2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題十六（含解析）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.已知集合"=91-〃卜N={x|x2—2x<。},則AfcN=()

A.{x[O<x<l}B.1x|O<%<1}C.1x[l<x<2}D.1x|l<%<2}

【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合M,N后可得它們的交集.

[詳解]M=[,y=^7}=(-8,1],N={X|X2-2X<0)=(0,2),

故MN=(O』.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算以及一元一次不等式、一元二次不等式的解，考慮集合運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集

合中元素的含義，如{x[y=/(￡),XG。}表示函數(shù)的定義域，而卜|丁=/(力,口邛表示函數(shù)的值域,

{(%,y)ly=/(x),XG。}表示函數(shù)的圖象.

2.已知復(fù)數(shù)z滿意z-2=上口(i為虛數(shù)單位)，則忖=()

1—i

A.73B.2C.y/5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算可得z,再利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式可得忖.

【詳解】因?yàn)閦—2=上口，故z=2+(l+i)(l+」=2+7,

1-i2

故忖=石，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法和除法以及復(fù)數(shù)的模，留意復(fù)數(shù)的除法是分子、分母同乘以分母的共輾復(fù)數(shù),

本題屬于基礎(chǔ)題.

已知?jiǎng)t

3.q=，b=log20.3,c=aJ（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得三者之間的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)閥=log2x為增函數(shù)，且0.3<1,故b=log2（）.3<0=k）g21,

又y=2*為增函數(shù)，且;〉0,故口=21>2°=1，

又>="為增函數(shù)，且6<o,故0<c=/<a°=l，

故b<c<a.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)事、對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系，此類問題的關(guān)鍵是依據(jù)底數(shù)的形式構(gòu)建合理的單調(diào)函數(shù)，

必要時(shí)還需利用中間數(shù)來傳遞大小關(guān)系.

4.若圓P的半徑為1,且圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過圓戶上一點(diǎn)作圓（x—4）2+（y—3）2=4的切線，切點(diǎn)為Q,則

|PQ|的最小值為（）

A.73B.2y/3C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)題意，分析圓（x-4）2+（y-3>=4的圓心以及半徑，由勾股定理分析可得|PQ|=J|PC）—4,當(dāng)

1尸。1最小時(shí)，12。1最小，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析IPCI的最小值，計(jì)算可得答案.

【詳解】由題意可知，點(diǎn)P在圓/+/=1上，圓（x—4）2+（y—3）2=4的圓心。（4,3）,半徑廠=2

過點(diǎn)P作圓（x-4）2+（y-3）2=4的切線，切點(diǎn)為。，則|PQ|=-4

當(dāng)I尸。I最小時(shí)，IPQI最小

又由點(diǎn)尸在圓f+y2=1上，則IPCI的最小值為|OC|T=,9+16-1=4

則IPQI的最小值為J16-4=712=26；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓位置關(guān)系，涉及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題.

5.《九章算術(shù)》是我國古代的一本數(shù)學(xué)名著.全書為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方

程、勾股九章，收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題.在第六章“均輸”中有這樣一道題目：“今

有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“現(xiàn)有五個(gè)人分5錢，每人所得成

等差數(shù)列，且較多的兩份之和等于較少的三份之和，問五人各得多少？”在此題中，隨意兩人所得的最大

差值為多少？（）

1215

A.-B.—C.-D.一

3366

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)每人分到的錢數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列為{4},公差d>0,由題意可得，4+/+%=4+%，Z=5,結(jié)合

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式即可求解.

【詳解】解：設(shè)每人分到的錢數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列為{4},公差d>0,

由題意可得，4+%+/=4+。5，85=5,

故3%+3d=2%+7d,5%+10d=5,

21

解可得，CL——，d=—，

36

2

故隨意兩人所得的最大差值4d.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.函數(shù)/（%）=處的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

利用結(jié)合選項(xiàng)運(yùn)用解除法得解.

【詳解】解：/⑴=陽01）＜0,可解除選項(xiàng)5cD；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和推斷，利用特征值的符號(hào)是否與選項(xiàng)對(duì)應(yīng)是解決本題的關(guān)鍵.

7.窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，經(jīng)常運(yùn)用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入

其中，營造出廣袤的審美意境.從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等.如圖，在平

面直角坐標(biāo)系中，。為正八邊形《巴?鳥的中心，耳《，》軸，現(xiàn)用如下方法等可能地確定點(diǎn)":

點(diǎn)〃滿意++=0（其中且幻.eN*,漢/）,則點(diǎn)M（異于點(diǎn)。）落在坐標(biāo)軸

上的概率為（）

3

A.-B.-C.D

578-1

【答案】D

【解析】

【分析】

寫出。片+OPj全部可能結(jié)果，結(jié)合條件找到滿意點(diǎn)M（異于點(diǎn)。）落在坐標(biāo)軸上的結(jié)果，依據(jù)古典概率

進(jìn)行求解.

【詳解】由題意可知。？+。弓全部可能結(jié)果有:

+OR,OR+OP3,OI\+OP^,OPX+。修+OP6,OPX+OP^OP1+。既,

OP,+O旦QR+OR,OR+OP5,OP,+OP6,OP2+OP；,OR+OP^,

OP3+OP^,OP3+OP^OPi+OP6,OP3+OP.,OP.+o區(qū),

OP4+O修。舄+OP6,OP^+OPVOP^+O怎,OP5+OP6,OP,+OR,OX+OR,

OP6+OP,,OP^+OR,OR+OR,共有28種；

點(diǎn)M（異于點(diǎn)。）落在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有：OR+OR,OR+O*,OR+ORQR+OR,

+OR,C%+OPb,OP5+OR,Og+OP,,共有8種；

Q2

所以點(diǎn)”（異于點(diǎn)。）落在坐標(biāo)軸上的概率為p=—=—.

287

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，求出全部基本領(lǐng)件及符合題意的基本領(lǐng)件是解題關(guān)鍵，側(cè)重考查

數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

21

8.將函數(shù)/（X）=cosx的圖象向右平移;兀個(gè)單位長度，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊唬℅>0）,得到

3co

函數(shù)g（x）的圖象，若g（x）在H上的值域?yàn)?11,則0范圍為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意利用函數(shù)〉=4$:111（，”+0）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論.

227r

【詳解】解：將函數(shù)/（X）=COSX的圖象向右平移一萬個(gè)單位長度，可得y=cos（x-半）的圖象;

33

再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊?3>。），得到函數(shù)g（x）=cos（s-2W7r）的圖象.

CD3

若g（x）在[0,勺上的值域?yàn)椤?1],此時(shí)，8-斗€(wěn)[-斗，子_芻,

223323

...嶗”一生二，求得士麴力

23333

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)丁二45皿（〃沈+夕）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.

9.己知冽，“為兩條不重合的直線，a，夕為兩個(gè)不重合的平面，則（）

A.若mHa,n///3,all（3,貝!]"/〃〃

B.若7"J_a,nV/3,a1/3,則〃

C.若mlIn,m±a,nA.j3,則tz〃4

D.若mlIn,nLa,a10,則mH/3

【答案】BC

【解析】

【分析】

依據(jù)直線和直線，直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，依次推斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】若加〃，all（3,則加〃〃或必〃異面，A錯(cuò)誤；

若77zJ_a,aL（3,則加〃，或當(dāng)相〃6時(shí)，因?yàn)?所以當(dāng)相時(shí)，由

結(jié)合線面垂直的性質(zhì)得出，B正確；

若mlln,則〃J_a,又n,P,則?！ㄊ珻正確；

若mlIn,“J_a,則〃z_La,又a工B,則相〃，或mu力，D錯(cuò)誤；

故選：BC

【點(diǎn)睛】本題考查了直線和直線，直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力.

10.某校安排在課外活動(dòng)中新增攀巖項(xiàng)目，為了解學(xué)生喜愛攀巖和性別是否有關(guān)，面對(duì)學(xué)生開展了一次隨

機(jī)調(diào)查，其中參與調(diào)查的男女生人數(shù)相同，并繪制如下等高條形圖，則（）

參考公式：犬=—?jiǎng)t匕則——,n=a+b+c+d.

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2靖)0.050.01

k。3.8416.635

A.參與調(diào)查的學(xué)生中喜愛攀巖的男生人數(shù)比喜愛攀巖的女生人數(shù)多

B.參與調(diào)查的女生中喜愛攀巖的人數(shù)比不喜愛攀巖的人數(shù)多

C.若參與調(diào)查的男女生人數(shù)均為100人，則有99%的把握認(rèn)為喜愛攀巖和性別有關(guān)

D.無論參與調(diào)查的男女生人數(shù)為多少，都有99%的把握認(rèn)為喜愛攀巖和性別有關(guān)

【答案】AC

【解析】

【分析】

由于參與調(diào)查的男女生人數(shù)相同，則設(shè)為加人，從而可求出男女生中喜愛攀巖的人數(shù)和不喜愛攀巖的人數(shù),

再代入K?公式中計(jì)算，可得結(jié)論.

【詳解】解：由題意設(shè)參與調(diào)查的男女生人數(shù)均為加入，則

喜愛攀巖不喜愛攀巖合計(jì)

男生0.8m0.2mm

女生0.3m0.7mm

合計(jì)1.1m0.9m2m

所以參與調(diào)查的學(xué)生中喜愛攀巖的男生人數(shù)比喜愛攀巖的女生人數(shù)多，A對(duì)B錯(cuò);

胃_2機(jī)(0.56〃/-0.06/772)250m

~99~

當(dāng)“=100時(shí)，太=答50x100

?50,505>6,635

99

所以當(dāng)參與調(diào)查的男女生人數(shù)均為100人，則有99%的把握認(rèn)為喜愛攀巖和性別有關(guān)，C對(duì)D錯(cuò),

故選：AC

【點(diǎn)睛】此題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

22

11.己知耳（-,,（））,月（、/§,0）是雙曲線C：二一七=1（。>0,6>0）的焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

~ab

P是C右支上一點(diǎn)，滿意（8P+8A）?（弱P—弱A）=0,歸P+&A卜旭P—心小，貝u（）

44

A.。的方程為一必——y2=l

39'

B.C的漸近線方程為y=±gx

C.過片作斜率為g的直線與C的漸近線交于M，N兩點(diǎn)，則的面積為|

D.若點(diǎn)。是B關(guān)于C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)，則Q。耳為正三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由（月尸+%A）.（乙尸一乙A）=0,|月尸+84|=|月尸一8A|,可得|84|=|月尸|,F2A1F2P,及°=追，再由

a,b,。之間的關(guān)系求出。，b的值，進(jìn)而求出雙曲線的方程及漸近線的方程，可得A，3正確；求過耳

作斜率為且的直線方程,與C的漸近線方程求出交點(diǎn)M，N的坐標(biāo),求出IMN|的值,再求。到直線MN

3

的距離，進(jìn)而求出.的面積可得C不正確；求出B關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求出IOQI，

IOF）|,|。片|的值，可得.。。耳為正三角形，所以。正確.

【詳解】解：由（鳥尸+8A）.（月產(chǎn)一月A）=0,可得月萬=8/，^\F2A\=\F2P\,由|￡P(guān)+gA|=|鳥尸一8A|,

可得月A_LaP,

b2

=〃+c

a

2

b2

將X=C=若代入雙曲線的方程可得|y|=—,由題意可得＜C=73解得a1,T

a44

c2=a-+b2

44br-

所以雙曲線的方程為：一必——/=1,漸近線的方程：y=+-x=+^3x,

39a

所以A,B正確；

。中：過《作斜率為且的直線，則直線的方程為：x=6y_?,

3

x=CyJ33J33

則/解得：x=火，y=-,即M（組，；），

\y=^3x2222

;合「解得：y=r即陽4%

則

所以1加兇=，(等+當(dāng)2+(|T=|,

。到直線MN的距離為4=6

二匚［、iC1?“…?7133^/5

所以kwo=-1MN\*d==-7-

ZZZZo

所以C不正確;

n_A6+m

2~2

。中：漸近線方程為＞=后，設(shè)鳥(百，0)的關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)。(〃/，")，則,解得:

n

m-^3

A/3_363、

m=----,〃一一，即Q（----，一），

2222

所以|OQ|==不，

=A/3，\OFX\=^,\QFX\=

所以。。耳為正三角形，所以。正確;

本題考查由向量的關(guān)系線段的長度及位置關(guān)系，及點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱，和三角形的面積公式，屬于中檔題.

12.已知/(%)是定義域?yàn)?—,+8)的奇函數(shù)，〃x+l)是偶函數(shù)，且當(dāng)xe(O,l］時(shí)，/(x)=-x(x-2),

則()

A./(九)是周期為2的函數(shù)

B./(2019)+/(2020)=-1

C./(%)的值域?yàn)椤?,1]

D./(%)的圖象與曲線丁=cos%在(0,2兀)上有4個(gè)交點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】

【分析】

對(duì)于A,由/(尤)為R上的奇函數(shù)，/(%+1)為偶函數(shù)，得/(尤)=/(九—4),則/(x)是周期為4的周期

函數(shù)，可推斷A；

對(duì)于B由/(%)是周期為4的周期函數(shù)，則〃2020)=〃0)=0,/(2019)=/(-1)=-/(1)=-1,

可推斷B.

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，/(x)=-x(x-2),<0</(%)<1,又由/(x)為7?上的奇函數(shù)，則1,0)時(shí),

-1</(%)<0,可推斷C.

對(duì)于D,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-cosx,利用導(dǎo)數(shù)法求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可推斷D.

【詳解】依據(jù)題意，

對(duì)于A,“X)為R上的奇函數(shù)，〃％+1)為偶函數(shù)，

所以Ax)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，了(2+X)=/(-%)=-/(%)

即/(x+4)-2)=/(x)

則/(%)是周期為4的周期函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,“X)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則/(0)=0,

/(%)是周期為4的周期函數(shù)，則/(2020)=/(0)=0；

當(dāng)xe(O,l]時(shí)，/(%)=—x(x—2),則/⑴=—1x(1—2)=1,

則〃2019)="T+2020)=/(-1)=-/(1)=-1,

則/(2019)+/(2020)=—1；故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)XG(0,1]時(shí)，/(x)=-x(x-2),此時(shí)有

又由/(%)為7?上的奇函數(shù)，則xe[T,0)時(shí)，-1</(%)<0,

/(0)=0,函數(shù)關(guān)于x=l對(duì)稱，所以函數(shù)/(尤)的值域[—1,1].

故C正確.

對(duì)于D,/(0)=0,且xe(o,l]時(shí)，/(x)=-x(x-2),

xe[O,l],/(%)=-x(x-2),

:.xe[l,2],2-xe[0,l],/(%)=f(2-x)=-x(x-2),

/.xe[0,2],/(x)=-x(x-2),

/(x)是奇函數(shù)，，xe|-2,0]J(x)=x(x+2),

/(x)的周期為4，.?.X€[2,4],/(x)=(x—2)(x-4),

:.x&[4,6],/(x)=-(x-4)(%-6),

r.xw[6,2"],/(x)=(x-6)(x-8),

設(shè)g(x)=/(x)-cosx,

當(dāng)xe[0,2],g(x)=-x2+2x-cosx,

g'(x)=-2x+2+sinx,

設(shè)h(x)=g'(x),h'(x)--2+cosx<。在[0,2]恒成立，

/z(x)在[0,2]單調(diào)遞減，即g，(x)在。2]單調(diào)遞減，

且g”)=sin1>0,g'(2)=-2+sin2<0,

存在兀^(1,2)送，(%)=0,

xe(O,Xo),g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減，

xe(x0,2),g'(x)<0,g(x)

g(0)=—1,g⑴=1—cos1>0,g(x0)>g(l)〉0,g(2)=—cos2>0,

所以在有唯一零點(diǎn)在(不,沒有零點(diǎn)

g(x)(0,x0)，2)，

即X￡(O,2],的圖象與曲線y=cos尤有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)工￡[2,4]時(shí),，g(x)=/(%)-cosx-x-6x+8-cosx,

則g'（x）=2x—6+sinx,/i（x）=gf（x）=2x-6+sinx,

則〃（x）=2+cosx>0,所以g'（九）在[2,4]上單調(diào)遞增，

且g'（3）=sin3>0,g'（2）=-2+sin2<0,

所以存在唯一的石e[2,3]u[2,4]，使得=0,

所以xe（2,xj,g'（x）<0,g（x）在（2,玉）單調(diào)遞減，

Xe（與4）,g，⑺>0,g（X）在（即4）單調(diào)遞增,

又g（3）=—1—cos3<0,所以g（xJ<g（3）<0,

又g⑵=-cos2>0,g（4）=-cos4>0,

所以g（x）在（2,xJ上有一個(gè)唯一的零點(diǎn)，在（玉,4）上有唯一的零點(diǎn)，

所以當(dāng)x?2,4]時(shí)，/（光）的圖象與曲線y=cosx有2個(gè)交點(diǎn)，，

當(dāng)xe[4,6]時(shí)，同xe[0,2],/（龍）的圖象與曲線丁=cosx有i個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)工￡[6,2%],/（%）=（%—6）（%-8）<0,y=cosx>0,

/（龍）的圖象與曲線y=cosx沒有交點(diǎn)，

所以/（九）的圖象與曲線y=cosx在（0,2兀）上有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)，屬于較難題.

三、填空題：

13.綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是.

【答案展

【解析】

【詳解】試題分析：通項(xiàng)為令12—3r=0,得r=4,

2x

所以常數(shù)項(xiàng)為（=C：，）2（-上）4=^.

2x16

考點(diǎn)：二項(xiàng)綻開式系數(shù)

【方法點(diǎn)睛】求二項(xiàng)綻開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略

⑴求綻開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.

(2)已知綻開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r

值，最終求出其參數(shù).

14.已知向量a=(cos。,J7),tan，］,且々〃8，貝iJcos26=.

【答案】-之

9

【解析】

【分析】

干脆利用向量共線的充要條件列出方程求解，然后利用二倍角公式求解即可.

【詳解】解：向量a=(cose,J7),5=［g,tan，］,且々〃八

可得tan0cos0=，

3

..A一幣

..sin(J——,

3

.?.cos26?=l-2sin26i=l-2x(^)2=-1.

故答案為：-

9

【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的充要條件，二倍角的余弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

22

15.已知橢圓餐+2r=1(。>(>0)的焦點(diǎn)分別為耳為C,O),鳥(c,0)(c>0),兩條平行線/］：y=x—C,

ab

4：y=x+c交橢圓于A，B,C,。四點(diǎn)，若以A，B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形面積為2及，則橢圓

的離心率為.

【答案】2-72

【解析】

【分析】

直線CD的方程與橢圓的方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長CD,再求兩條平行線間的距

離，進(jìn)而求出平行四邊形的面積，再由題意可得。的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.

y=x-c

2

【詳解】解：設(shè)C@,%)，D(x2,%),聯(lián)立直線/］與橢圓的方程：Ly2,整理可得:

—7+—=1

"2b2

（。2+b2）x2