北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)定理知識點(diǎn)

九年級（下）數(shù)學(xué)定理知識點(diǎn)匯總

第一章直角三角形邊的關(guān)系

※一.正切:

NA的對邊

定義：在Rt/ABC中，銳角NA的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=

NA的鄰邊

①tanA是一個完整的符號，它表示/A的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“/”；

②tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中NA的對邊與鄰邊的比；

③tanA不表示"tan"乘以"A"；

④初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，NA是銳角的正切；

⑤tanA的值越大，梯子越陡，NA越大；/A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

※二.取交

定義：在RM42C中，銳角NA的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即sinA=2黑辿

斜邊

※三.余弦：

NA的鄰邊

定義：在RM43c中，銳角NA的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cosA,即cosA=

斜邊

※余切:

NA的鄰邊

定義：在RMABC中，銳角NA的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記作cotA,即cotA=

的對邊

※一個銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個銳角的三角函

數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若NA為銳角，則

000

①sinA=cos?0°-ZA）；0°30°456090

j_V2V3

sinQ01

cosA=sin（900-ZA）2~2~~T

@tanA=cot（90°-ZA）；cotA=tan（90°-ZA）V3V2￡

cosa10

~iT2

※當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線

V3

tanQ01V3一

所成的銳角稱為伸用T

※當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成V3

cota一V310

的銳角稱為俗月T

※利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，（1）當(dāng)

角度在0°?90°間變化時，正弦值、正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；余弦值、余切值隨著

角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）。（2）0WsinaWl,OWcosaWl。

※同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：

倒數(shù)關(guān)系：tga?ctga=1?

※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元

素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

◎在AABC中，NC為直角，NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,則有

⑴三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；

（2）兩銳角的關(guān)系：ZA+ZB=90°；

（3）邊與角之間的關(guān)系：

a,bab

sinA,cosA=—,tanA=一，cotA=—;

ccba

.nb?a

sinB=—,cosB=—,tanBn=—b,cotB=—

ccab

(4)面積公式:SA=—ab=—chc（he為C邊上的高）;

22

（5）直角三角形的內(nèi)切圓半徑廠="+"一°

2

（6）直角三角形的外接圓半徑R=

2

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下：

◎解直角三角形的幾種基本類型列表如下:

X如圖2,坡面與水平面的夾角叫做鼎（或叫做城比）。用字母i表示，即，

◎從某點(diǎn)的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方便巧。如圖3,OA、OB、0C的

方位角分別為45°、135°、225°。

◎指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向耳。如圖4,OA、OB、

OC、OD的方向角分別是；北偏東30°,南偏東45°（東南方向）、南偏西為60°,北偏西60°。

第二章二次函數(shù)

※二次函數(shù)的概念：形如y=ta2+bx+c（a、、"是常數(shù)，a#0）的函數(shù)，叫做x的三次國黎。自變量的

取值范圍是全體實(shí)數(shù)。丁=。/（。。0）是二次函數(shù)的特例，此時常數(shù)b=c=0.

※在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時，一定要尋找兩個變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變革

的取值范圍。

※二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做姻物線。

描述拋物線常從開口方向、對稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)

等方面來描述。

①函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；

②拋物線的頂點(diǎn)在（0,0）,對稱軸是y軸（或稱直線x=0）。

③當(dāng)a>0時，拋物線開口向上，并且向上方無限伸展。當(dāng)a<0時，拋物線開口向下，并且

向下方無限伸展。

④函數(shù)的增減性：

x<0時,y隨x增大而減小?*icg/xWO時,y隨%增大而增大

A、當(dāng)a>0時B、與aV（_）nj<

x>0時,y隨%增大而增大%>O0t,y隨%增大而減小

⑤當(dāng)IaI越大，拋物線開口越??；當(dāng)IaI越小，拋物線的開口越大。

⑥最大值或最小值：當(dāng)a>0,且x=O時函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a<0,且x=0時函數(shù)有最大值，最

大值是0.

※二次函數(shù)y=ax1+c的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對稱的拋物線

※二次函數(shù)y=ax2+ox+c的圖象是以》=—_L為對稱軸，頂點(diǎn)在（__L,把上）的拋物線。

2a2a4a

（開口方向和大小由a來決定）

※間的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越快；|a|

的越小，拋物線的開口程度越大，越遠(yuǎn)離對稱軸y軸，y隨x增長（或下降）速度越慢。

※二次函數(shù)丁=。必+。的圖象中，a的符號決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線的開口程度大

小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。

※二次函數(shù)丁=以2+法+。的圖象與y=ax2的圖象的關(guān)系：

丁=依2+法+。的圖象可以由丫=2*2的圖象平移得到，其步驟如下：

①將丁=依2+》x+c配方成y=a（x-/z）2+左的形式；（其中h=-■—,k=二。"）.

2a4a

②把拋物線丁=辦2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y(tǒng)=a（x-h）2的圖象；

③再把拋物線y=o（x-/z）2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個單位，便得到y(tǒng)=。（工-〃）2+左的

圖象。

※二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)：

二次函數(shù)y=ax2+fcv+c配方成y=a{x+~y+也二Y則拋物線的

2〃4a

①對稱軸：X=-—②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（_A,4…2）

2d2a4a

③增減性：若a〉0,則當(dāng)x〈—2時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x〉—2時，y隨x的增大而

2a.........2a?一

隼木。.

若a〈0,則當(dāng)x<—2時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x〉—2時，y隨x的增大而

2a.........2a?一

誠4、0,

④最值：若a〉0,則當(dāng)X=—2時，y最小="￡士；若a<0,則當(dāng)X=—2時，y最大=也上

2a4Q2a4a

※畫二次函數(shù)y=a%2+bx+c的圖象：

我們可以利用它與函數(shù)y=a￡的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點(diǎn)法

--五點(diǎn)法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：

①先找出頂點(diǎn)（_2,處士），畫出對稱軸x=-2；

2a4。2a

②找出圖象上關(guān)于直線x=-2對稱的四個點(diǎn)（如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等）；

2a

③把上述五點(diǎn)連成光滑的曲線。

0二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得，也可以借助圖象

觀察。

Q解決最大（?。┲祮栴}的基本思路是：

①理解問題；

②分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系；

③用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；

④做數(shù)學(xué)求解；

⑤檢驗結(jié)果的合理性、拓展性等。

※二次函數(shù)丁=依2+區(qū)+。的圖象（拋物線）與*軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)XI,X2是對應(yīng)一元二次方

程ax?+bx+c=Q的兩個實(shí)數(shù)根

※拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

b2-4ac>0<===>拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；

/—4團(tuán)=0<===>拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；

b2-4ac<0<===>拋物線與x軸有0個交點(diǎn)（無交點(diǎn)）；

※當(dāng)"-4ac>0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為A、B,則這兩個點(diǎn)之間的距離：

|AB\=\+%21=J（%2—匹）2=W）2—4玉工2

化簡后即為：|明='入4℃32一440）---------這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距

\a\

離公式。

第三章圓

一.車輪為什么做成圓形

※上圓的定義：

描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A隨

之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做畫；固定的端點(diǎn)0叫做呵心；線段0A叫做半彳至；

以點(diǎn)0為圓心的圓，記作。0,讀作''圓0”

集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做園心、，定長叫做

網(wǎng)的半彳至，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做足

網(wǎng)。

對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線，不是圓面；

②圓由兩個條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）。

派2?點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：

如果圓的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d,則

①點(diǎn)在圓上<===>d=r;

②點(diǎn)在圓內(nèi)<===〉d<r;

③點(diǎn)在圓外<===〉d>r.

其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個點(diǎn)與

一個定點(diǎn)、的距離相等。

二.圓的對稱性：

※上與圓相關(guān)的概念：

①弦和直徑：

弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做落。

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直律。

②弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧：

?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做同弧，簡稱弧，用符號表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“CO”,

讀作“圓弧CD”或“弧CD”。

半圓：直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半河。

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做你弧。

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做多明。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表示。）

③弓形：弦及所對的弧組成的圖形叫做號形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心、河。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個圓叫做等圓，半徑相等的兩個圓是等圓。

⑥等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做網(wǎng)心隼.

⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弓知少膽

X2.圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

X3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說，如果具備：

①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧。

上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結(jié)論。

※“定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相

等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

三.圓周角和圓心角的關(guān)系：

※上1°的弧的概念：把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時，每一份的角都是1°的圓心角，相應(yīng)

的整個圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1°弧.

X2.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等._

這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等，而不是角與弧相等.即不能寫成NAOB=；^，這是錯誤

的.

X3.圓周角的定義：

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角.

※業(yè)圓周角定理：

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

※推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對的弧也相

等；

※推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

※四.確定圓的條件：

※上理解確定一個圓必須的具備兩個條件：

圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小.

經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個圓，其圓心在這個兩點(diǎn)線段的垂直平

分線上.

X2.經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況：

(1)經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.

(2)經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，能且僅能作一個圓.

※定理：不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.

X3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念：

(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過一個三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做這個三角形的外接

圓,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.

五.直線與圓的位置關(guān)系

XL直線和圓相交、相切相離的定義：

⑴相交：直線與圓有兩個公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線.

(2)相切：直線和圓有惟一公共點(diǎn)時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)做

切點(diǎn).

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時,叫做直線和圓相離.

X2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：

設(shè)。。的半徑為r,圓心。到直線的距離為d；

①d<r<==>直線L和。0相交.

②d=r<==>直線L和。0相切.

③d>r<==>直線L和。0相離.

派3.切線的總判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線.

※業(yè)切線的性質(zhì)定理：

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

※推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

※推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

※分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得如下結(jié)論：

如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個.

①垂直于切線；②過切點(diǎn)；③過圓心.

X5.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念.

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角

形叫做圓的外切三角形.

X6.三角形內(nèi)心的性質(zhì)：

⑴三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.

(2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.

由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線平分三角形的這個內(nèi)角.

六.圓和圓的位置關(guān)系.

※上外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.

(1)外離：兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.

(2)外切：兩個圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)以外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外部時，叫做這兩

個圓外切.這個惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

⑶相交：兩個圓有兩個公共點(diǎn)，此時叫做這個兩個圓相交.

⑷內(nèi)切：兩個圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個公共點(diǎn)以外，一個圓上的都在另一個圓的內(nèi)部時,叫做這兩個圓

內(nèi)切.這個惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

⑸內(nèi)含：兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且一個圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓

內(nèi)的一個特例.

X2.兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：

(1)兩圓外離<===>d>R+r

(2)兩圓外切<===>d=R+r

⑶兩圓相交<===>R-r<d<R+r(R'r)

⑷兩圓內(nèi)切<===>d=R-r(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含<===>d<R-r(R>r)

派3.相切兩圓的性質(zhì)：

如果兩個圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上.

※朵相交兩圓的性質(zhì)：

相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.

七.弧長及扇形的面積

※上圓周長公式：

圓周長C=2TIR(R表示圓的半徑)

派2.弧長公式：

弧長/=喘(R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù))

派3.扇形定義：

一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.

※4弓形定義：

由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.

弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.

X5.圓的面積公式.

圓的面積5=欣2（R表示圓的半徑）

X6.扇形的面積公式：

扇形的面積S扇形（R表示圓的半徑,n表示弧所對的圓心角的度數(shù)）

360

圖5

⑴當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，S弓形=s扇形—S三角形

⑵當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，S弓形=S扇形+S三角形

⑶當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，S弓形=g成2=s扇形

八.圓錐的有關(guān)概念：

※乙圓錐可以看作是一個直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形，另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成

的面叫做圓錐的底面，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.

X2.圓錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計算：

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心

是圓錐的頂點(diǎn).

如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長（扇形半徑）是I,底面圓周長（扇形弧長）為c,那么它的側(cè)面積是：

s側(cè)=5，'=5?2"，=加

S表=則+S底面=7vrl+Tzr2="（r+。

a九.與圓有關(guān)的輔助線

1.如圓中有弦的條件，常作弦心距，或過弦的一端作半徑為輔助線.

2.如圓中有直徑的條件，可作出直徑上的圓周角.

3.如一個圓有切線的條件，常作過切點(diǎn)的半徑（或直徑）為輔助線.

4.若條件交代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時，連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常用的輔助線.

Q十.圓內(nèi)接四邊形

若四邊形的四個頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.

圓內(nèi)接四邊形的特征：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；

②圓內(nèi)接四邊形任意一個外角等于它的內(nèi)錯角.

※十一.北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理

1.切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

如圖6,VPA,PB分別切。。于A、B

；.PA=PB,P0平分/APB?

2.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。/

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。(^^0/

如圖7,CD切。O于C,則，ZACD=ZBBVT/I

3.和圓有關(guān)的比例線段：

①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等；