陜西省教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A.B.C.D.3.已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.4.“四書(shū)五經(jīng)”是我國(guó)9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語(yǔ)》《中庸》《孟子》《周易》《尚書(shū)》《詩(shī)經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱(chēng).為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃在讀書(shū)節(jié)活動(dòng)期間舉辦“四書(shū)五經(jīng)”知識(shí)講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)為（）A.B.C.D.5.已知，則（）A.8B.-8C.D.6.某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試，經(jīng)過(guò)大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語(yǔ)表達(dá)測(cè)試成績(jī)服從，據(jù)此估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為（）參考數(shù)據(jù)：A.B.C.D.7.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且，則（）A.-4B.-2C.4D.28.如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則三棱錐的體積的最大值為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知事件滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若與互斥，則C.若，則與相互獨(dú)立D.若與相互獨(dú)立，則10.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為-1，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的所有零點(diǎn)之和是6B.C.D.11.已知曲線(xiàn)的方程為是以點(diǎn)為圓心?1為半徑的圓位于軸右側(cè)的部分，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C.若直線(xiàn)被所截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)在上，則的值為D.若曲線(xiàn)在的上方，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是__________.13.在中，已知為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若，則__________.14.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)與的交點(diǎn)有__________個(gè)，四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿(mǎn)分13分）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）求角；（2）若的面積為，求的長(zhǎng).16.（本小題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.17.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，已知平行六面體的所有棱長(zhǎng)均相等，平面為的中點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的正弦值.18.（本小題滿(mǎn)分17分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，且，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知是上兩點(diǎn)（點(diǎn)不同于點(diǎn)），直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于，兩點(diǎn)，若，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).19.（本小題滿(mǎn)分17分）隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代來(lái)臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問(wèn)題引起了人們的高度關(guān)注，國(guó)際上常用的數(shù)據(jù)加密算法通常有AES?DES?RSA等，不同算法密鑰長(zhǎng)度也不同，其中RSA的密鑰長(zhǎng)度較長(zhǎng)，用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA加密算法中的應(yīng)用.設(shè)是兩個(gè)正整數(shù)，若的最大公約數(shù)是1，則稱(chēng)互素.對(duì)于任意正整數(shù)，歐拉函數(shù)是不超過(guò)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為.（1）試求的值；（2）設(shè)是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，試用表示，并探究與和的關(guān)系；（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求該數(shù)列的前項(xiàng)的和.2025屆高三第一次模擬考試·數(shù)學(xué)參考答案?提示及評(píng)分細(xì)則1.B，所以.故選B.2.A因?yàn)閺?fù)數(shù)滿(mǎn)足，所以，所以.故選A.3.A根據(jù)題意設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線(xiàn)的方程為，即.故選A.4.C先將《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座全排列，共有種排法，再將《大學(xué)》《論語(yǔ)》《周易》看作3個(gè)元素，插入產(chǎn)生的7個(gè)空隔中，共有種排法，故總共有種排法.故選C.5.D因?yàn)?，所?故選D.6.A依題意，所以測(cè)試成績(jī)不小于94的學(xué)生所占的百分比為.故選A.7.B因?yàn)?，則.由得，所以函數(shù)的一個(gè)周期為.故選B.8.D在直三棱柱中，平面，故為三棱錐的高，設(shè)，則，由，得，故，則，故，故時(shí)，三棱錐的體積有最大值.故選D.9.BC因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；若與互斥，則，故B正確；因?yàn)?，所以與相互獨(dú)立，故C正確；因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選BC.10.AB由函數(shù)的圖象，經(jīng)過(guò)軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再向右平移1個(gè)單位，可得的圖象，最終經(jīng)過(guò)軸翻折變換，可得的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，令，因?yàn)楹瘮?shù)最小的零點(diǎn)為-1，且，故當(dāng)時(shí)，方程有4個(gè)零點(diǎn)，所以要使函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，且最小的零點(diǎn)為，則或，由，得或，設(shè)的四個(gè)根從小到大依次為，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得，所以的所有零點(diǎn)之和是6，故A正確；關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為0，1，由韋達(dá)定理，得，，故B正確，C?D錯(cuò)誤.故選AB.11.BCD對(duì)于選項(xiàng)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，點(diǎn)代入圓的方程得，所以圓過(guò)點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)被所截得的線(xiàn)段為，中點(diǎn)為，聯(lián)立和有，故，故代入得，解得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖所示，在的上方時(shí)，拋物線(xiàn)和圓無(wú)交點(diǎn)，聯(lián)立和有，且，解得，故D正確.故選BCD.12.50先按照從小到大排序：，共12個(gè)數(shù)據(jù)，，第9，10個(gè)數(shù)據(jù)分別為47，53，則第75百分位數(shù)為.13.10由，得，又為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，即，所以.14.6因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，又，所以，因?yàn)樵谳S右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為所以，解得，所以，畫(huà)出與在區(qū)間上的圖象如圖所示，由圖可知曲線(xiàn)與的交點(diǎn)有6個(gè).15.解：（1）因?yàn)?，所以，根?jù)正弦定理得，根據(jù)余弦定理得，由于，所以.（2）因?yàn)?，所?由余弦定理可知，所以.16.解：（1）由題意知，所以又函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，解得.（2）由（1）知，令，解得或，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.又所以的極小值為，極大值為.17.（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)?，所?又平面，所以平面.又平面，所以.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，四邊形是正方形，結(jié)合（1）的結(jié)論可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量為，則令，可得.設(shè)平面的法向量為，則令，可得.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以，即平面與平面的夾角的正弦值為.18.（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由（1）知，由題意可知直線(xiàn)的斜率不為0，否則將位于軸同側(cè)，0，不合題意；設(shè)的方程為，代入，得，由，得，設(shè)，則，所以，，直線(xiàn)的方程為令，得，故，同理可得，所以，由，得，即，所以，所以，解得（舍），所以直線(xiàn)的方程為，故直