《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)教程》課件第8章

第8章假設(shè)檢驗(yàn)8.1、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想8.2、總體平均值的假設(shè)檢驗(yàn)8.3、比例的假設(shè)檢驗(yàn)8.4、方差的假設(shè)檢驗(yàn)8.5、兩個(gè)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)8.6、參數(shù)估計(jì)和建設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系8.1、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想8.1.1假設(shè)檢驗(yàn)的數(shù)理邏輯與反證法假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)關(guān)于總體參數(shù)的某種假設(shè)，依據(jù)樣本分布規(guī)律如果能推論出幾乎不可能的事件，即小概率事件，這時(shí)我們可以認(rèn)為關(guān)于總體參數(shù)的某個(gè)假設(shè)幾乎不成立。假設(shè)檢驗(yàn)的思想也被稱為小概率原理。例8.1、在例7.1的數(shù)據(jù)中，某醫(yī)院育嬰房隨機(jī)抽取9名新生兒，檢查他(她)們的體重?cái)?shù)據(jù)如下(單位KG)：2.8，3.1，3.6，3.7，3.8，3.2，2.9，3.3，4.1。假設(shè)新生兒體重分布服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差為0.4。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，能否判斷新生兒平均體重為4.0公斤？解：首先，假設(shè)新生兒體重為4.0公斤(原假設(shè)H0)，如果這一說法不正確，則新生兒體重不等于4.0公斤(備擇假設(shè)H1)第一步：構(gòu)造原假設(shè)和備擇假設(shè)第二步：構(gòu)造樣本統(tǒng)計(jì)量第三步，根據(jù)抽樣所得樣本數(shù)據(jù)計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量數(shù)值第四步，將樣本統(tǒng)計(jì)量值臨界值比較，做決策。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布規(guī)律，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量在95%的概率下落入(-1.96，+1.96)之間，顯然-4.58沒有落入這一區(qū)間，小概率事件出現(xiàn)(不足5%)，拒絕原假設(shè)。此時(shí)，我們的結(jié)論是認(rèn)為新生兒體重總體均值不是4.0公斤。8.1.2假設(shè)檢驗(yàn)中的基本概念1.原假設(shè)(NullHypothesis)與備擇假設(shè)(AlternativeHypothesis)原假設(shè)是對于總體參數(shù)所做的陳述，也有叫做零假設(shè)、虛無假設(shè)等等，原假設(shè)是研究著想予以否定的假設(shè)。而研究者通過搜集樣本數(shù)據(jù)想予以證明或支持的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，備擇假設(shè)也是我們的研究假設(shè)。如果能夠得出與原假設(shè)相違背的結(jié)論，則拒絕原假設(shè)(接受備擇假設(shè))，否則不能拒絕原假設(shè)。例8.2、

在企業(yè)持續(xù)生產(chǎn)的生產(chǎn)線上，質(zhì)量控制人員定期對某個(gè)金屬零件的孔徑進(jìn)行檢查，以確定金屬零件的孔徑是否為3.0厘米。如果孔徑大于或小于3.0厘米均表示生產(chǎn)線失去控制，試表述在這一檢驗(yàn)過程中，檢驗(yàn)人員的原假設(shè)和備擇假設(shè)。解：根據(jù)上面的陳述，在正常生產(chǎn)條件下，金屬零件孔徑cm，此時(shí)生產(chǎn)線處于控制狀態(tài)。研究者最關(guān)心或者最想證明的是金屬零件孔徑大于或小于3.0厘米。例8.3、

某廠家生產(chǎn)一種新型輪胎，廠家廣告聲稱其平均使用里程超過25000公里。對一個(gè)由16個(gè)輪胎組成的隨機(jī)樣本做了試驗(yàn)，得到其樣本平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為27000公里和4000公里。假定輪胎壽命服從正態(tài)分布，試表述在這一檢驗(yàn)過程中的原假設(shè)和備擇假設(shè)。解：根據(jù)上面的陳述，要能夠證明輪胎平均使用里程大于25000公里，則應(yīng)該處于備擇假設(shè)的位置，那么與之相反的應(yīng)該處于原假設(shè)，所以：

(廠家廣告不真實(shí))

(廠家廣告真實(shí))例8.4、

根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某個(gè)工作崗位上平均每周的事故次數(shù)為5.5次，研究者為了降低事故發(fā)生率，重新設(shè)定了工作流程和新的安全計(jì)劃，為了檢驗(yàn)新的方案是否降低了事故發(fā)生率，試表述在這一檢驗(yàn)過程中的原假設(shè)和備擇假設(shè)。解：根據(jù)上面的陳述，要能夠降低事故發(fā)生率，這也是研究者最關(guān)心的，因此處于備擇假設(shè)位置。(事故頻率沒有降低)(事故頻率得到有效降低)2.顯著性水平(levelofsignificance)和臨界值在例8.1中，樣本統(tǒng)計(jì)量仍有5%的概率落入?yún)^(qū)間(-1.96，+1.96)之外，拒絕原假設(shè)則意味著可能犯錯(cuò)誤，也就是說我們最多還有5%的概率犯“拒絕一個(gè)正確原假設(shè)”的錯(cuò)誤，我們把犯這類錯(cuò)誤的概率稱為顯著性水平(levelofsignificance)。通常在假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平是根據(jù)研究需要事先給定的，一般取1%，5%或者10%。臨界值是顯著性水平對應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量值。例8.1中

稱落入拒絕域稱落入非拒絕域3.假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤，或棄真錯(cuò)誤，即在原假設(shè)正確前提下，犯拒絕正確原假設(shè)的概率第二類錯(cuò)誤，也叫做取偽錯(cuò)誤，即我們沒有拒絕錯(cuò)誤的原假設(shè)，法官審判審判(原假設(shè)無罪)假設(shè)檢驗(yàn)(原假設(shè)H0)裁決結(jié)果實(shí)際情況決策結(jié)果實(shí)際情況無罪有罪H0為真H0為假無罪正確錯(cuò)誤未拒絕

正確決策(1-a)第Ⅱ類錯(cuò)誤(β)有罪錯(cuò)誤正確拒絕第Ⅰ類錯(cuò)誤(a)正確決策(1-β)4、p-值(p-value)在例8.1中，由于|Z|=4.58>Z0.025=1.96拒絕原假設(shè)，此時(shí)犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過5%，但是到底真實(shí)犯第一類錯(cuò)的概率是多少呢？當(dāng)原假設(shè)正確時(shí)，|Z|仍有可能大于4.58，因此p值即P(|Z|>4.58)，所以p值是一個(gè)概率值，可以認(rèn)為是犯第一類錯(cuò)誤(棄真錯(cuò)誤)的概率，通俗的可以理解為，按照所取得的樣本計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量值判斷，原假設(shè)為真的概率為p。當(dāng)原假設(shè)正確時(shí)，|Z|仍有可能大于4.58，因此p值即P(|Z|>4.58)，所以p值是一個(gè)概率值，可以認(rèn)為是犯第一類錯(cuò)誤(棄真錯(cuò)誤)的概率，通俗的可以理解為，按照所取得的樣本計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量值判斷，原假設(shè)為真的概率為p。5.單尾檢驗(yàn)中的接受域和拒絕域左尾檢驗(yàn)右尾檢驗(yàn)6、假設(shè)檢驗(yàn)決策規(guī)則1)根據(jù)顯著性水平

查表取得臨界值給定顯著性水平

，查表得出相應(yīng)的臨界值Za

(單尾檢驗(yàn))或Za/2(雙尾檢驗(yàn))，根據(jù)總體分布情況、樣本容量大小等也會用到ta(單尾檢驗(yàn))或ta/2(雙尾檢驗(yàn))2)比較，觀察統(tǒng)計(jì)量值落入拒絕域還是非拒絕域?qū)z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與

水平的臨界值進(jìn)行比較，作出決策(注意單尾檢驗(yàn)臨界值的正負(fù)號)。雙側(cè)檢驗(yàn)：|統(tǒng)計(jì)量|>臨界值，拒絕H0

左側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量<-臨界值，拒絕H0

右側(cè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)量>臨界值，拒絕H08.2總體平均數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)8.2.1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的確定1樣本量總體服從正態(tài)分布時(shí)，樣本均值服從正態(tài)分布?？傮w未服從正態(tài)分布，樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值仍然近似服從正態(tài)分布。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)，樣本容量足夠大(大于30)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替總體標(biāo)準(zhǔn)差σ2、樣本標(biāo)準(zhǔn)差是否已知在小樣本情況下，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差

σ已知，根據(jù)前面的分析樣本統(tǒng)計(jì)量仍然服從正態(tài)分布，可采用Z統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。如果總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，需要用s來替代總體標(biāo)準(zhǔn)差σ

，這時(shí)由于樣本標(biāo)準(zhǔn)差的隨機(jī)性，使得樣本統(tǒng)計(jì)量具有更大的隨機(jī)性，根據(jù)第6章的證明，需采用t統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式：8.2.2均值的雙尾檢驗(yàn)例8.5有一臺生產(chǎn)金屬零件的加工機(jī)床，零件的直徑平均值為0.5cm，假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的零件中取得n=50的樣本，測量得到樣本平均值為0.46cm和標(biāo)準(zhǔn)差s=0.075cm。試以5%的顯著性水平檢驗(yàn)機(jī)床生產(chǎn)狀態(tài)是否正常。解：第一步構(gòu)造假設(shè)H0:μ=0.5(機(jī)床生產(chǎn)狀態(tài)正常)H1:

μ≠0.5(機(jī)床生產(chǎn)狀態(tài)不正常)第二步：構(gòu)造樣本統(tǒng)計(jì)量，用s替代總體標(biāo)準(zhǔn)差

σ，由于n>30，可以采用Z統(tǒng)計(jì)量第三步，根據(jù)抽樣所得樣本數(shù)據(jù)計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量數(shù)值，由于是雙尾檢驗(yàn)，故根據(jù)顯著性水平

查Za/2=Z0.05/2=1.96第四步，將樣本統(tǒng)計(jì)量值臨界值比較，做決策。|Z|=3.77>Z0.025=1.96因此，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域，故拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，有充足理由說明機(jī)床生產(chǎn)狀態(tài)不正常。在本例中，由于用s替代總體標(biāo)準(zhǔn)差

σ，用Z統(tǒng)計(jì)量的原因是當(dāng)n較大時(shí)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的與t統(tǒng)計(jì)量的近似程度較好。如果我們用t統(tǒng)計(jì)量，則更加準(zhǔn)確一些，只是t統(tǒng)計(jì)量本身有自由度，需要查表，但是在有計(jì)算機(jī)條件下，查表并不困難。因此，上面的例子如若用t統(tǒng)計(jì)量，t值仍然是-3.77，只是第三步查表時(shí)需要查t0.025(49)=2.0103.77>2.010,結(jié)論是一致的。8.2.3均值的單尾檢驗(yàn)1.左尾檢驗(yàn)例8.7、一位餐廳總經(jīng)理為了減少顧客點(diǎn)單后等候的時(shí)間，采用了一種新的電子菜單點(diǎn)單流程。在傳統(tǒng)點(diǎn)單情況下，顧客的平均等待時(shí)間為16分鐘，采用新的流程后，對隨機(jī)36名顧客等待時(shí)間做了記錄，得到平均等待時(shí)間為11.2分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差s為6分鐘，試以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)顧客等待時(shí)間是否有顯著下降。解：由于餐廳經(jīng)理最關(guān)心等待時(shí)間下降，即

，因此想要驗(yàn)證的結(jié)論出與備擇假設(shè)，所以，第一步構(gòu)造假設(shè)：H0:μ≥18(等待時(shí)間沒有顯著下降)H1:μ<18(等待時(shí)間顯著下降)第二步，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量。由于用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s替代總體標(biāo)準(zhǔn)差σ,統(tǒng)計(jì)量：由于是左側(cè)檢驗(yàn)(犯錯(cuò)誤的概率在左側(cè))，查

t0.05（35）=1.6896將t=-4.8和臨界值作比較t=-4.8t<-t0.05（35）=-1.6896因此拒絕原假設(shè)，即有充分證據(jù)說明改變后的電子下單方式使顧客平均等待時(shí)間顯著下降。在本例左尾檢驗(yàn)中，p-value就是t分布落在-4.8左側(cè)的概率，用EXCEL函數(shù)TDIST查得1.4655×10-5，幾乎是0，顯然小于給定的顯著性水平5%。2、右尾檢驗(yàn)例8.8對于例8.3，某廠家生產(chǎn)一種新型輪胎，廠家廣告聲稱其平均使用里程超過25000公里。對一個(gè)由16個(gè)輪胎組成的隨機(jī)樣本做了試驗(yàn)，得到其樣本平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為27000公里和4000公里。試以0.05和0.01的顯著性水平分別檢驗(yàn)廠家的廣告是否真實(shí)。解：第一步構(gòu)造假設(shè)H0:μ≤25000(廠家廣告不真實(shí))H1:μ>25000

(廠家廣告真實(shí))第二步，計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量第三步，根據(jù)給定的顯著性水平0.05和0.01查t臨界值當(dāng)顯著性水平取a=0.05時(shí)，t=2>t0.05(15)=1.7531

，故拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，說明廠家廣告為真。當(dāng)顯著性水平a取0.01時(shí)，t=2<t0.01(15)=2.6025

，故不能拒絕原假設(shè)，不能說明廠家廣告為真。在這里，顯著性水平不同會影響到假設(shè)檢驗(yàn)決策的結(jié)果。如何理解？8.3比例的假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)第6章比例的抽樣分布規(guī)律(公式6.5)，我們知道當(dāng)

和np>5和n(1-p)>5

時(shí)，因此，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以采用，1.雙尾檢驗(yàn)例8.10一個(gè)市場調(diào)研公司聲稱他們通過郵件回訪了8%的產(chǎn)品用戶。為了檢驗(yàn)這一說法是否正確?，F(xiàn)隨機(jī)取得了該產(chǎn)品用戶中的500人作為樣本，其中有25人表示接受到市場調(diào)研公司的回訪，試以5%的顯著性水平檢驗(yàn)這一說法的正確性。解：第一步，做假設(shè)H0:π=8%H1:π≠8%第二步，計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量由于|Z|=2.47<Z0.025=1.96，故落入拒絕域，拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，說明該市場調(diào)研公司的回訪比例不是8%。根據(jù)Excel中的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)NORMSDIST查得p-value是0.0135<0.05。2.單尾檢驗(yàn)例8.11、2009年的一項(xiàng)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，周末看電視的家庭主婦中，有40%收看綜合娛樂節(jié)目。而在2010年周末收看電視的家庭主婦中，隨機(jī)抽取了120名，其中有57人收看綜合娛樂節(jié)目。此證據(jù)是否表明2010年家庭主婦收看綜合娛樂節(jié)目的比例高于2009年？顯著性水平a取0.05。解:p=57÷120=0.475H0:π≤0.4(2010年比例沒有提高)H1:π>0.4(2010年比例有提高)樣本統(tǒng)計(jì)量由于

Z=1.68>Z0.05=1.64，故拒絕原假設(shè)，說明2010年周末看電視的家庭主婦收看綜合娛樂節(jié)目的比例高于2009年。P-value可以通過查正態(tài)分布表，即P(Z>1.68)=0.0465。8.4方差的假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)第6章樣本方差的分布規(guī)律(公式6.6)，若總體方差為σ02

，則方差的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以采用:其中，樣本方差例8-12在罐頭食品包裝過程中，不僅每罐的平均裝填量很重要，而且裝填量的方差同樣需得到控制。如果裝填量的方差過大，就會出現(xiàn)盡管平均值滿足需要，但是有些罐頭裝填量太多，而又有些罐頭裝填量則太少。假定根據(jù)企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定平均值為8盎司的罐頭裝填量的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)小于0.1盎司，質(zhì)檢人員在生產(chǎn)線上隨機(jī)抽樣得到10個(gè)罐頭，并測得樣本數(shù)據(jù)如下：7.96，7.90，7.98，8.01，7.97，7.96，8.03，8.02，8.04，8.02。試以顯著性水平0.05檢驗(yàn)裝填量的方差是否滿足要求。解：裝填量的方差要滿足要求，即方差小于0.1H0:σ2≥0.1(裝填量方差不符合要求)H1:σ2<0.1(裝填量方差符合要求)

2=1.66<

20.952(9)=3.32518.5兩個(gè)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)8.5.1兩個(gè)總體均值之差的假設(shè)檢驗(yàn)：獨(dú)立雙樣本在兩個(gè)總體方差已知時(shí)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。兩個(gè)總體的方差

是未知的，因此需要根據(jù)樣本方差

來估計(jì)，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，仍然可以采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)統(tǒng)計(jì)量。在小樣本條件下，需要根據(jù)兩個(gè)總體方差是否相等分別構(gòu)造不同的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，如果有理由認(rèn)為兩個(gè)獨(dú)立樣本的方差相等。如果沒有理由認(rèn)為兩個(gè)獨(dú)立樣本的方差相等，那么檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量仍然采用。例8.13、計(jì)算機(jī)焦慮指數(shù)(TheComputerAnxietyRatingScale,CARS)是衡量人們面對計(jì)算機(jī)信息時(shí)代產(chǎn)生焦慮情緒的一種指數(shù)，指數(shù)的計(jì)算取值在20(沒有焦慮情緒)到100(焦慮情緒最高)之間，研究者為了了解某大學(xué)工商管理碩士(MBA)的焦慮情緒是否在男女不同性別之間存在差異，隨機(jī)抽取了172名MBA學(xué)員，通過問卷測評匯總得到表8-5的數(shù)據(jù)，試以5%的顯著性水平檢驗(yàn)焦慮情緒是否在性別之間存在差異。男性女性40.2636.25s13.359.42N10072解：根據(jù)題意構(gòu)造假設(shè)H0:μ1=μ2(焦慮程度不存在差異)H1:μ1≠μ2(焦慮程度存在差異)由于總體方差未知，但是樣本容量足夠大，因此我們可以考慮構(gòu)造Z統(tǒng)計(jì)量由于|Z|=2.3095>Z0.025=1.96，所以拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，證據(jù)表明計(jì)算機(jī)焦慮程度在不同性別之間存在顯著差異。例8.14某銀行在市中心CBD的營業(yè)網(wǎng)點(diǎn)上，觀察每天中午飯時(shí)間(12:00-下午1:00)顧客的等待時(shí)間，記錄下顧客從快進(jìn)大廳直到到柜臺接受服務(wù)的時(shí)間，隨機(jī)取得的15個(gè)樣本數(shù)據(jù)(單位：分鐘)，4.21，5.55，3.02，5.13，4.77，2.34，3.54，3.20，4.50，6.10，0.38，5.12，6.46，6.19，3.79。假定這家銀行在郊區(qū)某營業(yè)網(wǎng)點(diǎn)按照同樣的方法取得15個(gè)樣本數(shù)據(jù)：9.66，5.90，8.02，5.79，8.73，3.82，8.01，8.35，10.49，6.68，5.64，4.08，6.17，9.91，5.47。假定等待時(shí)間服從正態(tài)分布，且兩個(gè)營業(yè)網(wǎng)點(diǎn)等待時(shí)間的方差相等，試以0.05的顯著性水平檢驗(yàn)兩個(gè)網(wǎng)點(diǎn)顧客的平均等待時(shí)間是否相等？

CBD市郊平均4.2866666677.114666667方差2.6829952384.335512381觀測值1515合并方差3.50925381

假設(shè)平均差0

df28

tStat-4.134306277

P(T<=t)單尾0.00014642

t單尾臨界1.701130908

P(T<=t)雙尾0.000292839

t雙尾臨界2.048407115

8.5.2兩個(gè)總體均值之差的假設(shè)檢驗(yàn)：匹雙樣本根據(jù)我們第7章區(qū)間估計(jì)中，關(guān)于匹配樣本均值之差的抽樣分布規(guī)律的介紹，根據(jù)匹配樣本進(jìn)行均值之差假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可采用例8.15為了考察消費(fèi)者對兩類跑步鞋耐用性的評價(jià)，有10名消費(fèi)者分別使用了A、B兩種跑步鞋并舉錄下使用時(shí)間(單位：周)，下面的數(shù)據(jù)(見表8-7)是否支持A類鞋的使用壽命更長？取顯著性水平0.05。表8-7消費(fèi)者使用兩類鞋的時(shí)間(單位：周)12345678910A27351939343215261817B23281631383017221516di4738-42-2431Excel運(yùn)算的結(jié)果

AB平均26.223.6方差73.9555555662.04444444觀測值1010泊松相關(guān)系數(shù)0.905112025

假設(shè)平均差0

df9

tStat2.247922629

P(T<=t)單尾0.025588328

t單尾臨界1.833112923

P(T<=t)雙尾0.05117