2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)【一輪復(fù)習(xí)講義】第51練 二項(xiàng)式定理（基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）（新高考）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第51練二項(xiàng)式定理（精練）

刷真題明導(dǎo)吧_____

一、單選題

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）［2x-的展開式中x的系數(shù)為（）.

A.-80B.TOC.40D.80

【答案】D

【分析】寫出［的展開式的通項(xiàng)即可

，的展開式的通項(xiàng)為[J=(-l)r25-rQx5-2r

【詳解】=C：（2元廣

令5-2r=1得r=2

所以-g1的展開式中x的系數(shù)為（-1）225-2C；=80

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的運(yùn)用，較簡(jiǎn)單.

2.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）若（2%一1）4=%-+。3%3+。2必+。/+。0，則為+。2+。4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【分析】利用賦值法可求4+。2+〃4的值.

［詳解］令X=1,則%+。3+“2+4+=1，

令X——1,則應(yīng)—生+%—4+“0=(—3)=81,

1+81

故〃4+。2+%==41,

2

故選：B.

二、填空題

3.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)在12d一一j的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】60

【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式G=(-球x26"xC：x/*,令18-4左=2確定左的值,

然后計(jì)算一項(xiàng)的系數(shù)即可.

(詳解】展開式的通項(xiàng)公式Tk+l=C：(2元3廣H=㈠1x26TX晨X產(chǎn)”，

令18—4k=2可得，k=4,

則Y項(xiàng)的系數(shù)為(-1)4X26-4xC^=4x15=60.

故答案為：60.

2345

4.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)已矢口多項(xiàng)式(X+2)(X-1)4=aQ+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,貝!!%=

q+。2+。3+。4+〃5-

【答案】8-2

【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令x=。求出旬，再令工=1即可得出答案.

【詳解】含爐的項(xiàng)為:x.C：.x.(-1)3+2.Ctx2.(-1)2=-4x2+12x2=8x2,故%=8；

令x=0,即2=%,

令%=1,即。=%+%+/+〃3+〃4+〃5，

；?4+I2+/+〃4+05=—2f

故答案為：8；-2.

5.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)￡|(x+y)8的展開式中/儼的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-28

【分析】[1-1(尤+，)8可化為(x+y)8_?(x+y)8,結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)閗-)](尤+，)'=(尤+"-4x+y)8,

Vx)x

所以尤+y)8的展開式中含無的項(xiàng)為c"2y6-9《x3y5=-28fy6,

-11(x+y)8的展開式中Vy6的系數(shù)為一28

故答案為：-28

6.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）（&+捻］的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】15

【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理可得［?+的展開式的通項(xiàng)為7^=^3，“言，令亭=0,代入即

可得解.

【詳解】由題意［?+尋的展開式的通項(xiàng)為“《廣'尼［=G$7芋,

令1^=0即r=l,貝UC'3'=C>3=15,

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2021?天津?統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，1的系數(shù)是

【答案】160

【分析】求出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令無的指數(shù)為6即可求出.

【詳解】+1的展開式的通項(xiàng)為小=G（2x3p-QT=26-rC；-x18-4r,

令18-4廠=6,解得r=3,

所以了6的系數(shù)是23^=160.

故答案為：160.

8.（2021.北京?統(tǒng)考高考真題）在。3-'）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

【答案】T

【分析】利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)公式并整理化簡(jiǎn)，然后令x的指數(shù)為零，求解并計(jì)算得到答案.

【詳解】卜」）的展開式的通項(xiàng)『「,（一廠（」）'=（一1「（】

令12-4r=0,解得「3,

故常數(shù)項(xiàng)為7；二（1|<.

故答案為：-4

9.（2021.浙江?統(tǒng)考高考真題）已知多項(xiàng)式（工一1）3+（%+1）4=工4+%%3+%%2+〃3%+〃4，則4=

%+%+〃4=

【答案】5;10.

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式定理，分別求出(％-l)3,(x+4)4的展開式，即可得出結(jié)論.

【詳解】(％-I,=/—3/+3%—1,

(x+1)4=x4+4x3+6x2+4x+l,

所以％=1+4=5,%=—3+6=3,

%=3+4=7,%=—1+1=0,

所以〃2+/+%=1。.

故答案為：5,10.

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

、單選題

展開式的常數(shù)項(xiàng)是（

【答案】A

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行求解即可.

【詳解】Jx+J4展開式的通項(xiàng)為&=C；（2x）jRj=Q?

令4一2廠=0,得r=2,

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)是C：24=24.

故選：A.

2.二項(xiàng)式［2尤-亍J展開式的常數(shù)項(xiàng)為()

A.-160B.60C.120D.240

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】，苫-9］展開式的通項(xiàng)為：7M=C：(2x)6一［-9］=晨-26士(-10/那,

3

令6—萬左=0得左=4,

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為C：x22x(-1)4=60,

故選:B.

3.二項(xiàng)式1-1J的展開式中，含V項(xiàng)的系數(shù)是()

A.-462B.462C.792D.-792

【答案】D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.

【詳解】j展開式的通項(xiàng)為C齪2-丘(_琰婷=(_琰喋聲②,雇{0,1,2,,12},

令12-2左=2,解得左=5,所以一項(xiàng)的系數(shù)是(一1)542=-792,

故選:D

4.在(3-6)7的展開式中，丁的系數(shù)為()

A.-21B.21C.189D.-189

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得解.

【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得C37~(-Ny=C；37T(-1)，無丁，令］=3得廠=6,

所以/的系數(shù)為C3(-l)6=21.

故選：B.

5.已知［2x+4j的展開式中，x的系數(shù)為80,則。=()

A.-1B.±1C.±2D.2

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由指定項(xiàng)的系數(shù)，求。的值.

2x+2［展開式的通項(xiàng)為加

【詳解】

當(dāng)5-2廠=1,有r=2,則展開式中x的系數(shù)為C；23a2=801=80,

所以/=1,解得a=±l.

故選：B

6.(1-x)'°的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是()

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

【答案】C

【分析】利用二項(xiàng)式定理求得(1-式°的展開通項(xiàng)公式，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可得解.

rr

【詳解】依題意，(1-行。的展開通項(xiàng)公式為北+1=C；0(-x)=(-l)q0V(0<r<10,r6N),其系數(shù)為,

當(dāng)「為奇數(shù)時(shí)，(-D'C；。才能取得最小值,

又由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，C：。是｛C；。｝的最大項(xiàng),

所以當(dāng)r=5時(shí)，(-D'C；。取得最小值，即第6項(xiàng)的系數(shù)最小.

的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為()

B.—C.-256D.256

256256

【答案】B

【分析】先根據(jù)只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大確定〃的值，再令x=l求解即可.

【詳解】因?yàn)檎归_式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式共有9項(xiàng)，則“=8.

故選：B.

8.“"=6”是2+￡|”的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)依次判斷充分性和必要性即可.

【詳解】展開式的通項(xiàng)為:

當(dāng)場(chǎng)=6時(shí)，取廠=4,則（=C>x°=15,故充分性成立;

（1丫_]〃=8

當(dāng)2〃-3-=0時(shí)，％+；展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，如,=“故必要性不成立；

所以“〃=6”是“（x+：J的二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)”的充分非必要條件.

故選：A.

（1丫

9.已知x+^=的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15,則a的值為（）

I

A.1B.—1或4C.1或4D.4

【答案】C

【分析】求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，結(jié)合題意，求得r=4或r=2,分類討論，即可求得。的值.

（1V-丫6心+17

【詳解】由二項(xiàng)式X+3的展開式的通項(xiàng)為7；M=C=6-，X2=C）12J,

IJx"）I）

因?yàn)檎归_式中常數(shù)項(xiàng)為15,所以C（=15,得廠=4或r=2,

當(dāng)r=4時(shí)，由+=得°=1；

當(dāng)廠=2時(shí)，由6-15+11=0,得a=4,

所以4=1或〃=4.

故選：C.

10.在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16,則展開式中/項(xiàng)的系數(shù)（）

x

A.15B.54C.12D.-54

【答案】B

【分析】利用賦值法，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)的和是16,

所以2"=16=>n=4,

二項(xiàng)式（尤2v）4的通項(xiàng)公式為小=c；.優(yōu)廣m=&?產(chǎn),

令8-3廠=2=廠=2,所以展開式中V項(xiàng)的系數(shù)C%（-3）2=54,

故選:B

11.已知。>0,二項(xiàng)式卜+/：的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（

A.36B.30C.15D.10

【答案】C

【分析】先根據(jù)“所有項(xiàng)的系數(shù)和“求得。，然后利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.

【詳解】令x=l,則可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為（l+a）L64且a>0,解得。=1,

；卜+!）的展開式中的通項(xiàng)（+1=C*63,%=0,l,…,6,

當(dāng)左=2時(shí)，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C；=15.

故選：C

12.（3x-y）（2x+y）s的展開式中，dy3的系數(shù)為（）

A.200B.40C.120D.80

【答案】B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理先求通項(xiàng)，再根據(jù)項(xiàng)進(jìn)行分別求系數(shù)，最后求和.

【詳解】（3x-y）（2尤+y）5=3武2尤+才_(tái)y（2x+y）s,

而（2x+?展開式的通項(xiàng)為Tk+l=C：（2x）修爐,

所以當(dāng)左=3時(shí)，的系數(shù)為3XC；2'120,

當(dāng)左=2時(shí)，Vy3的系數(shù)為TXC；23=-80,

所以x3y3的系數(shù)為120-80=40,

故選：B

13.已知多項(xiàng)式（尤+l）“X+2）2=%彳5+%X4+%%3+a/2+4］彳+4,則4-q+見—/+%-。5=（）

A.0B.4C.8D.32

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法計(jì)算作答.

【詳解】依題意，令X=—1,得/—4+。2—4+。4-%=（―1+1）3,（—1+2）~=。.

故選：A

14.（a+x）（l+xf的展開式中不含尤2項(xiàng)，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.--B.-1C.--D.--

237

【答案】C

【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】。+力7的展開式的通項(xiàng)公式為＜+i=c；/,因?yàn)間+x）（i+xf的展開式中不含/項(xiàng)，所以

aC；+C；=0,解得”=-§,

故選：C.

15.在（x+y+2）5的展開式中，孫3的系數(shù)是（）

A.24B.32C.36D.40

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，孫3的項(xiàng)為c；尤.C%3.C：X2,化簡(jiǎn)后即可求解.

［詳解】根據(jù)題意，孫3的項(xiàng)為c*-Cy-C；x2=40孫3,

所以孫3的系數(shù)是40.

故選：D.

二、多選題

16.下列關(guān)于］：一24的展開式的說法中正確的是（）

A.常數(shù)項(xiàng)為一160

B.第4項(xiàng)的系數(shù)最大

C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1

【答案】ACD

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】匕-296展開式的通項(xiàng)為7；+|=晨］￡|6"（一2尤）/：=（一2）k**.

對(duì)于A,令2左-6=0,解得I=3,.*.常數(shù)項(xiàng)為（-2）3C：=-8x20=-160,A正確；

對(duì)于B,由通項(xiàng)公式知，若要系數(shù)最大，k所有可能的取值為0,2,4,6,

-6422666

7；=%,方=4C〉-2=60X2,TS=（-2）C^X=240X,7；=（-2）x=64x,

???展開式第5項(xiàng)的系數(shù)最大，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,展開式共有7項(xiàng)，得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，C正確；

對(duì)于D,令x=l,則所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1-2）6=1,D正確.

故選：ACD.

17.關(guān)于二項(xiàng)式，2一的展開式，下列結(jié)論正確的是（）

A.展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為-1B.展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256

C.展開式中第5項(xiàng)為1120/D.展開式中不含常數(shù)項(xiàng)

【答案】BCD

【分析】選項(xiàng)A,取x=l驗(yàn)證即可，選項(xiàng)B二項(xiàng)式系數(shù)和為2”驗(yàn)證即可，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求解即

可，利用C選項(xiàng)的展開式通項(xiàng)公式驗(yàn)證即可.

【詳解】A選項(xiàng)：取x=I.有（-以=1,A錯(cuò)，

B選項(xiàng)：展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為28=256,B對(duì)，

C選項(xiàng)：由心|=履（x2廣”（一2一）”=（一2）&Ct/-"左=o,1,2……8）,

則％=4時(shí)即為第5項(xiàng)為（-2）4=1120x4,C對(duì)，

D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)可知16-3左片0恒成立，D對(duì),

故選：BCD.

18.已知的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為1024,則下列說法正確的是（）

B.奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為512

C.展開式中有理項(xiàng)僅有兩項(xiàng)D.C；+2C：+3C：+…+〃C：=5120

【答案】BD

【分析】利用賦值法，結(jié)合二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式、組合數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】在1+才）中，令x=y=l,由題意可知：2"=1024n〃=10,

因?yàn)镃；9=C；；=C：9*C；；,所以選項(xiàng)A不正確；

n

在中，令x=l,y=T,可得0=或_。+或-。++C；；,

而1024=或+&+或+1++6,所以C；°+C；°++C；°=512,因此選項(xiàng)B正確;

1

二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為=《。?元|-r

4M=q0.?°--P

當(dāng)一gr=O,一1,一2時(shí)，才是有理項(xiàng)，因此選項(xiàng)C不正確;

設(shè)S=C；。+C；o+2/+3C：o+…+10C；bK1),

所以有S=10，+9C：0+8C；。+7C：°+…+或―1⑵，

(1)+⑵得:2S=10(C；°+C：°+C：°+C：。+…+C；°)nS==5120,

因此選項(xiàng)D正確，

故選：BD

19.已知(x—l)(x+2)6=%+[/+〃2元2H--1-a1x1,貝!J()

A.〃o=-64B.ax=63

C.%+%H---F%=0D.q+/+%+%=1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理以及賦值法相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算求解即可.

【詳解】對(duì)于A,令尤=0,得到%=-1x26=-64,故A正確；

對(duì)于B,(x+2)6的通項(xiàng)公式為Tr+l=晨?產(chǎn),.2,,

令r=5,得到〃=C〉X-25=192X,

令廠=6,得到力=建X26=64,

所以q=64-192=-128,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,令x=l,得到4+4+…+%=。，故C正確；

對(duì)于D,令尸一1,貝(j4-q+%=-2,又因?yàn)?+4+…+%=。，

兩式相減得—2(q+4+4+%)=—2,則G+/+%+%=1,故D正確.

故選：ACD

5

20.已知(1-2x)5=g++a5x,則下列說法正確的是()

A.%=1B.%=-8。

C.%+/+/+%+%=-1E).%+%+。4=121

【答案】ABD

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式通式以及賦值法即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A,取x=0,則a0=l,則A正確；

對(duì)B,根據(jù)二項(xiàng)式展開通式得(1-2x)5的展開式通項(xiàng)為CT[_2X)',即C[(-2)，.『，其中0WY5,reN

所以％=仁(-2)3=-80,故B正確；

對(duì)C,取x=l,則CLQ+CZ]+%+/+/+%=—1，

則％+々2+/+4+%=-1--2,故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,取x=—1,貝！)%-%+/-/+%-%=3,=243,

將其與%+4+%+/+。4+〃5=—1作和得2(4+/+%)=242,

所以%+%+%=121,故D正確；

故選：ABD.

三、填空題

21.（1+尤）（1+2尤）5的展開式中x6的系數(shù)為.

【答案】32

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.

【詳解】（1+尤）（1+2尤）5=（1+2尤）5+x（l+2x）5,

故（1+尤）（1+2x）5的展開式中的項(xiàng)只能是x（l+2x）5中出現(xiàn)的爐，

由于X（1+2X）5中含X6的項(xiàng)為無（2x）5=32*6,

（1+尤）（1+2x）5的展開式中爐的系數(shù)為32

故答案為：32

22.已知二項(xiàng)式［x+gj的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15,則。=.

【答案】±1

【分析】應(yīng)用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式及已知常數(shù)項(xiàng)列方程求參數(shù)a即可.

【詳解】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為4+1-=/C"63/=O,I,,6,

令6-3〃=0=>〃=2,故〃2晨=15〃=15=>〃二=±1.

故答案為：±1

23.的展開式的第三項(xiàng)的系數(shù)為135,,貝!|〃=____.

【答案】6

【分析】先寫出展開式的通項(xiàng)公式刀包；再令r=2,列出等式求解即可.

【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為4+廣==(-3)r,

則第三項(xiàng)的系數(shù)為（-3）2C=9C：

=9X"R=135,即1)30,解得〃=5(舍去)或〃=6.

故答案為：6.

24.的展開式中匯2的系數(shù)為—

【答案】-84

【分析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為z.M=（_iyc）手，取牝，=-2,計(jì)算得到答案.

=-84.

25.已知(X+3)5=%+。］%+的/+。3尤3+4X4+。5/，貝!!4+%=.

【答案】648

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】（尤+3y的展開式的通項(xiàng)公式為：4M=&（尤廣

所以a°=《x35=243,

4

at=C^x3=405,

貝(j4+q=648.

故答案為：648

26.若（也-的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,則|也+/j”的展開式中:的系數(shù)為.

【答案】56

【分析】通過二項(xiàng)式系數(shù)和求出〃=4,然后求出［也+：］展開式的通項(xiàng)公式，最后求出指定項(xiàng)的系數(shù)即

可.

【詳解】由1次-J1的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,得2"=16,所以〃=4,

則（也+的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+l=q（近rRJ=C"號(hào),

令t包=-4,解得r=5,故［哄+的展開式中十的系數(shù)為c：=56.

故答案為：56

27.若（6-的展開式中含有x?項(xiàng)，則w的值可以是（寫出滿足條件的一個(gè)"值即可）.

【答案】7（答案不唯一）

n—3r

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出展開式的通項(xiàng)為「產(chǎn)然后由已知得出〃=3r+4.

r

【詳解】［6-的展開式的第r+1項(xiàng)為Tr+i=cn--1）'?C；??

〃一

當(dāng)一--=2時(shí)，n=3r+4.

故可取r=l,此時(shí)〃=7（答案不唯一）.

故答案為：7.

28.1f+J+ij的展開式中d項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】80

【分析】只需6個(gè)因式中3個(gè)因式取/、3個(gè)因式取工或2個(gè)因式取/、1個(gè)因式取工、3個(gè)因式取1,根

XX

據(jù)組合知識(shí)得到答案.

【詳解】12+1+1：可以看成6個(gè)因式卜+：+1）相乘，

所以卜+:+1：的展開式中含V的項(xiàng)為3個(gè)因式取尤2、3個(gè)因式取;

或2個(gè)因式取一、1個(gè)因式取工、3個(gè)因式取1,

X

所以12+：+1：的展開式中含Y項(xiàng)的系數(shù)為c：c；+C；C：C；=80.

故答案為：80

432

29.若=a4x+tz3x+a2x+4%+%,則%-。3+%i-.

【答案】15

【分析】由函數(shù)觀點(diǎn)結(jié)合賦值法即可求解.

【詳解】不妨設(shè)==%%4+〃3X3+〃212+%%+〃0,

令X=0得/⑼=/=(0-I1=1,

==

x-1于(-1)=%—+tz2—q+/=(-]—1)16,

所以。4一〃3+〃2=15.

故答案為：15.

30.若(1+尤):a+￡j展開式中尤2的系數(shù)為30,貝1］°=.

【答案】2

【分析】由題意得(l+x)5(a+=)=a(l+4+g(l+x)5,結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式建立方程，解之即可求解.

%X

【詳解】由題意知，(1+X)'("+F)="(l+x)s+~y(1+X)，，

(1+x)5展開式的通項(xiàng)公式為=CK,

所以含一的項(xiàng)的系數(shù)為aC；+aC；,

則oC；+W=30,即15a=30,解得a=2.

故答案為：2.

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

/.\8

1.［2x-的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

,17921792-1024-1024

A.B.C.D.

9933

【答案】A

【分析】利用［x-j］的通項(xiàng)可得答案.

【詳解】-的通項(xiàng)為&=q(2尤廣］—

令8_4r=0,得r=2,所以常數(shù)項(xiàng)為n=晨261_1丫_1792

3J9

故選:A.

+今)展開式中十項(xiàng)的系數(shù)為

2.-1(16160,則。=()

A.2B.4C.-2D.-2女

【答案】C

【分析】在-：（1+世）6展開式的通項(xiàng)公式中，令廠=3得x-2y3項(xiàng)的系數(shù)，令其等于160即可求出。的值.

【詳解】-士（1+-）6展開式的通項(xiàng)公式為T用=-無氣式即）,，

X

令廠=3,得］項(xiàng)的系數(shù)為_/或=_20/,

依題意-20/=160,得。=-2.

故選：C

3.11-?12苫+＞）8的展開式中W的系數(shù)為（）

A.-672B.-112C.672D.112

【答案】A

（分析】首先展開式為［1-2］（2尤+丫尸=（2x+y丫?（2x+y＞，再根據(jù)（2x+y）8的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，

求展開式中/丁5的系數(shù).

【詳解】因?yàn)椋?x+4的展開式的通項(xiàng)為加=C；（2X）8-'=C；2"，一，y,

34

所以（1-（2x+4=（2x+y丫-匕（2尤+y）3,展開式中工3好的系數(shù)為以2-C^2=-672.

VxJx

故選：A

4.已知（冗-3）”的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則下列結(jié)論正確的是（）

7x

A.〃=8B.二項(xiàng)式系數(shù)之和為256

C.將展開式中的各項(xiàng)重新隨機(jī)排列，有理項(xiàng)相鄰的概率為AD.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15

【答案】D

【分析】A.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷；B.二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"求解判斷；C.利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求

解判斷；D.利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解判斷.

【詳解】解：因?yàn)椋ㄓ?；）”的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

yjx

所以〃=6,故A錯(cuò)誤；

二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64,故B錯(cuò)誤；

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為&=G（-l）'x咤，若6-U為整數(shù)，則「=0,2,4,6,

所以將展開式中的各項(xiàng)重新隨機(jī)排列，有理項(xiàng)相鄰的概率為尸=與=上，故C錯(cuò)誤;

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為加=晨(-1)、咤，令6-2=0得廠=4,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為或=15,故D正

確；

故選：D

5.已知卜?+2+!)(〃eN*)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20,貝!!"=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，求出通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】卜+2+J="J+2]=9+']

其通項(xiàng)公式為：Tr+l=q(?r￡jy(&r，

當(dāng)〃=r時(shí)，6=20,解得：〃=3.

故選：A.

6.若(&-班產(chǎn)的展開式中系數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)有/項(xiàng)，則人的值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)得心=口6(-1族廣>5，貝!)8jeN,則得到答案.

【詳解】二項(xiàng)式(后x-正嚴(yán)的通項(xiàng)為心=/-2等.(_2Qj="(-l02Wy-，(其中OW16,reN).

若項(xiàng)的系數(shù)為整數(shù)，貝!為自然數(shù)，所以r=0,6,12,所以左=3.

故選:B.

7.若1+修卜-￡|5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10,則根=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】由x--T=x｛》一工[+-L-1L利用f的展開式的通項(xiàng)公式,分別求得/尤

VXX)<X)x\X)\X)\X)

和二的常數(shù)項(xiàng)求解.

xVx)

*+￡卜-5=+一曰+三［-)，

【詳解】解:

x-|j的展開式的通項(xiàng)公式為4旬=C05T

令5-2r=-1,解得r=3,貝晨卜-￡|的展開式的常數(shù)項(xiàng)為=-10；

令5-2r=1,解得廠=2,則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為〃，砥=10%

X\X)

因?yàn)?尤+?)1-的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10,

所以10m-10=10,解得m=2,

故選：D

8.若(1—1)(1+2%)7=瓦+4(%+1)+/?2(兄+1)2---|_4(%+1丫則為+&+%+4+a=()

3°-?38-1

A.---B.---C.38D.38-1

22,

【答案】B

【分析】用賦值法即可求解.

8

［詳解］因?yàn)?％_1)(1+2x)7=%+4(%+1)+4(%+1)2+--I-Z?8(x+1),

令x=0得，瓦+b、+b2T---HZ?8=-1①，

8

令％=-2得，bQ—bx+b2—b3—F&8=3②，

①+②得，2(4+4+。4+4+Z?8)=38—1,

38_i

所以％+4+%+4+4=----.

2

故選：B

9.若(Y+x+2y)5的展開式中x”的系數(shù)為“，1j-x：展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為N,則M,N大小關(guān)系為

A.M>NB.M<N

C.M=ND.無法確定

【答案】B

【分析】將三項(xiàng)展開式化為二項(xiàng)展開式，利用通項(xiàng)公式求出令x=l得N,比較大小可得答案.

2

【詳解】（Y+x+2y丫=[,+x）+，Tk+}=C；?（一+曠、（2?=2%C；（%+尤廣.,

則％=2,則（x2+x）3的展開式的通項(xiàng)公式為T"C1，產(chǎn)'.xJCf-x6-k，,

令6=4,得太=2,

所以M=22C[C；=12O.

N==2,=128,

則M<N.

故選：B

10.在（l-xf+O-域++（1一刊°的展開式中，含/的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.165B.-165C.155D.-155

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理、結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)求解作答.

【詳解】（1-%）5+（1-同6+的展開式中含尤2的項(xiàng)的系數(shù)為：

c+晨+c；+c；+C；+c；。=c；+C+c；+C+c；+c；+C-C；

=C：+c；+C；+C；+砥+C；o—10=C；+C；+C；+C+C；o-10

=C；+C；+C；+C；O-1O=C；+C；+C；O-1O=C：O+C；O-1O=C：]-1O=165-1O=155.

故選：C

11.（1+尤）"'+（2+x）"展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為25,則該展開式中一項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.2023

【答案】B

【分析】令x=l,得出關(guān)于相，〃的關(guān)系式，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，解出乙凡然后根據(jù)二項(xiàng)式定理，分別得出。+力4以

及（2+域中含爐的項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】令x=l,得2帆+3"=25.

m

因?yàn)?…*N*,所以f也l<23”<244,所以［fo0<om<h4

當(dāng)〃=0時(shí)，有2m=24,無整數(shù)解；

當(dāng)"=1時(shí)，有2"=23,無整數(shù)解；

當(dāng)”=2時(shí)，有2"'=16,解得m=4.

所以，m=4,n=2.

（1+x）4中含尤2的項(xiàng)為C；.F.Y=6/,（2+尤）2中含一的項(xiàng)為砥.2。.d=x?,

所以，該展開式中V項(xiàng)的系數(shù)為6+1=7.

故選:B.

12.若（2x—1/=4+qx+的/+…+”10儲(chǔ)°,xeR,貝!j（）

A.q+%+…+%o=1B.|a（）|+同+|聞+...+,o|=—3|0

C.a,=160D.色+*+騫+…+絳=-l

-22223210

【答案】D

【分析】分別令x=0、x=l可判斷A；轉(zhuǎn)化為求（2x+1戶的各項(xiàng)系數(shù)之和，令x=l可判斷B；利用通項(xiàng)公

式可判斷C；分別令％=0、尤=g可判斷D.

102w

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,（2x—1）=+axx+a2x+--+aiOx,

令x=。，得％=1,令x=l,得％+%+〃2++%o=l，

所以％+%++%o=。，故A錯(cuò)誤；

對(duì)選B,因?yàn)椋?1）=%+ClyX+/％2+-+,

所以同+同+同++而表示（2x+l廠的各項(xiàng)系數(shù)之和,

令x=l,則同+同+同++%|=3%故B正確；

對(duì)選項(xiàng)C/無2=或（2x）2.（-1）8=180x2,所以電=180,故C錯(cuò)誤;

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)椋?x-l）=%+Cl^X+/％2+-+弓。%］。9%=1，

令x=:，貝山2,-丁=1+幺+自+烏++韁=0,

212J22223210

則+3=T，故D正確.

故選：D.

二、多選題

13.在(2X-3丫尸的展開式中，下列結(jié)論正確的有()

A.二項(xiàng)式系數(shù)的和為21。B.各項(xiàng)系數(shù)的和為21。

10

C.奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和為1匕IC"D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為-65(4-力

2

【答案】ACD

10210

【分析】設(shè)(2…嚴(yán)=<20x+qx9y+a2J^y+...+d10y,利用賦值法判斷B、C,根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特征判斷A、

D.

110

［詳解］設(shè)(2丈一3分。=。0寸°+qx9y+a^y+…+6z］0y,

在(2x-3y>。的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為Clo+Co+...+C；”^,故A正確；

令x=y=l可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(2-31=1,故B錯(cuò)誤；

令x=y=1,得至［j/+%+/+…+Go=1①，

令x=1,丁=-1(或X=-1,y=i),

=

(ZQ_q+4一心+???+々io51°(^)9

①+②得2(%+4+...+4o)=1+51°，

???奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為巨芝，故C正確；

2

10

二項(xiàng)式(2x-3j)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=.(2"(-3y)‘(OVrWlO且reN),

展開式中一共11項(xiàng)，故展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，

即C：。(2x)5(_3,=-65C^5y5,故D正確；

故選：ACD

14.已知的二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則()

A.n=6B.展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243

C.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16D.展開式中有理項(xiàng)一共有3項(xiàng)

【答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)最大得到方程，求出〃=5；B選項(xiàng)，賦值法得到各項(xiàng)系數(shù)和；C選項(xiàng)，

先求出二項(xiàng)式系數(shù)和，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到答案；D選項(xiàng)，寫出展開式的通項(xiàng)公式，從而得到有理

項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).

【詳解】A選項(xiàng)，二項(xiàng)展開式中第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即〃為奇數(shù)，

n+1,n+\n4-1

且C三T與c3最大，所以乎=3,解得,7=5,A錯(cuò)誤；

n?2

B選項(xiàng)，+中，令x=l得，

故展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,B正確；

C選項(xiàng)，展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為25=32,其中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，

所以展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16,C正確；

D選項(xiàng)，展開式通項(xiàng)公式為&]0<r<5,且廠為整數(shù)，

當(dāng)r=0時(shí),5—萬廠=5滿足要求,當(dāng)「=2時(shí),5—;r=2滿足要求,當(dāng)廠=4時(shí),5—5r=-1滿足要求,

綜上，展開式中有理項(xiàng)一共有3項(xiàng)，D正確.

故選：BCD

15.已矢口（*-2）6=4+1彳+。2彳2+4%6，貝U（）

A.%=1B.%=60

36-1

C.q+出+%+%+45+%=-63D.a0+a2+a4+a6=--—

【答案】BC

456

【分析】設(shè)令〃尤）=（尤-2『=%+axx++a4x+a5x+?6x,利用賦值法可判斷ACD選項(xiàng)；利用

二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可判斷B選項(xiàng).

【詳解】令〃尤）=（x-2『=a。+Cl^X+//+/三+包/+公?

對(duì)于A選項(xiàng)，4=/⑼=（-2）6=64,A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，（無-2『的展開式通項(xiàng)為如=晨?產(chǎn)仁（_2>住=0,1,2,一,6）,

令6—左=4,可得左=2,貝!)%=C；?(—2)2=15x4=60,B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，q+。2+/+。4+。5+。6=(%+4+。2+/+。4+。5+%)一%

=/(l)-/(O)=(l-2)6-64=l-64=-63,C對(duì);

/⑴=%+q+02+。3+〃4+〃5+〃6=1

對(duì)于D選項(xiàng),

f(—1)=%—〃]+4—“3+〃4—〃5+〃6=(-3)

36+1

所以，%+〃2+。4+〃6=~~~D錯(cuò).

故選：BC.

16.已知(％—1)(%+2)6=。0+〃1%+%x2++%/，貝|J()

A.a0+ai+a2++%=。B.〃2二48

C.%+4+。4+。6=—2D.%+。3+。5+“7=1

【答案】AD

【分析】令X=l，即可判斷A選項(xiàng)；令》=-1,結(jié)合x=l,即可判斷C、D選項(xiàng)；寫出（x+2『展開式的通

項(xiàng)，得出含V的系數(shù)，即可判斷B選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，令x=l,可得4+4+/++Oj=（1-1）（1+2）6=0,故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng),（尤+2）6展開式的通項(xiàng)為2。=2y產(chǎn)，，r=0,l,2,3,4,5,6.

由6--=1可得廠=5,所以（x+2）6展開式含x的項(xiàng)為"=C〉a25=192x.

由6f=2可得r=4,所以（x+2『展開式含/的項(xiàng)為（=c>