2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)單元測試卷一課一練含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE1新20版練B1數(shù)學(xué)人教A版第三章單元測試卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2024·河北衡水中學(xué)高一期中)下列各組函數(shù)中為同一函數(shù)的是()。A.f(x)=(x-1)2,gB.f(x)=x-1,g(t)=t-1C.f(x)=x2-1,g(x)=D.f(x)=x,g(x)=x答案:B解析:A,f(x)=(x-1)2=|x-1|的定義域是R,g(x)=x-1的定義域是R,對應(yīng)關(guān)系不相同,所以不是同一函數(shù);B,f(x)=x-1的定義域是R,g(t)=t-1的定義域是R,對應(yīng)關(guān)系也相同,所以是同一函數(shù);C,f(x)=x2-1的定義域是(-∞,-1]∪[1,+∞),g(x)=x+1·x-1的定義域是[1,+∞),定義域不同,不是同一函數(shù);D,f(x)=x的定義域是R,g(x)=2.(2024·山西文水一中高一期末調(diào)研)已知f(x)=2x,x>0,f(x+1),A.-2B.4C.2D.-4答案:B解析:∵43>0,∴f43=2×43=83?！?43<0,∴f-43=f-43+1=f-13=f-13+1=3.(2024·陜西鳳翔高一期中調(diào)研)函數(shù)f(x)=-x2+15x+34A.[-17,0]∪(0,2] B.[-2,0]∪(0,17]C.(0,17] D.[-2,0)答案:C解析:要使函數(shù)有意義,需滿意-x2+15x+34≥0,|x4.(2024·西北工大附中單元測評)函數(shù)y=(m2+2m-2)x1m-1是冪函數(shù),則mA.1 B.-3C.-3或1 D.2答案:B解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=(m2+2m-2)x1m-1是冪函數(shù),所以m2+2m-2=1且m≠1,5.(2024·河南信陽高一期中質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=(x-2)(ax+b)為偶函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則f(2-x)>0的解集為()。A.{x|x<-2或x>2} B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4} D.{x|0<x<4}答案:C解析:∵函數(shù)f(x)=(x-2)(ax+b)=ax2+(b-2a)x-2b為偶函數(shù),∴二次函數(shù)f(x)圖像的對稱軸為y軸,∴-b-2a2a=0,且a≠0,即b=2a,∴f(x)=再依據(jù)函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,可得a>0。令f(x)=0,求得x=2,或x=-2,故由f(2-x)>0,可得2-x>2或2-x<-2,解得x<0或x>4,故f(2-x)>0的解集為{x|x>4或x<0},故選C。6.(2024·安徽無為高一期末測試)設(shè)函數(shù)D(x)=x3,x≥01A.D(x)的定義域?yàn)镽 B.D(x)的值域?yàn)镽C.D(x)是奇函數(shù) D.D(x)是在各段內(nèi)單調(diào)答案:C解析:當(dāng)x>0時(shí),-x<0,D(-x)=1-x≠-x3;當(dāng)x<0時(shí),-x>0,D(x)=(-x)3=-x3≠-1x。故D7.如圖3-11所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,AB=5,AD=3,點(diǎn)E由B沿折線B-C-D向點(diǎn)D移動,EM⊥AB,垂足為M,EN⊥AD,垂足為N,設(shè)MB=x,矩形AMEN的面積為y,那么y與x的函數(shù)關(guān)系圖像大致是()。圖3-11圖3-12答案:C解析:∵EM⊥AB,∠B=45°,∴EM=MB=x,AM=5-x。當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動時(shí),即當(dāng)0<x≤3時(shí),y=x(5-x)=-x-522+254;當(dāng)點(diǎn)E在CD上運(yùn)動時(shí),矩形AMEN即為矩形AMED,此時(shí)3<x<5,y=-3x+15。所以y與x的函數(shù)關(guān)系為y=-8.(2024·福建惠安高一期中調(diào)研)設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),若x1<0且x1+x2>0,則()。A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)與f(-x2)大小不確定答案:A解析:∵f(x)是R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),∵x1<0且x1+x2>0,∴-x2<x1<0,∴f(x1)>f(-x2),又∵f(-x1)=f(x1),∴f(-x1)>f(-x2)。故選A。9.f(x)滿意對隨意的實(shí)數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,則f(2)f(1)+f(4)A.2024 B.2024 C.4034 D.4036答案:B解析:∵f(x)滿意對隨意的實(shí)數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)·(b),∴令b=1,得f(a+1)=f(a)·f(1),∴f(a+1)f(a)=f(1)=2,∴f(2)f∴原式=1009×2=2024,故選B。10.(2024·重慶大足一中高一期中測試)若f(x)=-x2+2ax與g(x)=ax+1在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù),則a的取值范圍是(A.(-∞,0)∪(0,1] B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,+∞) D.(0,1]答案:D解析:∵f(x)=-x2+2ax圖像的對稱軸為直線x=a,在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),∴a≤1①。又∵g(x)=ax+1在區(qū)間[1,2]∴a>0②,由①②可得0<a≤1,故a的取值范圍是(0,1],故選D。11.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其定義域?yàn)?-∞,+∞),且在(-∞,0]上是增函數(shù),則f14與fa2-a+A.f14>fB.f14<fC.f14≥fD.f14≤f答案:C解析:函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其定義域?yàn)?-∞,+∞),且在(-∞,0]上是增函數(shù),∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)。∵a2-a+12=a-122∴f14≥fa2-12.(2024·山西侯馬高一期末)已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)為增函數(shù),且f(x)·ff(x)+1x=1,則fA.1+52 C.1+52或1-答案:B解析:令x=1,得f(1)f(f(1)+1)=1,令t=f(1),則tf(t+1)=1,所以f(t+1)=1t,f(x)·ff(x)+1x=1中,令x=t+1,則f(t+1)·ff(t+1)+1t+1=1tf1t+1t+1=1,所以f1t+1t+1=t=f(1),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在(0,+∞)上的增函數(shù),所以1t+1t+1=1,變形可得t2-t-1=0,解得t=1+52或t=1-52,所以f(1)=1+52或f(1)=1-52。令x=2,得f(2)·ff(2)+12,令t=f(2),則tft+12=1,所以ft+12=1t,令x=t+12,則ft+12·fft+12+1t+12=1tf1t+2二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分。將答案填在題中的橫線上)13.(2024·山東壽光一中高一月考)若定義運(yùn)算a☉b=b,a≥b,a,a<b,則函數(shù)f答案:(-∞,1]解析:由題意知,x☉(2-x)表示x與2-x兩者中的較小者,借助y=x與y=2-x的圖像(如圖所示),不難得出f(x)的值域?yàn)?-∞,1]。14.(2024·甘肅蘭州高一檢測)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x3+1,則f(-2)·f(3)的值為。

答案:182 解析:∵x>0,f(x)=-x3+1,∴f(3)=-33+1=-26,f(-2)=f(2)=-23+1=-7?！鄁(-2)·f(3)=(-26)×(-7)=182。15.已知函數(shù)f(x)對隨意的正實(shí)數(shù)x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1,則f12=答案:-1 解析:令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,又f(1)=f2×12=f(2)+f12,所以f12=f16.函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù),例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知定義在R上的函數(shù)g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},則A中全部元素的和為。

答案:4解析:很明顯函數(shù)y=[x],y=[2x]均為單調(diào)不減函數(shù),據(jù)此可得g(x)單調(diào)不減,且g(0)=[0]+[0]=0,g(1)=[1]+[2]=3,且g(0.5)=[0.5]+[1]=1,函數(shù)無法使函數(shù)值為2,否則[x]=0,[2x]=2或[x]=1,[2x]=1,這是不行能的,則集合A={0,1,3},綜上可得A中全部元素的和為4。三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2024·江西興國一中高一期中質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x+1。(1)求f(x)的解析式;答案:當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,當(dāng)x<0時(shí),-x>0,那么f(-x)=2(-x)+1,即f(x)=2x-1。綜上,f(x)=2(2)當(dāng)x<0時(shí),方程f(x)=x2+tx+2t僅有一個實(shí)根(若有重根按一個計(jì)算),求實(shí)數(shù)t的取值范圍。答案:將f(x)代入方程,得2x-1=x2+tx+2t,化簡,得x2+(t-2)x+2t+1=0,記g(x)=x2+(t-2)·x+2t+1,設(shè)g(x)=0的兩實(shí)根分別為x1,x2,當(dāng)x1<0<x2時(shí),有g(shù)(0)<0,即2t+1<0,∴t<-12;當(dāng)x1<0=x2時(shí),有g(shù)(0)=0,即t=-12,此時(shí)x2-52x=0,∴x=0或x=52(不符合,舍去);當(dāng)x1=x2<0時(shí),有Δ18.(12分)已知定義在R上的函數(shù)f(x),對隨意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0。(1)推斷f(x)的奇偶性;答案:令a=b=0,則f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0,令a=x,b=-x,則f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即-f(x)=f(-x),所以f(x)為奇函數(shù)。(2)若f(-kx2)+f(kx-2)>0對隨意的x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。答案:任取x1,x2∈R,且令x1<x2,則f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2),f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0,f(x1)>f(x2),f(x)是單調(diào)減函數(shù)。∵f(-kx2)+f(kx-2)>0,即f(-kx2+kx-2)>f(0)=0恒成立,∴-kx2+kx-2<0恒成立,當(dāng)k=0時(shí),-2<0恒成立,當(dāng)k≠0時(shí),-k<0,綜上,0≤k<8。19.(12分)(2024·北京海淀外國語學(xué)校高一期中)已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a(1)當(dāng)a=12時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值答案:當(dāng)a=12時(shí),f(x)=x+12x+2,x∈[1,+∞),設(shè)?x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1-x2+x2-x12x1x2=(x1-x2)1-12x1x2<0,∴f(x1)<f(x2(2)若對隨意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;答案:f(x)=x2+2x+ax>0對x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x恒成立,又∵y=-x2-2x在[1,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)x=1(3)探討函數(shù)的單調(diào)性。(只寫出結(jié)論即可)答案:當(dāng)a≤0時(shí),f(x)=x+ax+2,為增函數(shù);當(dāng)0<a≤1時(shí),f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù);當(dāng)a>1時(shí),f(x)在[1,a)上為減函數(shù),在[a,+∞)20.(12分)(2024·山東肥城一中高一期末質(zhì)檢)已知定義在[-2,2]上的偶函數(shù)f(x)滿意當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=-x+23-(1)求函數(shù)f(x)的解析式;答案:設(shè)x∈[-2,0],則-x∈[0,2],∴f(-x)=x+23+x∵f(x)在定義域x∈[-2,2]上是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x)=x+23+x∴f(x)=x(2)設(shè)函數(shù)g(x)=ax-2-a(a>0),若對于隨意的x1,x2∈[-2,2],都有g(shù)(x1)<f(x2)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。答案:由題意得“對隨意x1,x2∈[-2,2],都有g(shù)(x1)<f(x2)成立”等價(jià)于“g(x)max<f(x)min”。又因?yàn)閒(x)是定義在[-2,2]上的偶函數(shù)。所以f(x)在區(qū)間[-2,0]和區(qū)間[0,2]上的值域相同。當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=x+23+x設(shè)t=3+x,則t∈[1,3]令h(t)=t2+2t-3=(t+1)2-4,t∈[1,3]。則當(dāng)t=1時(shí),函數(shù)h(t)取得最小值h(1)=0,所以f(x)min=0。又g(x)max=g(2)=a-2,由a-2<0,解得a<2,因此實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,2)。21.(12分)(2024·武漢模塊統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=x2(1)證明:函數(shù)f(x)是偶函數(shù);答案:證明:∵對隨意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=(-x)2(-x)2+1=x2x2(2)記A=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024),B=f(1)+f12+f13+…+f12017,求A+答案:解:當(dāng)x≠0時(shí),f(x)+f1x=x2x2+1+1x21x2+1=x2x2+1+1x2+1=1?！郃+B=[f(1)+f(1)]+f(3)若實(shí)數(shù)x1,x2滿意f(x1)+f(x2)>1,求證:|x1x2|>1。答案:證明:由f(x1)+f(x2)>1?x12x?x12(x22+1)+x22(?x12x22>1?|x22.(12分)(2024·廣東廣州執(zhí)信