尺規(guī)作圖的教學分析

/[初中數學論文]尺規(guī)作圖的教學分析尺規(guī)作圖以嚴密的邏輯推理，成為數學教學中獨具一格的教學內容，由于其獨特的知識結構，多年來在初中教學中未有深入的涉與和研究，對學生的教學要求，只局限于五種基本尺規(guī)作圖法的理解和操作，隨著新課程對學生能力培養(yǎng)的要求，對尺規(guī)作圖的要求也提出了更高的要求：除了要熟練操作五種基本圖形作法外，還要結合幾何推理，對目標圖形進行作圖原理推究、作圖方法探索。這在一定程度上，對尺規(guī)作圖的課堂教學帶來了一定的挑戰(zhàn)，在近段時間關于尺規(guī)作圖的課堂教學教研活動中，筆者深有感觸：尺規(guī)作圖的教學在接軌于新課標的總思想和接軌于中考要求方面需要加大力度，筆者就課后交流和個人親身教學體會，談談對尺規(guī)作圖教學的一些想法。1.教材對尺規(guī)作圖的基本要求任何一個知識點的學習，都離不開基本概念的理解和基本技能的掌握，三基是知識的根本點，對學生所學的相關知識與新知識結構起著固本作用，三基只有得到徹實有效的實施和應用，三基才能得到充分的發(fā)展和延伸。我們對尺規(guī)作圖這塊內容的教學，同樣需要熟練掌握五種基本圖形的基本畫法，正確理解它們的作圖原理，在實際問題中能簡單地應用。教材（華師大版）對五種基本作圖的內容編排，是淺顯易懂，對課堂例題與訓練題也是從絕大數學生的實際認知能力出發(fā)而設，以照顧全體學生在學習中都能獲益為主要目標，在課后作業(yè)練習題中，也是對五種基本圖形作法中稍加組合應用，注重的是基本作圖法的理解、技能的掌握以與有條件類型題的作圖，這類題學生能直接根椐條件，選擇相應作圖方法作圖，主要目的都是鞏固理解五種基本圖形，雖然題目類型缺乏靈活性，但這些全是固本知識，是知識的根本點，能為學生作圖方法的深入研究提供有效的保證。新教材編寫雖然淺顯易懂，習題也簡單，卻需要教師補充一部分內容，這是新教材的一個特色，是給教師提供的一個彈性空間，可以根據學生具體情況，適當補充一些需要的題型，提升學生的能力。2.尺規(guī)作圖應落實的教學尺度2.1尺規(guī)作圖教練中的難度在學生的實際學習中，對五種基本作圖法的單一應用是沒有問題的，但部分學生由于幾何意識薄弱，對稍加組合的基本圖形作法的應用，思維發(fā)揮尚有一定差異，主要原因在于雙基落實過程中，深度不夠，也就是說幾何推理+操作的綜合能力不夠到位，需要在教學過程中把握好難度分寸，給學生補充一些能激化思維、提升思維的內容，以達到對基本作圖法的靈活應用。筆者給學生做過這樣一個試驗，如例1，學生在解答時，因作圖意向方法非常清楚，因此學生能很快畫出角平分線和過點P的垂線，得二線交點Q。但當筆者把題目作了適當變形時，學生選擇作圖方法，顯得缺乏應有的章法，暴露出學生在受教過程中，對目標圖形的幾何分析和基本圖形作法插入應用，缺乏應有理性認識。若在平時能經常給學生訓練例1類的變形題，學生對尺規(guī)作圖的理性認識將上升一個臺階。例1如圖1-1，已知∠AOB，點P在OA上，找出點Q，使點Q到∠AOB兩邊距離相等，并且PQ⊥OA；圖1-3圖1-2圖1-1圖1-3圖1-2圖1-1變形1有二條直線型公路AB和CD，如圖1-2，因在點C的左邊有障礙物，因此公路要在點C處開始轉彎與公路AB相接，要求畫出連接二公路的圓弧，且圓弧與二公路是相切。變形2有二條直線型公路AB和CD，如圖1-3，因在點C的左邊是障礙物，因此公路要修建一個圓弧連接公路AB、CD，要求畫出圓弧的半徑為r，且圓弧與二公路是相切。變形1只是對圖1-1中的∠O部分擦去，直線說成是公路，很多學生只能畫出過點C的垂線，卻不會去畫二條公路延長線的夾角平分線。變形2是對變形1改進，有了變形1的經驗，學生只能畫角平分線確定圓心所在的一條直線，畫第二條確定圓心所在的直線有點困難，本題和變形1相比，難度稍有提高。要求學生畫一條與一公路平行且相距為r的直線，直線與角平分線的交點即是圓心，也可以通過畫二條直線分別與二條公路平行且相距為r，二平行線交點即為圓心。但事實上學生畫平行線的想法更本沒有或者是方法不當，原因是平時訓練題中畫平行線不多見，暴露出一個問題：學生注重的是基本作圖法的具體操作，忽視了作圖方法與幾何推理的密切掛鉤，不會通過目標圖形的特征，用幾何推理方法去探究作圖方法，學會的只是基本作圖方法，應用意識沒有挖掘，思維沒有打開，需要在課堂教學中提高教學要求，注重幾何推理分析，在課后訓練中適當補充思維型題目。2.2基本作圖操練中的強度五種基本尺規(guī)作圖法比較簡單、易操作，教材的編寫要求不高，中考中比分也不多，因此教師和學生在平時都不夠重視，導致熟練程度不夠，對尺規(guī)作圖的深入研究存在缺陷。圖2在初三年考前，給學生測試例2，這是一個易理解、又有多種作法、注重雙基思想的作圖題，學生在選擇方法時，思維顯得比較單一，答案不能全部羅列出來，五種基本作圖法應用的熟練程度不夠到位。圖2例2如圖2，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圓規(guī)和直尺作圖，用兩種以上方法把它分成兩個三角形，且要求其中一個三角形的等腰三角形。（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）本題可以采用五種尺規(guī)作圖中的畫線段、畫線段的垂直平分線、畫角平分線、畫角中任何一個基本作法都可以完成目標圖形，是學生復習鞏固和靈活體驗五種基本作圖方法的一個好題，但學生大都采用的方法是畫線段的垂直平分線和角平分線這二種方法，對其它基本作圖方法熟視無睹，沒有作圖意向，詢問學生能不能用別的方法作圖時，學生還要疑惑一下，可見對五種作圖法的熟練和功能理解不夠深入，基本作圖法還停留在一種記憶意識，沒深入到理性的應用意識，存在著知識的應用盲點，一旦出現象例2一類作法開放的作圖題時，就會暴露出基本作圖法應用不夠熟練的弱點，需要增加訓練量，熟練每種作圖方法和作圖原理。建議在尺規(guī)作圖教學過程或課后作業(yè)中，補充條件開放和結論開放類型的作圖題，加強訓練強度，活化基本作圖方法，激化學生的應用意識，讓學生對每種基本圖形作法有一個思維發(fā)散的空間。3.尺規(guī)作圖應用中的數學思想在尺規(guī)作圖中，有很多題目是不能一下子想到作圖方法的，需要運用數學思想展開分析，其中類比思想結合熟悉題型展開分析比較廣泛。而尺規(guī)作圖應用的幾何知識中，應用比較多的是軸對稱、二點間線段最短，三角形二邊之和大于第三邊、二平行線間距離恒值等知識，這些知識是學生平時接觸中最簡單、最熟悉的幾何知識，在作圖題中由于題型發(fā)生了變化，接觸的形式不一樣，讓學生有時感到有點不適應，需要學生懂得應用類比思想結合幾何推理，探究作圖方法。如例3，學生在沒有提示的條件下，學生一下子很難想到作圖方法，找不到作圖的突破口，其實是學生找不到學過知識中的對應模型，一旦提示學生：小球的運動路線類似于學過知識的什么圖形和現象時，學生就很快地能想到作圖方法，顯示用類比思想在作圖中的作用。圖3-1例3臺球是一項高雅的體育運動，其中包含了許多物理學、幾何學知識，圖3-1是一個臺球桌，目標球F與本球E之間有一個G球阻擋．擊球者想通過擊打E球，讓E球先撞擊球臺的AB邊，經過一次反彈后再撞擊F球，他應將E球打到AB邊上的哪一點？請在圖3-1中用尺規(guī)作出這一點H，并作出E球的運行路線；(不寫畫法，保留作圖痕跡)圖3-1本題從幾何圖形角度看，可用軸對稱知識解決；從物理現象看，可類比于光的反射，從入射角等于反射角入手，應用軸對稱知識找到AB邊上的擊點。例4我們把能平分四邊形面積的直線稱為“好線”。利用下面的作圖4-1，可以得到四邊形的“好線”：在四邊形ABCD中，取對角線BD的中點O，連結OA、OC。顯然，折線AOC能平分四邊形ABCD的面積，再過點O作OE∥AC交CD于E，則直線AE即為一條“好線”。（1）試說明直線AE是“好線”的理由；（2）如下圖4-2，AE為一條“好線”，F為AD邊上的一點，請作出經過F點的“好線”，并對畫圖作適當說明(不需要說明理由)。圖4-1圖4-2圖4-1圖4-2本題以圖4-1的作法引導學生理解“好線”的作法，讓學生探求隱含的理論依據是等底等高的二個三角形面積相等，然后讓學生去探索圖4-2的作法。顯然本題若沒有⑴的引導學生是很難想到作圖方法的，有了⑴，學生就可以運用類比思想，根據平行線特征，得到作圖方法：連接EF,作AM∥EF,交CD于M,連接FM，則FM就是所求的“好線”。在作圖中要讓學生靈活運用數學思想探求作圖方法，需要在平時教學中，多接觸典型作圖題，主要是思想方法運用的典型、幾何知識運用的典型，以培養(yǎng)學生運用數學思想結合幾何推理探究作圖原理的能力。4.尺規(guī)作圖對思維的促進功能尺規(guī)作圖是建立在幾何推理上的一種作圖方法，每一種基本作圖法都可以用幾何論證明其正確性，尺規(guī)作圖有其嚴密的邏輯性，在應用中，除了培養(yǎng)學生合作探究、動手操作能力外，對學生幾何思維的訓練有著非常大的促進，因為尺規(guī)作圖比純粹的幾何明題在幾何思維訓練上，具有更高的推理要求。如例5充分說明軸對稱知識應用對學生幾何思維的促進作用，在沒有告訴學生應用軸對稱知識作圖時，學生在解決例5時，在探求作圖方法時是何等得絞盡腦汁，能探得作圖原理只有少數幾個學生，當提示學生應根據圖形特點，構造學過的圖形如三角形、四邊形等圖形，結合幾何知識去推理、探求圖形特征，然后結合對應的作圖方法作圖時，學生才算探到了作圖的門道，領略了幾何推理和尺規(guī)作圖密切結合的意境，這種意境對學生幾何思維的促進，應該超過單純的幾何證明題。例4如圖5-1，凸四邊形ABCD，如果點P滿足∠APD＝∠APB=α。且∠BPC＝∠CPD＝β，則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點．(l)在圖5-3正方形ABCD內畫一個半等角點P，且滿足α≠β。(2)在圖5-4四邊形ABCD中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）。(3)若四邊形ABCD有兩個半等角點P1、P2（如圖5-2），證明線段P1P2上任一點也是它的半等角點。圖5-2圖5-1圖5-3圖5-4圖5-2圖5-1圖5-3圖5-4本題是軸對稱知識的應用，與例3相比更具有幾何推理的特征，讓學生感受到同一知識不同思維角度，對學生的幾何思維有著提升作用。作法：如⑵，連接AC，過B點作AC的軸對稱點B1,連接DB1其延長線交AC于點P,則點P就是所求的點。尺規(guī)作