廣東省揭陽市產(chǎn)業(yè)園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

廣東省揭陽市產(chǎn)業(yè)園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果直線與圓相交，則點與圓C的位置關(guān)系是（）A．點M在圓C上 B．點M在圓C外C．點M在圓C內(nèi) D．上述三種情況都有可能2．命題：的否定為A． B．C． D．3．如圖，圓的半徑為，，是圓上的定點，，是圓上的動點，點關(guān)于直線的對稱點為，角的始邊為射線，終邊為射線，將表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關(guān)于點成中心對稱，且與點相鄰的一個最低點為，則對于下列判斷：①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；②點是函數(shù)的一個對稱中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R，駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗，協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種6．已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點，與軸的正半軸交于點，與準(zhǔn)線交于點，且，則（）A． B．2 C． D．39．已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點在角的終邊上，則（）A． B． C． D．10．設(shè)命題：，，則為A．， B．，C．， D．，11．已知集合,，則A． B．C． D．12．在正方體中，點，，分別為棱，，的中點，給出下列命題：①；②；③平面；④和成角為.正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說“是乙或丙獲獎.”乙說：“甲、丙都未獲獎.”丙說：“我獲獎了”.丁說：“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是__________．14．在中，已知，，則A的值是______.15．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是6的的概率是___．16．若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦點在軸上，且順次連接四個頂點恰好構(gòu)成了一個邊長為且面積為的菱形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過橢圓右焦點的直線交于、兩點，若對滿足條件的任意直線，不等式恒成立，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的首項為0，公差為a，；等差數(shù)列的首項為0，公差為b，.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M，與數(shù)表；記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設(shè)，，請計算，，；（2）設(shè)，，試求，的表達(dá)式（用i，j表示），并證明：對于整數(shù)t，若t不屬于數(shù)表M，則t屬于數(shù)表；（3）設(shè)，，對于整數(shù)t，t不屬于數(shù)表M，求t的最大值.20．（12分）在中,角、、所對的邊分別為、、，角、、的度數(shù)成等差數(shù)列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.21．（12分）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標(biāo)原點為極點、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若點在直線上，求直線的極坐標(biāo)方程；（2）已知，若點在直線上，點在曲線上，且的最小值為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點到圓的圓心的距離大于半徑．即點與圓的位置關(guān)系是點在圓外．故選：本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查點到直線距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．2．C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C．3．B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯誤選項，得到函數(shù)圖象，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時，P與A重合，則與B重合，所以,故排除C,D選項；當(dāng)時，，由圖象可知選B.故選：B本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.4．C【解析】分析：根據(jù)最低點，判斷A=3，根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標(biāo)求得周期T，再代入最低點可求得解析式為，依次判斷各選項的正確與否．詳解：因為為對稱中心，且最低點為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯誤，②正確，③當(dāng)時，，所以與有6個交點，設(shè)各個交點坐標(biāo)依次為，則，所以③正確所以選C點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．5．C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當(dāng)作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數(shù)原理，共有種方案。故選：C.本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.6．C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數(shù)．【詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認(rèn)識，本題中集合都是曲線上的點集．7．A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．8．B【解析】

過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點，由和拋物線的定義可求得，利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與軸交于點，由拋物線解析式知：，準(zhǔn)線方程為.，，，，由拋物線定義知：，，，.由拋物線性質(zhì)得：，解得：，.故選：.本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.9．D【解析】

由題知，又，代入計算可得.【詳解】由題知，又.故選：D本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.10．D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.11．D【解析】

因為,,所以,,故選D．12．C【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正確命題的個數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長為，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，，.①，，所以，故①正確.②，，不存在實數(shù)使，故不成立，故②錯誤.③，，，故平面不成立，故③錯誤.④，，設(shè)和成角為，則，由于，所以，故④正確.綜上所述，正確的命題有個.故選：C本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．丙【解析】若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的都是錯的，同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況，可知獲獎的歌手是丙．考點：反證法在推理中的應(yīng)用.14．【解析】

根據(jù)正弦定理，由可得，由可得，將代入求解即得.【詳解】，，即，，，則，，，，則.故答案為：本題考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基礎(chǔ)題.15．【解析】

先求出基本事件總數(shù)6×6＝36，再由列舉法求出“點數(shù)之和等于6”包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出“點數(shù)之和等于6”的概率．【詳解】基本事件總數(shù)6×6＝36，點數(shù)之和是6包括共5種情況，則所求概率是．故答案為本題考查古典概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．16．【解析】

由題意可得導(dǎo)數(shù)在恒成立，解出即可．【詳解】解：由題意，，當(dāng)時，顯然，符合題意；當(dāng)時，在恒成立，∴，∴，故答案為：．本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）由已知條件列出關(guān)于和的方程，并計算出和的值，jike得到橢圓的方程.（2）設(shè)出點和點坐標(biāo)，運用點坐標(biāo)計算出，分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，求解出的最小值.【詳解】（1）由己知得：，解得，所以，橢圓的方程（2）設(shè)，．當(dāng)直線垂直于軸時，，且此時，，當(dāng)直線不垂直于軸時，設(shè)直線由，得．，.要使恒成立，只需，即最小值為本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，并運用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個變量的表達(dá)式進(jìn)行求解，需要掌握解題方法，并且有一定的計算量.18．≤x≤【解析】由題知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，當(dāng)且僅當(dāng)(a＋b)·(a－b)≥0時取等號，∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.19．（1）（2）詳見解析（3）29【解析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結(jié)果．（2）可求，，通過反證法證明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的通項公式為：；等差數(shù)列的通項公式為：，得，則，，得，故．（2）證明：已知．，由題意知等差數(shù)列的通項公式為：；等差數(shù)列的通項公式為：，得，，．得，，，．所以若，則存在，，使，若，則存在，，，使，因此，對于正整數(shù)，考慮集合，，，即，，，，，，．下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數(shù)．反證法：假設(shè)集合中任何一個元素，都不是7的倍數(shù)，則集合中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1，2，3，4，5，6，又因為集合中共有7個元素，所以集合中至少存在兩個元素關(guān)于7的余數(shù)相同，不妨設(shè)為，，其中，，．則這兩個元素的差為7的倍數(shù)，即，所以，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立．即集合中至少有一元素是7的倍數(shù)，不妨設(shè)該元素為，，，則存在，使，，，即，，，由已證可知，若，則存在，，使，而，所以為負(fù)整數(shù)，設(shè)，則，且，，，，所以，當(dāng)，時，對于整數(shù)，若，則成立．（3）下面用反證法證明：若對于整數(shù)，，則，假設(shè)命題不成立，即，且．則對于整數(shù)，存在，，，，，使成立，整理，得，又因為，，所以且是7的倍數(shù)，因為，，所以，所以矛盾，即假設(shè)不成立．所以對于整數(shù)，若，則，又由第二問，對于整數(shù)，則，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因為，，，，所以．本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及反證法，求最值，屬于難題．20．(1)；(2)．【解析】

(1)由角的度數(shù)成等差數(shù)列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2)由正弦定理，得.由，得.所以當(dāng)，即時，.【方法點睛】解三角形問題基本思想方法：從條件出發(fā)，利用正弦定理(或余弦定理)進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化．逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關(guān)系，即考慮如下兩條途徑：①統(tǒng)一成角進(jìn)行判斷，常用正弦定理及三角恒等變換；②統(tǒng)一成邊進(jìn)行判斷，常用余弦定理、面積公式等．21．（1）（2）【解析】

（1）判斷公比不為1，運用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，進(jìn)而得到所求通項公式；（2）求得，運用數(shù)列的錯位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.【詳解】解：（1）設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且，，可得時，，不成立；當(dāng)時，，即，解得（舍去），則；（2），前項和，，兩式相減可得，化簡可得.本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．22．（1）（2）【解析】

（1）利用消參法以及點求解出的普通