高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)點點練：直線與方程

點點練30—直線與方程

一基礎(chǔ)小題練透篇

1.過點尸（、「，一2?。┣覂A斜角為135。的直線方程為（）

A.3x~y—4y/3=0B.x—y~\[3=0

C.尤+y-/=0D.x+y+yl3—0

2.直線/：x+$y+l=0的傾斜角的大小為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.[2023?河北示范性高中開學(xué)考了7=3”是“直線（2%—3）x+Q+l）y+3=0與直線Q+l）x

—次+3=0互相垂直”的（）

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

4.[2023?廣東韶關(guān)月考]過點M（—l，-2），在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）

A.x+y+3=0

B.2x—y=0或x+y+3=0

C.y=x~l

D.x+y+3=0或y=xT

5.[2023?湖北省質(zhì)量檢測]在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分

別為x+2y+l=0和x+2y+3=0,另一組對邊所在的直線方程分別為3x~4y+ci=0和3x

—4y+c2=0，則匕1一3=（）

A.2小B.24C.2D.4

6.[2023?杭州市長河高級中學(xué)期中]已知直線/過點尸（2,4）,且在y軸上的截距是在

x軸上的截距的兩倍，則直線/的方程為（）

A.2x—y=0

B.2x+y—8=0

C.2x—y=0或尤+2y—10=0

D.2x—y=0或2%+廠8=0

7.經(jīng)過兩條直線2x+3y+l=0和x—3y+4=0的交點，并且垂直于直線3尤+4y—7=0

的直線方程為.

8.[2023?寧夏銀川月考]已知直線3x+4y+3=0與直線6x+〃zyT4=0平行，則它們之

間的距離是.

二|能力小題提升篇

1.[2023?江蘇泰州調(diào)研]已知直線/：尤十（。11）y+2—0,h：小bx+y—0,且li±h,

則/+〃的最小值為（）

2.[2023?河北邢臺市月考]下列四個命題中，正確的是（）

A.直線3x+y+2=0在y軸上的截距為2

B.直線y=0的傾斜角和斜率均存在

C.若兩直線的斜率41,依滿足歷=依，則兩直線互相平行

D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等

3.[2023?福建寧德質(zhì)量檢測]已知點A（—2,1）和點B關(guān)于直線/：尤+廠1=0對稱，斜

率為左的直線機過點A交/于點C若AABC的面積為2,則實數(shù)左的值為（）

A.3或gB.0

C.gD.3

4.［2023?云南大理檢測］設(shè)機GR,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線

mx—y—%+3=0交于點尸(x,>)(點P與點A,8不重合)，貝必出8面積的最大值是()

A.2^5B.5C.1D.小

5.［2023?重慶黔江檢測］在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的一個頂點是4(一3,1),NB,

ZC的平分線所在直線的方程分別為尤=0,y=尤，則直線BC的方程為.

6.［2023?云南楚雄期中］已知平面上一點M(5,0),若直線/上存在點P,使|PM=4,

則稱該直線為點"的“相關(guān)直線”，下列直線中是點"的“相關(guān)直線”的是.(填序號)

①y=x+l；②y=2；③4%—3y=0；④2x—y+l=0.

I三高考小題重現(xiàn)篇

1.［2020?全國卷II］若過點(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x—y—3=0的

距離為()_

A.55°，55

2.［2020.全國卷HI］點(0,—1)到直線y=Z(x+l)距離的最大值為()

A.1B.也C.小D.2

3.［北京卷］在垂面直角坐標(biāo)系中，記d為點P(cosasin夕)到直線%—加廠2=0的距離.當(dāng)

仇相變化時，d的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

4

4.［2019?江蘇卷］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線丫=無+;(x>0)上的一個動點，則

點P到直線x+y=0的距離的最小值是.

____________四經(jīng)典大題強化篇

1.［2023?武漢調(diào)研］已知直線I經(jīng)過直線2x+y—5=0與x—2y=0的交點.

(1)若點45,0)到/的距離為3,求/的方程；

(2)求點A(5,0)到I的距離的最大值.

2.在AABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x—2y+l=0,/A的平分線所在直線

的方程為y=0,若點B的坐標(biāo)為(1,2),求：

(1)點A和點C的坐標(biāo)；

(2)A4BC的面積.

點點練30直線與方程

-基礎(chǔ)小題練透篇

1.答案：D

解析：因為直線的傾斜角為135。，所以直線的斜率為左=tan135。=—1,

所以直線方程為=—（%—?。?，即x+y+小=0.

2.答案：D

解析：由/：x+/y+l=0可得y=一坐X—坐，所以直線/的斜率為％=

設(shè)直線/的傾斜角為a,貝Utana=一￥，因為0°%<180。，所以a=150。.

3.答案：A

解析：?.?直線（24—3）x-\~（九+1）y+3=0與直線（/+1）無一如+3=0互相垂直，

（24—3）（4+1）—A（A+1）=0,；"=3或一1,

而，=3”是“2=3或一1”的充分不必要條件，

...”=3”是“直線（2/1—3）龍+（2+1）y+3=0與直線。+1）x—b+3=0互相垂直”

的充分不必要條件，

故選A.

4.答案：B

解析：當(dāng)所求直線不過原點時，設(shè)所求直線的方程為x+y=a,

因為直線過點M（—1，-2），代入可得a=—3,即x+y+3=0；

當(dāng)所求直線過原點時，設(shè)直線方程為y=履，

因為直線過點M（—1，-2），代入可得上=2,即2x—y=0,

綜上可得，所求直線的方程為2x—y=0或x+y+3=0.

故選B.

5.答案：B

|"x+2y+1=0

解析：設(shè)直線x+2y+l=0與直線3x—4y+c2=0的交點為A，則［.,八，解

''13x-4y+c2=0

fC2+2

5o+2c?—3

得<3,故A（—不一，jo）,同理設(shè)直線x+2y+l—0與直線3x—4y+ci

？=h（r

=0的交點為B,

設(shè)直線x+2y+3=0與直線3x—4y+q=0的交點為C,

ci+6ci~9

則（

C一510

設(shè)直線x+2y+3=0與直線3x—4y+c2=0的交點為D,

C2+6C2—9

貝D(

I一510

由菱形的性質(zhì)可知BOLAC,且3D,AC的斜率均存在，所以kBD》AC=-1，

ci—3。2-9C2~3CI~9

10-10__________10-10__36-(C2-C1)2

ci+2(C2+6)C2+2(ci+6)=-L即^(0-Cl)2]=—1，解得

|CL3=2聲.

6.答案：D

解析：若直線/經(jīng)過原點，滿足條件，可得直線/的方程為y=2x,即2x—y=0；

若直線/不經(jīng)過原點，可設(shè)直線/的方程為?+或=1（際0）,

74

把點P（2,4）代入可得工+—=1,解得。=4,

二直線’的方程為今+1=1,即2x+y—8=0,

綜上可得直線I的方程為2x—y—0或2x+y—8=0.

故選D.

7.答案：4x—3y+9=0

5

2x+3y+l=0,357

解析：方法一由方程組-廠3什4=。，解得7即交點為（一§，§），

???所求直線與直線3x+4y—7=0垂直，.?.所求直線的斜率為左=49.

由點斜式得所求直線方程為y—楙7=4鼻（尤+51）,即4x—3y+9=0.

方法二由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4龍一3y+加=0,

[2x+3y+l=0,57

由方程組1_3y+4=0可解得交點為（一]，巳），代入4.r—3y+優(yōu)=0,得相=9,

故所求直線方程為4A-3y+9=0.

方法三由題意可設(shè)所求直線方程為

（2元+3y+l）+A（x—3y+4）=0,即（2+九）x+（3—3%）y+l+4/l=0①

又?.?所求直線與直線3x+4y—7=0垂直，

/.3（2+%）+4（3—3A）=0,.,/=2,代入①式得所求直線方程為4x—3y+9=0.

8.答案：2

解析：?直線3x+4y+3=0與直線6x+znyT4=0平行,6元+8y—14=0可

|3~(~7)|

化為3尤+4y—7=0....它們之間的距離為=2.

^/32+42

二能力小題提升篇

1.答案：A

解析：則/b~\~a—1=0,.*.?=1一小b,

所以〃2+人2=（]—小2+b2=4b2—2y[3b+1,

二次函數(shù)的拋物線的對稱軸為=坐

當(dāng)匕=乎時，。2+/>2取最小值1.

故選A.

2.答案：B

解析：對于直線3x+y+2=0,令尤=0得y=—2,所以直線3x+y+2=0在y軸上的

截距為一2,故A錯誤；直線y=0的傾斜角為0,斜率為0,存在，故B正確；若兩直線的

斜率也，無滿足品=也則兩直線互相平行或重合，所以C錯誤；若兩直線的傾斜角為90。，

則它們的斜率不存在，所以D錯誤.

故選B.

3.答案：B

解析：設(shè)點B(x,y),則

1=0,

\x—Q,

解得則8(0,3).

卜=3,

由已知可得直線m的方程為y—1—k(尤+2),與方程尤—1=0聯(lián)立,

2k3左+1

解得x人+1'>上+1

(2k

川燈FH3k.+1}-

由已知可得直線AB的方程為y-l=x+2,即y=x+3,且四|=25,

2k3左+1

貝U點。至U直線AB的距禺d=11，

所以x2y[2欣+“=2,即|1—川=|左+1](厚一1)，解得％=0.

4.答案：C

解析：動直線工+機》=0,令y=0,解得因此此直線過定點A(0,0).

動直線如一>一加+3=0,即加(x—1)+3—y=0,令x—1=0,3—^=0,解得x=l,

y=3,因此此直線過定點3(1,3).

13

當(dāng)機=0時，兩條直線分別為x=0,y=3,交點尸(0,3),S△用xlx3=].

當(dāng)相知時，兩條直線的斜率分別為一(，m,則一(巾=—1,因此兩條直線相互垂直.

設(shè)|E4|=a,|尸2|=匕,

V|AB|=^/l2+32=/,.?.〃+〃=io

又〃2+b2>2ab,ab<5,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?=小時等號成立.

.■?SAMB=1\PA\-\PB\=^的I.

綜上，的面積最大值是|.

5.答案：2元一y—5=0

解析：因為NC的平分線所在直線的方程分別為尤=0,y=x,所以直線AB與直

線BC關(guān)于直線x=0對稱，直線AC與直線BC關(guān)于直線y=x對稱.則點A(—3,1)關(guān)于

直線x=0對稱的點4(3,1)在直線8c上，點A(-3,1)關(guān)于直線y=x對稱的點A"

(1,-3)也在直線BC上，所以由兩點式得直線BC的方程為X=7—7,即y=2無一

1十31'

6.答案：②③

解析：①點M到直線y=x+l的距離，=3陋>4,即點〃與該直線

yjl+(—1)

上的點的距離的最小值大于4,所以該直線上不存在點P,使|PM|=4成立，故①不是點M

的“相關(guān)直線”.②點M到直線y=2的距離d=|0-2|=2<4,即點M與該直線上的點的距離

的最小值小于4,所以該直線上存在點P,使|PM=4成立，故②是點M的“相關(guān)直線”.③

點M到直線4x—3y=0的距離d=、向;[笠9=4,即點M與該直線上的點的距離的最

小值等于4,所以該直線上存在點尸，使|PM=4成立，故③是點M的“相關(guān)直線”.④點M

到直線2x—y+l=O的距離d=J鼠=喈>%即點M與該直線上的點的距離

的最小值大于4,所以該直線上不存在點P,使|PM=4成立，故④不是點M的“相關(guān)直線”.

三高考小題重現(xiàn)篇

1?答案：B

解析：設(shè)圓心為P(xo,州)，半徑為「，??,圓與x軸，y軸都相切，

kol=lyol=r,又圓經(jīng)過點(2,1),??.必=州=一且(2—xo)2+(1—yo)?=?、：.(r

—2)2+(r—1)2=/，解得r=1或「=5.

①r=1時，圓心則圓心到直線2x一廠3=0的距離公立=；二：)弓=￥；

②廠=5時，圓心尸(5,5),則圓心到直線2x—y—3=0的距離』=對號三表=乎.

2.答案：B

解析:方法一點(0,—1)到直線>=左(無+1)的距離為d=毆一

■y]kr+l\]k~+1

注意到F+G2Z,于是2(R+1)才+2%+1=欣+用當(dāng)且僅當(dāng)人=1時取等號.

即代+1|RR+1?也，所以d=^==,故點(0,—1)到直線y=k(x+1)

距離的最大值為也.

方法二由題意知，直線/：y=k(x+1)是過點尸(一1,0)且斜率存在的直線，點

0(0,-1)到直線/的最大距離在直線/與直線PQ垂直時取得，此時左=1,最大距離為|尸。|

=木.

3.答案：C

|cosQ—msin0~2\\msincos0+2\

解析:由題意可得d—

■療+1^/m2+l

<蘇+1(?9,sin<9—I?,=cos0)+2

v^Jm2+1ylm2+l

H/+lsin(6-0)+2|m1

(其中cos(p=~?,，sin9=~?.),?一iSsin(8

yjm2-^-1A/m+1A/m2+11

|2-弋相2+1自/+1+2n病+1+2_2

"―yjn^+l'*\/m2+l】yjrr^+l???當(dāng)m=0時,d

取最大值3.

4.答案：4

44

\x+x+~\2x+~

解析:通解設(shè)尸G，x+￡)，尤>0,則點P到直線x+y=0的距離d=

=^/F

=4,當(dāng)且僅當(dāng)2x=42,即工=也r-時取等號，故點尸到直線尤+y=0的距離的最

小值是4.

444r-

優(yōu)解由y=x+是(x>0)得y，=l一蘆，令1—9=-1,得x=p,則當(dāng)點尸的坐

標(biāo)為(也，3小)時，點尸到直線x+y=O的距離最小，最小值為二=4.

四經(jīng)典大題強化篇

1.