2024年湖北省新中考數(shù)學二模試題（省統(tǒng)考）（解析）

2024年湖北省新中考數(shù)學二模試題（省統(tǒng)考）（解析）

本試卷滿分120分，考試時間120分鐘.

一、選擇題（共10題，每題3分，共30分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求）

1.-0是血的（）

A.相反數(shù)B.平方根C.絕對值D.算術平方根

【答案】A

【分析】和為0的兩數(shù)為相反數(shù)，由此即可求解.

【詳解】解：???-&+亞=0,

也是血的相反數(shù)，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了相反數(shù)的概念：兩個相反數(shù)它們符號相反，絕對值相同.

2.在下列四項競技運動的圖案中，是中心對稱圖形的是（）

b

'必cd

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了中心對稱圖形的識別.熟練掌握如果把一個圖形繞某一點旋轉180。后

能與自身重合，這個圖形是中心對稱圖形是解題的關鍵.

根據(jù)中心對稱圖形的定義進行判斷即可.

【詳解】解：A中不是中心對稱圖形，故不符合要求；

B中是中心對稱圖形，故符合要求；

C中不是中心對稱圖形，故不符合要求；

D中不是中心對稱圖形，故不符合要求；

故選：B.

3.計算（-3aSb/的結果是（）

A.9a5b2B.9a6b2C.6a9b2D.-9a6b2

【答案】B

【分析】本題考查了整式累的運算，根據(jù)積的乘方，幕的乘方運算法則計算即可.

【詳解】解：（一3°3域=（_3）2..）2萬=9點2,

故選：B.

4.如圖所示的手提水果籃，其俯視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】俯視圖是從物體的上面看得到的視圖，找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有

的看到的棱都應表現(xiàn)在俯視圖中.

【詳解】解：從上面看，是一個圓，圓的中間有一條橫向的線段.

故選：A.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，解題的關鍵在于會觀察各部分在哪個方向能被看到.

5.在正五邊形A8CDE中，連接對角線AC、AD,CE,其中AD、CE相交于點尸，連接8尸，

交AC于點G,則下列說法不正確的是（）

222

A.AC=AE+EFB.AD+BF=4DEC.S^CDE=2SAAFGD.ZABF=ZAFE

【答案】D

【分析】本題考查了正五邊形的性質，菱形的判定與性質，首先由正五邊形的性質可得

AB=BC=CD=DE=AE,BA//CE,AD//BC,AC//DE,AC=AD=CE,根據(jù)有一組鄰

邊相等的平行四邊形是菱形即可證得四邊形ABC尸為菱形，得EF=D尸,即

AC=AD^AE+EF,由菱形的性質和勾股定理得出AG?+BG?=48?,即可得到

AD2+BF2=AC2+BF2=(2AG)2+(2BG)2=4AB2=4DE2,可證明口COE^DABC^DAFC,

即可得出S^CDE=^AABC=$AACF=2s“FG，由正五邊形內(nèi)角和得到

54001

NABC=ZAFC=-y-=108°,結合菱形的性質得到/ABF=-ZABC=54°,

ZAFE=180°-ZAFC=72°.

【詳解】解：???ABCDE是正五邊形，

AB=BC=CD=DE=AE,BA//CE,AD//BC,AC//DE,AC=AD=CE,

四邊形ABC尸為菱形，

EF=DF,

AC=AD=AF+DF=AE+EF,故A選項正確；

AG-+BG2=AB-,

AD2+BF2=AC2+BF2=(2AG)2+(2BG)2=4AB2=4DE2,故B選項正確；

;AB=BC=CD=DE=CF=AF,AC=CE,

：nCDE^UABC^UAFC,

'''S^CDE=S"BC=5AAeF=2sAAFG>故C選項正確；

540°

???ZABC=NAFC=不一=108°,

ZABF=-ZABC=54°,ZAFE=180°-NAFC=72°,

2

NABF卡ZAFE,故D選項不正確，

故選：D.

6.已知/+2(〃?+1)舊+16y,可以寫成一個多項式的平方，則"?的值為()

A.-5B.±4C.一5或3D.3

【答案】C

【分析】本題考查完全平方公式，根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

【詳解】解：：(x土4y)2=d±8盯+16;/,

2m+2=+8,

加=一5或3,

故選：c.

7.在平面直角坐標系中，已知（2a+b『+j3"b+5=0,則點（。⑼位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】本題考查非負數(shù)的性質，解二元一次方程組，平面直角坐標系，根據(jù)

2a+b=Q,3a-b+5=0,建立二元一次方程組，求解出的值，再根據(jù)各象限點坐標的特

點，即可得出結果.

【詳解】解：2a+b=0,3a-b+5=0,

+。=0

?[3〃-"5=0'

a——1

解得:

b=2

.,.（-L2）位于第二象限,

故選：B.

8.某杠桿裝置如圖，桿的一端吊起一桶水，阻力臂保持不變，在使杠桿平衡的情況下，小

康通過改變動力臂L,測量出相應的動力/數(shù)據(jù)如表.請根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律探求，當動力

臂L長度為2.0m時，所需動力最接近（）

動力臂L/m動力F/N

0.5600

1.0302

1.5200

2.0a

2.5120

A.302NB.300NC.150ND.120N

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應用，由表格可知動力臂與動力成反比的關系，設L=￡,

將（0.5,600）代入L=—得出L=——，再令L=2,計算即可得解，解題的關鍵是從表格

FF

中得出動力臂與動力成反比的關系.

【詳解】解：由表格可知動力臂與動力成反比的關系，

A『K

設L二—，

F

將（0.5,600）代入L=￡得：600=念，

解得：K=300,

「300

L-----,

F

把L=2代入得：2=----，

F

解得：F=150,

故選：C.

9.如圖，在等邊三角形ABC中，ADLBC,在AB,上分別取點四N,且

AM=BN=8,DN=4,在上有一動點P,則PM+PN的最小值為（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查等邊三角形的性質和判定，軸對稱最短問題等知識?作點"關于的對

稱點N',連接MN,交AO于R連接PN',PN,此時PM+PN的值最小，最小值MN',

求出結果即可.

【詳解】解：如圖，???043。是等邊三角形，

BA=BC=CA,ZB=ZC=ABAC=60°,

為/84C的平分線,

ADIBC,BD=CD,

作點及關于A。的對稱點N',連接MN'交AD于P,連接尸N',

根據(jù)軸對稱可知：PN=PN',

：.PM+PN=PM+PN',

???兩點之間線段最短，

此時PM+PN'最小，即PM+PN最小,

即PM+PN的最小值為MN',

AM=BN=8,DN=4,

：.BD=BN+DN=12,DN'=DN=4,

：.AB=BC=2BD=24,BN'=BD+DN'=12+4=16,

：.BM=AB-AM=24-S=16,

BM=BN',

ZB=60°,

.?.□BN'M是等邊三角形，

：.MN'=BM=16.

故選：C.

10.如圖，AB是口。的直徑，OC為半徑，過A點作AD〃OC交口O于點。，連接AC,BC,

CD,連接8。交OC于點E,交AC于點尸，若圖中陰影部分分別用鳥和S?表示，則下列

結論：?ZCAD+ZOBC=90°；②若尸為AC中點，則CE=2OE；③作Z）P〃BC交AB于

點P,則叱2=08.即；④若工⑸二?，則/ACO=30。；其中正確的個數(shù)為（）

2

B

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，掌握三角形全等的判定，相似三角形的判定與

性質的概念是解題的關鍵.①首先利用平行線的性質得到NCAO=NACO,然后利用等腰三

角形的性質得到/ACO=/CA。，ZOBC=ZOCB,接著利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決

問題；②利用中位線的性質即可求解；③利用已知條件證明口ACD空APC(SAS),然后利用全

等三角形的性質和已知條件證明口。8。俎C8P即可求解；④連接。。，利用等積變化得到

H=SaKoAD,再利用已知條件證明ZAOD=ZCAO=ZDAC=ZACO,由此即可求解.

【詳解】解：①???AD〃CO,

AZCAD=ZACO,

■：OA=OC,

ZACO=ZCAO,

ZBOC=2ZACO=2ZCAD,

：OC=OB,

ZOBC=ZOCB,

ZCOB+ZOBC+ZBCO=180°,

/.2ZCAD+2ZOBC=180°,

:.ZCAD+ZOBC=90°,

故①正確；

②A0〃OC,尸為AC中點，OA=OBf

:.CE=AD,OE=-AD,

2

：.CE=2OE,

故②正確；

③:A5為圓。直徑，

/.AClBCf

DP//BC,

:.DP.LAC,

由①知，ACAD=ZCAB,

ZAPD=ZADP,

/.AD=AP,

AC=AC

在口4。。和△APC中，＜ZCAD=ZCAB,

AD=AP

AC。芻:APC(SAS),

ZADC=ZAPC,

,二四邊形ABC。為圓內(nèi)接四邊形，

.*.ZADC+ZABC=180°,

vZAPC+ZCPB=180°,

ZABC=ZCPB=ZOCB,

:DOBC^OCBP,

,BC_PB

一~OB~^C9

BC2=OBBP,

故③正確；

④連接。。，

???OCUAD,

…S1=S扇形0Ao,

:.ZAOD=-ZBOC,

2

ZAOD=ZCAO=ZDAC=ZACO,

■：OA=OD,

5ZACO=180°,

.-.ZACO=36°,

故④錯誤；

綜上所述，正確的是①②③，共三個.故選：B.

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.“燕雪花大軒臺”是詩仙李白眼里的雪花，單個雪花的重量其實很輕，只有0.00003kg左

右，0.00003用科學記數(shù)法可表示為.

【答案】3x10.5

【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axl(T",其中1<H<10,n

為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的。的個數(shù)所決定.用科學記數(shù)法表示數(shù)，一定要

注意a的形式，以及指數(shù)〃的確定方法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式直接求解即可.

【詳解】解：0.00003=3x10-5,

故答案為：3x10-5.

12.如圖，在平面直角坐標系中，點A(2,m)在第一象限，若點A關于x軸的對稱點B在

直線y=-x+1上，則m的值為.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)關于x軸的對稱點的坐標特點可得B(2,-m),然后再把B點坐標代入y=-

x+1可得m的值.

【詳解】點A關于x軸的對稱點B的坐標為：(2,-m),

將點B的坐標代入直線y=-x+1

得：-m—-2+1,

解得：m=l,

故答案為1.

【點睛】此題主要考查了關于X軸對稱點的坐標，以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，關鍵

是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能使解析式左右相等.

13.計算：-—白

a-1a-1

【答案】-1

【分析】此題考查了分式的加減法，同分母分式相加減，分母不變，分子相加減.根據(jù)同分

母分式加減法則進行計算即可.

【詳解】解：-白=F=T

a—\a—\a—1

故答案為：T.

14.如圖,在矩形ABCD中，E是的中點，連接BE，將口ABE沿著BE翻折得到口尸AE，

E尸交于點延長，OC相交于點G,若DG=8,5C=12,則=

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質以及折疊的性質，勾股定理、三角形全等的判定與性質，連

接EG,由折疊的性質可得：AE=EF,ZA=NBFE,NAEB=NBEH,得出

DE=AE=EF,證明RtDEEG&Rt!EZ）G（HL）,得出RG=DG=8,設DC=x,則

CG=8-x,BG=x+8,由勾股定理得出（x+8『=122+（8—求出

9

DC=AB=BF=-,設EH=m,則HB=HE=AE—m=6—m,再利用勾股定理計

2

算即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接EG,

?:E是AZ）的中點，

DE=AEi

由折疊的性質可得：AE=EF,ZA=ZBFE,NAEB=NBEH,

DE=AE=EF,

???四邊形ABC。是矩形，

ZD=ZA=ZBFE=9Q°,AD〃BC,

EG=EG,

RtOEEG&ROEZ）G（HL）,

.-.FG=DG=8,

設DC=x,則CG=8—x,BG=x+8,

在RU5CG中，BG2=CG2+BC2-即（x+87=12?+（8—J,

9

解得：x=一,

2

9

DC=AB=BF=—,

2

ADDBC,

ZAEB=ZEBH,

ZEBH=NBEH,

HB=HE,

設FH=m,則HB=HE=AE—m=6—m,

在RtzXB廠"中，HB?=BF?+HF?，

*t-（6-m）

解得：m=~~

16

FEH——21,

16

故答案為：—.

16

[ax+by=6[x=2[x=-2

15.解方程組/。時，小強正確解得而小剛只看錯了。，解得/,那

[cx-4y=-2[)=21)=4

么當％=-1時，ax2+bx+c的值為.

【答案】2

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解和二元一次方程的解，先

[x=2_[x=—2

把"弋入原方程組得到2〃+28=6①，2c-8=-2,則c=3；再把/代入方程

[y=254

\a=\

以十“=6得到-2〃+4匕=6②，據(jù)此求出I再代值計算即可得到答案.

\b=2

[x=2\ax+by=6

【詳解】解：由題意得。是方程組/0的解，

[y=2[cx-4y=-2

2a+2b=6(1),2c-8=-2,

/.c=3；

(x=-2

???小剛只看錯了c,解得“，

[y=4

[=-2

x,是方程辦+by=6的解，

[y=4

-2。+4b=6②，

ftz=1

聯(lián)立①②得

[b=2

當尤=-1時，"2+bx+c的值為l*(-l『+2x(-l)+3=2,

故答案為：2.

三、解答題：本題共9小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16.計算：提一2sin45°+(2—〃)°—[；].

【答案】V2-2-

【解析】

【分析】直接利用零指數(shù)幕的性質以及負指數(shù)幕的性質和算術平方根的性質分別化簡得出答

案.

【詳解】解：布—2sin45°+（2—乃）°—I

=2V2-2x—+1-3

2

=72-2.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)運算和特殊角的三角函數(shù)值，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.

17.（6分）如圖，在DABC中，NB4c的平分線交8c于點〃，DE〃AB,DF//AC.

（1）試判斷四邊形AEDE的形狀，并說明理由；

（2）若/&1C=90。，且AO=22,求四邊形AFDE的面積.

【答案】（1）答案見解析

（2）242

【分析】

本題考查了菱形的判定，正方形的判定和性質，平行線的性質，角平分線的定義，解題的關

鍵是掌握特殊四邊形的判定方法.

【詳解】（1）解：（1）四邊形是菱形，理由是

；DE〃AB,DF//AC,

..?四邊形AFDE是平行四邊形

AO平分/54C

ZFAD=ZEAD

-：DE//AB,

NEDA=ZFAD,

ZEDA=ZEAD,

AE=DE

,平行四邊形AEDE是菱形.

(2)-.-BAC=90°

二四邊形AFDE是正方形

AD=22,

AF=—AD=—x22=11V2

22

，四邊形AFDE的面積為：1172x1172=121x2=242.

18.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著之一，其中記載了這樣的數(shù)學問題：“以繩測井，若

將繩三折測之，繩多4尺，若將繩四折測之繩多1尺，繩長井深各幾何？”譯文：“用繩子

測水井深度，把繩子折成三折來量，井外余繩4尺；把繩子折成四折來量，井外余繩1尺,

問繩長、井深各是多少尺？”請問此問題中的繩長、井深各是多少尺?

【答案】井深為8尺，繩長36尺

【解析】

【分析】分析題意，不變的量是井深，根據(jù)等量關系：將繩三折測之，繩多4尺；繩四折測

之，繩多1尺，設繩長為x尺，井深為V尺，列出方程組求解.

【詳解】解：設繩長為了尺，井深為了尺，依題意得:

x=3(y+4)x=36

y=8

答：井深為8尺，繩長36尺.

【點睛】考查了二元一次方程組的應用，此題不變的是井深，用代數(shù)式表示井深是此題的關

鍵.

19.（7分）為了普及科學知識，傳播科學思想，弘揚科學精神，某校舉行了青少年科普知

識競賽.隨機抽取機名學生的競賽成績,把成績分成四個等級（4604x<70；B：70<x<80；

C：80Vx<90；D：90<x<100）,并繪制了如下不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖.

7<1

請根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）填空：m=_,n=_.

（2）補全頻數(shù)分布直方圖，所抽取學生的成績的中位數(shù)落在一等級；

（3）若成績達到C和。等級將獲得“科普達人”稱號，請你估計該校參加競賽的2000名學生

中獲得“科普達人”稱號的學生人數(shù).

【答案】（1）150,40；（2）補全頻數(shù)分布直方圖見解析，C；

（3）該校參加競賽的2000名學生中獲得“科普達人”稱號的學生人數(shù)由1160人.

【分析】（1）頻數(shù)分布直方圖中B等級的人數(shù)是45人，所占百分比是30%,由此可求出抽

取的總人數(shù)相；根據(jù)總體人數(shù)可求出C等級人數(shù)占的百分比力％,

（2）由（1）得到C等級人數(shù)，即可補全頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)中位數(shù)的定義，即可求出

中位數(shù)落在哪一組；

（3）根據(jù)樣本所占百分比估算總體的方法即可求解；

本題主要考查調查與統(tǒng)計的相關知識，理解頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖中的相關信息，掌

握運用樣本百分比估算總體數(shù)量，求中位數(shù)分方法是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：頻數(shù)分布直方圖中B等級的人數(shù)是45人，所占百分比是30%,

由此可求出抽取的總人數(shù)加=45+30%=150（人），

則C等級人數(shù)為：150-18-45-27=60（人）,

n%=—xl00%=40%,

150

故答案為：150,40；

（2）由（1）得：C等級人數(shù)為60人，補全頻數(shù)分布直方圖如圖,

普知識堯京成州須數(shù)R斤圖

由題意得：A等級共18人，8等級共45人，C等級共60人，。等級共27人，共150人,

所抽取學生的成績的中位數(shù)為第75和76名的平均數(shù),

故中位數(shù)落在C等級,

故答案為：C；

(3)該校參加競賽的2000名學生中獲得“科普達人”稱號的學生人數(shù)為:

2000x(40%+18%)-2000x58%=1160(人)，

答：該校參加競賽的2000名學生中獲得“科普達人”稱號的學生人數(shù)由1160人.

20.某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側面如圖2所示，遮陽棚展開長度

AB=200cm,遮陽棚前端自然下垂邊的長度BC=25cm,遮陽棚固定點力距離地面高度

AD=296.8cm,遮陽棚與墻面的夾角ABAD=72°.

A

圖1

(1)如圖2,求遮陽棚前端6到墻面AD的距離;

(2)如圖3,某一時刻，太陽光線與地面夾角NC/G=60°,求遮陽棚在地面上的遮擋寬

度。戶的長(結果精確到1cm).(參考數(shù)據(jù):

sin72°?0.951,cos72°?0.309,tan72°。3.078,6。1.732)

【答案】(1)遮陽棚前端6到墻面的距離約為190.2cm

(2)遮陽棚在地面上的遮擋寬度。戶的長約為69cm

【解析】

R/7

【分析】(1)作8石，4。于￡,在Rt^ABE中，根據(jù)sin/B4E=——列式計算即可;

AB

(2)作于￡,CHLAD于從延長交OG于4,則BK，DG,可得四邊

形BEHC,四邊形HDKC是矩形，解直角三角形Rt/XABE求出AE,可得

CK=DH=210cm,然后RtZXCFK中，解直角三角形求出RK,進而可得。尸的長.

【小問1詳解】

解：如圖3,作BELAD于瓦

BEBF

在RtZXABE中，sinZBAE=——，即sin72°=——

AB200

BE=sin72°x200工0.951x200=190.2cm,

答：遮陽棚前端方到墻面的距離約為190.2cm；

【小問2詳解】

解：如圖3,作3E_LA。于旦CHLAD于H,延長交OG于4,則BKLDG,

圖3

...四邊形BEHC,四邊形HDKC是矩形,

由(1)得BE=190.2cm,

DK=HC=BE=190.2cm,

AEAE

在RtZXABE中，cosZBAE=——即cos72°=——

AB200

AE=cos72°x200?0.309x200=61.8cm,

由題意得：EH=BC=25cm,

AD7/=AD-AE-EH=296.8-61.8-25=210cm,

CK=DH=210cm,

在Rt^CTK中，tan/C/K=—,即tan600=——,

FKFK

???公旦210

?121.25cm,

tan60°

DF=DK-FK=190.2-121.25a69cm,

答：遮陽棚在地面上的遮擋寬度DR的長約為69cm.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定和性質，作出合適的輔助線，構造出

直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

k|，4L8（3,間兩點,

21.（8分）如圖，反比例函數(shù)y=（（尤＞0）的圖象與直線交于A

已知NACO=90。，D(0,l),連接ADBD,BC.

(1)求直線AB與雙曲線的解析式；

3

(2)043。和△A3。的面積分別為耳，S2,求萬比―邑的值.

【答案】(1)直線A3解析式為y=-?x+6,雙曲線的解析式為y=?；

3x

【分析】(1)先將點A(|,4］代入反比例函數(shù)解析式中求出左的值，進而得到點B的坐標，

再利用待定系數(shù)法即可求出直線A8的表達式；

(2)利用三角形的面積公式以及割補法分別求出力邑的值，即可求出;年-%的值；

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及三角形的面積，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)

解析式是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：把a］：，"代入反比例函數(shù)解析式>=:得，4=J,

:?k=6,

雙曲線的解析式為y=9,

X

把3(3,〃。代入y=B得，%=g=2,

.?.3(3,2),

設直線AB的解析式為>=依+6，把A［14［、8(3,2)代入得，

\3,

4=—n+b

<2,

2=3〃+》

4

,n——

解得3,

b=6

4

二直線AB解析式為＞=4+6；

(2)解：由小之"可得，AC=4,點B到AC的距離為3-1=工

(2J22

13

S.=-x4x-=3,

122

設直線AB與y軸的交點為E,則打0,6),

S2=SDBDE~SDADE=]乂5X3-/X5X5=1，

33153

—R-S,=-x3--=-.

212244

22.綜合與實踐.

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在正方形ABC。中，E為對角線AC上的動點，過點3作BE的垂線，過點C

作AC的垂線，兩條垂線交于點歹，連接E尸，求證：BE=BF.

【類比探究】

(2)如圖2,在矩形ABC。中，E為對角線4C上的動點，過點8作BE的垂線，過點C

CF

作AC的垂線，兩條垂線交于點/，且NACB=60。，連接E尸，求——的值.

AE

【拓展延伸】

(3)如圖3,在(2)的條件下，將E改為直線AC上的動點，其余條件不變，取線段E尸

的中點連接BM,CM.若AB=2^，則當是直角三角形時，請求出CT的

長.

【答案】(1)見解析；(2)算=4；(3)CR的長為百—1或6+1

AE3

【解析】

【分析】⑴證明口ABE^JCBF(ASA),可得BE=BF

(2)通過證明△ABEs^CBF,可得空=生=且；

AEAB3

(3)求出E/=2CM=2后，設CT=x，則AE=6X，分兩種情況解答，由勾股定理

可求出答案.

【詳解】(1)證明：?四邊形A6CD是正方形，

ABAC=ZBCA=45°,ZABC=90°,AB=BC,

?;BE工BF,CF1AC,

:.NEBF=NECF=90°=ZABC,

ZABE=NCBF,4BCF=45°=ABAC,

AAB￡^ACBF(ASA),

BE=BF；

(2)解：:BE，BE,CF1AC,

:.NEBF=NECF=90。,

二點C，點E,點B,點/四點共圓，

NACB=ZEFB=60°,

ZBAE=ZBEF=30°,

:.AB=6BC，BE=MBF，

二空二空地

BCBF

■：NEBF=ZABC,

ZABE=ZCBF,

.△ABESACBF,

,CF_BC43

"ABV；

(3)解：由(2)知：—=—=

AEAB3

???AB=26，

CB=2,

-.■BABE^OCBF,

ZABE=ZCBF,

NEBF=NEBC+ZCBF=NEBC+ZABE=ZABC=90°,

?:M為EF的中點，

BM=-EF,

2

由(2)知NACE=90°,

CM=-EF,

2

BM=CM,

又?.?□CBM是直角三角形，

CM=—BC=42，

2

EF=2CM=2V2，

設CF=x,則AE=，

?/ZCAB=30°,BC=2,

AC=2BC=4,

CE=AC-AE=4-^x，

■：ZECF=90°,

CE~+CF-=EF~，

x2+(4-V3x)2=8,

.?.%=6—1或x=G+l(不合題意，舍去)，

當NMBC=90°或NMCB=90°時，點M不存在，

當E在AC延長線上時，設CP=x,貝iJAE=gx，

?/ZCAB=30°,BC=2,

AC=2BC=4,

，CE=AE-AC=6尤-4，

???NECF=90°,

CE~+CF2=EF~，

X2+（V3X-4）2=8,

.,.x=6—1（不合題意，舍去）或x=6+l，

綜上所述，CE的長為g-1或6+L

【點睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性

質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質等知識，熟練掌握相似三角形

的判定與性質是解題的關鍵.

23.如圖1,在口ABC中,AC=BC,將線段繞點。逆時針旋轉90°,得到線段8,

連接A。，BD.

（1）求NA4D的度數(shù);

（2）如圖2,若/ACD的平分線“交于點色交的延長線于點￡,連結DE.

①證明：ABCDs"ED；

②證明：y/2CE=DE+BE-

【答案】（1）45°

(2)①見解析；②見解析

【解析】

aoc

【分析】(1)由等腰三角形的性質及旋轉的性質得NA4C=90。—上，ZCAD=45°

22

即可得NR4D的度數(shù)；

(2)①由題意可得/。8。=/氏4。=45°,由等腰三角形的性質可得NACE=NDCE,

CELAD,進而可得NAEC=45。，可證△ACE絲△DCE(SAS),易得

NDEC=NAEC=45。,可得NAED=ZBCD=90°,可證結論；

②延長ED至G,使得DG=BC,先證NCBE=NCDG,進而可證

△C3E之△CDG(SAS),可得ZBEC=NG=45。，口CEG是等腰直角三角形，可得結

論.

【小問1詳解】

解：設AACB=a,

AC=BC,

180°—NACB180°-tz_a

ABAC=ZABC=--------------=9(J-------

222

由旋轉可知，NBCD=90。,AC=BC=DC,

：.ZACD=9Q0+a

]80。/。04

ZCAD=ZCDA==45芍

2

ZBAD=ABAC-NCAD=45°；

【小問2詳解】

①證明：???AC=BC=OC,/BCD=90°,

：.ZCBD=ZBAD=45°,

又：CE平分/AC￡),

ZACE=ZDCE,CELAD,則/ARE=90。

NAEC=45°,

又：CE=CE,

：.AACE^ADCE(SAS),

/DEC=ZAEC=45°,

：.ZAED=ZBCD=90°,

：.UBCD^UAED；

②證明：延長ED至G,使得DG=BE,

：AC=BC=DC,

：.ABAC=/ABC,

由①知口4匿空口。?！辏?

ZEAC=ZEDC,

Z./ABC=ZEDC,

：.NCBE=ZCDG,

ACBE^ACDG(SAS),

ZBEC=NG=45°,

???□CEG是等腰直角三角形，

EG=OCE=DE+DG=DE+BE,

即：血CE=DE+BE.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定，等

腰三角形的性質，旋轉的性質，添加恰當?shù)妮o助線構造全等三角形是本題的關鍵.

24.如圖1,拋物線丁=。必+法+。的頂點坐標為A(l,2),與無軸交于點3(-1,0),C兩

點，與>軸交于點。，點尸是拋物線上的動點.

(2)連接A3、AC,判斷口ABC的形狀并說明理由.

(3)連接CD,若點戶在第一象限，過點戶作尸ELCD于￡,求線段PE長度的最大值；

(4)已知NAC3+NPC3=a,是否存在點R使得tana=2?若存在，求出點尸的橫

坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=--(x-l)-+2

(2)048。為等腰直角三角形；理由見解析

20

(4)尸的橫坐標為■或-g

【解析】

【分析】(1)利用拋物線頂點坐標已知，將拋物線設為頂點式，代入8點，求得拋物線解

析式；

(2)先求出點C(3,0),然后求出=J(-L—1『+后=2血，

22然后根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即

AC=A/(3-1)+2=2^2,BC=3-(-l)=4,

可；

(3)先由拋物線的解析式，求出拋物線與坐標軸的三個交點￡>、B、C,則直角△D0C的

各個內(nèi)角三角函數(shù)值和邊長均可求，且直線8的解析式可求，因為尸E，C￡>,可以過尸作

軸與歹，交CD于H,則可以證得△PE"sac。。，利用相等的角的三角函數(shù)

值相等這個結論，得到PE與PH的數(shù)量關系，設出尸點坐標，可以得到H點坐標，表示

出PH的長度，繼而求得PE的長度，得到一個二次函數(shù)，根據(jù)P的橫坐標范圍，討論這個

二次函數(shù)最值問題，在頂點處取得最值，即可解決.

(4)根據(jù)題意，可以畫圖，得到PC可以在無軸上方和x軸下方兩種情況，先看PC在％軸

下方，利用A、B、C三點坐標，可以證得ABAC=90°，延長AB交CP于K點，則口AKC

是一個直角三角形，構造一線三直角模型，可以求得CK的解析式，從而聯(lián)立CK與拋物線

解析式，求出交點P的橫坐標，當尸在無軸上方時，可以先求出K關于無軸對稱點K'的坐

標，先求出直線CK'的解析式，再聯(lián)立直線CK'與拋物線解析式，求出交點尸的橫坐標.

【小問1詳解】

解：?.?拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為4(1,2),

二設拋物線解析式為y=a(x—1『+2,代入點8(—1,0),得4a+2=0,

1

Cl——，

2

19

.1拋物線解析式為：y=--(x-l)-+2.

【小問2詳解】

解：口43。為等腰直角三角形；理由如下：

1919

把y=0代入y=_](x_l)-+2得：0=--(x-l)-+2,

解得：％=3,x2=-l,

AC(3,0),

???