湖南省長沙市開福區(qū)長沙大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（原卷版）

2024年下學(xué)期長大附中高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)考試范圍：必修部分；考試時間：120分鐘，滿分120分.注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（共40分）1.命題：的否定是（）A.使得B.使得C都有D.都有2.若：，：，則是的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.4.已知函數(shù)，且函數(shù)最小正周期為，則下列關(guān)于函數(shù)的說法，①；②點是的一個對稱中心；③直線是函數(shù)的一條對稱軸；④函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是.其中正確的（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④5.已知實數(shù)，，，則，，這三個數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.6.在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點D為棱的中點，點M為面的一動點，則的最小值為（）A. B.6 C. D.7.已知中，設(shè)角、B、C所對的邊分別為a、b、c，的面積為，若，則的值為（）A. B. C.1 D.28.已知銳角三角形中，角所對的邊分別為的面積為，且，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（共18分）9.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A.B.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與向量共線，則10.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則實數(shù)的取值可以為（）A.-2 B.3 C.5 D.811.對于定義域為D的函數(shù),若同時滿足下列條件:①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;②存在區(qū)間,使在上的值域為.那么把稱為閉函數(shù).下列結(jié)論正確的是A.函數(shù)是閉函數(shù)B.函數(shù)是閉函數(shù)C.函數(shù)是閉函數(shù)D.時,函數(shù)是閉函數(shù)E.時,函數(shù)是閉函數(shù)三、填空題（共15分）12.若函數(shù)具有性質(zhì)：①為偶函數(shù)，②對任意，都有，則函數(shù)的解析式是_____________．（只需寫出滿足條件的一個解析式即可）13.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．14.已知三棱錐外接球直徑為SC，球的表面積為，且，則三棱錐的體積為______.四、解答題（共77分）15.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱軸；（2）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，滿足，，且的面積為，求的值.16.如圖，在五面體中，四邊形是正方形，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)是的中點，棱上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.17.已知某科技公司某型號芯片的各項指標(biāo)經(jīng)過全面檢測后，分為I級和Ⅱ級，兩種品級芯片的某項指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．（1）若臨界值，請估計該公司生產(chǎn)的1000個該型號芯片I級品和1000個Ⅱ級品中應(yīng)用于A型手機的芯片個數(shù)；（2）設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片I級品?Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型手機?B型手機各1萬部的生產(chǎn)：方案一：直接將該芯片I級品應(yīng)用于A型手機，其中該指標(biāo)小于等于臨界值K芯片會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失800元；直接將該芯片Ⅱ級品應(yīng)用于B型手機，其中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片，會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失400元；方案二：重新檢測芯片I級品，II級品的該項指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機型號，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要130萬元；請求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費用的估計值（單位：萬元）的表達式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．18.設(shè)A是符合以下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合，對任意的且在上是減函數(shù)。（Ⅰ）判斷函數(shù)及是否屬于集合A，并簡要說明理由；（Ⅱ）把（Ⅰ）中你認為是集合A中的一個函數(shù)