2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷（八年級(jí)）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷（八年級(jí)）一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每小題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1．（7分）用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，把x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分．已知，a是t的小數(shù)部分，則＝（）A． B． C．1 D．2．（7分）三種圖書(shū)的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購(gòu)買上述圖書(shū)30本（三種書(shū)都需要買），那么不同的購(gòu)書(shū)方案有（）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種3．（7分）如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAC＝70°，BD是∠ABP的平分線，CE是∠ACP的平分線，則∠BFC＝（）A．85° B．90° C．95° D．100°4．（7分）記Sn＝++…+，則＝（）A． B． C． D．5．（7分）點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的三邊BC、AB、AC上，且AD、BF、CE相交于一點(diǎn)M，若，則＝（）A． B．3 C． D．26．（7分）設(shè)a，b，c，d都是正整數(shù)，且a5＝b2，c3＝d4，a﹣c＝319，則﹣＝（）A．15 B．17 C．18 D．20二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）本題共有4個(gè)小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線上.7．（7分）如圖，已知四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，且∠BAC＝∠DAC，AD＝12．過(guò)頂點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則＝．8．（7分）已知整數(shù)a，b，c滿足不等式a2+2b2+c2+211＜ab+28b+20c，則a+b﹣c＝．9．（7分）若質(zhì)數(shù)p，q滿足：3q﹣p﹣4＝0，p+q＜111．10．（7分）將5個(gè)1、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個(gè)數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2．考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的最小值為M．三、解答題（共3小題，滿分70分）11．（20分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為BC的中點(diǎn)，H為DF的中點(diǎn)，證明：CH⊥DF．12．（25分）設(shè)互不相等的非零實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+＝b+，求（a+）2+（b+）2+（c+）2的值．13．（25分）已知a，b為正整數(shù)，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整數(shù)值．

2016年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試卷（八年級(jí)）參考答案與試題解析一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6個(gè)小題，每題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每小題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過(guò)一個(gè)（不論是否寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1．（7分）用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，把x﹣[x]稱為x的小數(shù)部分．已知，a是t的小數(shù)部分，則＝（）A． B． C．1 D．【解答】解：∵t＝＝＝2+，∴[t]＝4，[﹣t]＝﹣4．∵a是t的小數(shù)部分，b是﹣t的小數(shù)部分，∴a＝2+﹣3＝，b＝﹣（3+．∴﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝．故選：A．2．（7分）三種圖書(shū)的單價(jià)分別為10元、15元和20元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用500元購(gòu)買上述圖書(shū)30本（三種書(shū)都需要買），那么不同的購(gòu)書(shū)方案有（）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種【解答】解：設(shè)10元的a本，15元的b本，依題意得：10a+15b+20（30﹣a﹣b）＝500，整理，得2a+b＝20．①當(dāng)b＝2時(shí)，a＝7，②當(dāng)b＝4時(shí)，a＝8．③當(dāng)b＝2時(shí)，a＝7．④當(dāng)b＝8時(shí)，a＝2．⑤當(dāng)b＝10時(shí)，a＝5．⑥當(dāng)b＝12時(shí)，a＝4．⑦當(dāng)b＝14時(shí)，a＝5．⑧當(dāng)b＝16時(shí)，a＝2．⑨當(dāng)b＝18時(shí)，a＝1．所以共6種．故選：A．3．（7分）如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAC＝70°，BD是∠ABP的平分線，CE是∠ACP的平分線，則∠BFC＝（）A．85° B．90° C．95° D．100°【解答】解：∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝60°，∴∠ABP+∠ACP＝110°﹣60°＝50°，∵BD是∠ABP的平分線，CE是∠ACP的平分線，∴∠FBP+∠FCP＝25°，∴∠FBC+∠FCB＝∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP＝60°+25°＝85°，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣85°＝95°，故選：C．4．（7分）記Sn＝++…+，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵1++＝，＝，＝，＝，＝，∴Sn＝++…+，＝++…+，＝++…+，＝1++1+，＝n+1﹣+﹣+…+﹣，＝n+4﹣，則＝＝＝＝，故選：D．5．（7分）點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的三邊BC、AB、AC上，且AD、BF、CE相交于一點(diǎn)M，若，則＝（）A． B．3 C． D．2【解答】解：過(guò)A作PQ∥BC交BF的延長(zhǎng)線于Q，交CE的延長(zhǎng)線于P，∴△AQF∽△BCF△APE∽△BCE，∴，∴，，即，，∵，∴，∴＝3．故選：B．6．（7分）設(shè)a，b，c，d都是正整數(shù)，且a5＝b2，c3＝d4，a﹣c＝319，則﹣＝（）A．15 B．17 C．18 D．20【解答】解：∵a5＝b2，c2＝d4，∴設(shè)a＝m2，b＝m4，c＝x4，d＝x3（m，x為正整數(shù)），∵a﹣c＝319，∴m8﹣x4＝319，即（m+x2）（m﹣x6）＝319，∴，（舍去），解得，則﹣＝20﹣3＝17．故選：B．二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）本題共有4個(gè)小題，要求直接將答案寫(xiě)在橫線上.7．（7分）如圖，已知四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ)，且∠BAC＝∠DAC，AD＝12．過(guò)頂點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則＝9．【解答】解：作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠CFD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠CFD＝∠CEB＝90°，∵∠BAC＝∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△CBE和△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，在△AEC和△AFC中，，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE＝AF，設(shè)BE＝a，則DF＝a，∵AB＝15，AD＝12，∴12+2a＝15，得a＝1.8，∴AE＝12+a＝13.5，BE＝a＝1.5，∴＝＝＝6，故答案為：9．8．（7分）已知整數(shù)a，b，c滿足不等式a2+2b2+c2+211＜ab+28b+20c，則a+b﹣c＝2．【解答】解：∵a2+2b4+c2+211＜ab+28b+20c，∴a2+2b2+c2+212﹣2＜ab+28b+20c，∴a2+2b8+c2+212﹣ab﹣28b﹣20c＜1，∴a5﹣ab++﹣28b+112+c2﹣20c+100＜1．∴＜1．∵≥0，a，b，∴＝0．∴，解得：．∴a+b﹣c＝4+5﹣10＝2．故答案為：2．9．（7分）若質(zhì)數(shù)p，q滿足：3q﹣p﹣4＝0，p+q＜1111007．【解答】解：∵3q﹣p﹣4＝8，∴p＝3q﹣4∵p+q＜111，∴3q+q﹣4＜111，解得：q＜28.75，∵3q﹣p﹣4＝0，∴3q＝p+5，則q＝，∵p+q＜111，∴+p＜111，解得：p＜82.25，∵pq的最大，∴當(dāng)q取最大質(zhì)數(shù)23時(shí)，p＝65不合題意舍去，則q＝19時(shí)，P＝53，故pq的最大值為：19×53＝1007．故答案為：1007．10．（7分）將5個(gè)1、5個(gè)2、5個(gè)3、5個(gè)4、5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)（每格填入一個(gè)數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2．考慮每列中各數(shù)之和，設(shè)這5個(gè)和的最小值為M10．【解答】解：（1）若5個(gè)1分布在同一列，則M＝8；（2）若5個(gè)1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為4，故M≤10；（3）若5個(gè)1分布在三列中，則由題意知這兩三中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為6，故M≤10；（4）若5個(gè)1分布在四列中，則其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3．綜上所述，M≤10．另一方面，如下表的例子說(shuō)明M可以取到10．故答案為：10．三、解答題（共3小題，滿分70分）11．（20分）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為BC的中點(diǎn)，H為DF的中點(diǎn)，證明：CH⊥DF．【解答】證明：延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)P∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠PCE，∵BE＝CE，∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE（ASA），∴PC＝AB＝CD，∵H為DF的中點(diǎn)，∴CH是△PDF的中位線，∴CH∥AE，∵DF⊥AE，∴CH⊥DF．12．（25分）設(shè)互不相等的非零實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+＝b+，求（a+）2+（b+）2+（c+）2的值．【解答】解：令a+＝b+＝k，則ab+2＝bk，bc+2＝ck，由ab+6＝bk可得abc+2c＝kbc＝k（ck﹣2），移項(xiàng)，得：abc+4k＝（k2﹣2）c，同理可得：abc+8k＝（k2﹣2）a，abc+5k＝（k2﹣2）b，∴（k4﹣2）a＝（k2﹣2）b＝（k2﹣2）c，∵a，b，c為互不相等的非零實(shí)數(shù)，∴k3﹣2＝0，即k2＝2，則（a+）3+（b+）2+（c+）2＝3k2＝6．13．（25分）已知a，b為正整數(shù)，求M＝3a2﹣ab2﹣2b﹣4能取到的最小正整數(shù)值．【解答】解：∵a，b為正整數(shù)2﹣ab2﹣3b﹣4的值為正整數(shù)，顯然有a≥2，當(dāng)a＝8時(shí)，b只能為1，故M＝3a5﹣ab2﹣2b﹣3能取到的最小正整數(shù)值不超過(guò)4；