安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)秋季聯(lián)賽試題文

PAGEPAGE16安徽省示范中學(xué)培優(yōu)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)秋季聯(lián)賽試題文本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1至第3頁，第Ⅱ卷第4至第6頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.考生留意事項：1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并仔細(xì)核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一樣.2.答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.3.答第Ⅱ卷時，必需運用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰.作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清晰.必需在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效.4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，其中（8）、（10）、（12）為選考題.每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）（1）已知全集為，集合，，則（）（A） （B）（C） （D）（2）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，為其終邊上一點，則（）（A） （B）（C） （D）（3）設(shè)，，，，則（）（A） （B）（C） （D）（4）在所在平面中，點O滿意，則（）（A） （B）（C） （D）（5）已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）（A） （B） （C） （D）（6）有四個命題：（1）對于隨意的、，都有；（2）存在這樣的、，使得；（3）不存在無窮多個、，使得；（4）不存在這樣的、，使得.其中假命題的個數(shù)是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（7）在中，內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且，，則c的最大值為（）（A）2 （B）1 （C） （D）3（8）【選考必修2】已知點關(guān)于直線：的對稱點為A，設(shè)直線經(jīng)過點A，則當(dāng)點到直線的距離最大時，直線的方程為（）（A） （B）（C） （D）【選考必修3】如圖所示的程序框圖模型，則輸出的結(jié)果是（）（A）11 （B）10 （C）9 （D）8（9）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值是（）（A） （B） （C） （D）1（10）【選考必修2】實數(shù)且，，則連接，兩點的直線與圓C：的位置關(guān)系是（）（A）相離 （B）相切（C）相交 （D）不能確定【選考必修3】2024年起先，部分省市將試行“”的一般高考新模式，即除語文、數(shù)學(xué)、外語3門必選科目外，考生再從物理、歷史中選1門，從化學(xué)、生物、地理、政治中選2門作為選考科目.為了幫助學(xué)生合理選科，某中學(xué)將高一每個學(xué)生的六門科目綜合成果按比例均縮放成5分制，繪制成雷達(dá)圖.甲同學(xué)的成果雷達(dá)圖如圖所示，下面敘述肯定不正確的是（）（A）甲的物理成果領(lǐng)先年級平均分最多（B）甲的成果從高到低的前3個科目依次是化學(xué)、物理、生物（C）甲有3個科目的成果高于年級平均分（D）對甲而言，物理、化學(xué)、地理是比較志向的一種選科結(jié)果（11）已知的面積為m，內(nèi)切圓半徑也為m，若的三邊長分別為a，b，c，則的最小值為（）（A）2 （B）3（C）4 （D）（12）【選考必修2】如圖，在棱錐中，底面是正方形，，平面.在這個四棱錐中放入一個球，則球的最大半徑為（）（A） （B）（C）2 （D）【選考必修3】2024年6月9日，安徽省教化廳宣布，為應(yīng)對7月高考、中考期間高溫天氣，給學(xué)生創(chuàng)建舒適考場環(huán)境，全部地市將在中考、高考考場安裝空調(diào).某商場銷售某種品牌的空調(diào)器，每周初購進(jìn)肯定數(shù)量的空調(diào)器，商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元，若供大于求，則每臺多余的空調(diào)器需交保管費100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時調(diào)劑的每臺空調(diào)器僅獲利潤200元.該商場記錄了去年夏天（共10周）空調(diào)器需求量n（單位：臺），整理得表：周需求量n1819202122頻數(shù)12331以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器，X表示當(dāng)周的利潤（單位：元）.則當(dāng)周的平均利潤為（）（A）10000元 （B）9400元（C）8800元 （D）9860元（在此卷上答題無效）絕密★啟用前安徽省示范中學(xué)培優(yōu)聯(lián)盟2024年秋季聯(lián)賽（高二）數(shù)學(xué)（文科）第Ⅱ卷（非選擇題共90分）考生留意事項：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.二、填空題（本大題共4小題，其中（16）為選考題.每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.）（13）方程解為______.（14）已知平面對量，，則在方向上的投影為______.（15）若對于，不等式有解，則正實數(shù)m的取值范圍為______.（16）【選考必修2】半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面組成的多面體.如將正四面體全部棱各三等分，沿三等分點從原幾何體割去四個小正四面體如圖所示，余下的多面體就成為一個半正多面體，若這個半正多面體的棱長為1，則這個半正多面體的體積為______.【選考必修3】明朝聞名易學(xué)家來知德以其太極圖說明一年、一日之象的圖式，一年氣象圖將二十四節(jié)氣配以太極圖，說明一年之氣象，來氏認(rèn)為“萬古之人事，一年之氣象也，春作夏長秋收冬藏，一年不過如此”.上圖是來氏太極圖，其大圓半徑為4，大圓內(nèi)部的同心小圓半徑為1，兩圓之間的圖案是對稱的.若在大圓內(nèi)隨機取一點，則落在黑色區(qū)域的概率為______.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）（17）（本題為選考題，必修2、必修3任選一題，本題滿分10分）【選考必修2】在平行四邊形中，，，過A點作的垂線交的延長線于點E，.連結(jié)交于點F，如圖1，將沿折起，使得點E到達(dá)點P的位置.如圖2.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若G為的中點，H為的中點，且平面平面，求三棱錐的體積.【選考必修3】習(xí)近平總書記在2024年新年賀詞中強調(diào)，2024年是具有里程碑意義的一年，我們將全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)，2024年也是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年.安徽省某貧困地區(qū)截至2024年底，根據(jù)農(nóng)村家庭人均年純收入8000元的小康標(biāo)準(zhǔn)，該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現(xiàn)小康，現(xiàn)從這些尚未實現(xiàn)小康的家庭中隨機抽取50戶，得到這50戶家庭2024年的家庭人均年純收入的頻率分布直方圖.（圖中所示縱坐標(biāo)均為相應(yīng)小矩形的高）（Ⅰ）補全頻率分布直方圖，并求出這50戶家庭人均年純收入的中位數(shù)和平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）（精確到元）；（Ⅱ）（i）2024年7月，為估計該地區(qū)能否在2024年全面實現(xiàn)小康，統(tǒng)計了該地區(qū)當(dāng)時最貧困的一個家庭2024年1至6月的人均月純收入如下表：月份/2024（時間代碼x）123456人均月純收入（元）275365415450470485由散點圖及相關(guān)性分析發(fā)覺：家庭人均月純收入y與時間代碼x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，懇求出回來直線方程；（ii）由于2024年1月突如其來的新冠肺炎疫情影響了奔小康的進(jìn)展，該家庭2024年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月純收入均為預(yù)估值的，從4月份起先，每月的人均月純收入均為預(yù)估值的，由此估計該家庭2024年能否達(dá)到小康標(biāo)準(zhǔn)，并說明理由.參考數(shù)據(jù)和公式：；線性回來方程中，，.（18）（本小題滿分12分）已知集合，函數(shù)的定義域為B.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）已知集合，若，求實數(shù)m的取值范圍.（19）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于M、N兩點.（Ⅰ）當(dāng)時，求的值；（Ⅱ）求在時的值域.（20）（本小題滿分12分）已知公比的等比數(shù)列的前n項和為，且，，.設(shè)（）.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）設(shè)，若對都成立，求正整數(shù)的最小值.（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，若，，且的最小值為.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知，，，求的取值范圍（22）（本小題滿分12分）《宋史·外國傳六·天竺國》：“?；蹐A滿，壽命延長.”楊朔《滇池邊上的報春花》：“只有今日，古人追求不到的圓滿東西，我們可以追求到了.”若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“圓滿函數(shù)”.（Ⅰ）推斷函數(shù)是否為“圓滿函數(shù)”，并說明理由；（Ⅱ）若函數(shù)在定義域（）上是“圓滿函數(shù)”，求的取值范圍.安徽省示范中學(xué)培優(yōu)聯(lián)盟2024年秋季聯(lián)賽（高二）數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)題號123456789101112答案CDAACCABDBBD13【答案】1或100 14【答案】 15【答案】 16【必修2】【答案】【必修3】【答案】1【答案】C【解析】依題意，，，故，故選C.2【答案】D【解析】為角終邊上一點，，.，故選D.3【答案】A【解析】由于，，，又在上單調(diào)遞增，所以，故選A.4【答案】A【解析】由可知O三角形的重心，則.故選：A.5【答案】C【解析】若是上的增函數(shù)，則應(yīng)滿意解得.故選C.6【答案】C【解析】由，得，（）或（），因此，存在無窮多個、，使得.對于隨意的、，都有故①③④錯，②對.故選：C.7【答案】A【解析】解：因為，所以，所以，因為B為的內(nèi)角，所以當(dāng)時，c取最大值2.故選：A8【選考必修2】【答案】B【解析】易知.設(shè)點到直線的距離為d，當(dāng)時取得最大值，此時直線垂直于直線，又，所以直線的方程為，即.故選B.【選考必修3】【答案】B【解析】由程序框圖知，時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，；程序運行結(jié)束，輸出的結(jié)果是.故選B.9【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，由，得，，在等比數(shù)列中，由，得，，，則.故選：D.10【選考必修2】【答案】B【解析】由題意知，m，n是方程的根，，過，兩點的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【選考必修3】【答案】B【解析】由雷達(dá)圖可知，甲的物理成果領(lǐng)先年級平均分約為1.5，化學(xué)成果領(lǐng)先年級平均分約為1，生物成果約等于年級平均分，歷史成果低于年級平均分，地理成果領(lǐng)先年級平均分約為1，政治成果低于年級平均分，故A、C、D正確；而甲的成果從高到低的前3個科目依次是地理、化學(xué)、生物（物理），故B選項錯誤.故選：B.11【答案】B【解析】因為的面積為m，內(nèi)切圓半徑也為m，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為3.故選B.12【選考必修2】【答案】D【解析】由平面，，又，，所以平面，所以，設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個面都相切，設(shè)球心為S，連接，、、、，則把此四棱錐分為五個棱錐，它們的高均為R.四棱錐的體積，四棱錐的表面積，因為，所以.故選：D【選考必修3】【答案】D【解析】由，，，，，，，，，，故.（元）.故選：D13【答案】1或10014【答案】【解析】設(shè)與的夾角為，所以，在方向上的投影為.故答案為：.15【答案】【解析】，，，當(dāng)時，等號成立，若不等式有解，則故答案為：16【選考必修2】【答案】【解析】由情愿可知，原正四面體的核長為3，則這個半正多面體的體積為.故答案為：.【選考必修3】【答案】【解析】設(shè)大圓面積為，小圓面積，則，.則黑色區(qū)域的面積為，所以落在照色區(qū)域的概容為.故管案為：17【選考必修2】【解析】（Ⅰ）證明：如圖1，在中，，，所以.所以也是直角三角形，，，，，如圖題2，，，，從而平面，又平面，所以.（Ⅱ）解法一：平面平面，且平面平面，平面，，平面.取的中點為O，連結(jié)，則，平面，即為三棱錐的高..，.解法二：平面平面，且平面平面，平面，，平面.G為的中點，三棱錐的高等于.H為的中點，的面積是四邊形的面積的，三棱錐的體積是四棱錐的體積的.，三棱錐的體積為.【選考必修3】【解析】（Ⅰ）由頻率之和為1可得：家庭人均年純收入在的頻率為0.18，所以頻率分布直方圖如下：中位數(shù)為：元，（或：設(shè)中位數(shù)為x，則，解得：）平均數(shù)元（Ⅱ）①解：由題意得：，所以：所以回來直線方程為：②解：設(shè)y為2024年該家庭人均月純收入，則，14，15時，，即2024年前三月總收入為：元；當(dāng)，17，…，24時，，即2024年從4月份起的家庭人均月純收入依次為：728，760，…，984，構(gòu)成以32為公差的等差數(shù)列，所以4月份至12月份的總收入為所以2024年該家庭總收入為：，所以該家庭2024年能達(dá)到小康標(biāo)準(zhǔn)18【解析】（Ⅰ）解不等式，即，解得，得.對于函數(shù)，解得，則，，則；（Ⅱ）當(dāng)時，，得到，符合題意；或時，或，解得或綜上所述，實數(shù)用的取值范圍是19【解析】（Ⅰ）直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于M、N兩點.當(dāng)有，.（Ⅱ），的值域為.20【解析】（Ⅰ）數(shù)列的公比為q，則由，得：，因為，所以.又，，，從而，（Ⅱ）故不等式等價于對都成立，令，，令，得；令，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，故，，21【解析】（Ⅰ