2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)最短路徑模型專項(xiàng)練習(xí)

最短路徑模型專項(xiàng)練習(xí)

“兩定一動”模型

如圖，A,B兩定點(diǎn)在定直線1的同側(cè)，在直線1上找一動點(diǎn)P,使得PA+PB最小.

模型證明

作法：過點(diǎn)A作關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)A',連接A'B交直線1于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P為所求.

證明:依題意PA二PA：

.*.PA+PB=PA4PBNA舊.

當(dāng)A',P,B三點(diǎn)共線時(shí),（（PZ+P3）目團(tuán)=A'B.

經(jīng)典例題

如圖，在△ABC中,BC=10,CD是NACB的平分線.若點(diǎn)P,Q分別是CD和AC上的動點(diǎn),且^ABC的面積為24,則PA+PQ的

最小值是（）.

1224

A.—B.4C.—D.5

55

完全解答

答:C.

解過點(diǎn)A作AQ'IBC于點(diǎn)Q：交CD于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ_LAC.如圖所示：

VCD平分NACB,點(diǎn)P,Q分別是CD和AC上的動點(diǎn),

，PQ，=PQ,點(diǎn)Q與Q，關(guān)于CD對稱.

...此時(shí),AQNPA+PQ）最小值?

VBC=10,SAABC=24,

...40，_2SABC_2X24_24

??~BC-10-5,

...PA+PQ的最小值是g.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4cm,面積為16cm?,腰AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,點(diǎn)D為BC

的中點(diǎn)，點(diǎn)M為直線EF上的動點(diǎn).則4CDM周長的最小值為（）.

為（）.

A.6cmB.8cm

C.9cmD.10cm

E,

M

AB

2.如圖,在^ABC中，ZBCA=90°,BC=3,CA=4,AD平分NBAC,點(diǎn)M,N分別為AD,AC上的動點(diǎn)，則CM+MN的最小值是().

A.1.2B.2C.2.4D.5

3.如圖,A(4,3),B(2,l).在x軸上取P,Q兩點(diǎn)，使PA+PB的值最小,|QA-QB|的值最大，則PQ=

“一定兩動”模型

如圖.在NAOB中有一定點(diǎn)P.在射線OAQB上分別找M,N兩點(diǎn)，使得△PMN的周長最小.

模型證明

作法：過點(diǎn)P作關(guān)于射線OB的對稱點(diǎn).Pi,,作關(guān)于射線0A的對稱點(diǎn).P2連接P1P2交直線OAQB于M,N兩點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)M,點(diǎn)N為所求.

證明：依題意PN=PNPM=MP2,

:.CPMN=PM+PN+MN

=P2M+P[N+MN

>P1P2,

即當(dāng)Pi.N,M,P2四點(diǎn)共線時(shí),△PMN的周長取得最小值，為PR

經(jīng)典例題

如圖，在五邊形ABCDE中,/B4E=136°,ZB=ZE=90°,iSBC,DE上分別找一點(diǎn)M,N,使得△AMN的周長最小時(shí)，則NAMN+NANM的

度數(shù)為().

A.84°B.88°C,90°D.96°

完全解答

答：B.

解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A；A”,連接AA”,交BC于點(diǎn)M,交ED于點(diǎn)N,則AA唧為△AMN的周長最小值.

延長EA,作A'H±AE于H點(diǎn).

ZBAE=136°,.'.ZHAA'=44°.

AAA'M+乙4”=^HAA'=44°.

又TZAA'M=ZMAA',ZNAE=ZA",

HZAA'M+ZMAA'=ZAMN,ZNAE+ZA"=ZANM,

■.UMN+乙ANM=LAA'M+Z.MAA'+乙NAE+乙4”

=2（乙44'“+N4''

=2x44°

=88°.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，點(diǎn)P是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)QP=8cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，若PN+PM+MN的最小值是8cm,

則NAOB的度數(shù)是一

2.四邊形ABCD中="=90°,zC=70。,在BC,CD上分別找一點(diǎn)M,N,當(dāng)A4MN的周長最小時(shí)，乙4MN+/4NM的

度數(shù)為一

“兩定兩動''模型

如圖.在NAOB中有兩定點(diǎn)P,Q,在射線OA,OB上分別找M,N兩點(diǎn)，使得四邊形PMNQ的周長最小.

模型證明

證明:依題意PM二MP】，NQ=NQi,則C四邊形PQNM=PQ+QN+NM+MP

=PQ+NQi+MN+MPI

>PQ+PiQi.

當(dāng)Pi,M,N,Qi四點(diǎn)共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長取得最小值，為PQ+PIQL

經(jīng)典例題

如圖,NAOB=30。,點(diǎn)M,N分別在邊OAQB上，且OM=2QN=5,點(diǎn)P,Q分別在邊OBQA上，則當(dāng)MP+PQ+QN取得最小值時(shí),

SNOQ+SQOP+SM0P=___.

完全解答

解：作點(diǎn)M關(guān)于0B的對稱點(diǎn)M1作點(diǎn)N關(guān)于0A的對稱點(diǎn)N',如圖所示，連接MN,交0A和0B于點(diǎn)Q與點(diǎn)P,此時(shí)MP+PQ+QN的

值最小.

根據(jù)軸對稱的定義可知，

ZN'OQ=ZM'OB=ZAOB=30°,

0M=MO=2,ON=ON'=5,

：?乙NOM=乙NOQ+乙MOB+乙40B=90°.

又根據(jù)對稱，得

SNOQ+^QOP+^MOP=^NOQ+^QOP+^MOP

=SN.O/=：°M?ON'=Ix2x5=5,

SNOQ+SQOP+SM0P=5.

實(shí)戰(zhàn)演練

L如圖,NAOB=30。,點(diǎn)M,N分別是邊OAQB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別是邊OBQA上的動點(diǎn)，記NOPM=a,NOQN邛，當(dāng)MP+PQ+Q

N的值最小時(shí)，關(guān)于a,p的數(shù)量關(guān)系正確的是（）.

A.P-a=60。B.p+a=210。

C.P-2a=30°D.0+2a=240°

M

oB

PN

2.如圖，已知.^AOB=24°,OP平分/40B點(diǎn)C在OA上點(diǎn)D在OB上點(diǎn)E在OP上.當(dāng)CP+CD+DE取最小值時(shí)，此時(shí)."CD的

度數(shù)為().

A.36°B.480C.60°D.72°

3.如圖,已知在Rt△4BC中,NC=90°,AC=BC=10,,點(diǎn)D,E在線段BC上，且CD=2,BE=5,,點(diǎn)P,Q分別是線段AC,AB上的動點(diǎn),

則四邊形PQED周長的最小值為多少？

“兩定點(diǎn)一定長”模型

如圖，已知LII12,A,B兩定點(diǎn)在定直線I1和口的兩側(cè)，在定直線11和卜上分別找M,N兩點(diǎn),使得MNLli,且AM+MN+N

A?

B的值最小.v

模型證明

作法：把點(diǎn)A向下平移至點(diǎn)Ai,使.AAt=MN,連接AiB交卜于點(diǎn)N,作MN±12交h于點(diǎn)M,連接AM,此時(shí)點(diǎn)M,N為所求.

證明：依題意.44=MN且AAiIIMN,則四邊形AAXNM是平行四邊形.

.,.AM=AjN,

即.AM+MN+NB=AtN+MN+NB

>AtB+MN.

當(dāng)A1,N,B三點(diǎn)共線時(shí).

(AM+MN+=AtB+MN.

經(jīng)典例題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0.1),點(diǎn)B(4,2),PQ是x軸上的一條動線段,且PQ=1.當(dāng)AP+PQ+QB取最小值時(shí)，點(diǎn)Q

坐標(biāo)為一

完全解答

答：(2,0).

解：如圖，把點(diǎn)A向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)E(1,1)，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F(l,-1),連接BF,BF與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q.此時(shí)A

P+PQ+QB的值最小.

設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，則有：匚；'解得｛J

，直線BF的解析式為y=x-2.

令y=0,得到x=2.

???Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

實(shí)戰(zhàn)演練

I.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,1),B(0,2),線段CD(點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè))在x軸上移動,且CD=1,

連接AC,BD.則AC+BD的最小值為一.

2.如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E,F為對角線BD上的動點(diǎn)，且EF=VX連接CE,CF,求△CEF周長的最小值.

3.已知正方形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)M是AO上一點(diǎn)

⑴如圖①,AQ1DM于點(diǎn)N,交BO于點(diǎn)Q.

①求證:(OM=OQ;

②若DQ=DC,求證：QN+NM=與MD=

⑵如圖②，點(diǎn)M是AO的中點(diǎn)，線段EF(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊)在直線BD上運(yùn)動，連接AF,ME若AB=4,EF=2直接寫出AF+ME的最小

值.

田①

國②

4.如圖①，直線a,b表示一條河的兩岸，且a||b,,現(xiàn)在要在這條河上建一座橋，使村莊A經(jīng)橋過河到村莊B橋的長度等于

河寬且橋與河岸垂直.現(xiàn)在由小明、小紅兩位同學(xué)在圖②中設(shè)計(jì)兩種建橋方案：

小明:作AD_La,交a于點(diǎn)D,交b于點(diǎn)C.在CD處建橋.路徑是A-C-D-B.

小紅:把CD平移至BE,連接AE,交b于點(diǎn)G,作GF_La于點(diǎn)F.在FG處建橋.路徑是A-G-F-B.

⑴在圖②中，請問：小明、小紅誰設(shè)計(jì)的路徑長度較短？請用平移等知識說明理由.

⑵假設(shè)新橋就按小紅的設(shè)計(jì)在FG處實(shí)施建造了，上游還有一座舊橋，早上10點(diǎn)某小船從舊橋下到新橋，到達(dá)后立即返回，

在兩橋之間不停地來回行駛，船的航行方向和水流方向與橋保持垂直，船在靜水每小時(shí)行駛14千米，水流每小時(shí)2千米.第二天早上