.2.2離散余弦變換3.2數(shù)字圖像的正交變換一維離散余弦變換的定義由下式表示式中，F(xiàn)(u）是第u個(gè)余弦變換系數(shù)，是廣義頻率變量，

;f(x)是時(shí)域N點(diǎn)實(shí)序列.一維離散余弦反變換由下式表示3.2數(shù)字圖像的正交變換二維余弦離散變換

3.2數(shù)字圖像的正交變換3.2數(shù)字圖像的正交變換

F=Cff=CTF二維DCT可以表示為：F=CfCTf=CTFC在MATLAB中，二維DCT變換的函數(shù)為dct2()，相應(yīng)逆變換函數(shù)為idct2()，返回DCT變換矩陣的函數(shù)為dctmtx()。例3.6設(shè)一幅4×4的圖像用矩陣表示為則試求

f(x,y)的離散余弦變換

F(u,v)

3.2數(shù)字圖像的正交變換解：3.2數(shù)字圖像的正交變換運(yùn)用MATLAB實(shí)現(xiàn)圖像的DCT變換。A=imread('pout.tif'); %讀入圖像I=dct2(A); %對圖像作DCT變換subplot(1,2,1),imshow(A);%顯示原圖像subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[05]);（a）原圖（b）DCT系數(shù)圖離散余弦變換

由圖(b)可知，離散余弦變換具有很強(qiáng)的“能量集中”特性，能量主要集中在左角處，因此在實(shí)際圖像應(yīng)用中,能量不集中的地方可在余弦編碼中忽略,可通過對mask矩陣變換來實(shí)現(xiàn)，即將mask矩陣左上角置1，其余全部置0。然后通過離散余弦反變換后，圖像得到恢復(fù)，恢復(fù)圖像與圖(a)原始圖像基本相同。利用“能量集中”的特性，可對信號和圖像(包括靜止圖像和運(yùn)動圖像)進(jìn)行有損數(shù)據(jù)壓縮。在后面講述的靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG中、運(yùn)動圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)MPEG和H.26x的各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中都使用了二維離散余弦變換。在這些標(biāo)準(zhǔn)中，首先對輸入圖像進(jìn)行離散余弦變換，然后將DCT變換系數(shù)進(jìn)行量化之后進(jìn)行熵編碼。在對輸入圖像進(jìn)行DCT前，需要將圖像分成子塊，對每個(gè)塊的每行進(jìn)行DCT變換，然后每列進(jìn)行變換。得到的是一個(gè)的變換系數(shù)矩陣。3.2.3KL變換

3.2數(shù)字圖像的正交變換X向量的協(xié)方差矩陣定義為其中，。

。令

和

分別為Cx的特征向量和對應(yīng)的特征值，特征值按降序排列。變換矩陣的行是Cx的特征值，則變換矩陣為式中，對應(yīng)第i個(gè)特征向量的第j個(gè)分量。3.2.3KL變換3.2數(shù)字圖像的正交變換KL變的定義為K=A(X-mx）（3.63）其中，K為新的圖像向量,(X-mx)為原始向量X減去均值向量mx，稱為中心化的圖像向量。KL變換的步驟如下（1）求協(xié)方差矩陣；（2）求協(xié)方差矩陣的特征值；（3）求特征向量；（4）構(gòu)成特征矩陣，按式（3.63）計(jì)算。3.2數(shù)字圖像的正交變換3.2.3KL變換MATLAB：函數(shù)eig（A）用于求矩陣的特征值和特征向量，常用的調(diào)用格式有三種：（1）E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。（2）[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。（3）[V,D]=eig(A,'nobalance')：與（2）類似，但（2）是先對A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而（3）是直接求矩陣A的特征值和特征向量。K-L變換是均方誤差最小意義上的最優(yōu)變換，去相關(guān)性好，可用于數(shù)據(jù)壓縮、圖像旋轉(zhuǎn)等。但是它是非分離變換，必須計(jì)算協(xié)方差矩陣及其特征值和特征向量，因此計(jì)算量巨大。3.2.4小波變換與多尺度分析傅里葉變換將信號展開為無限個(gè)正弦和余弦函數(shù)的線性組合，其缺陷是僅提供有關(guān)頻率的信息,不能獲得事件所反映的時(shí)間方面信息。換而言之，傅里葉譜提供了圖像中出現(xiàn)的所有頻率，但是并不能告知它們出現(xiàn)在何處。而小波變換具有有限持續(xù)時(shí)間，與傅里葉變換相比較，小波變換在兩個(gè)方向上做了擴(kuò)展。一是采用小波基函數(shù)（Wavelet，母小波），比正弦和余弦函數(shù)都要復(fù)雜。小波基函數(shù)提供某種程度上的時(shí)間、空間定位。3.2數(shù)字圖像的正交變換二是在多尺度上進(jìn)行（多尺度、分辨率分析）。例如，地圖通常以不同尺度繪制，在較大尺度如中國地圖上，省和城市作為主要特征，而像城市街道和地區(qū)（如中北大學(xué)）這些細(xì)節(jié)信息很難分辨；但在較小尺度如太原市地圖上，細(xì)節(jié)變得可見，但省和城市變得不可見了，這就是多分辨率分析被提出的原因。3.2數(shù)字圖像的正交變換可關(guān)注不同重點(diǎn)

(1)小波的基本概念

3.2數(shù)字圖像的正交變換

如果待展開的函數(shù)是一個(gè)數(shù)字序列，如連續(xù)函數(shù)f(x)的抽樣值，那么得到的系數(shù)就稱為f(x)的離散小波變換（DWT），表示為（2）一維離散小波變換（3）二維離散小波變換給定可分離的二維尺度和小波函數(shù)，一維DWT到二維的擴(kuò)展很簡單。首先定義一個(gè)尺度和平移函數(shù)

(4)圖像處理中小波分解與重構(gòu)圖3.7表示圖像小波分解的示意圖。3.2數(shù)字圖像的正交變換二維小波變換的過程快速小波變換算法MATLAB程序如下：X=imread('pout.tif'); %讀入圖像imshow(X);[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(X,'bior3.7');%進(jìn)行二維小波變換A1=upcoef2('a',cA1,'bior3.7',1);H1=upcoef2('h',cH1,'bior3.7',1);V1=upcoef2('v',cV1,'bior3.7',1);D1=upcoef2('d',cD1,'bior3.7',1);subplot(2,2,1);image(wcodemat(A1,192));title('ApproximationA1')subplot(2,2,2);image(wcodemat(H1,192));title('HorizontalDetailH1')subplot(2,2,3);image(wcodemat(V1,192));title('VerticalDetailV1')subplot(2,2,4);image(wcodemat(D1,192));title('DiagonalDetailD1')說明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)返回?cái)?shù)據(jù)矩陣X的編碼矩陣Y;NB為編碼的最大值，即編碼范圍為0～NB，缺省