中考數學總復習：二次函數知識講解基礎

中考總復習：二次函數一學問講解（基礎）

【考綱要求】

1.二次函數的概念常為中檔題.主要考查點的坐標、確定解析式、自變量的

取值范圍等；

2.二次函數的解析式、開口方向、對稱軸、頂點坐標等是中考命題的熱點；

3.拋物線的性質、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現過，覆蓋面較廣,

而且這些內容的綜合題一般較難，在解答題中出現.

【學問網絡】

實

二二次函數的圖象

際

次

問

函

題

數

二次函數的對稱軸、頂點坐標

用函數觀點看-元二次方程與二次函數的關系

一元二次方程利用二次函數的圖象求一元二次

方程的解

剎車距離

實際問18與二次函數——何時獲得Jtt大利潤

一|最大面積是多少

【考點梳理】

考點一、二次函數的定義

一般地，假如丁=以2+法+。（a、b、c是常數，aWO）,那么y叫做x的二

次函數.

要點詮釋：

二次函數y=ax2+6x+c（aWO）的結構特征是：（1）等號左邊是函數，右邊是

關于自變量x的二次式，x的最高次數是2.（2）二次項系數aWO.

考點二、二次函數的圖象與性質

1.二次函數y=ad+法+c(awo)的圖象是一條拋物線，頂點為「2,隨必T.

、2a4。,

2.當a>0時，拋物線的開口向上；當a<0時，拋物線的開口向下.

3.①|a［的大小確定拋物線的開口大小.|a|越大，拋物線的開口越小，1a|越

小，拋物線的開口越大.

②c的大小確定拋物線與y軸的交點位置.c=0時，拋物線過原點；c>0

時，拋物線與y軸交于正半軸；c<0時，拋物線與y軸交于負半軸.

③ab的符號確定拋物線的對稱軸的位置.當ab=O時，對稱軸為y軸；

當ab>0時，對稱軸在y軸左側；當ab<0時，對稱軸在y軸的右側.

4.拋物線y=a(x+02+上的圖象，可以由>=分的圖象移動而得到.

將y=加向上移動k個單位得：y-ax2+k.

將y=/向左移動h個單位得：y=a(x+h)2.

將>=以2先向上移動k(k>0)個單位，再向右移動h(h>0)個單位，即得

函數y=a(x-4+上的圖象.

要點詮釋：

求拋物線、+法+c(aWO)的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配

方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應依據實際敏捷選擇

和運用.

考點三、二次函數的解析式

1.一般式：y=ax2+bx+c(aWO).

若已知條件是圖象上的三個點，則設所求二次函數為y=a￡+法+c,將已

知條件代入，求出a、b、c的值.

2.交點式（雙根式）：y=〃（%—王）（工一兄2）（。?！悖?

若已知二次函數圖象與X軸的兩個交點的坐標為（X1,0）,（X2,0）,設所

求二次函數為y=a（x-%），將第三點（m,n）的坐標（其中m、n為已知數）

或其他已知條件代入，求出待定系數，最終將解析式化為一般形式.

3.頂點式：y=?（x-li）2+k（aw0）.

若已知二次函數圖象的頂點坐標或對稱軸方程與最大值（或最小值），設所

求二次函數為丁=。（》-力）2+左，將已知條件代入，求出待定系數，最終將解析式

化為一般形式.

4.對稱點式：y=a（x-）（x-x2）+m（aw0）.

若已知二次函數圖象上兩對稱點（X1,m）,（X2,m）,則可設所求二次函數為

y=?（x-%1）（%-x2）+m{a0）,將已知條件代入，求得待定系數，最終將解析式

化為一般形式.

要點詮釋：

已知圖象上三點或三對X、尸的值，通常選擇一般式.已知圖象的頂點或對

稱軸，通常選擇頂點式.

（可以看成尸=aX的圖象平移后所對應的函數）.已知圖象與,：軸的交點坐標占、

勺，通常選用交點式：y=（aWO）.（由此得根與系數的關系：

bcX

&十勺=_.瓦勺=_）.

aa

考點四、二次函數y=ax2+bx+c（aWO）的圖象的位置與系數a、b、c的關系

1.開口方向：a>0時，開口向上，否則開口向下.

2.對稱軸：-2>0時，對稱軸在y軸的右側；當-2<0時，對稱軸在y軸的

2a2a

左側.

3.與x軸交點：3-4配>0時，有兩個交點;3-4ac=0時，有一個交點;3-4公<0

時，沒有交點.

要點詮釋：

當x=l時，函數y=a+b+c；

當x=T時，函數y=a-b+c；

當a+b+c>0時，x=l與函數圖象的交點在x軸上方，否則在下方；

當a-b+c>0時，x=T與函數圖象的交點在x軸的上方，否則在下方.

考點五、二次函數的最值

1.當a>0時，拋物線y=+法+c有最低點，函數有最小值，當時，

2a

_4ac-b2

丁最小

2.當a<0時，拋物線丁=加+法+。有最高點，函數有最大值，當x=-2時，

2a

4ac-b2

要點詮釋；

在求應用問題的最值時，除求二次函數丁=以2+法+0的最值，還應考慮實

際問題的自變量的取值范圍.

【典型例題】

類型一、應用二次函數的定義求值

@1.二次函數y=x2-2(k+1)x+k+3有最小值-4,且圖象的對稱軸在y軸的

右側，則k的值是.

【思路點撥】

因為圖象的對稱軸在y軸的右側，所以對稱軸x=k+l>0,即k>-l；又因為二

次函數y=x2-2（k+1）x+k+3有最小值-4,所以y展小俏="叱/左=4,可

4

以求出k的值.

【答案與解析】

解：?..圖象的對稱軸在y軸的右側，

，對稱軸x=k+l>0,

解得k>-l,

二?二次函數y=x?-2（k+1）x+k+3有最小值-4,

.?.丫昴小值=4（k+3）Tk+2）2=女+3—（k+1）2=-k2-k+2=-4,

4

整理得k2+k-6=0,

解得k=2或k=-3,

'/k=-3<-l,不合題意舍去，

/.k=2.

【總結升華】求二次函數的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象干脆得

出，其次種是配方法，

第三種是公式法.

舉一反三：

【變式】已知y=（4+3）/+J是二次函數，求k的值.

【答案】??、=（左+3）/+J是二次函數，則y+左一4=2,

上+3w0,

由％2+左—4=2得左2+左—6=0,

即（一+3）（4一2）=0,得匕=—3,k2=2.明顯，當k=—3時，

原函數為y=0,不是二次函數.

k=2即為所求.

類型二、二次函數的圖象與性質的應用

02.把拋物線》向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后

拋物線的解析式為().

A.y=-(x-1)?-3B.y=_(x+l)2-3

C.y=-(x-iy+3D._y=-(x+l)2+3

【思路點撥】

拋物線的平移問題，實質上是頂點的平移，原拋物線y=-X?頂點坐標為(0,0),

向左平移1個單位，然后向上平移3個單位后，頂點坐標為(-1,3),依據拋

物線的頂點式可求平移后拋物線的解析式.

【答案】D；

【解析】依據拋物線的平移規(guī)律可知：>=-必向左平移1個單位可變成

y=-(x+l)2,

再向上平移3個單位后可變成y=-0+1-+3.

【總結升華】(Dy：。/圖象向左或向右平移|h|個單位，可得丁二敏人守的圖

象(hVO時向左，h>0時向右).

(2)>=小的圖象向上或向下平移|k|個單位，可得丁=加+左的圖象/

>0時向上，kVO時向下).

舉一反三：

【變式】將二次函數>=必的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單

位長度后，所得圖象的函

數表達式是()

A.y=(x-iy+2B.y=(x+l)2+2

C.y=(x-1)2-2D.y=(x+l)2_2

【答案】依據平移規(guī)律“上加下減，左加右減"得y=(x-1)2+2.故選A.

類型三、求二次函數的解析式

@3.已知二次函數＞=以2+法+。的圖象經過點(1,0),(-5,0),頂點縱坐

標為2,求這個二次函數的解析式.

2

【思路點撥】

將點(1,°),(-5,0)代入二次函數『x4bx+c,再由平=(從

而求得a,b,c的值，即得這個二次函數的解析式.

【答案與解析】

1

ci——,

a+b+c=0,2

解法一：由題意得25a-5b+c=0,解得b=-2,

95

4Aa-2b+c=—,c=—.

22

所以二次函數的解析式為y=

22

解法二：由題意得y=a(x-l)(x+5).

把x=-2y=2代入，得。(一2—l)x(—2+5)=2,解得q=_J_.

-222

所以二次函數的解析式為y=-：(x-l)(x+5),

即y=--x2-2x+—.

22

解法三：因為二次函數的圖象與x軸的兩交點為(1,0),(-5,0),由其對

稱性知,

對稱軸是直線x=-2.所以，拋物線的頂點是-2,：

可設函數解析式為y=a(x+2)2+g.gPy=-1x2-2x+|.

【總結升華】依據題目的條件，有多種方法求二次函數的解析式.

舉一反三：

【變式】已知：拋物線丁=必+3-l)x+c經過點P(-L-2").

(1)求b+c的值;

(2)若》=3,求這條拋物線的頂點坐標；

(3)若b>3,過點尸作直線軸，交y軸于點A,交拋物線于另一點8,

且外=2叢，求這條拋物線所對應的二次函數關系式.(提示：請畫示意圖思索)

【答案】

解：(1)依題意得：(-1)2+3-1)(-l)+c=-26,

:.b+c=-2?

(2)當8=3時，c=-5,

y=%2+2x—5=(x+1)2—6

拋物線的頂點坐標是(-1,-6).

⑶解法1:當…時,拋物線對稱軸

.?.對稱軸在點尸的左側.

因為拋物線是軸對稱圖形，P-1,-2A）且5P=29.

.\b—5.

3^b'\~C——2,c——7?

???拋物線所對應的二次函數關系式y(tǒng)=X2+4X-7.

解法2：當b>3時，%=----<-1>

2

.??對稱軸在點尸的左側.因為拋物線是軸對稱圖形，

P(-l,-2b),^.BP=2PA,.\B(-3,-2b)

；.(-3)2-3(6-2)+c=-2。.

又Z?+c=-2,解得:b=5,c=-7

,?這條拋物線對應的二次函數關系式是y=x2+4x-7.

解法3：b+c=-2,:.c=—b—2,

y-x~+(b-l)x-b-2

30〃x軸，x2+(b-V)x-b-2--2b

即：f+g—i)x+6—2=o.

解得:Xy=-1,x2=~(b-2),BPxB=-(b-2)

^BP=2PA,1+3-2)=2義1.

「.Z?=5,c=—7

這條拋物線對應的二次函數關系式y(tǒng)=/+4x_7.

類型四、二次函數圖象的位置與a、b、c的關系

■”4.（2015?包頭）如圖，已知二次函數y=ax?+bx+c（aWO）的圖象與x軸

交于點A（-1,0）,對稱軸為直線x=L與y軸的交點B在（0,2）和（0,3）

之間（包括這兩點），下列結論:

①當x>3時，y<0；②3a+bV0；③-IWaW-2@4ac-b2>8a；其中正確

3

①②③C.①②④D.

【思路點撥】

①先由拋物線的對稱性求得拋物線與x軸令一個交點的坐標為（3,0）,從而

可知當x>3時,y<0；

②由拋物線開口向下可知a<0,然后依據*=-至=1,可知：2a+b=0,從而可

2a

知3a+b=0+a-a<0；

③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）,則y=ax?-2ax-3a,令x=0得：

y=-3a.由拋物線與y軸的交點B在（0,2）和（0,3）之間,可知2<-3a<3.④

由4ac-b2>8a得c-2<0與題意不符.

【答案】B；

【答案與解析】

解：①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸令一個交點的坐標為（3,0）,

當x>3時，yVO,故①正確；

②拋物線開口向下，故a<0,

Vx=-A=l,

2a

.*.2a+b=0.

.*.3a+b=0+a=a<0,故②正確；

③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）,則y=ax?-2ax-3a,

令x=0得：y=-3a.

???拋物線與y軸的交點B在（0,2）和（0,3）之間，

Z.2<-3a<3.

解得：-IWaW-故③正確；

3

④...拋物線y軸的交點B在（0,2）和（0,3）之間，

.?.2—

由4ac-b2>8a得：4ac-8a>b2,

Va<0,

,2

Ac-2〈旦

4a

Ac-2<0

/.c<2,與2WcW3沖突，故④錯誤.

故選：B.

【總結升華】

本題主要考查的是二次函數的圖象和性質，駕馭拋物線的對稱軸、開口方向與

系數a、b、c之間的關系是解題的關鍵.

舉一反三：

【變式】如圖所示是二次函數丁=外2+法+。圖象的一部分，圖象經過點A（-3,

0),對稱軸為1=-1.給出四個結論：①〃>4ac;②2a+》=0；③a-b+c=O;

【答案】本例是利用二次函數圖象的位置與a、b、c的和、差、積的符號問題,

其中利用直線尤=1，x=-l交拋物線的位置來推斷a+Z?+c,a-)+c的

符號問題應留意理解和駕馭.

由圖象開口向下，可知a<0,圖象與x軸有兩個交點，所以△=〃-4ac>Q,

b2>4ac,

①確.對稱軸為x=-2=-1,所以》=2”，又由a<0,b=2a,可得5a

2a

<b,④正確.

故選B.

類型五、求二次函數的最值

@5.某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件;

假如每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件(每件售價不能高于65

元).設每件商品的售價上漲x元(x為正整數)，每個月的銷售利潤為)y元.

(1)求y與x的函數關系式并干脆寫出自變量x的取值范圍.

(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤?最大的月利潤

是多少元？

(3)每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？依據以上

的結論，請你干脆寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

【思路點撥】

(1)每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件，當每件商品的售價上

漲x元時，每個月可賣出(210-lOx)件，每件商品的利潤為x+50-40=10+x；

(2)每個月的利潤為賣出的商品數和每件商品的乘積，即(210-10x)(10+x),

當每個月的利潤恰為2200元時得到方程(210-10x)(10+x)=2200.求此方

程中x的值.

【答案與解析】

(l)y=(210-10x)(50+X-40)=-10x+110x+2100(0<x<15且x為整數).

(2)y=-10(x-5.5)2+2402.5.

?/a=-10<0,，當x=5.5時，y有最大值2402.5.

*/0<x<15,且x為整數，

當x=5時，50+x=55,y=2400(元)；

當x=6時，50+x=56,y=2400(元).

當售價定為每件55元或56元時，每個月的利潤最大，最大的月利

潤是2400元.

(3)當y=2200時，-10X2+110X+2100=2200,

解得XI=1,x2=10.

當x=l時，50+x=51；當x=10時，50+x=60.

???當售價定為每件51元或60元時，每個月的利潤為2200元.

【總結升華】

做此類應用題時，要明確題目中所給的信息，并找到其中相等的量可以

用不同的表達式表示就可以列出方程.

舉一反三：

【變式】某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價

不得高于55元，市場調查發(fā)覺，若每箱以50元的價格銷售，平均每天

銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

(1)求平均每天銷售量y(箱)與銷售價x(元/箱)之間的函數關系式.

(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元/箱)之間的函

數關系式.

(3)當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是

多少？

【答案】

解：(1)y=90—3(x—50),

化簡得y=-3x+240(50<x<55).

(2)w=(x-40)(-3x+240)

=-3x2+360%-9600(50<x<55).

(3)w=-31+360%-9600,

a<0,J拋物線開口向下.

當x=-2=60時，w有最大值，

2a

又xV60,w隨x的增大而增大.

J當x=55元時，w的最大值為1125元。

???當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得1125元的最大利潤.

類型六、二次函數綜合題

@6.(2015?北京)在平面直角坐標系xOy中，過點(0,2)且平行于x軸

的直線，與直線y=x-l交于點A,點A關于直線x=l的對稱點為B,拋物線

Ci：y=x?+bx+c經過點A,B.

(1)求點A,B的坐標；

(2)求拋物線G的表達式與頂點坐標；

(3)若拋物線C2：y=ax2(aWO)與線段AB恰有一個公共點，結合函數的圖

象，求a的取值范圍.

1-

1111I:II.>

~01X

【思路點撥】

(1)當y=2時，則2=x-l,解得x=3,確定A(3,2),依據AB關于x=l對

稱，所以B(-1,2).

(2)把(3,2),(-2,2)代入拋物線3：y=x?+bx+c得，2=9+先+。，求出b,

2=1-b+c

c的值，即可解答；

(3)畫出函數圖象，把A,B代入y=ax2,求出a的值，即可解答.

【答案與解析】解：(1)當y=2時，則2=x-L

解得：x=3,

.*.A(3,2),

..?點A關于直線x=l的對稱點為B,

?\B(-1,2).

(2)把(3,2),(-2,2)代入拋物線Ci：y=x?+bx+c得:

(2=9+3b+c

[2=l-b+c

解得：廣2

c=-1

y=x2-2x-1.

頂點坐標為(1,-2).

(3)如圖，當Cz過A點，B點時為臨界，

代入A(3,2)則9a=2,

解得：a=2,

9

代入B(-1,2),則a(-1)2=2,

解得：a=2,

【總結升華】本題考查了二次函數的性質，解集本題的關鍵是求出二次函數的

解析式，并結合圖形解決問題.

舉一反三：

【變式1】已知函數y=2x—2的圖象如圖所示，依據其中供應的信息，可求

得使y^l成立的x的取值范圍是（

A.-l<x<3B.-3<x<lC.x，-3D.xWT或x23

【答案】由圖象知，使y=l成立的x的值為x=T,x=3,使y>l的