2025年廣東省佛山市佛山三中高三“四校聯(lián)考”第二次考試數(shù)學試題含解析

2025年廣東省佛山市佛山三中高三“四校聯(lián)考”第二次考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題；“三百七十八里關，初行健步不為難，次后腳痛遞減半，六朝才得到其關，要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：“有一個人走了378里路，第一天健步走行，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達目的地，求該人每天走的路程.”由這個描述請算出這人第四天走的路程為（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里2．如圖，已知平面，，、是直線上的兩點，、是平面內的兩點，且，，，，．是平面上的一動點，且直線，與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（）A． B． C． D．3．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺4．如圖，在中，，且，則（）A．1 B． C． D．5．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．6．已知，則下列關系正確的是（）A． B． C． D．7．已知的部分圖象如圖所示，則的表達式是（）A． B．C． D．8．已知全集為，集合，則（）A． B． C． D．9．已知集合,，則A． B．C． D．10．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．設i為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則復數(shù)z等于()A． B． C． D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則_________.14．若存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切，則實數(shù)的最小值為___________．15．已知函數(shù)，若函數(shù)有個不同的零點，則的取值范圍是___________．16．下圖是一個算法的流程圖，則輸出的x的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時針旋轉得到（）.點為斜邊上一點.點為線段上一點，且.（1）證明：平面；（2）當直線與平面所成的角取最大值時，求二面角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．19．（12分）已知函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點為和．（1）求的單調區(qū)間；（2）若的極小值為，求在區(qū)間上的最大值．20．（12分）已知矩形中，，E，F(xiàn)分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設P、Q分別為線段，的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，三棱臺中，側面與側面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，證明：∥平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22．（10分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實數(shù)滿足.證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

設第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得，求出（里，由此能求出該人第四天走的路程．【詳解】設第一天走里，則是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由題意得：，解得（里，（里．故選：C．本題考查等比數(shù)列的某一項的求法，考查等比數(shù)列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎題．2．B【解析】

為所求的二面角的平面角，由得出，求出在內的軌跡，根據(jù)軌跡的特點求出的最大值對應的余弦值【詳解】，，，，同理為直線與平面所成的角，為直線與平面所成的角，又，在平面內，以為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系則，設，整理可得：在內的軌跡為為圓心，以為半徑的上半圓平面平面，，為二面角的平面角，當與圓相切時，最大，取得最小值此時故選本題主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定義法、三垂線定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依據(jù)題目選擇方法求出結果．3．A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關鍵．4．C【解析】

由題可,所以將已知式子中的向量用表示，可得到的關系，再由三點共線，又得到一個關于的關系，從而可求得答案【詳解】由，則，即，所以，又共線，則.故選：C此題考查的是平面向量基本定理的有關知識，結合圖形尋找各向量間的關系，屬于中檔題.5．D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故選D.6．A【解析】

首先判斷和1的大小關系，再由換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調性判斷的大小即可.【詳解】因為，，，所以，綜上可得.故選：A本題考查了換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7．D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后將點的坐標代入函數(shù)的解析式，結合的取值范圍求出的值，由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，.將點代入函數(shù)的解析式得，得，，，則，，因此，.故選：D.本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8．D【解析】

對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補集；對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D本題考查集合的補集、交集運算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.9．D【解析】

因為,,所以,,故選D．10．B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用特值確定函數(shù)的正負情況。【詳解】，故奇函數(shù)，四個圖像均符合。當時，，，排除C、D當時，，，排除A。故選B。圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調性、及特殊值。11．D【解析】

可設的內切圓的圓心為，設，，可得，由切線的性質：切線長相等推得，解得、，并設，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所求值．【詳解】可設的內切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設，，則，且有，解得，，設，，設圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.本題考查橢圓的定義和性質，注意運用三角形的內心性質和等邊三角形的性質，切線的性質，考查化簡運算能力，屬于中檔題．12．B【解析】

根據(jù)復數(shù)除法的運算法則，即可求解.【詳解】.故選:B.本題考查復數(shù)的代數(shù)運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)交集的定義即可寫出答案。【詳解】，，故填本題考查集合的交集，需熟練掌握集合交集的定義，屬于基礎題。14．【解析】

設直線l與函數(shù)及的圖象分別相切于，，因為，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，因為，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即，因為存在直線l與函數(shù)及的圖象都相切，所以，所以，令，設，則，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，所以，所以實數(shù)的最小值為．15．【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線，如下圖所示，因為函數(shù)有個不同的零點，所以由圖象可知，，，所以．16．1【解析】

利用流程圖，逐次進行運算，直到退出循環(huán)，得到輸出值.【詳解】第一次：x＝4，y＝11，第二次：x＝5，y＝32，第三次：x＝1，y＝14，此時14＞10×1＋3，輸出x，故輸出x的值為1．故答案為：.本題主要考查程序框圖的識別，“還原現(xiàn)場”是求解這類問題的良方，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）先算出的長度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1）可得為直線與平面所成的角，要使其最大，則應最小，可得為中點，然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進一步得到正弦值.【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，∴，∴，由題意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，又，∴平面.（2）以為坐標原點，以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系.∵平面，∴在平面上的射影是，∴與平面所成的角是，∴最大時，即，點為中點.，，，，，，，設平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，同理，設平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，∴，，故二面角的正弦值為.本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學生的運算求解能力，是一道中檔題.18．（1）；（2）見解析【解析】

將函數(shù)解析式化簡即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】（Ⅰ）由題意得原式的最小正周期為.（Ⅱ），.當，即時，；當，即時，.綜上，得時，取得最小值為0；當時，取得最大值為.本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開，輔助角公式，三角函數(shù)的性質等，較為綜合，也是?？碱}型，需要計算正確，屬于基礎題19．（1）單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和；（2）最大值是．【解析】

（1）求得，由題意可知和是函數(shù)的兩個零點，根據(jù)函數(shù)的符號變化可得出的符號變化，進而可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由（1）中的結論知，函數(shù)的極小值為，進而得出，解出、、的值，然后利用導數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1），令，因為，所以的零點就是的零點，且與符號相同．又因為，所以當時，，即；當或時，，即.所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和；（2）由（1）知，是的極小值點，所以有，解得，，，所以．因為函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和.所以為函數(shù)的極大值，故在區(qū)間上的最大值取和中的最大者，而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是．本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間與最值，考查計算能力，屬于中等題.20．（1）證明見解析（2）【解析】

(1)取中點R，連接，,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關結論可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點R，連接，，則在中，，且，又Q是中點，所以，而且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在平面內作交于點G，以E為原點，，，分別為x，y，x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為，，，所以，，設平面的一個法向量為，則即，取，得，又平面的一個法向量為，所以.因此，二面角的余弦值為本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運算求解能力,難度一般.21．(Ⅰ)見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)連接，由比例可得∥，進而得線面平行；（Ⅱ）過點作的垂線，建立空間直角坐標系，不妨設，則求得平面的法向量為，設平面的法向量為，由求二面角余弦即可.試題解析：（Ⅰ）證明：連接，梯形，,易知：；又，則∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）側面是梯形，，,,則為二面角的平面角，；均為正三角形，在平面內，過點作的垂線，如圖建立空間直角坐標系，不妨設，則,故點，；設平面的法向量為，則有：；設平面的法向量為，則有：；，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.22．（1）或；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，利用零點分段