排列組合概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)

排列組合是學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的預(yù)備知識(shí)，現(xiàn)將二者涉及的知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)如下一、兩條基本原理1.加法原理設(shè)完成一件事有n類方式，第一類方式有m1種方法，第二類方式有m2種方法,…；

第n類方式有mn種方法,則完成這件事總共有m1+m2+…+mn

種方法.特點(diǎn):一步完成1例1,某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘汽車(chē)、輪船、汽車(chē)有3班輪船有2班那么從甲地到乙地共有幾種方法?3+2+4+1=10

種方法回答是2火車(chē)、飛機(jī).火車(chē)有4班飛機(jī)有1班一、兩條基本原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有n個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有m1種方法，第二個(gè)步驟有m2種方法,…；

第n個(gè)步驟有mn種方法,特點(diǎn)：多步完成

例2,從甲地到丙地必須經(jīng)過(guò)乙地，從甲地到乙地有3條路線，從乙地到丙地有2條路線，則從甲地到丙地共有種走法.3注4以上兩條基本原理在排列組合中將會(huì)反復(fù)使用.這兩條原理回答的都是“關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題”，但又有本質(zhì)區(qū)別：加法原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，乘法原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題.二、排列1、元素不允許重復(fù)的排列:例3從4面不同顏色的旗子中，選出3面排成一排作為一種信號(hào)，能組成多少種信號(hào)？5解解決這個(gè)問(wèn)題需要分為三步第一步，先選第1面旗子，有4種選法；第二步，在剩下的3種顏色中，再選第2面旗子，有3種選法；第三步，在剩下的2種顏色中，選最后一面旗子，有2種選法；根據(jù)乘法原理，共有4×3×2=24種選法每種選法對(duì)應(yīng)一種信號(hào)，故共能組成24種信號(hào)定義1從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)不同的元素,按照一定的順序排成一列,叫作從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的排列.所有這樣排列的個(gè)數(shù)稱為排列數(shù),記為特別,m=n時(shí)稱全排列排列階乘6規(guī)定例4用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？7解這是從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任意選出三個(gè)數(shù)字排成一排，有多少種排法的排列問(wèn)題.所以，用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字，可以組成24個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).2、元素允許重復(fù)的排列:元素允許重復(fù)包括元素重復(fù)和元素不重復(fù)兩種情況，8元素允許重復(fù)的排列指的是在排列中允許出現(xiàn)相同的元素.下面討論從n個(gè)不同的元素中允許重復(fù)地任取m個(gè)元素組成的排列的方法種數(shù).從n個(gè)不同的元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上然后把該元素放回去，再?gòu)倪@n個(gè)元素中任取一個(gè)放在第二個(gè)位置上仍有n種方法，……按這種方法進(jìn)行m次，每次都有n種方法根據(jù)乘法原理，可從n個(gè)不同元素中允許重復(fù)地任取m個(gè)元素組成的重復(fù)排列的個(gè)數(shù)為共有n種方法，例5由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字所組成的四位數(shù)中，求：（1）沒(méi)有重復(fù)的數(shù)字有幾個(gè)；（2）四個(gè)數(shù)字都相同的有幾個(gè)；（3）恰好有三個(gè)數(shù)字相同的有幾個(gè)？9解(1)千位因此由乘法原理可以組成9×9×8×7=4536個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).除0外有9種不同取法百位有9種不同取法十位有8種不同取法個(gè)位有7種不同取法例5由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字所組成的四位數(shù)中，求：（1）沒(méi)有重復(fù)的數(shù)字有幾個(gè)；（2）四個(gè)數(shù)字都相同的有幾個(gè)；（3）恰好有三個(gè)數(shù)字相同的有幾個(gè)？10解(2)由于千位上的數(shù)字有9種不同的取法，又由于四個(gè)數(shù)字都相同那么千位上的數(shù)字取定后，百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字也相應(yīng)取定，故四個(gè)數(shù)字都相同的四位數(shù)有9個(gè).11解(3)個(gè)位十位百位千位由加法原理,恰好有三個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為81+81+81+81=324滿足要求的四位數(shù)個(gè)數(shù)為9×9=81個(gè)個(gè)位十位百位千位滿足要求的四位數(shù)個(gè)數(shù)為9×9=81個(gè)個(gè)位十位百位千位滿足要求的四位數(shù)個(gè)數(shù)為9×9=81個(gè)個(gè)位十位百位千位滿足要求的四位數(shù)個(gè)數(shù)為9×9=81個(gè)三、組合12通過(guò)對(duì)排列的討論可知，它是一個(gè)與次序有關(guān)的概念，例如從甲地到乙地的火車(chē)票與從乙地到甲地的火車(chē)票是兩種不同的火車(chē)票，又如選同學(xué)A任班長(zhǎng)、同學(xué)B任副班長(zhǎng)與選同學(xué)任A副班長(zhǎng)、同學(xué)B任班長(zhǎng)是兩種不同的職務(wù)安排.但在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常遇到一些與次序無(wú)關(guān)的問(wèn)題：如選A、B兩人為代表出席一個(gè)會(huì)議與選B、A兩人為代表是同一種選法，又如“會(huì)計(jì)學(xué)與金融學(xué)專業(yè)之間進(jìn)行足球賽”和“金融學(xué)與會(huì)計(jì)學(xué)專業(yè)之間進(jìn)行足球賽”是同一場(chǎng)比賽，因此這是一個(gè)與排列概念不同的問(wèn)題.定義2從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素為一組,叫作從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合.所有這樣組合的個(gè)數(shù)稱為組合數(shù),記為組合13證從n個(gè)不同的元素中取m個(gè)的元素進(jìn)行排列可分為兩步第一步：從n個(gè)不同的元素中取m個(gè)元素，第二步：把取出的m個(gè)元素進(jìn)行排列，根據(jù)乘法原理有證畢14注對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，要正確判別其是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵在于區(qū)別要不要將所取的元素進(jìn)行排列，若要排列則是排列問(wèn)題，若無(wú)需排列則是組合問(wèn)題.組合數(shù)性質(zhì)規(guī)定推廣:n個(gè)元素分為s組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rs的分法總數(shù)為15例6盒子中有3個(gè)紅球6個(gè)白球，任取5個(gè)球，求：（1）共有多少種取法；（2）恰好有1個(gè)紅球的取法數(shù)；（3）至少有2個(gè)紅球的取法數(shù)；（4）至多有1個(gè)紅球的取法數(shù).18解(1)從3+6=9個(gè)球中任取5個(gè)球，(2)任取5個(gè)球中恰好有1個(gè)紅球，即所取球中1紅4白，完成這件事情需要經(jīng)過(guò)兩個(gè)步驟：先是從3個(gè)紅球中任取1個(gè)，再?gòu)?個(gè)白球中任取4個(gè)，根據(jù)乘法原理，例6盒子中有3個(gè)紅球6個(gè)白球，任取5個(gè)球，求：（1）共有多少種取法；（2）恰好有1個(gè)紅球的取法數(shù)；（3）至少有2個(gè)紅球的取法數(shù)；（4）至多有1個(gè)紅球的取法數(shù).19解(3)任取5個(gè)球中至少有2個(gè)紅球，包括“2紅3白”和“3紅2白”兩種情形，結(jié)合乘法原理和加法原理，(4)任取5個(gè)球中至多有1個(gè)紅球，包括“1紅4白”和“0紅5白”兩種情形，結(jié)合乘法原理和加法原理，例7從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，從2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？20解第一步：從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，第二步：從2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，第三步：把取出的5個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，根據(jù)乘法原理，一共可以組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).

一、總量指標(biāo)

總量指標(biāo)又稱統(tǒng)計(jì)絕對(duì)數(shù)，它是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定條件下的的總規(guī)模、總水平或工作總量的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)?？偭恐笜?biāo)是我們認(rèn)識(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的起點(diǎn)，了解現(xiàn)象的基本情況一般先從總量開(kāi)始。是實(shí)行社會(huì)經(jīng)濟(jì)管理的依據(jù)之一，進(jìn)行經(jīng)濟(jì)管理應(yīng)該心中有“數(shù)”，這個(gè)“數(shù)”首先就是總量指標(biāo)。，同時(shí)，總量指標(biāo)也是計(jì)算其他指標(biāo)的基礎(chǔ)，相對(duì)指標(biāo)和平均指標(biāo)都是以總量指標(biāo)為基礎(chǔ)派生的指標(biāo)。（一）總體單位總量和總體標(biāo)志總量總體單位總量，就是總體單位數(shù)，它是由每個(gè)總體單位相加匯總得到的。通過(guò)總體單位總量可以觀察總體的具體規(guī)模和水平.要確定總體單位總量首先要根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究目的確定總體范圍。總體標(biāo)志總量，即總體各單位數(shù)量標(biāo)志值之和，它是由總體單位的某一數(shù)量標(biāo)志值相加匯總得到的。在一個(gè)特定總體內(nèi)，總體單位總量只有一個(gè)，但可以同時(shí)并存若干個(gè)總體標(biāo)志總量，從而產(chǎn)生一系列指標(biāo)。

二、總量指標(biāo)的種類（二）時(shí)期指標(biāo)和時(shí)點(diǎn)指標(biāo)時(shí)期指標(biāo)，是反映現(xiàn)象在一段時(shí)期內(nèi)發(fā)展過(guò)程的總量指標(biāo)。時(shí)點(diǎn)指標(biāo)，是反映現(xiàn)象在某一時(shí)點(diǎn)（瞬間）上所處狀況的總量指標(biāo)。（三）實(shí)物指標(biāo)、價(jià)值指標(biāo)和勞動(dòng)指標(biāo)實(shí)物指標(biāo)，用實(shí)物單位計(jì)量的總量指標(biāo)。價(jià)值指標(biāo)，又稱貨幣指標(biāo)，是用貨幣單位計(jì)量的總量指標(biāo)?？偭恐笜?biāo)的計(jì)量形式都是有名數(shù)，都有計(jì)量單位。勞動(dòng)量指標(biāo)，是用勞動(dòng)量單位計(jì)量的總量指標(biāo)。直接計(jì)算法間接推算法

三、總量指標(biāo)的計(jì)算方法總量指標(biāo)數(shù)值都是通過(guò)對(duì)總體單位進(jìn)行全面調(diào)查登記，采用直接計(jì)數(shù)、點(diǎn)數(shù)或測(cè)量等方法，逐步計(jì)算匯總得出的。采用社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象之間的平衡關(guān)系、因果關(guān)系、比例關(guān)系或利用非全面調(diào)查資料進(jìn)行推算總量的方法。注意現(xiàn)象的同質(zhì)性正確確定每項(xiàng)指標(biāo)的計(jì)算單位

四、計(jì)算和應(yīng)用總量指標(biāo)應(yīng)注意的問(wèn)題三二一相對(duì)指標(biāo)的運(yùn)用原則相對(duì)指標(biāo)的計(jì)算指標(biāo)的含義和作用任務(wù)二相對(duì)指標(biāo)當(dāng)我們剖析事物變動(dòng)中的相互關(guān)系及其后果時(shí)，就需要相對(duì)指標(biāo)。相對(duì)指標(biāo)有五種，把幾種相對(duì)指標(biāo)結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，可以比較、分析現(xiàn)象變動(dòng)中的相互關(guān)系，更好地闡明現(xiàn)象之間的發(fā)展變化情況。導(dǎo)入案例：

相對(duì)指標(biāo)是社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中兩個(gè)相互有聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值之比所得到的比率或比值，來(lái)反映現(xiàn)象的發(fā)展程度、結(jié)構(gòu)、強(qiáng)度、普遍程度或比例關(guān)系。

相對(duì)指標(biāo)也稱作相對(duì)數(shù)，其數(shù)值有兩種表現(xiàn)形式：無(wú)名數(shù)和復(fù)名數(shù)。無(wú)名數(shù)是一種抽象化的數(shù)值，多以系數(shù)、倍數(shù)、成數(shù)、百分?jǐn)?shù)或千分?jǐn)?shù)表示。復(fù)名數(shù)主要用來(lái)表示強(qiáng)度的相對(duì)指標(biāo)，以表明事物的密度、強(qiáng)度和普遍程度等。例如，人均糧食產(chǎn)量用“千克/人”表示，人口密度用“人/平方公里”表示。

一、指標(biāo)的含義和作用相對(duì)指標(biāo)=相對(duì)指標(biāo)的作用

（1）相對(duì)指標(biāo)通過(guò)數(shù)量之間的對(duì)比，可以表明事物相關(guān)程度、發(fā)展程度，它可以彌補(bǔ)總量指標(biāo)的不足，使人們清楚了解現(xiàn)象的相對(duì)水平和普遍程度。（2）把現(xiàn)象的絕對(duì)差異抽象化，使原來(lái)無(wú)法直接對(duì)比的指標(biāo)變?yōu)榭杀取＃?）說(shuō)明總體內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，為深入分析事物的性質(zhì)提供依據(jù)。

二、相對(duì)指標(biāo)的計(jì)算結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)比較相對(duì)指標(biāo)計(jì)劃完成程度相對(duì)指標(biāo)強(qiáng)度相對(duì)指標(biāo)動(dòng)態(tài)相對(duì)指標(biāo)1.結(jié)構(gòu)相對(duì)指標(biāo)產(chǎn)業(yè)年份20132014201520162017第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè)9.344.046.79.143.147.88.840.950.38.639.851.67.940.551.6合計(jì)100100100100100表4-1我國(guó)2013-2017年三次產(chǎn)業(yè)占GDP的比重單位：％表4-450名男性大學(xué)生身高數(shù)據(jù)排序結(jié)果

單位：cm例4.14152161165168169171172174176181155162166168169171172174176181157164166168170171173174177182158165167168170171173175178183160165168169170172173175179184表4-62008年天津家庭戶規(guī)模分組情況家庭戶規(guī)模戶數(shù)向上累計(jì)頻數(shù)125725728031060313602420454229625310327265133237113334823336913337合計(jì)3337-表4-550名男性大學(xué)生身高統(tǒng)計(jì)分組按身高分組（cm）頻數(shù)頻率(%）向上累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻數(shù)15016036449160~16548846165~17014282242170~17516323828175~1807144512180~185510505合計(jì)50100--眾數(shù)眾數(shù)的特點(diǎn)第一，眾數(shù)屬于位置平均數(shù)，不受極端值的影響。第二，單變量數(shù)列為均勻分布、U型分布、J型分布時(shí)，不存在眾數(shù)。第三，缺乏敏感性。這是由于眾數(shù)的計(jì)算只利用了眾數(shù)組的數(shù)據(jù)信息，不像數(shù)據(jù)平均值那樣利用了全部數(shù)據(jù)信息。中位數(shù)

中位數(shù)是將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，居于中間位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)，用M來(lái)表示。由于中位數(shù)的位置居中，不大也不小，在某些情況下可以用來(lái)反映現(xiàn)象的一般水平。中位數(shù)對(duì)于未分組的原始資料，首先必須將標(biāo)志值按大小排序。設(shè)排序的結(jié)果為：式中：Me——中位數(shù)；L——中位數(shù)所在組下限；U——中位數(shù)所在組上限；fm——為中位數(shù)所在組的次數(shù)中位數(shù)——總次數(shù)；d——中位數(shù)所在組的組距；Sm–1——中位數(shù)所在組以下的累計(jì)次數(shù)；Sm+1——中位數(shù)所在組以上的累計(jì)次數(shù)。組距式分組確定中位數(shù)表4-450名男性大學(xué)生身高數(shù)據(jù)排序結(jié)果

單位：cm例4.15152161165168169171172174176181155162166168169171172174176181157164166168170171173174177182158165167168170171173175178183160165168169170172173175179184表4-62008年天津家庭戶規(guī)模分組情況家庭戶規(guī)模戶數(shù)向上累計(jì)頻數(shù)125725728031060313602420454229625310327265133237113334823336913337合計(jì)3337-表4-550名男性大學(xué)生身高統(tǒng)計(jì)分組按身高分組（cm）頻數(shù)頻率(%）向上累計(jì)頻數(shù)向下累計(jì)頻數(shù)15016036449160~16548846165~17014282242170~17516323828175~18071445