北師大版九年級下冊數(shù)學定理知識點

九年級（下）數(shù)學定理知識點匯總

第一章直角三角形邊的關系

※一.正切:

NA的對邊

定義：在Rt/ABC中，銳角NA的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=

NA的鄰邊

①tanA是一個完整的符號，它表示/A的正切，記號里習慣省去角的符號“/”；

②tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中NA的對邊與鄰邊的比；

③tanA不表示"tan"乘以"A"；

④初中階段，我們只學習直角三角形中，NA是銳角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，NA越大；/A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

※二.取交

定義：在RM42C中，銳角NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即sinA=2黑辿

斜邊

※三.余弦：

NA的鄰邊

定義：在RM43c中，銳角NA的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cosA,即cosA=

斜邊

※余切:

NA的鄰邊

定義：在RMABC中，銳角NA的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記作cotA,即cotA=

的對邊

※一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個銳角的三角函

數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達：若NA為銳角，則

000

①sinA=cos?0°-ZA）；0°30°456090

j_V2V3

sinQ01

cosA=sin（900-ZA）2~2~~T

@tanA=cot（90°-ZA）；cotA=tan（90°-ZA）V3V2￡

cosa10

~iT2

※當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線

V3

tanQ01V3一

所成的銳角稱為伸用T

※當從高處觀測低處的目標時，視線與水平線所成V3

cota一V310

的銳角稱為俗月T

※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當

角度在0°?90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；余弦值、余切值隨著

角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅＃?）0WsinaWl,OWcosaWl。

※同角的三角函數(shù)間的關系：

倒數(shù)關系：tga?ctga=1?

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元

素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

◎在AABC中，NC為直角，NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,則有

⑴三邊之間的關系：a2+b2=c2；

（2）兩銳角的關系：ZA+ZB=90°；

（3）邊與角之間的關系：

a,bab

sinA,cosA=—,tanA=一，cotA=—;

ccba

.nb?a

sinB=—,cosB=—,tanBn=—b,cotB=—

ccab

(4)面積公式:SA=—ab=—chc（he為C邊上的高）;

22

（5）直角三角形的內(nèi)切圓半徑廠="+"一°

2

（6）直角三角形的外接圓半徑R=

2

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下:

X如圖2,坡面與水平面的夾角叫做鼎（或叫做城比）。用字母i表示，即，

◎從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方便巧。如圖3,OA、OB、0C的

方位角分別為45°、135°、225°。

◎指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向耳。如圖4,OA、OB、

OC、OD的方向角分別是；北偏東30°,南偏東45°（東南方向）、南偏西為60°,北偏西60°。

第二章二次函數(shù)

※二次函數(shù)的概念：形如y=ta2+bx+c（a、、"是常數(shù)，a#0）的函數(shù)，叫做x的三次國黎。自變量的

取值范圍是全體實數(shù)。丁=。/（。。0）是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù)b=c=0.

※在寫二次函數(shù)的關系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關系，列出相應的函數(shù)關系式，并確定自變革

的取值范圍。

※二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點在原點關于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做姻物線。

描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點、拋物線與x軸的交點

等方面來描述。

①函數(shù)的定義域是全體實數(shù)；

②拋物線的頂點在（0,0）,對稱軸是y軸（或稱直線x=0）。

③當a>0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當a<0時，拋物線開口向下，并且

向下方無限伸展。

④函數(shù)的增減性：

x<0時,y隨x增大而減小?*icg/xWO時,y隨%增大而增大

A、當a>0時B、與aV（_）nj<

x>0時,y隨%增大而增大%>O0t,y隨%增大而減小

⑤當IaI越大，拋物線開口越??；當IaI越小，拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值：當a>0,且x=O時函數(shù)有最小值，最小值是0；當a<0,且x=0時函數(shù)有最大值，最

大值是0.

※二次函數(shù)y=ax1+c的圖象是一條頂點在y軸上且與y軸對稱的拋物線

※二次函數(shù)y=ax2+ox+c的圖象是以》=—_L為對稱軸，頂點在（__L,把上）的拋物線。

2a2a4a

（開口方向和大小由a來決定）

※間的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；|a|

的越小，拋物線的開口程度越大，越遠離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。

※二次函數(shù)丁=。必+。的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大

小，c決定拋物線的頂點位置，即拋物線位置的高低。

※二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖象與y=ax2的圖象的關系：

丁=依2+法+。的圖象可以由丫=2*2的圖象平移得到，其步驟如下：

①將丁=依2+》x+c配方成y=a（x-/z）2+左的形式；（其中h=-■—,k=二。"）.

2a4a

②把拋物線丁=辦2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y(tǒng)=a（x-h）2的圖象；

③再把拋物線y=o（x-/z）2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個單位，便得到y(tǒng)=。（工-〃）2+左的

圖象。

※二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質：

二次函數(shù)y=ax2+fcv+c配方成y=a{x+~y+也二Y則拋物線的

2〃4a

①對稱軸：X=-—②頂點坐標：（_A,4…2）

2d2a4a

③增減性：若a〉0,則當x〈—2時，y隨x的增大而減?。划攛〉—2時，y隨x的增大而

2a.........2a?一

隼木。.

若a〈0,則當x<—2時，y隨x的增大而增大；當x〉—2時，y隨x的增大而

2a.........2a?一

誠4、0,

④最值：若a〉0,則當X=—2時，y最小="￡士；若a<0,則當X=—2時，y最大=也上

2a4Q2a4a

※畫二次函數(shù)y=a%2+bx+c的圖象：

我們可以利用它與函數(shù)y=a￡的關系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點法

--五點法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：

①先找出頂點（_2,處士），畫出對稱軸x=-2；

2a4。2a

②找出圖象上關于直線x=-2對稱的四個點（如與坐標的交點等）；

2a

③把上述五點連成光滑的曲線。

0二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得，也可以借助圖象

觀察。

Q解決最大（?。┲祮栴}的基本思路是：

①理解問題；

②分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關系；

③用數(shù)學的方式表示它們之間的關系；

④做數(shù)學求解；

⑤檢驗結果的合理性、拓展性等。

※二次函數(shù)丁=依2+區(qū)+。的圖象（拋物線）與*軸的兩個交點的橫坐標XI,X2是對應一元二次方

程ax?+bx+c=Q的兩個實數(shù)根

※拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

b2-4ac>0<===>拋物線與x軸有2個交點；

/—4團=0<===>拋物線與x軸有1個交點；

b2-4ac<0<===>拋物線與x軸有0個交點（無交點）；

※當"-4ac>0時，設拋物線與x軸的兩個交點為A、B,則這兩個點之間的距離：

|AB\=\+%21=J（%2—匹）2=W）2—4玉工2

化簡后即為：|明='入4℃32一440）---------這就是拋物線與x軸的兩交點之間的距

\a\

離公式。

第三章圓

一.車輪為什么做成圓形

※上圓的定義：

描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A隨

之旋轉所形成的圓形叫做畫；固定的端點0叫做呵心；線段0A叫做半彳至；

以點0為圓心的圓，記作。0,讀作''圓0”

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的集合。其中定點叫做園心、，定長叫做

網(wǎng)的半彳至，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做足

網(wǎng)。

對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點），二是半徑（即定長）。

派2?點與圓的位置關系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r,點到圓心的距離為d,則

①點在圓上<===>d=r;

②點在圓內(nèi)<===〉d<r;

③點在圓外<===〉d>r.

其中點在圓上的數(shù)量特征是重點，它可用來證明若干個點共圓，方法就是證明這幾個點與

一個定點、的距離相等。

二.圓的對稱性：

※上與圓相關的概念：

①弦和直徑：

弦：連接圓上任意兩點的線段叫做落。

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直律。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣?。?/p>

?。簣A上任意兩點間的部分叫做同弧，簡稱弧，用符號表示，以CD為端點的弧記為“CO”,

讀作“圓弧CD”或“弧CD”。

半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半河。

優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做你弧。

劣弧：小于半圓的弧叫做多明。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。）

③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做號形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心、河。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

⑦圓心角：頂點在圓心的角叫做網(wǎng)心隼.

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弓知少膽

X2.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

X3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?。

上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。

※“定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相

等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.

三.圓周角和圓心角的關系：

※上1°的弧的概念：把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1°的圓心角，相應

的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.

X2.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等._

這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成NAOB=；^，這是錯誤

的.

X3.圓周角的定義：

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

※業(yè)圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

※推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相

等；

※推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

※四.確定圓的條件：

※上理解確定一個圓必須的具備兩個條件：

圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓，其圓心在這個兩點線段的垂直平

分線上.

X2.經(jīng)過三點作圓要分兩種情況：

(1)經(jīng)過同一直線上的三點不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點，能且僅能作一個圓.

※定理：不在同一直線上的三個點確定一個圓.

X3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接

圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質:三角形外心到三頂點的距離相等.

五.直線與圓的位置關系

XL直線和圓相交、相切相離的定義：

⑴相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點做

切點.

(3)相離：直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.

X2.直線與圓的位置關系的數(shù)量特征：

設。。的半徑為r,圓心。到直線的距離為d；

①d<r<==>直線L和。0相交.

②d=r<==>直線L和。0相切.

③d>r<==>直線L和。0相離.

派3.切線的總判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.

※業(yè)切線的性質定理：

圓的切線垂直于過切點的半徑.

※推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

※推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關系，可得如下結論：

如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.

①垂直于切線；②過切點；③過圓心.

X5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角

形叫做圓的外切三角形.

X6.三角形內(nèi)心的性質：

⑴三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點，該線平分三角形的這個內(nèi)角.

六.圓和圓的位置關系.

※上外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關系的定義.

(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.

(2)外切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩

個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.

⑶相交：兩個圓有兩個公共點，此時叫做這個兩個圓相交.

⑷內(nèi)切：兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓

內(nèi)切.這個惟一的公共點叫做切點.

⑸內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓

內(nèi)的一個特例.

X2.兩圓位置關系的性質與判定：

(1)兩圓外離<===>d>R+r

(2)兩圓外切<===>d=R+r

⑶兩圓相交<===>R-r<d<R+r(R'r)

⑷兩圓內(nèi)切<===>d=R-r(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(R>r)

派3.相切兩圓的性質：

如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.

※朵相交兩圓的性質：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

七.弧長及扇形的面積

※上圓周長公式：

圓周長C=2TIR(R表示圓的半徑)

派2.弧長公式：

弧長/=喘(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))

派3.扇形定義：

一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

※4弓形定義：

由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.

X5.圓的面積公式.

圓的面積5=欣2（R表示圓的半徑）

X6.扇形的面積公式：

扇形的面積S扇形（R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）

360

圖5

⑴當弓形所含的弧是劣弧時，S弓形=s扇形—S三角形

⑵當弓形所含的弧是優(yōu)弧時，S弓形=S扇形+S三角形

⑶當弓形所含的弧是半圓時，S弓形=g成2=s扇形

八.圓錐的有關概念：

※乙圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉一周而形成的圖形，另一條直角邊旋轉而成

的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉而成的面叫做圓錐的側面.

X2.圓錐的側面展開圖與側面積計算：

圓錐的側面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心

是圓錐的頂點.

如果設圓錐底面半徑為r,側面母線長（扇形半徑）是I,底面圓周長（扇形弧長）為c,那么它的側面積是：

s側=5，'=5?2"，=加

S表=則+S底面=7vrl+Tzr2="（r+。

a九.與圓有關的輔助線

1.如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線.

2.如圓中有直徑的條件，可作出直徑上的圓周角.

3.如一個圓有切線的條件，常作過切點的半徑（或直徑）為輔助線.

4.若條件交代了某點是切點時，連結圓心和切點是最常用的輔助線.

Q十.圓內(nèi)接四邊形

若四邊形的四個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特征：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補；

②圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.

※十一.北師版數(shù)學未出理的有關圓的性質定理

1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

如圖6,VPA,PB分別切。。于A、B

；.PA=PB,P0平分/APB?

2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。/

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。(^^0/

如圖7,CD切。O于C,則，ZACD=ZBBVT/I

3.和圓有關的比例線段：

①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等；