湖南省長沙某中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

湖南省長沙五中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

x+l>0

1.不等式組.c的解集是（）

%-3>0

A.x>—1B.x>3

C.-l<x<3D.x<3

2.已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a/0）的圖象如圖所示,下歹U結(jié)論：?abc>0；?2a+b>0；(3)b2-4ac>0；④a-b+c

>0,其中正確的個數(shù)是（）

C.3D.4

3.已知〃，八兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A.a+b>0B.ab<0C.a>bD.b-a>0

4.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。O,半徑為4,則這個正六邊形的邊心距OM和二二的長分別為（）

A.2,=B.23,nC.l,1D.2、昏，I

sSs33

2

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點A在x軸正半軸上，OC是AOAB的中線，點B、C在反比例函數(shù)y=—

（x>0）的圖象上，則AOAB的面積等于（）

A.2B.3C?」4D.6

6.如圖，在AABC中，NAC3=90,AC=6,3C=8,點P,Q分別在上，AQLCP于。，胃=^則人40?

的面積為（）

2729

C.—D.

2T

7.甲、乙兩人同時分別從A,B兩地沿同一條公路騎自行車到C地.已知A,C兩地間的距離為110千米，B,C兩

地間的距離為100千米.甲騎自行車的平均速度比乙快2千米/時.結(jié)果兩人同時到達(dá)C地.求兩人的平均速度，為解

決此問題，設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時.由題意列出方程.其中正確的是（）

110100110100110100110100

A.-------=------B.--------C.--------------D.-----=--------

x+2xxx+2x-2xxx-2

8.已知關(guān)于x的方程;+三==三恰有一個實根，則滿足條件的實數(shù)a的值的個數(shù)為（）

x-2xX--2x

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，ZABC=90°,CA±x

軸，點C在函數(shù)y=A（x>0）的圖象上，若AB=2,則k的值為（）

X

A.4B.2^/2C.2D.0

10.第24屆冬奧會將于2022年在北京和張家口舉行，冬奧會的項目有滑雪（如跳臺滑雪、高山滑雪、單板滑雪

等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花樣滑冰等）、冰球、冰壺等.如圖，有5張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡

片，正面分別印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、單板滑雪、冰壺五種不同的圖案，背面完全相同.現(xiàn)將這5張卡

片洗勻后正面向下放在桌子上,從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面恰好是滑雪項目圖案的概率是（）

3

D.-

5

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中方程術(shù)是重要的數(shù)學(xué)成就.書

中有一個方程問題：今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十.今將錢三十，得酒二斗.問醇、行酒各得幾何？意

思是：今有美酒一斗，價格是50錢；普通酒一斗，價格是10錢.現(xiàn)在買兩種酒2斗共付30錢，問買美酒、普通酒各

多少？設(shè)買美酒x斗，買普通酒y斗，則可列方程組為.

12.如圖，直線a、b相交于點O,若Nl=30。，則N2=—

5x-3y=8

13.方程組./八的解一定是方程___與_____的公共解.

[3x+8y=9

14.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,NB=60。，AB=12,若以點A為圓心，AC為半徑的弧交AB于點E,以點B

為圓心，BC為半徑的弧交AB于點D,則圖中陰影部分圖形的面積為一（保留根號和k）

15.把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖，已知EF=CD=80cm,則截面圓的半徑為,

HE/―、尸D

BC

16.已知一組數(shù)據(jù)-3,X,-2,3,1,6的中位數(shù)為1,則其方差為.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖，小華和同伴在春游期間，發(fā)現(xiàn)在某地小山坡的點E處有一棵盛開的桃花的小桃樹，他想利用平面鏡

測量的方式計算一下小桃樹到山腳下的距離，即OE的長度，小華站在點3的位置，讓同伴移動平面鏡至點C處，此

時小華在平面鏡內(nèi)可以看到點E,且3C=2.7米，CZ>=11.5米，NCDE=120。，已知小華的身高為1.8米，請你利用

以上的數(shù)據(jù)求出OE的長度.（結(jié)果保留根號）

18.（8分）如圖，AB為。O的直徑，C是。。上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D,AE1DC,垂足為E,

F是AE與。O的交點，AC平分NBAE.求證：DE是。。的切線；若AE=6,ND=30。，求圖中陰影部分的面積.

19.（8分）為響應(yīng)國家的“一帶一路”經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略，樹立品牌意識，我市質(zhì)檢部門對A、B、C、D四個廠家生產(chǎn)的同

種型號的零件共2000件進(jìn)行合格率檢測，通過檢測得出C廠家的合格率為95%,并根據(jù)檢測數(shù)據(jù)繪制了如圖1、圖2

兩幅不完整的統(tǒng)計圖.抽查D廠家的零件為件，扇形統(tǒng)計圖中D廠家對應(yīng)的圓心角為；抽查C廠家

的合格零件為件，并將圖1補充完整；通過計算說明合格率排在前兩名的是哪兩個廠家；若要從A、B、C、D

四個廠家中，隨機抽取兩個廠家參加德國工業(yè)產(chǎn)品博覽會，請用“列表法”或“畫樹形圖”的方法求出（3）中兩個廠家同

時被選中的概率.

合格/件（件）gbcm片M白力比

ABC

20.（8分）如圖，四邊形ABC。中，NC=90。，AD1DB,點E為A3的中點，DE//BC.

(1)求證：50平分NABC；

(2)連接EC,若NA=30。，DC=6求EC的長.

21.(8分)如圖，矩形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到矩形CEFG,連接DG交EF于H,連接AF交DG于M；

(1)求證：AM=FM；

DG

(2)若NAMD=a.求證：---=cosa.

AF

AD

BCG

22.(10分)如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求證：AB//DE.

23.(12分)一件上衣，每件原價500元，第一次降價后，銷售甚慢，于是再次進(jìn)行大幅降價，第二次降價的百分率

是第一次降價的百分率的2倍，結(jié)果這批上衣以每件240元的價格迅速售出，求兩次降價的百分率各是多少.

24.(1)(-2)2+2sin45°-。尸><圾

5x+2>3(x-l)

(2)解不等式組1,.3，并將其解集在如圖所示的數(shù)軸上表示出來.

-x-l<3——x

[22

-5-4-3-2-1012345>

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、B

【解析】

根據(jù)解不等式組的方法可以求得原不等式組的解集.

【詳解】

4+1〉0①

1%-3>0②，

解不等式①，得x>-L

解不等式②，得x>l,

由①②可得，x>l,

故原不等式組的解集是x>L

故選B.

【點睛】

本題考查解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式組的方法.

2、D

【解析】

由拋物線的對稱軸的位置判斷ab的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點

情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】

①?.?拋物線對稱軸是y軸的右側(cè)，

ab<0,

,與y軸交于負(fù)半軸，

.*.c<0,

:.abc>0,

故①正確；

b

」②言〉。，x=--<1,

2a

，-b<2a,

2a+b>0,

故②正確；

③,/拋物線與x軸有兩個交點，

/.b2-4ac>0,

故③正確；

④當(dāng)x=-1時，y>0,

/.a-b+c>0,

故④正確.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、

對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定.

3、C

【解析】

根據(jù)各點在數(shù)軸上位置即可得出結(jié)論.

【詳解】

由圖可知，b<a<09

A.Vft<a<0,：.a+b<09故本選項錯誤；

B.\*b<a<09???曲>0,故本選項錯誤；

C.\9b<a<0,故本選項正確；

D.Vb<a<0f：.b-a<0,故本選項錯誤.

故選C.

4、D

【解析】

試題分析：連接OB,

VOB=4,

ABM=2,

：.OM=2j,二二二與一二,二

故選D.

考點：1正多邊形和圓；2.弧長的計算.

5、B

【解析】

作BD_Lx軸于D,CEJ_x軸于E,

.CEAEAC

"5D-AD-AB"

VOC是小OAB的中線，

.CE_AEAC_1

,?茄一訪一下―5'

設(shè)CE=x,則BD=2x,

21

；.C的橫坐標(biāo)為一，B的橫坐標(biāo)為一,

Xx

12

??OD=-9OE=-9

xx

211

.\DE=OE-OD=---------=-,

XXX

■1

/.AE=DE=—,

x

213

??OA=OE+AE=—I———9

XXX

113c

??SAOAB=—OA*BD=—x—x2x=1.

22x

故選B.

點睛：本題是反比例函數(shù)與幾何的綜合題，熟知反比例函數(shù)的圖象上點的特征和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

6、C

【解析】

先利用三角函數(shù)求出BE=4m,同（1）的方法判斷出N1=N3,進(jìn)而得出AACQs^CEP,得出比例式求出PE,最后

用面積的差即可得出結(jié)論；

【詳解】

..ce_4

?一，

BP5

ACQ=4m,BP=5m,

在RtAABC中，sinB=—,tanB=—,

54

如圖2,過點P作PELBC于E,

在RtABPE中，PE=BP?sinB=5mx—=3m,tanB=-----，

5BE

.3m_3

??—―,

BE4

/.BE=4m,CE=BC-BE=8-4m,

同（D的方法得，Z1=Z3,

VZACQ=ZCEP,

/.△ACQ^ACEP,

.CQAC

''~PE~~CE'

.4-m6

?*—f

3m8—4m

.7

..m=—9

8

21

/.PE=3m=——，

8

11112127

ASAACP=SAACB-SAPCB=-BCxAC--BCxPE=-BC（AC-PE）=-x8x（6-一）=一,故選C.

222282

【點睛】

本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算方法，判斷出AACQs^CEP是解

題的關(guān)鍵.

7、A

【解析】

設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時，則甲騎自行車的平均速度為（x+2）千米/時，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：甲騎110

千米所用時間=乙騎100千米所用時間，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程即可.

解：設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時，由題意得：

110_ioo

x+2%'

故選A.

8、C

【解析】

先將原方程變形，轉(zhuǎn)化為整式方程后得2x?-3x+(3-a)=1①.由于原方程只有一個實數(shù)根，因此，方程①的根有兩種

情況：(1)方程①有兩個相等的實數(shù)根，此二等根使x(x-2)(2)方程①有兩個不等的實數(shù)根，而其中一根使x

(x-2)=1,另外一根使x(x-2)針對每一種情況，分別求出a的值及對應(yīng)的原方程的根.

【詳解】

去分母，將原方程兩邊同乘x(x-2),整理得2X2-3X+(3-a)=1.①

方程①的根的情況有兩種：

(1)方程①有兩個相等的實數(shù)根，即4=9-3x2(3-a)=1.

解得a==23.

O

2373

當(dāng)2=/時，解方程2X2-3X+(--+3)=1,得X1=X2=：.

824

(2)方程①有兩個不等的實數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個根為1或2.

(i)當(dāng)x=l時，代入①式得3-a=l,即a=3.

當(dāng)a=3時，解方程2x2-3x=l,x(2x-3)=1,xi=l或X2=1.4.

而xi=l是增根，即這時方程①的另一個根是x=L4.它不使分母為零，確是原方程的唯一根.

(ii)當(dāng)x=2時，代入①式，得2x3-2x3+(3-a)=1,即a=5.

當(dāng)a=5時，解方程2x2-3x-2=1,xi=2,X2=-；.

xi是增根，故乂=-g為方程的唯一實根；

23

因此，若原分式方程只有一個實數(shù)根時，所求的a的值分別是3,5共3個.

O

故選C.

【點睛】

考查了分式方程的解法及增根問題.由于原分式方程去分母后，得到一個含有字母的一元二次方程，所以要分情況進(jìn)

行討論.理解分式方程產(chǎn)生增根的原因及一元二次方程解的情況從而正確進(jìn)行分類是解題的關(guān)鍵.

9、A

【解析】

【分析】作BDJ_AC于D,如圖，先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=J^AB=2后，BD=AD=CD=0,再利用

AC_Lx軸得到C(垃，2及)，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征計算k的值.

【詳解】作BDLAC于D,如圖，

VAABC為等腰直角三角形，

???AC=0AB=20,

；.BD=AD=CD=0,

；AC_Lx軸，

?,.C(0,272)，

把C(0，272)代入y=與得k=0x2應(yīng)=4,

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)y=A

（k為常數(shù),

k/0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x,y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即*丫=1＜是解題的關(guān)鍵.

10、B

【解析】

先找出滑雪項目圖案的張數(shù)，結(jié)合5張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，再根據(jù)概率公式即可求解.

【詳解】

???有5張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，滑雪項目圖案的有高山滑雪和單板滑雪2張，

2

,從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面恰好是滑雪項目圖案的概率是§.

故選B.

【點睛】

本題考查了簡單事件的概率.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

x+y=2

11、1

50x+10y=30

【解析】

設(shè)買美酒x斗，買普通酒y斗，根據(jù)“美酒一斗的價格是50錢、買兩種酒2斗共付30錢”列出方程組.

【詳解】

<x+y=2

依題意得:

50x+10y=30

x+y=2

故答案為

50x+10y=30

【點睛】

考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程

組.

12、30°

【解析】

因N1和N2是鄰補角，且Nl=30。，由鄰補角的定義可得N2=180。-Nl=180。-30。=150。.

解：VZ1+Z2=18O°,

又Nl=30°,

.*.Z2=150°.

13、5x-3y=83x+8y=9

【解析】

f5x-3y=8

方程組'；c的解一定是方程5x-3y=8與3x+8y=9的公共解.

3x+8y=9

故答案為5x-3y=8；3x+8j=9.

14、15:1-1873.

【解析】

fljrR~

根據(jù)扇形的面積公式:$=絲。分別計算出S扇形ACE,S扇形BCD,并且求出三角形ABC的面積，最后由S陰影部分=5扇形ACE+S

360

扇形BCD-SAABC即可得到答案.

【詳解】

S陰影部分=5扇形ACE+S扇形BCD-SAABC,

..607rx36x2

?S扇形ACE=--------；------------=12n,

360

307rx36_

S扇形BCD=——-=3九，

360

SAABC=—x6x6y/3=18y/3，

；?S陰影部分=12九+3九—18=15?！?8.

故答案為15兀-18班.

【點睛】

本題考查了扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握扇形的面積公式.

15、1

【解析】

過點O作OMLEF于點M,反向延長OM交BC于點N,連接OF,設(shè)OF=r,則OM=80-r,MF=40,然后在RtAMOF

中利用勾股定理求得OF的長即可.

【詳解】

過點。作OMLEF于點M,反向延長OM交BC于點N,連接OF,

設(shè)OF=x,則OM=80-r,MF=40,在RtAOMF中，

VOM2+MF2=OF2,即(80-r)2+402=r2,解得：r=lcm.

故答案為1.

16、3

【解析】

X+11

試題分析：?數(shù)據(jù)-3,x,-3,3,3,6的中位數(shù)為3,—=1,解得x=3,...數(shù)據(jù)的平均數(shù)=—(-3-3+3+3+3+6)

26

=3,二方差=匕(-3-3)3+(-3-3)3+(3-3)3+(3-3)3+(3-3)3+(6-3)3]=3.故答案為3.

6

考點：3.方差；3.中位數(shù).

三、解答題(共8題，共72分)

17、OE的長度為6逝+1.

【解析】

根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【詳解】

解：過E作E/U5C,

VZCI>E=120°,

:.ZEDF=60°,

設(shè)E尸為x,DF=—x,

3

?；NB=NEFC=90°,

'：ZACB=ZECD,

:.△ABCS^EFC,

.BCCF

??=,

ABEF

1.8x

即2.7116

11.5H--x

3

解得：X=9+2y/j,

OE=半x(9+2@=6班+1,

答：OE的長度為66+1.

【點睛】

本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)

學(xué)模型來解決問題.

18、(1)證明見解析；(2)陰影部分的面積為8百

【解析】

(1)連接OC,先證明NOAC=NOCA,進(jìn)而得到OC〃AE,于是得到OC,CD,進(jìn)而證明DE是。O的切線；(2)

分別求出^OCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰影=S^COD-S扇形OBC即可得到答案.

【詳解】

解：(1)連接OC,VOA=OC,/.ZOAC=ZOCA,

VAC平分NBAE,ZOAC=ZCAE,

.\ZOCA=ZCAE,.*.OC/7AE,.*.ZOCD=ZE,

VAE1DE,.*.ZE=90°,.*.ZOCD=90o,.*.OC±CD,

?.?點C在圓O上，OC為圓O的半徑，，CD是圓O的切線;

(2)在RtAAED中，?.?/D=30。，AE=6,二AD=2AE=12,

在RtAocD中，?：ND=30°,/.DO=2OC=DB+OB=DB+OC,

/.DB=OB=OC=—AD=4,DO=8,

3

???CD=7DC>2-OC2=舊—42=46

:.SAOCD=CD°C=4?x4=86，VZD=3O°,ZOCD=90°,

22

1,8

2

/.ZDOC=60°,，S扇形OBC=-xnxOC=-^,

63

.?_?_廠8萬

?S陰影=$△COD-S扇形OBC??S陰影=8、/3——，

???陰影部分的面積為8出-y.

19、(1)500,90°；(2)380；(3)合格率排在前兩名的是C、D兩個廠家；(4)P(選中C、D)=-.

6

【解析】

試題分析：(1)計算出D廠的零件比例，則D廠的零件數(shù)=總數(shù)x所占比例，D廠家對應(yīng)的圓心角為360。、所占比例;

(2)C廠的零件數(shù)=總數(shù)x所占比例；

(3)計算出各廠的合格率后，進(jìn)一步比較得出答案即可；

(4)利用樹狀圖法列舉出所有可能的結(jié)果，然后利用概率公式即可求解.

試題解析：(1)D廠的零件比例=1-20%-20%-35%=25%,

D廠的零件數(shù)=2000x25%=500件；

D廠家對應(yīng)的圓心角為360耿25%=90。；

(2)C廠的零件數(shù)=2000x20%=400件，

C廠的合格零件數(shù)=400x95%=380件，

如圖：

合格零件(件)

圖1

(3)A廠家合格率=630+(2000x35%)=90%,

B廠家合格率=370+(2000x20%)=92.5%,

C廠家合格率=95%,

D廠家合格率470+500=94%,

合格率排在前兩名的是C、D兩個廠家；

(4)根據(jù)題意畫樹形圖如下：

ABCD

共有12種情況，選中C、D的有2種，

21

則P(選中C、D)

126

考點：1.條形統(tǒng)計圖；2.扇形統(tǒng)計圖；3.樹狀圖法.

20、(1)見解析；(2)EC=布.

【解析】

(1)直接利用直角三角形的性質(zhì)得出DE=BE=再利用OE〃BC,得出N2=N3,進(jìn)而得出答案;

2

(2)利用已知得出在RtZkBC。中，N3=60。，DC=6，得出OB的長，進(jìn)而得出EC的長.

【詳解】

(1)證明：點E為AB的中點，

DE=BE=-AB.

2

/.Z1=Z2.

'：DE//BC,

?\Z2=Z3.

.\Z1=Z3.

.?.50平分NABC.

(2)解：'：AD1.DB,NA=30。，

AZ1=60°.

.*.N3=N2=60。.

VZBCD=90°,

，N4=30。.

，ZCDE=Z2+Z4=90°.

在RtABCD中，Z3=60°,DC=6

:.DB=2.

'：DE=BE,Zl=60°,

:.DE=DB=2.

???EC=yjDE2+DC2=74+3=S-

此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系，正確得出DB,DE的長是解題關(guān)鍵.

21、(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AD=FG,DC=CG,可得NCGD=45。，可求NFGH=NFHG=45。，則HF=FG=AD,所以可證

△ADM四△MHF,結(jié)論可得.

(2)作FN_LDG垂足為N,且MF=FG,可得HN=GN,且DM=MH,可證2MN=DG,由第一間可得2