2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與圓有關(guān)的計(jì)算的核心知識(shí)點(diǎn)精講（講義）（解析版）

專題25與圓有關(guān)的計(jì)算的核心知識(shí)點(diǎn)精講

?弊，|復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.掌握弧長(zhǎng)和扇形面積計(jì)算公式；

2.會(huì)利用弧長(zhǎng)和扇形面積計(jì)算公式進(jìn)弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算

考嬴理'.

考點(diǎn)1：圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

(1)正三角形_

在。。中△4BC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在放A50D中進(jìn)行：OD:BD:OB=1：C：2；

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在MACME中進(jìn)行，0E:AE:04=l:l：6：

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在放ACMB中進(jìn)行，AB:OB:OA=\：43:2.

考點(diǎn)2：扇形的弧長(zhǎng)和面積計(jì)算

扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：/=鬻；

180

(2)扇形面積公式：$=嘿~=；瓜

n：圓心角R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑/：扇形弧長(zhǎng)5：扇形面積

注意：

⑴對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的,即—：＜=—；

360360180

(2)公式中的n表示1°圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三

個(gè)量.

⑷對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的二一,

360

_兀R?

即360~360；

⑸在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量:扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可

以求出第三個(gè)量.

考點(diǎn)3：扇形與圓柱、圓錐之間聯(lián)系

1、圓柱：

(1)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖

■D1

S表=5側(cè)+25底=2"Wz+2"產(chǎn)

母線長(zhǎng)

1C1

(2)圓柱的體積：V=nr2h

2、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

⑴$表=S側(cè)+5底=小++

(2)圓錐的體積：V=-nr2h

3

注意：圓錐的底周長(zhǎng)=扇形的弧長(zhǎng)(2口「=迫勺

180

歲典例即領(lǐng)

【題型1：正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算】

【典例1】(2023?福建)我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓

的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則

與圓周合體，而無(wú)所失矣”.“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率n的近似值為

3.1416.如圖，。。的半徑為1,運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)。。的面積，可得n

的估計(jì)值為且巨，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得n的估計(jì)值為()

2

A.V3B.2V2c.3D.25/3

【答案】C

【解答】解：如圖，是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)。是正十二邊形的中心,

過(guò)/作/Af_L于

在正十二邊形中，AAOB=360°4-12=30°,

:.AM=1JOA=^,

22

?l-S^AOB=—OB-AM=—x1x—=—>

2224

??.正十二邊形的面積為12x1=3,

4

2

.■.3=lxn,

TX=3,

的近似值為3,

\BD時(shí)椎測(cè)

【變式1-1】（2023?臨沂）將一個(gè)正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（）

A.60°B.90°C.180°D.360°

【答案】3

【解答】解：由于正六邊形的中心角為緲二=60°,

6

所以正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角可以為60°或60°的整數(shù)倍，即可以為60°,

120°,180°,240°,300°,360°,不可能是90。，

故選：B.

【變式1-2】（2023?安徽）如圖，正五邊形內(nèi)接于。。，連接OC,OD,則乙氏4E-ACOD=（）

A

C.48°D.36°

【答案】D

【解答】解：；五邊形ABCDE是正五邊形，

/X180。=108°,ZCO￡>=36Q0=72°,

55

ABAE-ZCOZ>=108°-72°=36°,

故選：D.

［變式1-3］（2023?山西）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截面圖,

圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸，Q,“均為正六邊形的

頂點(diǎn).若點(diǎn)P,。的坐標(biāo)分別為（-蓊，3）,（0,-3）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）

A.（3心-2）B.D.(-2,-373)

【答案】/

【解答】解：設(shè)中間正六邊形的中心為D,連接DA

??,點(diǎn)P,。的坐標(biāo)分別為（-W§,3）,（0,-3）,圖中是7個(gè)全等的正六邊形,

:.AB=BC=26,。。=3,

：.OA=OB=4S,

:DQ=DB=2OD,

??.8=1,QD=DB=CM=2,

：.M（3如,-2）,

故選：A.

【變式1-4］（2023?內(nèi)江）如圖，正六邊形/2C。斯內(nèi)接于O。，點(diǎn)P在篇上，點(diǎn)。是施的中點(diǎn)，貝IJ乙CP0

的度數(shù)為（）

【答案】3

【解答】解：如圖，連接OC,OD,OQ,OE,

V正六邊形ABCDEF,Q是贏的中點(diǎn)，

ZCOD=ADOE=3602=60°,乙DOQ=LEOQ=工乙DOE=30°,

62

ACOQ=ACOD+ADOQ=90°,

ZCPQ=AzCCOQ=45°,

2

故選：B.

”?典例期領(lǐng)

【題型2：弧長(zhǎng)和扇形面積的有關(guān)計(jì)算】

【典例2】（2023?張家界）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形.如圖,

分別以等邊的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若

等邊△N3C的邊長(zhǎng)為3,則該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)等于（）

A

B.3nC.2nD.22M

【答案】5

【解答】解：△NBC是等邊三角形,

，AB=BC=AC=3,AA=AB=AC=60°,

AB=BC=AC,

的長(zhǎng)

??.該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)是3TI.

故選：B.

■

二即時(shí)檢測(cè)

【變式2-1】（2022?廣西）如圖，在△4SC中，CA=CB=4,乙BAC=a,將4ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a,

得到C,連接玄。并延長(zhǎng)交43于點(diǎn)。，當(dāng)B'BF~的長(zhǎng)是（）

C.手吟

D.

【答案】8

【解答】解：,「（%=C5,CDLAB,

；.AD=DB=1AB'.

2

“AB'0=30。，

???a=30。,

???/C=4,

.-.AD=AC-cos30°=4x以=2%,

2

，AB=2AD=4五，

11

而尸的長(zhǎng)度I=兀==6°X兀X4v二空叵1r

1801803

故選：B.

[變式2-2]（2022?麗水）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的

圓外接于矩形，如圖.已知矩形的寬為2勿，高為2日加，則改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是（）

【答案】C

【解答】解：連接/c,BD,NC和AD相交于點(diǎn)。，則。為圓心，如圖所示,

由題意可得，CD=2m,AD=243m,4ADC=90°,

tanADCA=-^5.=2A=5/3,AC={cD2+&/=4（m）,

AACD=60°,OA=OC=2m,

：.AACB=30°,

/LAOB^60°,

優(yōu)弧ADCB所對(duì)的圓心角為300°,

.??改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是：30°兀X2=也三（m）

1803

故選：C.

AB

【變式2-3］（2023?錦州）如圖，點(diǎn)4,B,C在?0上,448c=40°,連接。4,OC.若。。的半徑為3,

則扇形AOC（陰影部分）的面積為（）

D.2n

【答案】〃

【解答】解：AABC=40°,

AAOC=2AABC=80°,

扇形AOC的面積為迎＜Jx_3

360

故選：D.

L典例葬領(lǐng)

【題型3：有圓有關(guān)的陰影面積的計(jì)算】

【典例3】（2023?廣元）如圖，半徑為5的扇形/O5中，AAOB=90°,C是金上一點(diǎn)，CDLOA,CE1

OB,垂足分別為。，E,若CD=CE,則圖中陰影部分面積為（）

&

0----------EB

A.箸B.等產(chǎn)產(chǎn)

【答案】8

【解答】解：連接。C,如圖所示,

?.2/05=90°,CDLOA,CE1OB,

AAOB=AODC=AOEC=90°,

???四邊形OECQ是矩形，

:CD=CE,

???四邊形OECQ是正方形，

ADCE=90°,△OCE和△OEC全等,

S陰影=S^DCE+S半弓形8CE

=SMOCE^S半弓形BCE

=S扇形COB

=45冗X52

360

=25冗

"V

故選：B.

：BD時(shí)檢測(cè)

【變式3-1]（2023?雅安）如圖，某小區(qū)要綠化一扇形OAB空地，準(zhǔn)備在小扇形OCD內(nèi)種花，在其余區(qū)域

內(nèi)（陰影部分）種草，測(cè)得乙/。8=120。，。4=15加，06=10/71,則種草區(qū)域的面積為（)

125兀2「250兀2n125

A.3----------mJ—二—mJ

【答案】8

【解答】解：N=S娜—上嗡致L駕Lg.

3603603

故選：B.

【變式3-2】（2023?鄂州）如圖，在△Z3C中,AABC=90°,44c5=30。,13=4,點(diǎn)。為5C的中點(diǎn),

以。為圓心，05長(zhǎng)為半徑作半圓，交/C于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積是（）

A.5y4B.573-4nC,5^3-2nD.1073-2n

3

【答案】c

在△NBC中，AABC=90°,AACB=30°,AB=4,

:.BC=MAB=4M，

■■.OC=OD=OB=2yf3,

二.乙DOB=2乙C=60°,

4c

S陰=S^ACB-S^COD~S扇形ODB=—X4XVs-5X2V3x2V3x里-6乎，一

222oou

=8%-3M-2n

=5V3-2n.

故選：c.

【變式3-3]（2022?涼山州）家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇

形的圓心角乙8/C=90。，則扇形部件的面積為（）

A.工幾米2B.工幾米2C.工九米2D.幾米2

24816

【答案】c

【解答】解：連結(jié)8C,AO,如圖所示，

VABAC=90°,

???5C是。。的直徑，

:。。的直徑為1米，

.,./O=3O=Jl（米），

2

-'-AB=VAO2+BO2=當(dāng)~（米工

扇形部件的面積=里口、（巨）2=工（米2）,

36028

故選：C.

七曲例群領(lǐng)

【題型4：圓錐的有關(guān)計(jì)算】

【典例4】（2023?東營(yíng)）如果圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積是I5n,母線長(zhǎng)是5,則這個(gè)圓錐的底面半徑是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】/

【解答】解：設(shè)底面半徑為及，則底面周長(zhǎng)=2TTR,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積=工義2標(biāo)義5=15%

2

:.R=3.

故選：A.

A

W即時(shí)悔91

【變式4-1］（2022?牡丹江）圓錐的底面圓半徑是1.母線長(zhǎng)是3,它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是（）

A.90°B.100°C.120°D.150°

【答案】C

【解答】解：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)是：2nxl=2n,

設(shè)圓心角的度數(shù)是〃度.

貝I］旺工

180

解得：?=120.

故選：C

［變式4-2］（2022?廣安）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成.下圖是一個(gè)蒙古包的示意圖，底面圓

半徑￡>E=2加，圓錐的高/。=1.5根，圓柱的高CD=2.5〃?，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.圓柱的底面積為4TU〃2

B.圓柱的側(cè)面積為10n/7?2

C.圓錐的母線4B長(zhǎng)為2.25加

D.圓錐的側(cè)面積為5Tlm2

【答案】C

【解答】解：.底面圓半徑?！?2%，

???圓柱的底面積為4n/,所以/選項(xiàng)不符合題意；

,?,圓柱的高CD=2.5m,

，圓柱的側(cè)面積=2nx2x2.5=10n（m2）,所以3選項(xiàng)不符合題意；

■,底面圓半徑?！?2加，BPBC=2m,圓錐的高NC=1.5機(jī)，

???圓錐的母線長(zhǎng)=52+22=2.5（m）,所以C選項(xiàng)符合題意；

圓錐的側(cè)面積=1x2nx2x2.5=5n（nr）,所以。選項(xiàng)不符合題意.

2

故選：C.

【變式4-3］（2022?赤峰）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm,側(cè)面展開(kāi)圖為半圓形，則它的母線

長(zhǎng)為（）

A.10cmB.20cmC.5cmD.24cm

【答案】￡）

【解答】解：設(shè)母線的長(zhǎng)為夫，

由題意得，n7?=2nx12,

解得H=24,

???母線的長(zhǎng)為24cm,

￡基

選擇題（共10小題）

1.如圖，五邊形ABCDE是OO的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角4C。。的度數(shù)是（）

A.72°B,60°C.48°D.36°

【答案】/

【解答】解：,?,五邊形NBCDE是。。的內(nèi)接正五邊形，

五邊形ABCDE的中心角乙COD的度數(shù)為竺J=72°,

5

故選：A.

2.如圖，正六邊形Z5CZ）斯內(nèi)接于。。，O。的半徑為4,則這個(gè)正六邊形的邊心距。河和BC的長(zhǎng)分別為

B.n

DM號(hào)

【答案】。

【解答】解：如圖所示，連接。C、0B,

多邊形ABCDEF是正六邊形，

.\ABOC=60°,

?/OC=OB,

.?.△50C是等邊三角形,

/.AOBM=60°,

0M=OBsinAOBM=4x

2

前的長(zhǎng)=6QKX4-4K

1803-

故選：D.

3.如圖，。。的半徑為1,點(diǎn)4、B、C都在。。上，48=45。，則筋的長(zhǎng)為（

)

B.AnC.-InD.n

42

【答案】C

【解答】解：.??28=45°,

AAOC=90°,

???QO的半徑為1,

窟的長(zhǎng)=史巨=90兀X1=An

1801802

故選：C.

4.如圖，是半圓。的直徑，C、。是半圓上兩點(diǎn)，且滿足4/DC=120。，3c=1,則BC的長(zhǎng)為（）

C

D

AoB

A.—B.—C.—D.22L

3463

【答案】Z

【解答】解：如圖，連接OC

???AADC=120°,

/.AABC=60°,

.OB=OC,

/.AOCB=AOBC=AB=60°,

OB=OC=BC=\,

?泉的長(zhǎng)為

5.如圖，等邊△NBC的邊長(zhǎng)為4,D、E、9分別為邊/8、BC、NC的中點(diǎn)，分別以/、B、C三點(diǎn)為圓心,

以長(zhǎng)為半徑作三條圓弧，則圖中三條圓弧的弧長(zhǎng)之和是（）

【答案】8

60兀x[x4

【解答】解：依題意知：圖中三條圓弧的弧長(zhǎng)之和=-------------x3=2n.

180

故選：B.

6.若扇形的半徑是12cm弧長(zhǎng)是20nc〃?，則扇形的面積為（）

A.120ncm2B.240ncm2C.360ncm2D.60ncm2

【答案】4

2

【解答】解：該扇形的面積為:S卷X20兀X12=12071(cm\

故選：A.

7.如圖，將含60°角的直角三角板48c繞頂點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到△/夕。，點(diǎn)3經(jīng)過(guò)的路徑為弧

BB',若乙H4C=60。，NC=3,則圖中陰影部分的面積是（）

A.3兀B.12LC.如-D.3n

422

【答案】C

【解答】解：在Rta/BC中，AACB=90°,ABAC=60°,NC=3,

...4/BC=30°.

：.AB=2AC=6.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知5c三△48'C,貝!|S/BC=Sp"c，,AB=AB'.

?,S陰影=S扇形453，~^~S^AB-C'-S^ABC

一45幾X62

360

=9兀

故選：c.

8.如圖，四邊形43CD為正方形，邊長(zhǎng)為4,以2為圓心、3c長(zhǎng)為半徑畫(huà)筱，E為四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且

BE1CE,乙BCE=3Q°,連接/E,則陰影部分面積（）

A.4兀-2?B.6nC.4K-2-2V3D.4兀-3-2對(duì)

【答案】c

【解答】解：如圖，作斯，/2于點(diǎn)尸,

-：BEA.CE,乙BCE=3Q°,

:.BE=LBC=2,乙CBE=6Q°,

2

??-C￡=V35￡=2A/3,乙EBF=3Q°,

:.EF=1.BE=1,

2

S陰影=s扇形NBC-SLBCE-S^ABE

=4n-2*\/3-2.

故選：C.

9.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為5°加，高是4c加，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角是（）

A.180°B.216°C.240°D.270°

【答案】5

【解答】解：二.圓錐的母線長(zhǎng)為5°加，高是4c冽,

.?.圓錐底面圓的半徑為:V52-42=3〈cm）,

,■-2nx3=5nK

180

解得“=216。.

故選：B.

10.已知圓錐的底面半徑是4,母線長(zhǎng)是5,則圓錐的側(cè)面積是（）

A.lOnB.15nC.20nD.25n

【答案】C

【解答】解：圓錐的側(cè)面積=>lx2nx4x5=20n,

2

故選：C.

二.填空題（共8小題）

11.A8是。。的內(nèi)接正六邊形一邊，點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)43重合）且AP,AP

與0B交于點(diǎn)C,則40cp的度數(shù)為90°.

［答案】90°.

【解答】解：,?,/3是。。的內(nèi)接正六邊形一邊，

^03=1x360°=60°，

6

ZP-j-ZAOB=3O°,

■：BP//OA,

：.AOAC=ZP=30°,

AOCP=AAOB+AOAC=600+30°=90°.

故答案為：90°.

12.已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為丁百，則它的周長(zhǎng)為12.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，連接CM、OB,OG；

???六邊形ABCDEF是邊長(zhǎng)等于正六邊形的半徑，設(shè)正六邊形的半徑為a,

：./\OAB是等邊三角形，

OA=AB=a,

.■.OG=OAsm60°=ax^-=M，解得。=2,

2

它的周長(zhǎng)=6a=12.

故答案為：12.

ED

13.如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧窟，點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心，半徑

04=90m,圓心角乙/。2=80°,則這段彎路眾的長(zhǎng)度為40nm.

71

【解答】解：由題意得，這段彎路源的長(zhǎng)度為8°.義9°=40TTm，

180

故答案為：40Tl.

14.已知扇形的圓心角為120。，面積為27Tle加2,則該扇形所在圓的半徑為9cm.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：,扇形的圓心角為120。，面積為27nc"2,

由$=史壯得：一、陋=、解亙五=9四，

360VnHV120兀

故答案為：9cm.

15.圓錐的側(cè)面積是10nc〃?2,底面半徑是2cm,則圓錐的母線長(zhǎng)為5cm.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：底面半徑是2cm,則扇形的弧長(zhǎng)是4n.

設(shè)母線長(zhǎng)是/,則上x(chóng)4n/=10n,

2

解得：1=5.

故答案為：5.

16.如圖，用圓心角為120°,半徑為6cm的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無(wú)底紙帽，則這個(gè)紙帽的高是

cm.

【解答】解：???圓心角為120。,半徑為6cm的扇形的弧長(zhǎng)=120?冗為;領(lǐng),

180

???圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為4n,

???圓錐的底面圓的半徑為2,

這個(gè)紙帽的高=<^02-22=4&(cm).

故答案為472.

17.如圖，直徑為6的半圓，繞N點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,此時(shí)點(diǎn)8到了點(diǎn)玄，則圖中陰影部分的面積

【解答】解：陰影部分的面積=以/"為直徑的半圓的面積+扇形N3*的面積-以為直徑的半圓

的面積=扇形N8"的面積，

則陰影部分的面積是：60冗義62=6n,

360

故答案為：6n.

18.如圖，將邊長(zhǎng)相等的正六邊形和正五邊形拼接在一起，則4A8C的度數(shù)為132°.

【解答】解：由題意得：正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于120。，正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于108。，

...乙ABC=360°-120°-108°=132°,

故答案為：132.

觸力梅開(kāi)

選擇題（共7小題）

1.在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題,

讓世界觀眾感受到中國(guó)人的浪漫，如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形NBCAM）放在平面直

角坐標(biāo)系中，“雪花”中心與原點(diǎn)重合，C,尸在y軸上，則頂點(diǎn)3的坐標(biāo)為（）

A.（4,2）B.（4,4）C.（2>/3,2）D.（273,4）

【答案】C

【解答】解：連接OA,如圖所示：

???正六邊形是軸對(duì)稱圖形，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,

J.△NO8是等邊三角形，AO=BO=AB=4,AB_Lx軸，AM=BM,

-：AB=4,

：.AM=BM=1,

'-OM=VOB2-BM2=^42-22=273，

點(diǎn)2的坐標(biāo)為：（2百，2）,

故選：C

2.如圖，正五邊形48CDE內(nèi)接于OO,點(diǎn)尸在弧/￡上.若乙。。尸=95°,則乙尸CD的大小為（）

A

F

%0/\J

C、_JD

A.38°B.42°C.49°D,58°

【答案】C

【解答】解：如圖，連接OD,CE,

■■■五邊形ABCDE是正五邊形，

ACDE=（5-2）x180°+5=108°,

ACDF=95°,

AFDE=ACDE-ACDF=108°-95°=13°,

AFCE=13°,

??,正五邊形ABCDE內(nèi)接于。。，

AEOD=36Q°+5=72°,

?"ECZ）=]NEOD=36°,

AFCD=AFCE+AECD=36°+13°=49°,

故選：C.

3.如圖，在。。中，點(diǎn)C在優(yōu)弧源上，將前沿2。折疊后剛好經(jīng)過(guò)48的中點(diǎn)D若。。的半徑為5,AB

=4遍，則筋的長(zhǎng)是（）

A.，nB.25.兀c.10兀D.4n

243

【答案】/

【解答】解：連接/c,OB,OD,CD,作C尸，N3于點(diǎn)/，作OELCF于點(diǎn)E,

由垂定理可知0DL4B于點(diǎn)。，AD=BD=L研=275.

又。2=5,

-'-OD=7OB2-BD2=425-20=V5,

：CA,CD所對(duì)的圓周角為乙CA4、乙CBD,且乙CB4=LCBD,

：.CA=CD,為等腰三角形.

■：CFYAB.

:.AF=DF=^^)=近,

2

又四邊形ODFE為矩形且OD=DF=正,

四邊形ODFE為正方形.

?--0E=V5，

CE=A/C02_0E2=V25-5=2-^5,

CF=CE+EF=3遙=BF,

故△CF8為等腰直角三角形，乙CB4=45°,

二眾所時(shí)的圓心角為90。，

.筱=90兀?5=5兀

180~

4.如圖，將直徑為4的半圓形分別沿CA,昉折疊使得直徑兩端點(diǎn)N,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都與圓心。重合，則圖

中陰影部分的面積為（）

A-2V?兀B-營(yíng)冗-K6c-2>^^兀D-

【答案】N

【解答】解：連接/c,oc,OE,BE,

由題意得：CO垂直平分CM,

.■.AC=OC,

■.OC=OA,

.?.△0/c是等邊三角形，

同理△BOE是等邊三角形，

AAOC=ABOE=60°,

ACOE=60°,

???弓形NMC、弓形ONC、弓形。尸￡的面積相等，

,?,圓的直徑是4,

0A-2,

：.扇形OAC的面積=60兀X22=空,△OAC的面積=叵0A2=炳,

36034

扇形OCE的面積=扇形OAC的面積=22L,

3

弓形NMC的面積=扇形。/C的面積-△CMC的面積=2H-V3，

3

???陰影的面積=扇形OCE的面積-弓形N/C的面積x2="-2x(2IL-V3)=2、Q-空

333

5.如圖，扇形NO3中，乙402=90。，點(diǎn)C,。分別在。4,篇上，連接BC,CD,點(diǎn)、D,。關(guān)于直線3c

對(duì)稱，俞的長(zhǎng)為TI,則圖中陰影部分的面積為()

AC0

A.6兀-3?B.6兀-6?C.1271-9愿D.6兀-3愿

24

【答案】N

【解答】解：連接AD、OD,交BC與E,

由題意可知，BD=BO,

■：OD=OB,

OD-OB-DB,

.,.乙BOD=60°,

vAAOB=90°,

??2/00=30。，

,??而的長(zhǎng)為n,

.30冗r寸

180

廠.尸=6,

OB-6,

...OE=_1_0B=3,BE=J^OB=36,

：.CE=JAJOE=-/3,

3

???陰影部分的面積=S扇形BOD+S^COE-S^BOEJ。：：乂3乂?-《義3乂373=6n-3M.

36022

故選：A.

6.如圖，點(diǎn)。是半圓圓心，成是半圓的直徑，點(diǎn)/,。在半圓上，S.AD//BO,乙/5。=60。，AB=8,

過(guò)點(diǎn)D作DC上BE于點(diǎn)C,則陰影部分的面積是（）

BOE

A.642LB.32JLC竽-函D.*32^

33

【答案】8

【解答】解：如圖，連接CM,

,.2/20=60°,OA=OB,

/\AOB是等邊三角形，

，OA=OB=AB=8,

'.'AD//BO,

/.AOAD=AAOB=6Q°,

；OA=OD,

△4。。是等邊三角形,

/.AAOD=60°,

?「AOAD與MABD與△ZOB是等底等高的三角形,

60兀X立專

「.S陰影=S扇形NOB

-360~

故選：B.

7.如圖，一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為6,底面圓的直徑為8,那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（)

A.24nB.40nC.48nD.8^5兀

【答案】/

【解答】解：根據(jù)題意，這個(gè)圓錐的側(cè)面積=Lx8nx6=24n.

2

故選：A.

二.填空題（共5小題）

8.如圖，已知正方形/BCD的邊長(zhǎng)為4c%,以AB,AD為直徑作兩個(gè)半圓，分別取弧48,弧4D的中點(diǎn)監(jiān)

N,連結(jié)MC,NC,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為_(kāi)（4V10+27T）cm.

c

【答案】(4折+2兀).

【解答】解：解法一：如圖，取4D的中點(diǎn)。，連接NO,設(shè)CN交AD于點(diǎn)、E,

??,N是弧/。的中點(diǎn),

:.NOLAD,

■.■CD1AD,

.-.NO//CD,

/\NOE^ACDE,

.NE=OE=ON=2=1

'CEDEDC7-2

.?.o￡==

33

在Rt^NOE中，詼=標(biāo)"B=舊育^=駕1

：.CM=CN=3>NE=241Q,

???點(diǎn)”,N分別為弧48,弧4D的中點(diǎn)

???弧AB,弧AD的長(zhǎng)度和為2x9。.X22=2n,

360

???圖中陰影部分的周長(zhǎng)為(4A/10+2兀)cm.

解法二：作8c于點(diǎn)H,

DH

C

貝I]CH=2,NH=6,

在RtAWC中，NC=^CH2+NH2=A/22+62=2V，

.-.CM=CN=2yflO^

,?,點(diǎn)M,N分別為弧弧的中點(diǎn)

.??弧NB,弧40的長(zhǎng)度和為2x迎L2LZ!_=2n,

360

???圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（4^/10+2兀）cm.

故答案為：（4710+2K）.

9.如圖，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，曲線CCiC2c3。4…是由多段120。的圓心角所對(duì)的弧組成的，

其中林7的圓心為4半徑為/C；的圓心為B,半徑為BC1；募日的圓心為C,半徑為CC2；

的圓心為A,半徑為4c3……面，可為司司,可工…的圓心依次按點(diǎn)A,B,C循環(huán)，則以212g

的長(zhǎng)是4046兀.（結(jié)果保留口）

—3―

【解答】解：.??/\ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

：.AC=AC\=\,ZCAB=AABC=ABCA=60°,；

:.BC2=BCI=AB+ACI=2,CC3=CC2=BCi+AB=3,ACACi=AC\BCi=C2CC3=120°,

的半徑為1;露?^的半徑為2；妖弓的半徑為3;所對(duì)的圓心角為120。，

???萬(wàn)1p的半徑為〃，所對(duì)的圓心角為120。，

??.所在圓的半徑為2023,所對(duì)的圓心角為120。，

?7；的長(zhǎng)為120X兀X2023_4046兀

C2022c2023麗-3

故答案為：4046.

3

10.如圖，已知矩形紙片4BCD,4D=2,AB=五，以/為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交3c于點(diǎn)E,將扇形

/即剪下圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為-1.

-3-

BEC

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：COS4A4E=3^=逅，

AE2

；.乙BAE=30°,

ADAE=60°,

???圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為：6°..2=4,

1803

，圓錐的底面半徑為2n十2n=1

33

11.如圖，從一塊半徑為20的圓形紙片上剪出一個(gè)圓心角是90°的扇形/2C,如果將剪下來(lái)的扇形48c

圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑是色旦.

—2―

【解答】解：連接2C,如圖，

ABAC=90°,

??.8C為。。的直徑,EPBC=20,

10&,

設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為r,

根據(jù)題意得2“=9°.,1°巡，

180

解得片殳巨，

2

即該圓錐的底面圓的半徑為豆②，7.

2

故答案為：回巨.

2

A

12.如圖，45是圓錐底面的直徑，AB=6cm,母線尸5=9c冽，點(diǎn)C為總的中點(diǎn)，若一只螞蟻從4點(diǎn)處出

發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到C點(diǎn)處，則螞蟻爬行的最短路程為史時(shí).

一2

［答案】會(huì)回九

2

【解答】解：由題意知，底面圓的直徑/8=6cm,

故底面周長(zhǎng)等于6ncm,

設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為〃。，

根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得6n=n兀X9,

解得〃=120。，

所以展開(kāi)圖中乙NPD=120°+2=60°,

因?yàn)榘霃绞?=依，乙APB=60°,

故三角形PAB為等邊三角形，

又,。為尸3的中點(diǎn)，

所以在直角三角形尸/。中，PA=9cm,PD=^cm,

根據(jù)勾股定理求得AD=述_（cm）,

2

所以螞蟻爬行的最短距離為9叵九

2

故答案為：^Hcm.

2

*

七直files知

1.（2023?連云港）如圖，矩形/5CD內(nèi)接于。。，分別以N8、8C、CD、ND為直徑向外作半圓.若4B=4,

3C=5,則陰影部分的面積是（）

A.處n-20B.魚(yú)5-20C.20nD.20

42

【答案】。

【解答】解：如圖，連接BD,則BD過(guò)點(diǎn)O,

在中，48=4,BC=5,

：.BD2=AB2+AD2=4},

S陰影部分=S以4。為直徑的圓+S以AB為直徑的圓+S矩形4BCD-S以BD為直徑的同

=nx(A)2+nx(A)2+4x5-nx()2