教師資格認(rèn)定考試高級中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題28

教師資格認(rèn)定考試高級中學(xué)數(shù)學(xué)模擬題28一、單項(xiàng)選擇題1.

對于函數(shù)的教學(xué)，以下說法不正確的是______。A.對函數(shù)的學(xué)習(xí)不能停留在抽象的討論，要突出函數(shù)圖形的地位B.函數(shù)是最重要、最基本的數(shù)學(xué)模型，（江南博哥）要加深對函數(shù)思想的理解與應(yīng)用C.在學(xué)生頭腦中留下幾個(gè)具體的最基本的函數(shù)模型就可以了D.結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用多種模式，讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)知識的形成與應(yīng)用過程正確答案：C[解析]在必修課程中，學(xué)生要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念和性質(zhì)，總結(jié)研究函數(shù)的整體方法，掌握一些具體的基本函數(shù)，探索函數(shù)的應(yīng)用。故C項(xiàng)說法不正確。

2.

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為，k=1，2，…，N，則c=______。

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]離散型隨機(jī)變量的概率分布之和等于1，即，所以。故本題選D。

3.

若是正定二次型，則λ的取值范圍是______。

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]因?yàn)槭钦ǘ涡?，所以該二次型對?yīng)的矩陣的各階順序主子式的行列式值都大于零，即有|1|＞0，，解得。故本題選B。

4.

將yOz平面上的曲線z=ey(y＞0)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程是______。

A．

B．y2+z2=ex

C．z=ex2+y2

D．正確答案：D[解析]yOz平面上的曲線f(y，z)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為。題中y＞0，所以旋轉(zhuǎn)曲面方程為。故本題選D。

5.

若三階方陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)=λ3-7λ+6，則|A|=______。A.-6B.-4C.4D.6正確答案：A[解析]因?yàn)閒(λ)=λ3-7λ+6=(λ-1)(λ-2)(λ+3)，所以矩陣A的特征值為1，2，-3，于是|A|=1×2×(-3)=-6。故本題選A。

6.

下列關(guān)于有理數(shù)系說法錯(cuò)誤的是______。A.有理數(shù)系具有連續(xù)性B.有理數(shù)系具有稠密性C.正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D.有理數(shù)的除法(除數(shù)不為0)具有封閉性正確答案：A[解析]對于任意兩個(gè)有理數(shù)a，b(設(shè)a＜b)，總能找到介于a，b之間的有理數(shù)，如，所以有理數(shù)系具有稠密性，B項(xiàng)說法正確；C項(xiàng)是有理數(shù)的定義，說法正確；任意兩個(gè)有理數(shù)的商(除數(shù)不為0)仍然是有理數(shù)，即有理數(shù)的除法(除數(shù)不為0)具有封閉性，D項(xiàng)說法正確。A項(xiàng)說法錯(cuò)誤，因?yàn)樵谟欣頂?shù)系內(nèi)存在不收斂的柯西數(shù)列，例如，取近似到小數(shù)點(diǎn)后第n位的近似數(shù)組成一個(gè)數(shù)列，1.4，1.41，1.414，1.4142，…，則這個(gè)數(shù)列是柯西數(shù)列，且每一項(xiàng)都是有理數(shù)，但其在有理數(shù)系內(nèi)不存在極限(在實(shí)數(shù)系內(nèi)存在極限)。

7.

設(shè)其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x=0處______。A.極限不存在B.極限存在但不連續(xù)C.連續(xù)，但不可導(dǎo)D.可導(dǎo)正確答案：D[解析]由等價(jià)無窮小量替換，(有界量與無窮小量的乘積是無窮小量)。所以存在且為0。而f(0)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù)。

所以f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f'(0)=0。故本題選D。

8.

下列函數(shù)在[-1，1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是______。

A．y=ex

B．y=ln|x|

C．y=1-x2

D．正確答案：C[解析]羅爾定理的條件是，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)。A項(xiàng)不滿足f(1)=f(-1)；B，D兩項(xiàng)不滿足在區(qū)間[-1，1]內(nèi)連續(xù)；C項(xiàng)滿足條件。故本題選C。

二、簡答題(每小題7分，共35分)1.

數(shù)學(xué)教學(xué)要體現(xiàn)課程改革的基本理念，請談?wù)勗诮虒W(xué)中應(yīng)該把握好哪幾個(gè)方面的問題。正確答案：①以學(xué)生發(fā)展為本，指導(dǎo)學(xué)生合理選擇課程、制定學(xué)習(xí)計(jì)劃；②幫助學(xué)生打好好基礎(chǔ)，發(fā)展能力；③注重聯(lián)系，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識；④注重?cái)?shù)學(xué)知識與實(shí)際的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和能力；⑤關(guān)注數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)觀的形成；⑥改善教與學(xué)的方式，使學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)；⑦恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，提高教學(xué)質(zhì)量。

2.

簡述實(shí)施合作學(xué)習(xí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題。正確答案：實(shí)施合作學(xué)習(xí)應(yīng)注意的問題主要有以下幾點(diǎn)：

(1)確定適當(dāng)?shù)暮献鲗W(xué)習(xí)內(nèi)容，合作學(xué)習(xí)是一種學(xué)習(xí)方式，也是一種手段，學(xué)習(xí)方式與所學(xué)內(nèi)容要互相適應(yīng)，不是所有的學(xué)習(xí)領(lǐng)域和學(xué)習(xí)主題都需要合作學(xué)習(xí)的方式；

(2)合作學(xué)習(xí)的主要目的是加強(qiáng)師生之間的交流與互動(dòng)；

(3)合作學(xué)習(xí)應(yīng)在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行；

(4)要防止合作學(xué)習(xí)流于形式。

3.

教師可以從哪些方面培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力?正確答案：教學(xué)中教師可以從以下三個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力：

一是創(chuàng)設(shè)情境，營造發(fā)現(xiàn)和提出問題的氛圍。通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生生疑，誘發(fā)學(xué)生的問題意識，同時(shí)讓學(xué)生感到問題無處不在，培養(yǎng)學(xué)生問題意識的習(xí)慣，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的思維分析問題。

二是放慢節(jié)奏，留下發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的時(shí)間。教師應(yīng)改變觀念，轉(zhuǎn)化角色，在教學(xué)中營造一個(gè)寬松和諧的教學(xué)氛圍，建立平等的師生關(guān)系，消除學(xué)生的畏懼心理，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，提出問題，同時(shí)要設(shè)法保護(hù)學(xué)生發(fā)問的積極性。

三是抓住機(jī)會(huì)，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法。在教學(xué)中，不但要讓學(xué)生在一定的情境中，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，而且還要引領(lǐng)組織學(xué)生經(jīng)歷探求解決問題的方法的過程，這是培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的重要途徑。

4.

設(shè)ε1，ε2，ε3，ε4為數(shù)域P上4維線性空間V的一個(gè)基，V的一個(gè)線性變換σ在這個(gè)基下的矩陣為，求σ的核σ-1(0)與σ的秩。正確答案：σ的秩等于矩陣的秩。對矩陣A進(jìn)行初等行變換，，所以r(A)=2，即得σ的秩為2。

σ-1(0)={X|σ(X)=0}，又σ在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩陣為A，所以σ-1(0)為齊次線性方程組AX=0的解空間。易知AX=0的基礎(chǔ)解系為，α2=(-1，-2，0，1)T，所以核。

5.

設(shè)f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，證明：存在ξ∈[a，b]，使得。正確答案：因?yàn)閒(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[a，b]上有最大值M和最小值m，即m≤f(x)≤M，于是，整理得。由連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，存在ξ∈[a，b]，使得，即滿足。

三、解答題(本大題1小題，10分)1.

如圖所示，設(shè)0＜a＜b，函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可微，且f(x)＞0，f(a)=f(b)=0。設(shè)l為繞原點(diǎn)O可轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)棍(射線)，放手后落在函數(shù)f(x)的圖像上并支撐在點(diǎn)(ζ，f(ζ))，從直觀上看，

證明：函數(shù)在x=ζ處取得最大值，并證明(*)式。

正確答案：證：由題意，放手后直線l落在函數(shù)f(x)的圖像上并支撐在點(diǎn)(ζ，f(ζ))，所以對，有，且當(dāng)x=ζ時(shí)等號成立(函數(shù)在x=ζ處取得最大值0)，又0＜a＜b，所以不等式兩邊同除x并移項(xiàng)得，。因此，在x=ζ處取得最大值。

引入輔助函數(shù)。因?yàn)閒(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可微，所以G(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可微，又根據(jù)前面的分析知，函數(shù)G(x)在內(nèi)點(diǎn)x=ζ處取得最大值0，所以x=ζ是函數(shù)G(x)的極大值點(diǎn)，于是由費(fèi)馬定理知，，即有。

四、論述題(本大題1小題，15分)1.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出“提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力”，請結(jié)合教學(xué)實(shí)際談?wù)勅绾翁嵘龑W(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力。正確答案：提升學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力可從以下幾個(gè)方面展開。

(1)教師在實(shí)際教學(xué)的過程中可以設(shè)置合適的問題情境，促使學(xué)生將所學(xué)知識與實(shí)際生活聯(lián)系起來，這樣一方面激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極性，另一方面讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。比如在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的知識之后，教師可給出一個(gè)實(shí)際案例(比如測量太陽下一棵樹的高度)，讓學(xué)生獨(dú)立分析問題，解決問題。

(2)增加學(xué)生對于實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的訓(xùn)練。教師要有目的地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識將實(shí)際問題簡化為一般數(shù)學(xué)問題。同時(shí)要鼓勵(lì)學(xué)生在實(shí)際生活巾去發(fā)現(xiàn)問題，并嘗試用所學(xué)知識去解決，若無法解決的可以記錄下來，在上課時(shí)大家一起討論。

(3)教師可以搜集一些應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的事例，分享給學(xué)生，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的相關(guān)歷史，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的熱情。

五、案例分析題(本大題共20分)閱讀案例，并回答問題。案例：

下面提供的案例是教師A和教師B在《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)中的教學(xué)設(shè)計(jì)。

教學(xué)環(huán)節(jié)教師A教師B引入新課1.復(fù)習(xí)回顧等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其推導(dǎo)過程；2.引入例題，讓學(xué)生自主思考，初步感知錯(cuò)位相減法直接引入，通過例題，創(chuàng)設(shè)情境，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣新知學(xué)習(xí)結(jié)合例題演示等比數(shù)列的推導(dǎo)過程，并讓學(xué)生參與其中(錯(cuò)位相減法)，明確等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：1.根據(jù)例題演示用錯(cuò)位相減法求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，搭配講解過程，學(xué)生仔細(xì)觀看；2.教師出示另一個(gè)等比數(shù)列，讓學(xué)生自主完成前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程解析例題教師在確定學(xué)生理解并掌握錯(cuò)位相減法的原理的基礎(chǔ)上，出示其他例題，學(xué)生自主求解，教師巡視指導(dǎo)1.教師根據(jù)學(xué)生完成例題的情況進(jìn)行講解，解決學(xué)生在求和過程中遇到的問題；2.解決學(xué)生的問題后，教師再出示一道例題，學(xué)生自主解決，教師巡視指導(dǎo)注意事項(xiàng)1.明確用錯(cuò)位相減法求和所得等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，公比為1或不為1的情況；2.已知a1，q，an，n，Sn中的任意三項(xiàng)，可以求其他三項(xiàng)(知三求二)；3.(補(bǔ)充)在學(xué)生熟練掌握錯(cuò)位相減法的基礎(chǔ)上，簡單介紹其他數(shù)列求和的方法：倒序相加法；裂項(xiàng)相消法；分組求和與并組求和……1.明確等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，公比為1或不為1的情況：2.已知a1，q，an，n，Sn中的任意三項(xiàng)，可以求其他三項(xiàng)(知三求二)。課堂總結(jié)及練習(xí)略略1.

請對案例中兩位教師的教學(xué)引入環(huán)節(jié)進(jìn)行評析；正確答案：教師A運(yùn)用的引入方法為溫故引入法，這種引入方式一方面可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，另一方面可以幫助學(xué)生建立起新舊知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過程中與舊知形成對比，從而加深學(xué)生對舊知的掌握和對新知的理解。案例中教師A復(fù)習(xí)舊知后，出示例題讓學(xué)生初步感受新知，引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生會(huì)聯(lián)想舊知中等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法來思考等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)方法，從而可以很好地發(fā)揮學(xué)生在新知學(xué)習(xí)中的主動(dòng)性，提升學(xué)生分析和解決問題的能力。

教師B運(yùn)用的引入方法為直接引入法，這種引入方法可以幫助學(xué)生快速進(jìn)入課堂狀態(tài)，準(zhǔn)確把握課堂重點(diǎn)。案例中教師B引入新知后，通過例題激發(fā)學(xué)生的好奇心及探索新知的興趣并進(jìn)行進(jìn)一步的講解，可以幫助學(xué)生了解新知在實(shí)際解題巾的應(yīng)用。但這種引入方法使學(xué)生成為知識的被動(dòng)接受者，不能很好地發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，從而不能很好地提升學(xué)生自主思考、分析問題的能力。

2.

請對教師B“新知學(xué)習(xí)”環(huán)節(jié)進(jìn)行評析并給出改進(jìn)建議。正確答案：分析教師B“新知學(xué)習(xí)”環(huán)節(jié)可知，教師B在給出例題后，沒有給學(xué)生留時(shí)間思考，而是直接演示解題方法，讓學(xué)生進(jìn)行觀看，之后出示習(xí)題讓學(xué)生自主解題。教師的教學(xué)要以學(xué)生為主體，教師B的新知教學(xué)過程沒有做到這點(diǎn)，沒有讓學(xué)生經(jīng)歷新知探索、自主思考等過程，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高，從而學(xué)生對于新知的理解及掌握也必然達(dá)不到一定的教學(xué)要求。

對教師B的“新知學(xué)習(xí)”環(huán)節(jié)的改進(jìn)建議如下：

①教師在出示例題后，應(yīng)該給學(xué)生留有一定的時(shí)間自主思考、小組討論，從而培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及一定的分析、解決問題的能力；

②教師可以讓學(xué)生匯報(bào)討論結(jié)果，通過層層設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生自主得出新知結(jié)論，這一方面符合學(xué)生的認(rèn)知過程，另一方面可以啟發(fā)學(xué)生的思維，從而幫助學(xué)生更深入地理解和記憶新知內(nèi)容；

③教師在讓學(xué)生進(jìn)行自主練習(xí)時(shí)，應(yīng)該進(jìn)行巡視指導(dǎo)，一方面可以對學(xué)生因材施教，另一方面可以幫助教師了解學(xué)生對于新知的掌握情況。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題共30分)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程。具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。

請針對“互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像間的關(guān)系”這一課題，完成下列教學(xué)設(shè)計(jì)：1.

請寫出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)；正確答案：教學(xué)目標(biāo)

①了解互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像間的關(guān)系，理解互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y=x對稱的原理；

②在探究互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像問的關(guān)系的過程中增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，增強(qiáng)通過探究活動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的經(jīng)驗(yàn)；

③通過探究活動(dòng)感悟數(shù)與彤的轉(zhuǎn)化，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，感受數(shù)學(xué)的對稱之美。

2.

請寫出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)；正確答案：教學(xué)重點(diǎn)：通過探究活動(dòng)使學(xué)生知道互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像之間的關(guān)系。

3.

請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)探究式教學(xué)過程。正確答案：教學(xué)過程

一、活動(dòng)探究

探究一：互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系

問題1：你能寫出兩個(gè)互為反函數(shù)的函數(shù)嗎?

問題2：指數(shù)函數(shù)y=2x和對數(shù)函數(shù)y=log2x互為反函數(shù)，它們的定義域和值域分別是什么?它們的定義域和值域有怎樣的關(guān)系?

學(xué)生活動(dòng)：先小組交流自己的答案，然后學(xué)生匯總結(jié)論向教師匯報(bào)。

學(xué)生匯報(bào)結(jié)果后，教師小結(jié)：指數(shù)函數(shù)y=2x的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0，+∞)，對數(shù)函數(shù)y=log2x的定義域?yàn)?0，+∞)，值域?yàn)镽。由此可以看出，指數(shù)函數(shù)y=2x的定義域和值域分別是對數(shù)函數(shù)y=log2x的值域和定義域。

探究二：指數(shù)函數(shù)y=2x與對數(shù)函數(shù)y=log2x圖像間的關(guān)系。

問題1：你能在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)同時(shí)畫出函數(shù)y=2x與y=log2x的圖像嗎?

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在自己準(zhǔn)備的白紙上嘗試畫出函數(shù)y=2x與y=log2x的圖像。

問題2：你是怎樣作圖的?你畫出的圖像和老師的一樣嗎?(課件出示正確圖像)

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生小組內(nèi)交流自己的畫圖方法，相互評價(jià)優(yōu)缺點(diǎn)，教師告知學(xué)生自己的畫圖方法，讓學(xué)生與自己的畫圖法比較、分析。

問題3：取y=2x圖像上的幾個(gè)點(diǎn)，如，P2(0，1)，P3(1，2)。P1，P2，P3關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?它們在y=log2x的圖像上嗎?

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生先口頭回答對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么，然后在圖上找出P1，P2，P3關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)P'1，P'2，P'3。

教師總結(jié)：通過畫圖作點(diǎn)，能夠發(fā)現(xiàn)，P1，P2，P3關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)，P'2(1，0)，P'3(2，1)在y=log2x的圖像上。

問題4：如果點(diǎn)P0(x0，y0)在函數(shù)y=2x的圖像上，那么P0關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)是什么?它在函數(shù)y=log2x的圖像上嗎?為什么?

學(xué)生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)解答問題3時(shí)使用的方法來分析思考問題4的解答，各小組合作完成對問題4的解答，并匯報(bào)所得結(jié)論，

教師對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評，教師訂正：利用對稱性可知，點(diǎn)P0(x0，y0)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為P'0(y0，x0)，因?yàn)楫?dāng)y0=2x0時(shí)，x0=log2y0，即點(diǎn)P'0(y0，x0)在函數(shù)y=log2x的圖像上。

問題5：根據(jù)上述探究