武漢市江岸區(qū)2024年九年級上冊數(shù)學期中試題與參考答案

武漢市江岸區(qū)2024年九年級上冊《數(shù)學》期中試題與參考答案

一、選擇題

本大題共10小題，每小題3分，共30分。

1.一元二次方程-3x+5X2=6化為一般形式加+foe+c=00）后,a,b,c的值可以是（)

A.。=-5b=-3c=6B.Q=-3,b=5,c=—6

C,a=—3b=5c=6D.Q=5b=-3c=—6

答案：D

答案解析:一元二次方程-3x+5/=6的一般形式為：5X2-3X-6=0,

故a=5,b=—3,c=—6

故選：D.

2.下列食品標識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

B勘綠色食品

A.綠色飲品

有機食.

cD-速凍食品

答案：D

答案解析：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

c、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

故選：D.

3.一元二次方程7——4x+6=0的根的情況為()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根

答案：C

答案解析：根據(jù)根的判別式可知，△=(-4)2-4x7x6=-152<0,

故方程無實根，

故選：C.

4.如圖，A、D是eO上的兩點，8C是直徑，AD1BC,若/。=32。，則的度數(shù)為

()

A.116°B,128°

C.122°D,126°

答案：A

答案解析：???/O18C,是直徑,

ac=?c,

2

ZC4D=ZD=32°,

ZCAD+ZD+ZACD=18Q°,

：,ZACD=U6°,

故選：A.

5.設Q,b是方程f+x—2023=0的兩個實數(shù)根，貝山-仍+a的值為()

A.1B.-1

C.2022D.2023

答案：c

答案解析：:。，b是方程V+x—2023=0的兩個不相等的實數(shù)根，

a+b=-\,ab--2023,

,-.b-ab+a=-1-(-2023)=-1+2023=2022,

故選：C.

6.如圖所示，。/、OB、0c都是eO的半徑(點B在劣弧NC上，不包括端點A、C),則下

列關系一定成立的是()

A.NAOB=2NBOCB,NAOB=2NACB

C.NAOB=2NCABD,ZAOB=2ZOCA

答案：B

答案解析：根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知,

3

/AOB為弧NB所對的圓心角,

弧所對的圓周角為N/C6,

故NAOB=2NACB,

故選：B.

7.若點2（-3,%）,8（—2,8）,。（3,為）在二次函數(shù)>=（x+l『+5的圖象上，則乂，%，為大

小關系是（）

A.%<歹2<%B.必<為<歹2

C.%<%<%D.%<必<為

答案：C

答案解析：；點么（-3，乂），川-2,%）,。（3,乃）在反比例函數(shù)>=（x+l『+5的圖象上，

=9,%=6,%=21,

>2<%<>3.

故選：C.

8.如圖，Rta/C8中，ZC=90°,AC=7,2c=5,點P從點8出發(fā)向終點。以1個單位長

度人移動，點。從點。出發(fā)向終點A以2個單位長度/s移動，尸、。兩點同時出發(fā)，一點先

到達終點時尸、。兩點同時停止，則（）秒后，△尸C。的面積等于4.

A.1B.2

C.4D.1或4

答案：A

答案解析：設t秒后，△尸0。的面積等于4,

由題意得：BP=t,CQ=2t,則CP=5T,

??"△PCQ=；CQ.CP,

4=1x2rx（5-r）,

整理得：t2-5t+4=0,

解得：4=1,右=4（不合題意，舍去），

即1秒后，△尸0。的面積等于4,故選：A.

9.已知eO的半徑3=2,弦NC的長分別是2g、2近，則,80。的度數(shù)為（）

A.30°B,120°

C.30?；?50。D,30?；?20。

答案：C

答案解析：當弦/8、NC在半徑。”的同側時，如圖，

5

過O作。3于D,貝1」么。=（28=百，ZAOB=2NAOD,

■：sin/AOD=m=也

OA2

ZAOD=60°,

/.ZAOB=2NAOD=120°；

-JOA2+OC2=8=AC2,

^AOC=90°,

,.ZBOC=ZAOB-ZAOC=30°-

當弦45、NC在半徑。4的異側時，如圖,

同理可求得4408=120。，^AOC=90°,

貝IJNBOC=360°-乙403-N/OC=150°,

即/5OC的度數(shù)為30?；?50。；

故選：C.

10.已知拋物線v=/+bx+c（C為常數(shù)）經過點（P，加）、（％m）、-,c),當l<q一P<8時,

則加的取值范圍為（）

6

Ac-4<m<c+12B。---<m<c+12

4

C.c<m<c+12D.c—3^m<c+24

答案：B

答案解析：當》=4時，y=16+4b+c=c;

:.b=-4,

?.?拋物線的對稱軸為直線》=-g=2,

??.拋物線解析式為了=必-4》+。，

?.,拋物線歹=K+6X+C（。為常數(shù)）經過點（P，加）、（見加），

二皇=2,即2+q=4,

P=4-g,

q_p=q_（4_q）=2q-4,

又l4q-p<8,

1V2q-4<8,

1、,

.■.-<（^-2）<16,

2

m=q-4q+c=（g-2j+c-45

■c--<m<c+12

4'

故選：B

7

二、填空題

本大題共6小題，每小題3分，共18分。

11.在平面直角坐標系中，點(-3,5)關于x軸對稱的點的坐標為.

答案：(3,-5)

答案解析：在平面直角坐標系中，點(-3.5)關于x軸對稱的點的坐標為(-3,-5),

故答案為:(-3,-5).

12.把拋物線J―—向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為

答案：J=-(X+1)2+3

答案解析：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=f2向左平移1個單位所得拋物線的解析

式為：y=-(x+i)2.

由“上加下減”的原則可知，將拋物線＞=-(x+丁向上平移3個單位所得拋物線的解析式為:

J=-(X+1)2+3.

故答案為：j=-(x+l)2+3.

13.某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個.設該廠八、九月份平均

每月的增長率為X,那么方程是____.

答案：50+50(1+x)+50(l+x)2=196

答案解析：因為設該廠八、九月份平均每月的增長率為x,七月份生產零件50萬個，所以八

月份生產零件50(1+x)萬個，九月份生產零件50(1+x)2萬個，所以根據(jù)第三季度生產零

件196萬個可列方程為：50+50(1+x)+50(1+x)2=196.

8

14.如圖，在Rd/BC中，ZACB=90°,44=60。，AC=1,將V/BC繞點。按逆時針方向旋

轉得到V4班'，此時點4恰好在N8邊上，連結8",則V4班'的周長為.

答案：3+V3

答案解析：?..4CB=9O°,乙4=60。，

AABC=30°,

,/AC=1,

,",AB=2AC=2J

BC=yjAB2-AC2=V3,

V將VABC繞點C按逆時針方向旋轉得到VABB，,

此時點4恰好在48邊上，

.-,AC=A'C=1,BC=B'C=AB=A'B'=2,ZACA'=ZBCB',

?■?乙4=60°J

???V/CH為等邊三角形，

ZACA'=ZBCB'=60°,AA'^AC=1,VBCB為等邊三角形,

BB'=BC=y/3,A'B=1,

二V4班'的周長為+59+45=2+百+1=3+百.

故答案為：3+V3

9

15.已知拋物線>=G2+6X+C（?,b,C為常數(shù),?>0）經過2（-3,2）、5（9,2）兩點，下列

四個結論：

①一元二次方程。必+為+。一2=0的根為為=-3,X2=9；

②若點C（5，M）、。（百，%）在該拋物線上，則必<外；

③對于任意實數(shù)乙總有。產-9a236-4；

④對于。的每一個確定值（。〉°）,若一元二次方程a/+6x+c=。（"為常數(shù)）有根，則

p>2-36a.

其中正確的結論是________（填寫序號）

答案：①③④

答案解析：根據(jù)函數(shù)的解析式結合函數(shù)圖象逐個分析，并判斷每個選項的正誤即可.

【分析】解：?二/（-3,2）、5（9,2）兩點縱坐標相等，

故當了=2時，x=—3或9此時函數(shù)）+法+。變?yōu)檗k2+bx+c—2=0,

故一元二次方程a/+bx+c-2=0的根為為=-3,彳2=9成立，故①正確；

由于2（-3,2）、5（9,2）兩點縱坐標相等，

.■.A,B兩點關于函數(shù)的對稱軸對稱，

二函數(shù)的對稱軸為：》=3,

■：a>0,

???函數(shù)的開口向上，故越靠近對稱軸，函數(shù)的值越小，

C點離對稱軸的距離為5-3=2,D點離對稱軸距離為3-g,

2>3-V3,

10

?..%>%,故②錯誤；

將a/一9a236—4變?yōu)椋?/p>

,「函數(shù)的對稱軸為x=3,

故當x=3時函數(shù)取最小值，

將x=3代入函數(shù)解析式中得：y=9a+3b+ct

故函數(shù)最小值為：9a+3b+c,

故ax2+bx+c>9a+3b+c,

對于任意的實數(shù)t都有：429。+36變形得q2一9。236-4,

故③正確；

b

'：---二5

2a5

貝|Jb=-6a,

將/(-3,2)、5(9,2)兩點代入y="2+bx+c中

/日19。-36+。=2①

得:18kz+9b+c=2②，

①x3+②得，c=2-27a,

^^2_

若一元二次方程加+bx+c=p則：p>",

4〃

將c=2-27a,6=-6。代入，化簡得夕22-36a,故④正確，

故答案為：①③④.

16.如圖，已知V/BC是eO的內接三角形，eO的半徑為2,將劣弧劣C沿NC折疊后剛好經

過弦8。的中點。.若N/CS=60。，則弦NC的長為.

11

b

B

6421

答案:

7

答案解析設折疊后的劣C所在圓的圓心為O,連接O'，，O'D,OA,OB,過點。作OEL/B

于點E,如圖所示：

ZACB=60°,

,■■乙ADD=2ZAB=120°JNAOB=2ZACB=120°J

-NAOE=/BOE=LNAOB=60。

''2'

：.N￡=/Oxsin60°=2x]=G,

AB=2y/3,

又.??eO與eO為等圓，

12

OA=O'A,OB=OD,ZAOB=ZAOD,

.■.MAOB^/AO'D,

AB=AD=2V3,

過A作/于〃,

設BH=HD=x,則CD=2尤，CH=3x,

ZACB=60°,

二在RtV/CH中，AH=CHxtan60°=3xx73=373%,

…CH3x/

AC=---------=—=6x

cos6001

2

-/AH2+BH2=AB2,

：.x2+

解得：x=~~

三、解答題

17.解方程：2X2+5X+3=0.

13

答案：西=-1,x2=--

答案解析：2X2+5X+3=0

a=2,b=5,c=3,

13

A=52—4x2x3=l>0,

-5±V1-5±1

..x——,

2x24

18.要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩隊之間都賽一場)，計劃安排21場比賽,

問應邀請多少個球隊參加比賽？

答案：應邀請7個球隊參加比賽.

答案解析：設邀請x個球隊參加比賽，

依題意得1+2+3+…+x-1=21,

x(x-l)

即

.,.x2-x-42=0,

.,.x=7或x=-6(不合題意,舍去).

答：應邀請7個球隊參加比賽.

方程是解決問題的關鍵.此題還要判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.

19.已知函數(shù)丁=一/+2%+4.

(1)該函數(shù)的對稱軸為,頂點為；

(2)當x時，了隨x增大而減?。?/p>

(3)當0<x<3時，函數(shù)值了的取值范圍是_______.

答案：⑴x=l,。，5)(2)>1

⑶l〈y￡5

14

【小問1詳解】

解：y--x2+2%+4

={-1『+5,

二該函數(shù)的對稱軸為直線x=l,頂點為。，5)；故答案為：x=l,(1,5)

【小問2詳解】

解：

二拋物線開口向下，

.?.當X21時，了隨x增大而減小；故答案為：>1

【小問3詳解】

解：..?拋物線開口向下，頂點為。，5),

二當x=l時，函數(shù)有最大值，最大值為5,

當x=0時，>=4,

當％=3時，,=-9+6+4=1,

二當0<x<3時，函數(shù)值y的取值范圍是1<>￡5.故答案為：l<y￡5

20.如圖，是eO的直徑，NC是弦，冶D=B,DE上4B于點E,連接。。.

cK\

f,t,/I

\\/I

J

"一

15

(1)求證：AC//DO-

(2)若CD=&,DE=6求4E的長.

答案：(1)見解析(2)5

【小問1詳解】

連接如圖，

A

A/I1

\/JO

\i//1

\\//II

\1:/I/

pJ/

R

-：^D=3D,

-ZDAB=ADAC=-ACAB

-2

又NDAB=L/DOB

乂2'

,■,NCAB=NDOBJ

AC//DO,

【小問2詳解】

連接。*

■/GD=3D,CD=4h,

：.CD=BD=46,

16

又DE=亞，DE±AB,

：.在Rt\/DBE中，DB2=DE2+EB2,

：.E0,

設OE=x5貝ijOB=OD=AO=x+1

Rt/\DOE中，DE2+OE2=OD2,(A/5)2+x2=(x+1)2

,,,x=2=OE,/O=x+1=3,

AE=AO+OE=3+2=5

21.如圖網(wǎng)格是由邊長為1個單位長度的小正方形組成，每個小正方形的頂點叫做格點，點A、

8、C、。都是格點，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，作圖過程用虛線表示，作圖結果用

實線表示，點A對應點E,點8對應點尸.

Xi二一(X.i二?(

aft

(1)在圖1中，將線段向右平移3個單位長度，畫出平移后的線段皮"再將線段8。繞點

廠順時針旋轉90°,畫出對應線段

(2)在圖2中，先作點A關于點。對稱的點Q,再過點。作直線分別交/8、NC于點亂、

N,使得MO=NO.

答案：(1)見解析；(2)見解析.

【小問1詳解】

如圖，根據(jù)平移和旋轉的性質，找到對應點，然后連接即可;

17

H'

EF,4C’即為所求；

【小問2詳解】

如圖，根據(jù)網(wǎng)格作圖特點,

?.?。為幺。中點，AC//MQ1

OA=OQZOAN=ZOQM

ZAON=ZQOM,

yJAON^MQOM,

：.MO=NO

二點M,N,Q即為所求.

22.某商家在購進一款產品時，由于運輸成本及產品成本的提高，該產品第x天的成本y（元/

件）與X（天）之間的關系如圖所示，并連續(xù)50天均以80元/件的價格出售，第X天該產品的

銷售量z（件）與x（天）滿足關系式z=x+10.

18

(1)第5天，該商家獲得的利潤是元；第40天，該商家獲得的利潤是_______元;

(2)設第x天該商家出售該產品的利潤為N元.

①求?與x之間的函數(shù)關系式，并指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？

②在出售該產品的過程中，當天利潤不低于1125元的共有天？(直接填寫結果)

答案：(1)450,1000

80z-50z0<x<30

⑵①『80z-(x+20)z30K50,第30天利潤最大，最大利潤120。元；8

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得：第5天，該商家獲得的利潤是(80-50)x(5+10)=450元；

設3c的解析式為3=心+可左二0),

把5(30,50),0(50,70)代入得：

30左+6=50k=1

'50k+b=101解得：［=20，

y=x+20,

當x=40時，y=60,

即第40天時該產品的成本是60元/件，

利潤為：(80-60)(40+10)=1000元；

故答案為：450;1000

19

【小問2詳解】

80z-50z0<x<30

解：①根據(jù)題意得：W=jg0z-(x+20)z30<x<50

f30x+3000<x<30

化簡得w-1_/+50》+60030<x450

當0<%V30時，w=3Ox+300,

■「左=30>0,

???w隨X增大而增大，

當Ix=3H0j時,mwax=30x30+300=1200,

當30<xW50時，W=-X2+50X+600,

；a=T<°開口向下，

二對稱軸》=_可刁=25,

30<x〈50時，?隨x增大而減小，

又x為整數(shù)，

2

二x=31時，wmax=-31+50x31+600=1189,

1189<1200,

二=1200,此時X=30,

即第30天利潤最大,最大利潤1200元，

f30x+3000<x<30

②w-[_/+50》+60030<x<50

當0<x<30時,

20

w=30x+300>1125

30x>825

x>27.5

又0<x<30且x為整數(shù)

」.28WxW30,x=28或29或30

當30<x450時，—X2+50X+60021125

x2-50x+525<0

令/一50%+525=0

(x-15)(x-35)=0

.,.X1—15,%2=35

15<x<35

又30050

.?.30<xW35且x為整數(shù)，

.??x=31或32或33或34或35

綜上所述，第28,29,30,31,32,33,34,35天共計8天利潤不低于1125元，

故答案為：8

23.(1)【問題背景】如圖1,在V/BC中，AB=AC,ZBAC=2a,D,E為BC邊上的點,

^ZDAE=a,A4GE繞點A順時針旋轉2a得到△/斯，連接DF,直接寫出。尸與。E的數(shù)

量關系：；

(2)【類比探究】如圖2,在V/BC中，ZCAB=60°,4B=AC,D、E均為BC邊上的點，

21

3

且ND4E=30。，BD=2,EC=~,求。E的長;

(3)【拓展應用】如圖3,E是正方形SCO內一點，N4EB=90。,尸是8C邊上一點，且

NEDF=45。，若/3=2,請直接寫出當取最小值時.

八7?

答案：(1)DF=DE-(2)―；(3)-

2J

【解析】

答案解析：(1)■:NBAC=2a,NDAE=a,

/BAD+NCAE=ABAC-Z.DAE-2a-a=a,

由旋轉得，AF=4E,ZBAF=ZCAE,

ZBAF+ABAD=a,即NDAF=a,

ZDAF=ZDAE,

在V4DE和AlDF中，

'AE=AF

<ADAE=NDAF

AD=AD

.?.YADE/YADF(SAS),

:.DE=DF-

(2)ZCAS=60°,AB=AC

22

.??VZ5C是等邊三角形，

,■/CAB=/B=ZACB=60°JAB=AC=BCJ

將△羽。繞點A逆時針旋轉60。得到△/GF,連接物"如圖2,則/尸=/。，F(xiàn)C=BD=2,

圖2

DACF=BB=60°5?ZCAF=ZBAD

ZCAB=60°ZDAE=30°

/CAE+/BAD=30：

ZEAF=/CAE+ZCAF=ZCAE+ZBAD=30°=/DAE.

AE=AE,

(SAS),

：.EF=DE,

過點尸作尸G，5C,交5C的延長線于點G,

ZECF=ZACE+ZACF=600+60°=120°

ZFCG=60°,

ZCFG=30°,

-CG=-FC=-x2=l

'’22，

35

-EG=EC+CG=-+1=-

一221

23

FG=y/FC2-CG2=V22-l2=V3,

DE=EF=^EG2+FG2=J'1+(V3)2=浮;

(3)將V。/繞點。順時針旋轉90。，得到△NOG,取48的中點。，連接OO,OE,OF,

貝］_|。幺=05=：/5=1.如圖3,

DE>OD-OE,

二。后取最小值時，點E在OD上，如圖4所示:

由旋轉的性質得。尸=DG,ZCDF=ZADG,

.".ZEDF=45°5

ZCDF+ZADE=90°-45°=45°

,,ZODG=/ADO+ZADG=/ADO+ZCDF=45°J

ZODF=ZODG,

24

在△0。尸和VOOG中,

DF=DG

<ZODF=ZODG

0D=0D

△0￡>/絲△ODG(SAS),

：.OF=OG.

設CF=x,貝1JO9=OG=CM+NG=l+x,BF=BC—CF=AB—CF=2—x,

2

在RtZXOB尸中，(2-X)2+12=(X+1)2,解得X=§,

2

二當DE取最小值時CF的長為

【分析】(1)先證明NDAF=ZDAE=a,根據(jù)SAS證明YADE必ADF可得DF=DE-

(2)先證V/BC是等邊三角形，得NCAB=NB=NACB=60。,AB=AC=BC,將繞

點A逆時針旋轉60。，得到A4CF,連接近"再證VE"0VE4D(SAS),得EF=DE,過點

F作尸GL8C,交8。的延長線于點G,然后由含30。角的直角三角形的性質得CG=1,則

EG=三,即可解決問題；

(3)將V。尸繞點D順時針旋轉90。，得到△ZDG,取的中點。，連接OCLOE、OF,

則。4=05=35=1,由DE2OD-OE,得。E取最小值時，點E在。。上，再由旋轉的性

質得小=OG,ZCDF=ZADG,然后證△。。/絲△OQG(SAS),得OF=OG,設CF的長

為X,則。尸=OG=l+x,BF=2-x,在RtVOBF中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

24.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=必+鵬-3經過點/(3,0),點。是拋物線的

頂點，連接/c.

25

(1)求拋物線的函數(shù)解析式及頂點。的坐標；

(2)設直線了=依-左(左wO)與拋物線相交于尸、。兩點(點P在點。的左側且點。在第四象

限)，當直線2。與直線NC相交所成的一個角為45。時，求點。的坐標；

(3)如圖2,作直線/尸，NG分別交了軸正、負半軸于點/、N,交拋物線于點2、G,設

點”、N的縱坐標分別為小、〃，且掰〃=-3,求證：直線PG經過一個定點.

答案：⑴J=X2-2X-3,頂點“1,-4)(2)。點坐標為(2,-3)(3)見解析

【小問1詳解】

解：■.■y=*+bx—3經過點/(3,0),

9+36-3=0,

36=-65

b=-2

5

二拋物線解析式：y=x2