山西省太原五中2024屆高三校一模數(shù)學(xué)試題和答案

太原五中2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期校一模且4足5。=0,則就.區(qū)二()

二數(shù)學(xué)A.16B.12C.8D.-4

7.已知圓錐SO的母線"=5,側(cè)面積為151，若正四面體4-AGA能在圓錐

出題人：趙煜政符權(quán)有校對(duì)人：趙煜政符權(quán)有時(shí)間：2024.5

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一so內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體4-4G2的最大棱長(zhǎng)為()

舉項(xiàng)符合題目要求.L3l

A.1B.A/6C.—D.y/3

1.已知全集為我,集合4=卜卜2-2》_3<0},5=?卜=/},貝|]9;;8)小么=()

n(p

8.設(shè)數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)之積為北，滿足4+27；=1(WGN*)，則。2024=()

A.{x|-l<x<2}B.{x)2<x<3}C.{x|x<3}D.{x|-l<x<0}

。齦些404710111011

2.復(fù)數(shù)z=旦長(zhǎng)的共拆復(fù)數(shù)為()?4049?4049*1013,1012

1+z二、選擇題：本大題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

:潁項(xiàng)符合題目要求的,全部選對(duì)得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

A.-l-iB.-l-2zC.-1+iD.-1+2/

9.如圖，函數(shù)/(x)=4sin3x+0)(Z>OM>O,|d?g的圖象與x軸的其中兩個(gè)

j迎3.設(shè)ae(0,萬(wàn))，條件p：cosa=條件g：sina=g,貝！|p是q的()

交點(diǎn)為A、B,與y軸交于點(diǎn)C,D為線段BC的中點(diǎn)，OB=^OC,OA=2,

A.充分不要條件B.必要不充分條件

/。=述1,貝IJ()

C.充要條件D.既不充分也不必要條件3

O3

：就4.甲，乙兩名同學(xué)要從A、B、C、D四個(gè)科目中每人選取三科進(jìn)行學(xué)習(xí)，則兩

A.7(x)的圖象不關(guān)于直線x=8對(duì)稱

]St人選取的科目不完全相同的概率為()

3B.〃x)的最小正周期為12"

ABcD.

?ffi-1-I-i4

C./(T+2)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

忠

5.設(shè)雙曲線三4二1(。、b均為正值)的漸近線的傾斜角為a,該雙曲線與

aD./(x)在[5,7]單調(diào)遞減

都

橢圓二+三二1的離心率之積為1,且有相同的焦距，則sin。=()10.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)槌?，且Vxe&,都有/(-3+x)+/(-l-x)=0,

43

+=/(-5)=-2./(1■)=-1",當(dāng)xe[-l,0]fl寸,f{x}=ax2+bx,

AA/3DV?石n6

A.D.rL.U.

713213則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱

6.在A48C中，5C=6,Z5=4,NCA4=1設(shè)點(diǎn)Q為4。的中點(diǎn)，E在5c上,

高三數(shù)學(xué)-校一模第1頁(yè)供6頁(yè))高三數(shù)學(xué)?校一模第2頁(yè)(共6頁(yè))

B./(I)=2的學(xué)習(xí)時(shí)間的相關(guān)關(guān)系，針對(duì)本校49名考生進(jìn)行了解,其中每周學(xué)習(xí)物理的

時(shí)間不少于12小時(shí)的有21位學(xué)生,余下的人中,在物理考試中平均成績(jī)不足

C./(2023)+/(2024)+/(2025)=2

120分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的2，統(tǒng)計(jì)后得到以下表格：

D.函數(shù)與函數(shù)y=MM的圖象有8個(gè)不同的公共點(diǎn)

大于等于120分不足120分合計(jì)

11.外接圓半徑為41的入45。滿足2$1114+3＜：0$5＜：0$。=4，則下列選項(xiàng)正確

學(xué)時(shí)不少于12小時(shí)821

的是()

學(xué)時(shí)不足12小時(shí)

A.B=CB.A=—C.AABC的面積是"D.A48C的周長(zhǎng)是乜Z合計(jì)49

12255

(I)請(qǐng)完成上面的2X2列聯(lián)表,能否有97.5%的把握認(rèn)為“物理成績(jī)與

E的

自主物理的學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”？

三.填空題：本大題共3小題,每小題5分，共15分.

W

(II)若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,

12.化簡(jiǎn)3c：+6。；+12。；+…+3x2""；=.

求這些人中周自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于12小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.凝

[7M2______n(ad-be?_____

13.在A48C中，內(nèi)角4民。所對(duì)的邊分別是。，仇。，已知~r=—,陽(yáng)：K-(a+1)(c+d)(a+c)3+d)3-

b2+c2-a2sin5

0.1000.0500.0250.0100.0050.001夕

那么/=—，設(shè)邊5c的中點(diǎn)為D,若°=且A48c的面積為述，則4。

4

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

的長(zhǎng)是.

噂

14.已知橢圓]+必=1,0為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)尸(乙,%)作橢圓

16.(本小題滿分15分)■

如圖，在四棱錐尸-Z3C。中,底面ABCD是直角梯形，AB//CD,

的兩條切線,切點(diǎn)分別為4B.記直線OA,OB,PA,PB的斜率分別為左，/他，心,

若左能=:，則5%-3%+/h的最小值是./BAD=90°,DA=DC=2AB=2.

(I)點(diǎn)E在側(cè)棱依上，且P。//平面ENC,,確定

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.E在側(cè)棱尸5上的位置；

15.(本小題滿分13分)(II)若平面PAD1平面ABCD,

目前,某校采用“翻轉(zhuǎn)課堂”的教學(xué)模式,即學(xué)生先自學(xué),然后老師再講學(xué)

且為=電)=2a,求二面角/一尸0-8的余弦值.

生不會(huì)的內(nèi)容.某一教育部門為調(diào)查在此模式下學(xué)生的物理成績(jī)與學(xué)習(xí)物理

高三數(shù)學(xué)?校一模第3頁(yè)供6頁(yè))高三數(shù)學(xué)?校一模第4頁(yè)(共6頁(yè))

17.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(x)=acosx-ex+I(aeJi)的圖象在x=0處的切線過(guò)點(diǎn)(-L2).

(1)求/(》)在［0,萬(wàn)］上的最小值；

(11)判斷〃幻在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

舉

n(p18.(本小題滿分17分)

。齦已知點(diǎn)A(-2,0)、5(2,0),直線BP和直線AP相交于點(diǎn)P,且直線BP和直

線NP的斜率之積為

(I)求點(diǎn)尸的軌跡所對(duì)應(yīng)的曲線尸的方程；

迎

j(11)直線/：歹=區(qū)+1與曲線廠相交于。,￡兩點(diǎn),若。(0,2)是否存在實(shí)數(shù)后,

使得A/%。的面積為:4？若存在，請(qǐng)求出《的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

：-E

19.(本小題滿分17分)

給定數(shù)列｛%｝,若滿足%=。(。＞0且。片1),對(duì)于任意的"，加eN*,都有

;赭

?！?廢=?！?外,則稱數(shù)列應(yīng)｝為“指數(shù)型數(shù)列”.

忠(I)已知數(shù)列｛%｝滿足。1=1,?！?2a“a”+i+3”“+i(〃eN*),判斷數(shù)列

都是不是“指數(shù)型數(shù)列”？若是，請(qǐng)給出證明，若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由；

(II)若數(shù)列｛??｝是“指數(shù)型數(shù)列”,且q=eN*),證明：數(shù)列｛??)中

o4+3'7

任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.

高三數(shù)學(xué)-校一模第5頁(yè)(共6頁(yè))高三數(shù)學(xué)?校一模第6頁(yè)(共6頁(yè))

太原五中高三校考數(shù)學(xué)題

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.已知全集為凡集合幺={》|/_2》-3<0},8={丫|3；=/},則（。&3）口幺=（）

A{x|-l<x<2}B{x|2<x<3}C{x|x<3}D{x|-1<x<0}

【答案】D.【詳解】A={x[T<x<3},Q5={y|j<0},

.,.AC\（CRB）={x|-1<x<0}

2.復(fù)數(shù)Z=&國(guó)的共軻復(fù)數(shù)為（）

1+z

A.-1—iB.-1—2zC.-1+zD.-1+2，

【答案】C.【詳解】Z=L￡=（-27）（j）=T7,共輾復(fù)數(shù)為T+Z

1+z2

3.設(shè)條件夕：cost/=亨，條件q:sina=g,則夕是1的（）

A.充分不要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A.【詳解】當(dāng)tze（0,->1Vcosa=:.a=—sincr=—,

<2J262

—r—.1zg兀~~p.5"p.y/3

而sina=一得&=一或——，coscr=——或----，

26622

所以〃是夕的充分不必要條件

4.甲，乙兩名同學(xué)要從A、B、C、D四個(gè)科目中每人選取三科進(jìn)行學(xué)習(xí)，則兩

人選取的科目不完全相同的概率為

3353

A.—B.-C.-D.一

16884

【答案】D.【詳解】?jī)扇诉x取科目的不同方法共有4X4=16種，科目完全相同

43

的方法共有4X1=4種，.?.科目不完全相同方法共有12種，P=l--=-.

164

5.設(shè)雙曲線=-==1（°、b均為正值）的漸近線的傾斜角為a,且該雙曲線與

ab

橢圓巨+或=1的離心率之積為1,且有相同的焦距，則sina=

43

713213

【答案】C.【詳解】由題意易得，在雙曲線中c=l,即/+〃=1,又由兩曲線的

離心率之積為1得￡=2,~=1+<=4,-=3,-=V3

aaaaaa

tana=V3，又0<a<工，sina=-

22

6.在A45c中，BC=6,,AB=4,/CBA」,設(shè)點(diǎn)。為ZC的中點(diǎn)，E在SC上,

2

且就?訪=0,則就.通=（）

A.16B.12C.8D.-4

【答案】A.【詳解】建立如圖坐標(biāo)系，則2（4,0）,5（0,0）,

《0,6）,。（2,3）設(shè)E（0,b）,

,8

---------?---------?u——

由題意可知”￡，瓦），所以即（_4,力（2,3）=0.所以3.

所以《0，|]，，/E=[-4,|].所以就?前=16.故選A.

7.已知圓錐SQ的母線側(cè)面積為1市，若正四面體能在圓錐￡口內(nèi)

任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體4-的最大棱長(zhǎng)為（）

A.1B.yf6C.2D.

2

【答案】B

【詳解】如圖，在圓錐中，設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為？，底面圓

半徑為,，

因?yàn)閭?cè)面積為15x,所以n?=15x,即”=15.

因?yàn)樗詒?3,所以身>■每萬(wàn)-4.

棱長(zhǎng)為4的正四面體4-4QA如圖所示,

則正方體的棱長(zhǎng)為,口，體對(duì)角線長(zhǎng)為半口，所以棱長(zhǎng)為“的正四面體A-4GA

的外接球半徑為立°.

4

取軸截面&15,設(shè)ASA8內(nèi)切圓的半徑為r,

I13

則了.八6=](6+$+/，解得r=；

3

即圓錐SD的內(nèi)切球半徑為

因?yàn)檎拿骟wA-4QA能在圓錐5。內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以

生斗即“小,

所以正四面體的最大棱長(zhǎng)為.而.

8.設(shè)數(shù)列｛與｝的前“項(xiàng)之積為小滿足%+2(=1(〃eN*),則出網(wǎng)=()

40484047W￡Ln1011

'4049'4049'W13-1012

【答案】B

【詳解】因?yàn)?+27；=1("€4)，

所以%+2方=1,即％+2%=1,所以%=；,

所以白+2<=l("?2,〃eN*),顯然

1n-\

所以：；=2("""eN*),

所以數(shù)歹！J｛j｝是首項(xiàng)為J=；=3,公差為2的等差數(shù)列，

1

n11"1

所以<=3+2("-1)=2〃+1,

]

1由bln%0242x2024+14047

即4=所以的=￡=-i—=砌?

2^+1

2x2023+1

故選：B.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，函數(shù)了卜卜4加(機(jī)+3(4>0.0>0./區(qū)目的圖象與x軸的其中兩個(gè)交

點(diǎn)為Z,瓦與了軸交于點(diǎn)C,。為線段8C的中點(diǎn)，Ql?2,3?率，

則()

A.的圖象不關(guān)于直線,對(duì)稱

B./(x)的最小正周期為121t

C./(-x+2)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D./(r)在［5,7］單調(diào)遞減

【答案】ACD

【詳解】由題可川2.0),中哈0)，C(0.Xw)>則%?熱絆即

有J5WM-2?馬，an(20?y)-0,

皿訴I*4sin328

vAD=—^—

3T，

把依咿卜春(2用代入上式，得d-2吟-24=0,解得3=6(負(fù)值舍去),

an^j+Fj-0>由同4：，解得夕=-：，4卜s?U卜8,

6

解得”號(hào),?.〃￡)■白年聞,

了(8”號(hào)也修*8-.0,故A正確；

對(duì)A,

2MI?

對(duì)B：門丫］的最小正周期為三，故B錯(cuò)誤;

6

16

對(duì)C：/(-r+2)-yan^(-x+2)-^--sm(沖/(-x+2)為奇函數(shù)，故C正

J0s3

確；

對(duì)D：當(dāng)54x47時(shí)，弄#：宅，:/卜)在［5.7)單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，故D

正確.

故選：ACD.

10.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且UeR,W/(-3+r)+A-l-x)?0,

，/(］)■-；,當(dāng)XG【-L0］時(shí)，/(TAOX1+?x,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)八R的圖象關(guān)于點(diǎn)(-20)對(duì)稱

B./(1)-2

C..A2023)+/(2024)+/(2025)-2

D.函數(shù)與函數(shù)了TE|K||的圖象有8個(gè)不同的公共點(diǎn)

【答案】ABD

【詳解】由.〃-3+幻+以-1-力=。得函數(shù)八#關(guān)于(-2.0)對(duì)稱,A正確;

由丁■+得函數(shù)外力關(guān)于F-1對(duì)稱，

所以/(y+x)+/(r)=0,/(-2+x)-/(-x),

所以即?o,

所以/(x)??/(m2)-/(x+4),故函數(shù)〃勸的周期為4,

由/(-5)=-2知/(-I-2,/(%《務(wù)

fdT-b—-2/4?

又T-LO]時(shí)，於)=〃+h，所以卜I3-解得、二，

1424

所以"[-1刈時(shí)，川j=_/+x,

所以=B正確;

/(2023)+/(2024)+/(2025)-/(-1)+/(0)+/(1)-0,C錯(cuò)誤；

畫(huà)出函數(shù)和函數(shù)了-工廠：I的圖象，如圖：

|ln|-7||-ln7<2-；|-7),觀察圖象可得函數(shù)網(wǎng)D與函數(shù)了二‘：.11的圖像有8個(gè)不

同的公共點(diǎn)，D正確.

故選：ABD.

11、外接圓半徑為后的AABC滿足

2sinZ+3cos5cosc=4,則下列選項(xiàng)正確的是

A.B=CB.

12

C.A48C的面積是空D.兒48c的周長(zhǎng)是生2

255

【答案】AC

3

【詳解】v4=2sinA+3cosBcotC*2smZ+5kos(5+0)+8式5-(7)]

即8=4an3cos4+3cos(B-C)=5sm(H-協(xié)+3co$(B-C)M8

..B-C=0,

2

co*6=上血8=2..tanG=3,&€(0?~)

5542

.E-4.4

tan4=tan(一+切=—一，..snZ=—,

235

55

OD=y/OB3-BD2=—>AD=0A-0D=^-,AB=>lAD2+BD2=^-

555

?.SAJUC.-AD=—,

225

Lg=BC+24B=8員4加

故選AC

第n卷（非選擇題）

三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.化簡(jiǎn)3C；+6C；+12C；+---+3x2"/C：=.

【答案】|（3?-1）

【詳解】3C：+6C；+12C>.--+3x2?-1C：=|（2C>22C^+23C>???+2）,C：）

=|[（i+2）y]=|（3"-1）

13.在AA5C中，內(nèi)角4民C所對(duì)的邊分別是a/,c,已知~=—,那么

b+c-arsinB

A=，設(shè)邊8C的中點(diǎn)為。，若“=g,且A48c的面積為苧，則/。的

長(zhǎng)是.

【答案】工（或60。），半

32

【詳解】（1）在A45c中，由正弦定理得，*=：，

sinSb

因?yàn)镸￡小喝，所以.2E2=。，

b+c—cisiii5b+c—Qb

化簡(jiǎn)得，b2+c2-a2=be9

在“BC中，由余弦定理得，cos/J+c、JL

2bc2

又因?yàn)?<N<兀，所以/J

由=；6csin/=曰,得be=3,

^a2=b2+c2-2bccosA,^7=b2+c2-3,所以Z?+c2=io.

又因?yàn)檫?c的中點(diǎn)為。，所以質(zhì)=，刀+就）,

所以|Z5|=；不謙+宿2=^-4)2+c2+2bccosA-U。+2也——*

2,、

14.已知橢圓r萬(wàn)+/=10為原點(diǎn)，過(guò)第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)夕國(guó),九）作橢圓的兩

條切線，切點(diǎn)分別為4B.記直線昆尸4PB的斜率分別為匕他人也，若

勺尢=?貝"5x0—3%,+小勺的最小值是——

【答案】5

【詳解】由于憶右=；＞0,故48不關(guān)于x軸對(duì)稱且48的橫縱坐標(biāo)不為0,

所以直線方程斜率一定存在，

設(shè)直線28的方程為了=依+才，聯(lián)立三+/=1得，

（1+242）/+4左比+2〃一2=0,

設(shè)/（%,必）]（工2，%）,貝＞]%+%=~4k^,x,x=^f＞

1+2421+2左

22

故%%=（丘+10（62+^）=kxxx2+〃（X]+x2]+t

,2t2-2,-Akt2-2k2+t2

=k2-----+kt-----+1=------7—,

1+2-1+2-1+2嚴(yán)

其中左=21,右=區(qū)，

再X2

故等=g,即4Kp2=占％，

所以一址；"=若3,解得r=4/7,

1+2F1+2公

又橢圓在點(diǎn)/（小必）的切線方程為券+y/=l,

同理可得，橢圓在點(diǎn)8（x2,%）的切線方程為券+%了=1,

由于點(diǎn)尸伍,%）為當(dāng)+yj=l與號(hào)+”=1的交點(diǎn)，

故等+凹為=1，守+%%=1，

所以直線為卒x+JV=l,

因?yàn)橹本€的方程為夕=息+，，對(duì)照系數(shù)可得

左=一產(chǎn),，」，

2%y0

又r=4/-1,故=4,件］-1,整理得x：-N：=l,

VoJI2y0J

又尸伉,外）在第一象限,

故點(diǎn)尸由，％）的軌跡為雙曲線--r=1位于第一象限的部分,

b2x_X1

k3=~{（同理可得

/必2%

自=一

2%2kJ

1(1、

則k3k4=-=1

2人、2k2>4桃2

又由于焉一訴=1,%>0,y0>0,故%>%,,

設(shè)5%-3%=〃,則〃>0,

2

則兩式聯(lián)立得-16y；+6hy0+h-25=0,

由A=36/J+64伊-25”0得，h>4,

檢驗(yàn)，當(dāng)〃=4時(shí)，5x0-3j0=4,又x；-y；=1,

5

x?=4

解得3,滿足要求?故雙一3%的最小值為4故5%_3%+質(zhì)《的最小值是5

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟.

15.(本小題滿分13分)

目前，某校采用“翻轉(zhuǎn)課堂”的教學(xué)模式，及學(xué)生先自學(xué)，然后老師再講學(xué)

生不會(huì)的內(nèi)容。某一教育部門為調(diào)查在此模式下學(xué)生的物理成績(jī)與學(xué)習(xí)物理的學(xué)

習(xí)時(shí)間的相關(guān)關(guān)系，針對(duì)本校49名考生進(jìn)行了解，其中每周學(xué)習(xí)物理的時(shí)間不

少于12小時(shí)的有21位學(xué)生，余下的人中，在物理考試中平均成績(jī)不足120分的

學(xué)生占總?cè)藬?shù)的°,統(tǒng)計(jì)后得到以下表格：

7

大于等于120分不足120分合計(jì)

學(xué)時(shí)不少于12小時(shí)821

學(xué)時(shí)不足12小時(shí)

合計(jì)49

(I)請(qǐng)完成上面的2X2列聯(lián)表，能否有97.5%的把握認(rèn)為“物理成績(jī)與自

主物理的學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”？

(II)若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，

求這些人中周自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于12小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.

附：…"(ad—bcY

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2Nk。）0.1000.0500.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

15.解：(I)完成后的2x2列聯(lián)表如下

大于等于120分不足120分合計(jì)

學(xué)時(shí)不少于12小時(shí)13821

學(xué)時(shí)不足12小時(shí)82028

合計(jì)212849

,3分

竺小

K2=49x(13x20-8x8)2=444>5.024--------------------------------5分

21x28x21x289

???能有97.5%的把握認(rèn)為“成績(jī)與自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；------------6分

(II)由(I)中的2x2列聯(lián)表知大于等于120分且周自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于12小

時(shí)的頻率是--------------------------------------------------7分

21

設(shè)從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，這些人中周自主學(xué)習(xí)時(shí)

間不少于12小時(shí)的人數(shù)為隨機(jī)變量Y,

13

依題意Y?B(20,5),-------------------10分

.?.E(Y尸20x3理，

2121

?、八“13—13、2080

D(Y)=20x—x(l--)=------.——13分

2121441

16.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB〃CD,

ZBAD=90°,DA=DC=2AB=2.

(I)點(diǎn)E在側(cè)棱PB上，且PD〃平面EAC,確定E在側(cè)

棱PB上的位置；

(II)若平面PAD，平面ABCD,且PA=PD=2后，求二

面角A—PD—B的余弦值.

16.解：(I)連接BD,設(shè)BDAAC=F,連接EF,

則平面PDBn平面EAC=EF,

：PD〃平面EAC,/.PD/7EF,,3分

?底面ABCD是直角梯形，AB//CD,且DC=2AB,

.,.DF=2BF,

，PE=2BE,

???E為側(cè)棱PB上靠近B處的三等分點(diǎn)；------------------------6分

(II),平面PAD，平面ABCD,且PA=PD=2夜，

.*.POLAD,.?.PO,平面ABCD,(O為AD中點(diǎn))

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

則依題意有A(L0,0),

B(L1,0),D(-l,0,0),---------------8分

PO7PA2—ACP=近,.,.p(o,o,S),

：.DP=(1,0,V7),

DA=(2,0,0),

麗=(2,1,0),-------------------------------------------------------------------------9分

設(shè)％=（七，％,均）是平面APD的一個(gè)法向量，則R,竺=°=卜+6產(chǎn)°,

nl-DA=0[2xx=0

取必=1得用=（0,1,0）（指向二面角內(nèi)）-------------------------------11分

設(shè)元2=（0，%，Z2）是平面BPD的一個(gè)法向量，

則〃「竺=°=卜2+62=0,取Z2=b得萬(wàn)2=（-7,14,S）（指向二面角外）

而1?DB—02X2+y2=0

---------------------------------------------------------------------13分

.*.COS<Mj,亢。>=|亢1“亢2?,----------------------------------------------------14分

歷同3

二面角A】一BD—孰的大小的余弦值為冥.------------------15分

3

17.（本小題滿分15分）

已知函數(shù)/（x）=aco8x-/u（aeR）的圖象在x=0處的切線過(guò)點(diǎn)（-1,2）.

⑴求人工）在［0,開(kāi)］上的最小值;

⑵判斷口X）在（-言川I內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

17.解法一:⑴f（x）=-o$jnx-e**1,/（0）=-e,------------------------2分

又/（O）=a—e,所以切線方程為y=一.?+口，-----------------------3分

又切線過(guò)點(diǎn)（-1,2）,

得2=e-e+a斯以a=2------------------------------------------4分

所以/（力=2cosx-e***,/（x）=-2sinx-erU,

當(dāng)xw［C，,用時(shí),/ix）<0,所以/（丫）在［0,用上單調(diào)減-------------------6分

所以了（力的最小值為了（力=-2-1"-------------------------------7分

⑵判斷/（力在零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于判斷方程28she7根的個(gè)數(shù)，

等價(jià)于判斷方程?苧=1根的個(gè)數(shù)--------------------------------8分

令也)=三祟內(nèi):等，。)

g(x)="s'；二］2cosx，令J⑸=0,則Cn(x+?)=0,得

4

當(dāng)xW（--鼠L彳）時(shí)，g（X）>O.g（k）在（一^^.一彳）單調(diào)遞增；

當(dāng)x時(shí),g（x）<0,8（不）在（一*,0）單調(diào)遞減------------------12分

(或g㈢=技廠>圾停.1+1卜3

】4鏟)

所以X01寸，方程g(x)=1有2根,

所以/(X)在［-H,0|有2個(gè)零點(diǎn)---------------------------------15分

解法二:(1)/(x)=-asinx-e'*/(0)=-e---------------------------2分

所以切線方程為了=-ex-e+2,------------------------------------3分

因此切點(diǎn)為(Q2-e),

得2-e=a-e，所以a=2,-----------------------------------------4分

所以/(x)=2cosx-e**1,/(x)=-2sinx-er4,

當(dāng)xw［0,用時(shí)J(x)<0,所以/(力在［0,用上單調(diào)遞減------------------6分

所以/(X)的最小值為了(加=-2---------------------------------7分

⑵由⑴得/⑸=2cosx-er*1,/,(x)=-25inx-erU,---------------------8分

令方(》)=-2向丁-/",則方'(>)=-28"-「"在(-,,0)上為減函數(shù),----9分

斗勢(shì)］-尸>0.1升?乩0,

所以在卜弓上々'(X)必有一個(gè)零點(diǎn)Xo,使得A'(4)=0-----------10分

<2”)

從而當(dāng)xe--.勺時(shí)/5)>0,當(dāng)xw(%,0)時(shí)/(x)<0,

\3/

所以玩G在(一與,％)上單調(diào)遞增，在(今,0)上單調(diào)遞減.

又h-,)=?-)號(hào)>08-g)=2-e」>0例0)=-e<0,

所以在卜?0)上嶺)必有一個(gè)零點(diǎn)G，使得------------------------12分

當(dāng)xe卜,,xj時(shí),水力>0,即/(x)>0,止匕時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(jq⑼時(shí)/(x)<0,即/(x)<0,此時(shí)/(X)單調(diào)遞減---------------13分

又因?yàn)?/p>

所以次在信.用上有一個(gè)零點(diǎn)，在(?。)上有一個(gè)零點(diǎn)——14分

綜上,/(?在(-g.o)有且只有2個(gè)零點(diǎn)----------------------------15分

18.(本小題滿分17分)

已知點(diǎn)2(-2,0)、8(2,0)，且直線A?和直線4P相交于點(diǎn)尸，且直線AP和

直線4P的斜率之積為-L

2

(I)求點(diǎn)尸的軌跡所對(duì)應(yīng)的曲線廠的方程；

(II)直線/:了=辰+1與曲線/相交于。,￡兩點(diǎn)，若。(0,2)是否存在實(shí)數(shù)上，使得

ADE0的面積為g?若存在，請(qǐng)求出發(fā)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

18.解：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)/的坐標(biāo)是(-2,0),

所以直線ZP的斜率

kAp=上;(xw-