專題09對數(shù)（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型）

專題09對數(shù)（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)6種題型）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.對數(shù)的定義知識(shí)點(diǎn)2.對數(shù)與指數(shù)的互化知識(shí)點(diǎn)3.特殊對數(shù)知識(shí)點(diǎn)4.對數(shù)的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)5.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)6.換底公式常用推論【方法二】實(shí)例探索法題型1.指數(shù)式與對數(shù)式的互化題型2.對數(shù)恒等式的應(yīng)用題型3.對數(shù)的運(yùn)算題型4.應(yīng)用換底公式求值題型5.應(yīng)用換底公式化簡題型6.利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化解題【方法三】成評定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.對數(shù)的定義ab＝N?b＝logaN(a>0且a≠1)知識(shí)點(diǎn)2.對數(shù)與指數(shù)的互化(1)指數(shù)式與對數(shù)式的互化及有關(guān)概念：(2)底數(shù)a的范圍是a>0，且a≠1.知識(shí)點(diǎn)3.特殊對數(shù)常用對數(shù)與自然對數(shù)知識(shí)點(diǎn)4.對數(shù)的性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．知識(shí)點(diǎn)5.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知識(shí)點(diǎn)6.換底公式常用推論若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，則有l(wèi)ogab＝eq\f(logcb,logca).【方法二】實(shí)例探索法題型1.指數(shù)式與對數(shù)式的互化【例1】將下列對數(shù)形式化為指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式化為對數(shù)形式：(1)2－7＝eq\f(1,128)；(2)logeq\s\up5(\f(1,2))32＝－5；(3)lg1000＝3；(4)lnx＝2.[解](1)由2－7＝eq\f(1,128)，可得log2eq\f(1,128)＝－7.(2)由logeq\s\up5(\f(1,2))32＝－5，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.(3)由lg1000＝3，可得103＝1000.(4)由lnx＝2，可得e2＝x.【規(guī)律方法】指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法1將指數(shù)式化為對數(shù)式，只需要將冪作為真數(shù)，指數(shù)當(dāng)成對數(shù)值，底數(shù)不變，寫出對數(shù)式；2將對數(shù)式化為指數(shù)式，只需將真數(shù)作為冪，對數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.【變式1】將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：(1)3－2＝eq\f(1,9)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16；(3)logeq\s\up5(\f(1,3))27＝－3;(4)logeq\r(x)64＝－6.[解](1)log3eq\f(1,9)＝－2；(2)logeq\s\up5(\f(1,4))16＝－2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27；(4)(eq\r(x))－6＝64.【變式2】（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？计谀┮阎?，用a及b表示．【答案】【分析】先把轉(zhuǎn)化為，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故答案為：．題型2.對數(shù)恒等式的應(yīng)用【例2】設(shè)5log5(2x－1)＝25，則x的值等于()A．10 B．13C．100 D．±100(2)若log3(lgx)＝0，則x的值等于________．[思路點(diǎn)撥](1)利用對數(shù)恒等式alogaN＝N求解；(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．(1)B(2)10[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故選B.(2)由log3(lgx)＝0得lgx＝1，∴x＝10.]【規(guī)律方法】1．利用對數(shù)性質(zhì)求解的兩類問題的解法(1)求多重對數(shù)式的值解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重對數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解．2．性質(zhì)alogaN＝N與logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一個(gè)正實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為以a為底的指數(shù)形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以a為底的指數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù)．題型3.對數(shù)的運(yùn)算【例3】計(jì)算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8).[解](1)原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)·eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\,2lg1.8)＝eq\f(1,2).【規(guī)律方法】1．利用對數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系．2．對于復(fù)雜的運(yùn)算式，可先化簡再計(jì)算．化簡問題的常用方法：(1)“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和(差)；(2)“收”：將同底對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)．【變式】求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.題型4.應(yīng)用換底公式求值【例4】計(jì)算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．[解](1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(1＋1＋1)log52＝eq\f(13,3)·3＝13.【規(guī)律方法】1．在化簡帶有對數(shù)的表達(dá)式時(shí)，若對數(shù)的底不同，需利用換底公式．2．常用的公式有：logab·logba＝1，loganbm＝eq\f(m,n)logab，logab＝eq\f(1,logba)等．【變式】求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).題型5.應(yīng)用換底公式化簡【例5】已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．【解析】∵18b＝5，∴b＝log185.又log189＝a，∴l(xiāng)og3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).【變式1】（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學(xué)校考期中）已知?jiǎng)t（用含的式子表示）【答案】【分析】指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用換底公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋?，故故答案為：【變?】（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，用及表示及．【答案】，【分析】根據(jù)換底公式求解即可.【詳解】由換底公式，，.即，題型6.利用對數(shù)式與指數(shù)式的互化解題【例6】已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值．[思路點(diǎn)撥]eq\x(3a＝5b＝c)eq\o(→,\s\up15(指對互化))eq\x(求\f(1,a)，\f(1,b))eq\o(→,\s\up30(\f(1,a)＋\f(1,b)＝2))eq\x(求c的值)[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logc15.由logc15＝2得c2＝15，即c＝eq\r(15).【規(guī)律方法】應(yīng)用換底公式應(yīng)注意的兩個(gè)方面1化成同底的對數(shù)時(shí)，要注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用.2題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時(shí)，要注意將指數(shù)式與對數(shù)式統(tǒng)一成一種形式.【方法三】成果評定法1．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，則（

）A． B． C． D．以上答案均不對【答案】C【分析】利用對數(shù)運(yùn)算的基本性質(zhì)可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榕c互為相反數(shù)，則，因此，.故選：C.2．（2023秋·上海松江·高一?？计谀┮阎?，則.（用表示）【答案】【分析】利用換底公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：3．（2022秋·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)解為.【答案】【分析】分、兩種情況化簡方程，求出的值，解之即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，由可得，可得（舍）；當(dāng)時(shí)，則，由可得，可得，解得.故答案為：.4．（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）已知（a為常數(shù)，且，），則．（用a表示）【答案】【分析】先利用指數(shù)式和對數(shù)式互化得到所以，再利用換底公式得到，然后利用對數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，故答案為：5．（2023春·上海金山·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，用m表示為．【答案】/【分析】先根據(jù)指對互化可得，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】∵，則，∴.故答案為：.6．（2023春·上海寶山·高一統(tǒng)考期末）若，則（用含的式子表示）.【答案】【分析】利用對數(shù)的換底公式，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解作答.【詳解】由，得，即，所以.故答案為：7．（2022秋·上海浦東新·高一校考期中）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題得，解出即可.【詳解】根據(jù)真數(shù)大于0得，解得，故答案為：.8．（2022秋·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知，求出方程組的所有解.【答案】，或，【分析】利用取對數(shù)法，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋杂?，顯然滿足，同理當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)且時(shí)，由，由，于是有，當(dāng)時(shí)，得，代入中，得，或舍去，所以；當(dāng)時(shí)，得，代入中，得，因?yàn)?，所以，所以方程無實(shí)數(shù)根，綜上所述：方程組的所有解，或，故答案為：，或，9．（2022秋·上海長寧·高一上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎?，用表示．【答案】/【分析】根據(jù)換底公式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：10．（2023秋·上海松江·高一上海市松江二中?？计谀┮阎?，則的值為【答案】/【分析】利用對數(shù)運(yùn)算和指對數(shù)互換可化簡，，即可求得答案【詳解】由可得，由可得，所以故答案為：11．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎?，則（用m表示）．【答案】【分析】由對數(shù)的換底公式及運(yùn)算法則求解．【詳解】由題意．故答案為：．12．（2023秋·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）已知，且，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】45【分析】根據(jù)已知結(jié)合換底公式可得，，代入整理可得，即可得出結(jié)果.【詳解】由可知，，顯然.則，，所以，，則由可得，，所以.故答案為：45.13．（2022秋·上海寶山·高一?？计谀┮阎囉帽硎緸?【答案】【分析】指對互化可得，由換底公式可得，由可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，可得?故答案為：.14．（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學(xué)校考期末）已知，則的值為．【答案】【分析】由對數(shù)的運(yùn)算法則可得，進(jìn)而可得.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所?故答案為：15．（2022秋·上海徐匯·高一?？计谀┮阎?，則的值等于（用表示）.【答案】【分析】由指數(shù)式與對數(shù)式的互化，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：16．（2023秋·上海徐匯·高一位育中學(xué)校考期末）若，則（用a、b表示）【答案】/【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，，故答案為：17．（2023秋·上海松江·高一?？计谀┤?，則（用字母表示）.【答案】【分析】根據(jù)指對數(shù)互化可得，進(jìn)而結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可得，所?故答案為：.18．（2022秋·上海楊浦·高一復(fù)旦附中?？计谀┮阎?，，則.【答案】【分析】由題知，，再根據(jù)換底公式計(jì)算即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，所?故答案為：19．（2022秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校?）計(jì)算：；（2）已知，且，求m的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和根式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）將指數(shù)式和對數(shù)式互化，結(jié)合換底公式和對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所以，由換底公式可得：，因?yàn)椋裕瑒t，因?yàn)?，所?20．（2023·上海·高一專題練習(xí)）已知，求的值．【答案】【分析】對原式化簡，得，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解的值，再代入即可.【詳解】由，去分母可得，所以所以.21．（2022秋·上海靜安·高一?？计谥校┮阎龜?shù)a，b滿足，求a，b，c的值.【答案】，，.【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算公式和換底公式計(jì)算即可.【詳解】由得，，，所以，則，.22．（2022秋·上海楊浦·高一?？计谥校?）求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）1；（2）2【分析】（1）直接利用指數(shù)冪運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可；（2）先將指數(shù)式變?yōu)閷?shù)式，代入，利用換底公式及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】（1）（2）由得23．（2022秋·上海奉賢·高一?？计谥校?shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)冪運(yùn)算是兩類重要的運(yùn)算.(1)根據(jù)所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)如下的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：如果，且，，那么；(2)請你運(yùn)用（1）中的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算的值；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，化為指數(shù)式，取對數(shù)即可得出．（2）利用（1）中的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，且，，設(shè)，所以，所以，所以，即．（2）解：.24．（2022秋·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，用及表示及．【答案】，【分析】根據(jù)換底公式求解即可.【詳解】由換底公式，，.即，25．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）解答下列問題：(1)用表示；(2)已知，且，求M的值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算公式化簡即可；(2)由題意可得，再根據(jù)換底公式可得由，可得，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?；?）解：因?yàn)椋?，所以又因?yàn)椋?，所以，所?26．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知、是一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【分析】分析可知，，根據(jù)判別式結(jié)合韋達(dá)定理可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用韋達(dá)定理結(jié)合對數(shù)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】由已知可得，由題意可知，，則，可得，所以，，所以，，即，因?yàn)?，解?27．（2021秋·上海靜安·高一?？计谥校┮阎?，且，且，求的值．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求得.【詳解】因?yàn)?，且，且，所以①，②，?lián)立得，所以，所以．故答案為：28．（2022秋·上海普陀·高一曹楊二中校考期中）已知、、均為正實(shí)數(shù).(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)34(2)1【分析】（1）對等式二次平方即可求解；（2）對等式同取，代換出基本關(guān)系，將全部代換為，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算和換底公式化簡即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，再平方得，故；?）對同取的底數(shù)可得，即，，所以.29．（2022秋·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？计谥校?）不用計(jì)算器求