2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第37講-第1課時(shí)-線線角與線面角【課件】

第37講

空間角與距離的計(jì)算第七章

立體幾何1．在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA＝90°，D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是(

)激活思維【解析】【答案】A如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．【答案】

A3．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BB1，DD1上，且A1C⊥平面AEF，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，則平面AEF和平面D1B1BD夾角的余弦值為

(

)【解析】【答案】C4．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，已知AB＝1，BC＝2，AA1＝3，則點(diǎn)B到直線A1C的距離為(

)B【解析】5．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是A1C1的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為(

)【解析】【答案】B1．兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩條異面直線l1，l2的方向向量．聚焦知識(shí)3．平面與平面的夾角的求法如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角．5．點(diǎn)面距的求法(1)定義法：自點(diǎn)向平面作垂線，利用三角形知識(shí)求垂線段的長(zhǎng)度；(2)等積法：利用體積相等求棱錐的高，如VP-ABC＝VA-PBC.說(shuō)明：線面距和面面距可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距求解．第1課時(shí)

線線角與線面角如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，DE⊥AB分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，且AD＝1，將△ADE沿DE折起(點(diǎn)A與P重合)，使得平面PED⊥平面BCED，則折疊后的異面直線PB，CE所成角的正弦值為 (

)異面直線所成角的計(jì)算舉題說(shuō)法1【解析】【答案】

D由題意可知DB，DE，DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DE，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．【解析】【答案】

A以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PA＝AB＝6，則B(6，0，0)，C(6，6，0)，P(0，0，6)，E(3，6，0)，F(xiàn)(0，0，3).如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)求證：AC＝A1C；線面所成角的計(jì)算2因?yàn)锳1C⊥底面ABC，BC?底面ABC，所以A1C⊥BC.又∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.又AC∩A1C＝C，A1C，AC?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.又BC?平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，且交線為CC1.【解答】如圖(1)，過(guò)A1作CC1的垂線，垂足為M，則A1M⊥平面BCC1B1.又A1到平面BCC1B1的距離為1，所以A1M＝1.在△A1CC1中，A1C⊥A1C1，CC1＝AA1＝2＝2A1M，所以M為CC1的中點(diǎn)，又M為垂足，所以△A1CC1為等腰三角形，所以A1C1＝A1C，進(jìn)而A1C＝AC.圖(1)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距離為1.(2)若直線AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．2方法一：由(1)知，CA，CB，CA1兩兩垂直，如圖(2)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.【解答】過(guò)C作CH⊥A1A，則H為AA1的中點(diǎn)．連接BH，則BH⊥AA1.圖(2)方法二：連接A1B，AC1.因?yàn)锳C＝A1C，BC⊥A1C，BC⊥AC，所以Rt△ACB≌

Rt△A1CB，所以BA＝BA1.過(guò)B作BD⊥AA1，交AA1于D，則D為AA1中點(diǎn)．如圖(3)，延長(zhǎng)AC，使AC＝CQ，連接C1Q，由CQ∥A1C1，CQ＝A1C1知四邊形A1CQC1為平行四邊形，所以C1Q∥A1C，所以C1Q⊥平面ABC.圖(3)如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF′∥AB交PA于點(diǎn)F′，連接DF′.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AB∥CD，則EF′∥CD，所以C，D，E，F(xiàn)′四點(diǎn)共面，即平面CDE延伸至平面CDF′E，所以F′即為棱PA與平面CDE的交點(diǎn)F，所以AB∥EF.【解答】因?yàn)镻D⊥平面ABCD，且底面ABCD為正方形，所以DA，DC，DP兩兩垂直.【解答】直線與平面所成角的探索性問(wèn)題3因?yàn)閭?cè)面A1B1BA為菱形，所以A1B⊥AB1.又因?yàn)锳1B⊥AC，AC∩AB1＝A，AC，AB1?平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C.【解答】3【解答】因?yàn)槠矫鍭1B1BA⊥平面ABC，平面A1B1BA∩平面ABC＝AB，B1O?平面A1B1BA，所以B1O⊥平面ABC.又AC?平面ABC，所以B1O⊥AC.方法二：設(shè)A1B∩AB1＝F.因?yàn)锳1B⊥平面AB1C，A1B?平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面AB1C，EF為交線．隨堂練習(xí)1．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝3AB，則PC與底面ABCD所成角的正切值為 (

)C【解析】如圖，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，所以PA⊥AC，所以PC與底面ABCD所成的角為∠PCA.【解析】【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AO⊥底面BCD，垂足為O，連接AN，ON，OC，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OC，垂足為G，連接NG.【答案】

C【解析】配套精練【解析】B2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是棱PD的中點(diǎn)，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為

(

)【解析】【答案】D【答案】B【解析】【解析】方法一：不妨取PA＝PB＝PC，如圖，把PA放在正方體中，PA，PB，PC的夾角均為60°，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系，圖(1)【答案】B方法二：如圖(2)，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥平面PAB，由題知Q在∠BPA的平分線上，過(guò)Q作QD⊥PA，連接CD.圖(2)【解析】【答案】26．在正四棱錐S-ABCD中，已知O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO＝OD，則直線BC與平面PAC所成的角為_(kāi)_______．【解析】【答案】30°三、

解答題7．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若BF∥平面ACE，求EF的長(zhǎng)度；【解答】如圖(1)，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE.圖(1)7．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)是線段B1D1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．【解答】圖(2)(1)求證：DD1∥平面AB1C；【解答】(1)如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OB1，B1D1.(2)若B1A＝B1C，求直線BC1與平面AB1C所成角的正弦值．【解答】因?yàn)锽1A＝B1C，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)B1⊥AC.又平面AB1C⊥平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，OB1?平面AB1C，所以O(shè)B1⊥平面ABCD，又OB1∥DD1，所以DD1⊥平面ABCD.9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA＝AD＝2，AB＝4，M，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面PAD.【解答】如圖，取PB中點(diǎn)E，連接ME，NE.因?yàn)镸，N分別是線段AB，PC的中點(diǎn)，所以ME∥PA.又因?yàn)镸E?平面PAD，PA?平面PAD，所以ME∥平面PAD，同理得NE∥平面PAD.又因?yàn)镸E∩NE＝E，所以平面PAD∥平面MNE.因?yàn)镸N?