2024年某中學(xué)高三數(shù)學(xué)考前模擬試卷附答案解析

2024年廣雅中學(xué)高三數(shù)學(xué)考前模擬試卷

（考試時(shí)間：120分鐘；試卷滿分：150分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合

題目要求的.

1.若集合/=｛-2,1,4,8｝,B=｛xy\x^A,y^A\,則8中元素的最小值為（）

A.-16B.-8C.-2D.32

cos|8+3cos26

貝u--~>~b=()

2.已知tan6=3,

42sm(0-^\

6363

A.-B.—-C.—D.—

5555

3.已知“8C的外接圓圓心為O,且2亞=方+箱網(wǎng)=網(wǎng),則向量方在向量而上的投影向量為

()

A.-BCB.—BCC.—BCD.—BC

4444

4.已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，也｝滿足才=岫用，an+an+l=2bn+l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.也｝是等差數(shù)列B.抄」是等比數(shù)列

C.｛M｝是等差數(shù)列D.｛歷｝是等比數(shù)列

5.過點(diǎn)尸（。㈤作圓f+/=l的切線刃，A為切點(diǎn)，|尸聞=1,貝Ija+2Z>的最大值是（）

A.V2B.V3C.y/5D.V10

6.在正三棱臺(tái)/3C-4耳G中，已知48=6，4A=2A/3,側(cè)棱幺4的長(zhǎng)為2,則此正三棱臺(tái)的體積為

()

217_217

A.—B.—C.~~D.—

2442

7.已知函數(shù)的圖象與函數(shù)V=ln（2x）的圖象關(guān)于某一條直線/對(duì)稱，若尸，。分別為它們圖象上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（）

.V21n2收；2亞"；ln2)()

A.---------B.c.D.V2l-ln2

2

丫2v2

8.已知點(diǎn)aB,。都在雙曲線「：三-彳=1（〃〉0]>0）上，且點(diǎn)4,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，ZCAB=90°.

ab

過工作垂直于x軸的直線分別交「，BC于■點(diǎn)、M,N.若京=3初，則雙曲線r的離心率是（）

A.V2B.V3C.2D.2百

1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法中正確的是()

A.已知隨機(jī)事件/,8滿足尸(團(tuán)=7P(AB)=~,則P(N|B)=:

B.已知隨機(jī)變量J~N(3,4),若孑=2〃+1,則。(〃)=1

C.若樣本數(shù)據(jù)3匹+1,3X2+1,3占0+1的平均數(shù)為10,則數(shù)據(jù)國(guó),々,斗,匕,%,%,工7，%，3，占0的平均

數(shù)為3

D.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(4,0,若方差。(X)="則P(X=1)=R

10.已知復(fù)數(shù)則下列命題正確的是()

A.若田="|,貝1JZ1=±Z2B.若4=22,則匕聞=匕1『

C.若馬是非零復(fù)數(shù)，且Z；=ZK，則％=z?D.若句是非零復(fù)數(shù)，則Z[+=w0

Z1

11.已知數(shù)列｛%｝滿足：=a；+24+45￡N*),其中丸ER,下列說法正確的有()

A.當(dāng)q=2,4=：時(shí)，an>n+\

B.當(dāng)九e；,+s4寸，數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列

C.當(dāng)彳=-2時(shí)，若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則qe(-8,-3)。(1,+8)

D.當(dāng)…―0時(shí)，土+人+…+11

------<-

q+23

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在(l+x)+(l+x)2+(l+x)3+…+(1+姆。的展開式中，含Y項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

13.設(shè)拋物線。:r=2勿5>0)的焦點(diǎn)為下，準(zhǔn)線為/.斜率為百的直線經(jīng)過焦點(diǎn)尸，交C于點(diǎn)A,交準(zhǔn)

線/于點(diǎn)8(A,B在X軸的兩側(cè)),若|/旬=16,則拋物線C的方程為.

14.如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分(它由線段CE,。尸與分別以。GOD為直徑的半

圓弧組成)表示一條步道.其中的點(diǎn)C,。是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E,尸在以48

為直徑的半圓弧上，且NOCE,/O0尸均為直角.若/8=1百米，則此步道的最大長(zhǎng)度為百米.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在銳角。8C中，角4B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為。、b、c,且2加辿-丘=0.

2

⑴求角3;

(2)求siiU+sinC的取值范圍.

16.如圖，在圓錐。。中，。為圓錐頂點(diǎn)，N8為圓錐底面的直徑，。為底面圓的圓心，C為底面圓周

上一點(diǎn)，四邊形。4E。為矩形.

(1)求證：平面8CZ)_L平面/CE；

(2)若/￡=&,AC=2,5C=273,求平面4DE和平面CDE夾角的余弦值.

22

17.已知橢圓C:3+方=1(°>6>0)的離心率為｝,且過點(diǎn)卜2,百).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(-4,0)且斜率不為0的直線/與橢圓C交于A,3兩點(diǎn).問：在x軸上是否存在定點(diǎn)。，使直

線。/的斜率左與。8的斜率心的積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.某景區(qū)的索道共有三種購(gòu)票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票.為提高服務(wù)水

平，現(xiàn)對(duì)當(dāng)日購(gòu)票的120人征集意見，當(dāng)日購(gòu)買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60

和24.

(1)若按購(gòu)票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，

求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買單程上山票的概率.

(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時(shí)要求把購(gòu)買單程上山票的2人和購(gòu)買回程票的m

(m>2且機(jī)?N*)人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購(gòu)票類型相同，則

該組標(biāo)為否則該組標(biāo)為3,記詢問的某組被標(biāo)為8的概率為p.

(i)試用含機(jī)的代數(shù)式表示p；

(ii)若一共詢問了5組，用g(0表示恰有3組被標(biāo)為8的概率，試求g(0的最大值及此時(shí)加的值.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=e*+acosx,aeR.曲線y=/(x)在點(diǎn)(0，/⑼)處的切線方程為了=x+2.

(1)求。的值；

(2)求證：方程/("=2僅有一個(gè)實(shí)根；

(3)對(duì)任意xe(0,+oo),有/(x)>后sin無+2,求正數(shù)人的取值范圍.

3

1.A

【分析】根據(jù)題意，由集合的概念，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得，（盯L=-2X8=T6,

所以B中元素的最小值為-16.

故選：A

2.A

【分析】利用誘導(dǎo)公式與和角公式化簡(jiǎn)所求式得sindcose+sin*,構(gòu)造分母sin?6+cos?6,分子分母同

除以cos?6,化弦為切，代入即得.

cos]6+工Icos20

[詳解】由一-~答~「-sin0cos20_-sin6(cos6+sin9)(cos0-sin0)

行sinsin3-cos3sin。一cos3

sin0cos0+sin20tan0+tan206

=sincos+sin20=

sin20+cos20tan23+15

故選：A.

3.C

【分析】根據(jù)條件作圖可得為△45。等邊三角形，根據(jù)投影向量的概念求解即可.

【詳解】因?yàn)?萬=刀+%，

所以外接圓圓心。為5C的中點(diǎn)，即5c為外接圓的直徑，如圖，

又?布卜所以A/BO為等邊三角形,

則N4BC=60",故|萬|=|就|cos600,

所以向量方在向量數(shù)上的投影向量為：

ABBC5C囤同cosl20。就-|1^cos260°-SCi_.

=

WRK=一同一

故選：c.

4.C

【分析】分析可知數(shù)列｛2｝的每一項(xiàng)都是正數(shù)，由已知條件可得出用+血7=2歷，結(jié)合等差中項(xiàng)

法判斷可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝各項(xiàng)為正數(shù)，抄“｝滿足也+Jan+an+1=2bn+i,

a+i

故對(duì)任意的〃eN*,b?+l="y>0,貝

2bn+l

4

所以數(shù)列低｝的每一項(xiàng)都是正數(shù)，所以師1+師心=2〃用，可得瘋+其=2瓦;.

由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列｛歷｝是等差數(shù)列.

故選：C.

5.D

【分析】根據(jù)題意可得/+/=2,三角換元令a=V^cos。，b=4isine，?！?。筌兀），利用三角恒變換

求出最大值.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓/+r=1的圓心為。，貝ij|尸?！?|尸不+.42=1+1=2,

:.cr+b2=2,令a=Ccos9，b=V2sin^，ec[0,2兀)，

貝Ia+2b-A/2cos0+2V2sin0=V10sin(6+e),其中tanp=；,

所以。+28的最大值為所.

故選：D.

6.C

【分析】先計(jì)算出三棱臺(tái)的上下底面的面積，再根據(jù)底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)求解三棱臺(tái)的高，進(jìn)而計(jì)算出三

棱臺(tái)的體積.

【詳解】正三棱臺(tái)/8C-48c中，已知=44=26，

所以“BC的面積為L(zhǎng)石xGx且=?,△44G的面積為L(zhǎng)X2GX2出x坦=36，

22422

Bi

設(shè)。，。1分別是小5C,△44G的中心,

設(shè)。，A分別是BC,3G的中點(diǎn)，

:.A,O,。三點(diǎn)共線，4，。1，A三點(diǎn)共線,

AD=/Bxsing=V3x—=—,AXDX=AiBlxsing=2拈x—=3,

?°D=-AD=—,OXDX=-42=1,

VB

~T

5

過。作。E，42,垂足為E,則DE//。。-

DE=《DD；-DE="苧2_0_9=5

；.三棱臺(tái)的高為G，

二三棱臺(tái)的體積為，=；xGx(乎+『^ZZZ+3百)=F.

故選：C.

7.D

【分析】首先得到函數(shù)y=?的圖象與函數(shù)V=ln(2x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到

直線〉=x距離最小值的2倍，求出過點(diǎn)尸的切線恰與V=x平行時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公

式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)尸(。力)為函數(shù)y=+圖象上任意一點(diǎn)，則6=三，尸(。，“關(guān)于直線N=x的對(duì)稱點(diǎn)為。伍,a),

又＞=ln(26)=Ine"=a,即點(diǎn)。(6,〃)在函數(shù)歹=111(2%)的圖象上,

所以函數(shù)■的圖象與函數(shù)V=ln(2x)的圖象關(guān)于直線夕=尤對(duì)稱，

所以這尸，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值等于點(diǎn)P到直線V=x距離最小值的2倍，

xx

pe

由)=耳，則V=]■,

函數(shù)了=《在點(diǎn)尸(%,%)處的切線斜率為無=￡1,令左=匕=1,解得x°=ln2,%=1,

222

所以點(diǎn)尸到直線＞=X距離的最小值為d=恒m=向i2),

V22

所以這P,。兩點(diǎn)之間距離的最小值為2d=收(1-M2).

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是得到兩函數(shù)關(guān)于＞='對(duì)稱，再將問題轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到直線的距離

的最小值.

8.B

【分析】設(shè)由福=3萬？且4W_Lx軸得N(%,-5%),注意到3.%=與，也

a

就是%而2-也,kAB=^,即4=2,由此結(jié)合離心率公式即可求解.

2

＜kABJa/與a

【詳解】

6

不妨設(shè)8（-%,一%）,由赤=3而且//軸,

所以河(％,-%),所以(XN-XO/"-%)=3(0,-2%)=(0,-6.%),

從而馬=%,%=-5%,即N(x0,-5%),

設(shè)點(diǎn)C（x/）,且它在雙曲線上,

%%=匕江?匕楚

2222

X+/x-x0x—x0X-X0a

b2廿…f一(-5%)

即^BN,=/，其中2

x

-xo-o

從而4=2,e=Jl+3=6.

aVa

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到孰［-j］=1，kB產(chǎn)-"kAB=^,由此即可順利得解.

（kAB）a-%%

9.BC

【分析】由條件概率的公式可得A錯(cuò)誤；由正態(tài)分布的方差公式和方差的性質(zhì)可得B正確；由平均數(shù)的

計(jì)算公式可得C正確；由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可判斷D錯(cuò)誤.

【詳解】A：由條件概率的公式可得P（*5）=-^^=a，所以P（N|B）=1'=/故A錯(cuò)誤；

XIJ-JJJJJ

B:因?yàn)殡S機(jī)變量*N（3,4）,所以。值）=4,

又孑=2〃+1,所以〃TK，

所以￡＞（〃）=［；］X。⑷=1,故B正確；

C：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)3%+1,3%+1,…，3%+1的平均數(shù)為10,

7

所以3再+1+3々+1+-?+3再0+1=3(演+、2+―?+再0)+1。=10

、io―io一

化簡(jiǎn)可得再+、2■1-----F項(xiàng)0=30,

所以X],X2，X3，X4，X5，X6，X7，X8，X9，Xio的平均數(shù)為五上小"士電==3,故C正確;

313

D：由題意可得4°。-p)=a，解得P=1或

則尸；；

(X=l)=Cxx77或尸(X=l)=C；故D錯(cuò)誤;

故選：BC.

10.BC

【分析】對(duì)于A項(xiàng)，可以舉反例說明；對(duì)于B項(xiàng)，可以設(shè)4=。+歷，則z?="-bi,代入等式兩邊驗(yàn)證

即可判定；對(duì)于C項(xiàng)，可將題設(shè)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化，分析即得；對(duì)于D項(xiàng)，可通過舉反例4=i對(duì)結(jié)論進(jìn)行否

定.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若4=l+i,4=后，顯然滿足團(tuán)="|,但z=±z2,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

21

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)4=Q+bi(Q/￡R),則Z2=。一bi,ZjZ2=((7+bi)(a-bi)=a+b,故上五|=/+〃而

匕『=/+凡故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，由2；=%22可得：2；-2逐2=4(4-22)=0,因?yàn)槭欠橇銖?fù)數(shù)，故為一Z2=0,即4二4，故

C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)z=i時(shí)，Z是非零復(fù)數(shù)，但馬+—=i+；=i-i=0,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

Z]1

故選：BC.

11.ACD

【分析】根據(jù)氏+「。.=。；+%+'=,“+!]2+1>0可得。用>%+1,即可迭代求解A,根據(jù)彳=；,

%=-g時(shí)，可得｛%｝為常數(shù)列，即可判斷B；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，證出當(dāng)2=-2時(shí)。向-%>0,從

而判斷出數(shù)列｛%｝的單調(diào)性，建立關(guān)于％的一元二次不等式，解出首項(xiàng)%的取值范圍，判斷

出C項(xiàng)的正誤；當(dāng)4=0,%=3時(shí)，根據(jù)遞推關(guān)系證出%+|+223(%+2),從而可得號(hào)923,由此推

1311113

導(dǎo)出交xR'eN*),進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式證出1工?+-7+"…+丁丁yV不，從而判斷出D

T~/jDcit~r/a,"i乙cz"1乙1\j

項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)2=a時(shí)，?！?1-=。；+4?+a=["〃+5]+1>1>0,又“1=2,故an+｝>an+1,

8

a

所以見>n-\+1>^n-2+2>-->>iZ1+n—\-n+1,故A項(xiàng)正確.

對(duì)于B,因?yàn)?+i-。〃+?！?%=(?！?g)2+4T且％￡7,+00

所以?！?1-%20，

當(dāng)％=；,%=-；時(shí)，。2=-；，。2二總=?！?1”二⑸+產(chǎn)力?泅=%,此時(shí)數(shù)列｛%｝是常數(shù)列，故B項(xiàng)錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,由于數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，當(dāng)〃22時(shí)，故為-。1〉0,

aa

n+\~n=(片+勿〃一2)-(aji+2an_x-2)=(an-an_x)(an+an_x+2)>0,

(Q；+2%-2)-Q［〉0

a2—ax>0

故%+%+2>°，所以即《

%+q+2〉0(Q；+24-2)+4+2>0

解得4〉1或4<-3,故C項(xiàng)正確;

2

對(duì)于D,當(dāng)%=0時(shí),an+i=Q；+2an=(an+1)-1,結(jié)合4=3,可知。?=4、-1=11>%,

2

a3=13-3>a2,…，結(jié)合%+「%=(%-%)(%+Q〃_i+2),

可知｛4｝是遞增數(shù)列，an>aX=3,則%+i+2=+2)23(%+2),

即—土123,所以上*'幺與*…*第23"-(心2),

aa

+2n-\+2n-2+24+2

BPa?+2>3"一(q+2)=gx3"(M>2),

所以一一<-x—(n>2)當(dāng)“=1時(shí)，---=—<—X^-,所以一—<-x—(zzeN,)

尸萬以a.+253八'三〃川'q+25539以?！?253，\人

「_/口/13/11、3誦)31,,行十也

可得7V三。+m+…+運(yùn))=1-------i—，故D項(xiàng)正確；

j-?i?乙，nJ，]LuJ

-3

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化的常見形式

(1)轉(zhuǎn)化為(?！?2-。向)-(見+「％)=常數(shù)，則數(shù)列｛%「"”｝是等差數(shù)列.

(2)轉(zhuǎn)化為二一--1■=常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列.

(3)轉(zhuǎn)化為」------匚=常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列.

%+i+c%+c[a?+c\

(4)轉(zhuǎn)化為向二-阮=常數(shù)，則數(shù)列｛瘋｝是等差數(shù)列.

(5)轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列｛片｝是等差數(shù)列.

9

（6）轉(zhuǎn)化為log/用-log/〃=常數(shù)，則數(shù)列｛log2”｝是等差數(shù)列.

12.330

【分析】寫出含有/項(xiàng)的系數(shù)，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】展開式中含有V項(xiàng)的系數(shù)為

C；+C：+C；+C+C；+C；+C：+C：o=Cj=330,

故答案為:330.

13.y2=8x

【分析】首先表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得到直線/的方程，從而求出3點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立

直線與拋物線方程，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式得到方程，解得即可.

【詳解】拋物線。：/=2川（0>0）的焦點(diǎn)為尸（go）,準(zhǔn)線方程為x=-^,

依題意直線/的方程為昨道卜-,，

令X=-]■可得y=-Gp,即與-若pj,

由“"卜2）,消去了得=2px,解得x=或x=,

y2=2px''~

又A,3在x軸的兩側(cè)，所以乙=|*0,則心所以/

所以幽=J苫晉=16,解得…或2=一4（舍去），

所以拋物線。的方程為r=8乩

故答案為：尸=8無

2

【分析】設(shè)半圓步道直徑為x百米，連接/瓦借助相似三角形性質(zhì)用x表示CE,結(jié)合對(duì)稱性求出

步道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.

【詳解】設(shè)半圓步道直徑為x百米，連接/瓦顯然“E3=90。，

由點(diǎn)。為線段4瓦C。的中點(diǎn)，得兩個(gè)半圓步道及直道CE,97都關(guān)于過點(diǎn)O垂直于42的直線對(duì)稱，

則/C=L-X,8C=L+X,又CE,AB,則RtA/C￡sRtVEC8,有CE2=4C-BC,

22

2

即有。尸=CE=j；*,因此步道長(zhǎng)/（x）=2不；一1+wc=Vl-4r+或，0<x<；,

4%兀

求導(dǎo)得/'（X）=--[-------+兀，由/"（x）=0,得x=r^=,

VI-4x22〃一+4

10

兀711

當(dāng)0<x<一7時(shí),/'(x)>0,函數(shù)4%)遞增，當(dāng)/,時(shí),/V)<0,函數(shù)/(%)遞減,

2,兀2+42771+42

兀

因此當(dāng)x=防=時(shí)'

2,7?+42J7?+42

所以步道的最大長(zhǎng)度為如上百米.

2

故答案為：山衛(wèi)

2

【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理可得結(jié)果;

（2）根據(jù)力8C為銳角三角形求出力€弓,弓），利用兩角差的正弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)

62

siivl+sinC=siih4+sin(--A),根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】(1)-,?2bsinA-y/3a=0,

2sinAsinB-V3siiL4=0，

又；.,.siivl/O,

sinB=^^,8e,：.B=^,

（2）由（1）可知,5=p且“8c為銳角三角形,

0<A<-

2

所以

2兀兀62

0<C=——A<—

32

貝usiivl+sinC=sirU+sin(--A)=—siii4+—cos^=Gsin(4+2),

3226

i因-j-i為、i；兀<力,兀+:<2<7r,

363

3

sirU+sinCG(—,V3].

16.(1)證明見解析(2)粵

11

【分析】（1）依題意可得3C，/C,平面43C,從而得到NEL8C,即可證明3C1平面/CE,

從而得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解法向量的夾角余弦值來求解平面NAE和平面CDE夾角的余弦值；

【詳解】（1）為圓錐底面的直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，」.BC，NC.

:四邊形。4即為矩形，平面4BC,

AEHOD,NE_L平面/3C,

又BCu平面ABC,：.AE1BC,

又：ZEn/C=/,N￡u平面/CE,/Cu平面4CE,ABCmACE.

又BCu平面BCD,，平面BCD_L平面/CE.

（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,3c所在直線分別為x,V軸，

過點(diǎn)C且與0D平行的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0),N(-2,0,0),D(-l,』吟,￡(-2,0,72),

2g=(0,0,V2),E5=(l,-V3,0),CE=(-2,0,72).

---------?―?

AE?n1=0

設(shè)平面的法向量為4=（占,%,zj,貝卜

ED?/=()

令必=1,得再=6,所以］=（百,1,0）.

,-------

CE.n?=0-2X[+—0

設(shè)平面CDE的法向量為%=（工2，//2），則，_2，即

ED2=0x2-6y2=0

令%=1，得%2=g，Z2=V6,所以%二(g,1,痣),

nx-n23+1A/10

所以cos/,%

匐卜212xV105

所以平面ADE和平面CDE夾角的余弦值為巫.

5

17.（%+,=1；（2）存在,且該定點(diǎn)為。卜2后,0）

【分析】（1）結(jié)合離心率的定義，將卜2,百）代入橢圓方程計(jì)算即可得；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線，借助韋達(dá)定理表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系后，結(jié)合斜率公式表示出斜率之積

后可得3尤;-24=0時(shí)，kxk2,計(jì)算即可得解.

12

I*?1C1

【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C:會(huì)+與=1（°>6>0）的離心率為9所以,=5,即"2c,

_22

所以6=&,所以橢圓C的方程為券+g=l,

因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)卜2,0），所以白+2=1,解得°2=2，

故〃2=4c2=8,及=3c2=6，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+4=1;

OO

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)。（%,0）.設(shè)/（國(guó),必），5（x2,y2）,

易知直線/的斜率顯然存在，且不為0,設(shè)其方程為了=左（》+4）,

X2）2

---1----1

聯(lián)立橢圓方程與直線方程，得86,消去y并整理,

y=左（工+4）

得（3+4左2卜2+32Vx+64k2-24=0,

32k264/一24

所以X]+%=-XX=-----Z—

3+4/12?3+4左2

由A=（32/）2一4（3+4/）（64/-24）>0,解得/<1

且左w0,

左（再+4）k（^x+4）k2[再N2+4（項(xiàng)+%2）+16]

所以上人二」——J2

x}-x0x2-x0國(guó)一玉）x2-xQ

64左2—24128左2

------5--------v+16

3+4左23+4左2____________24^____________

64/—2432k之641+32k°X。+4k2x；+3x；—24

3+4左23+4左2

____________24__________

?！盇23%；—24，

64+32XQ+4XQH-----——

則當(dāng)3尤;-24=0時(shí)，左人為定值，此時(shí)%=±2四.

所以存在定點(diǎn)。（±20,0）,使直線。/的斜率匕與。8的斜率&的積為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

13

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(國(guó),必),仁,％);

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或歹)的一元二次方程，注意△的判斷；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為王+9、x,x2(或弘+%、yty2)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

34m216

18.(1)——(2)(i)p=-：-----------；(ii)〃z=3時(shí)，g(p)=------.

710m2+3m+2V7max625

【分析】(1)由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求得答案；

(2)(i)由古典概型結(jié)合對(duì)立事件的概率公式即可求得答案；

(ii)由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)橘?gòu)買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為3:5:2,所以這10人中，購(gòu)買

——352

單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：10x面=3,10x面=5,10x—=2,

C2C23

故隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購(gòu)買單程上山票的概率尸=胃=-.

1U

(2)(i)從加+2人中任選2人，有C%種選法，其中購(gòu)票類型相同的有Cj+C；種選法，則詢問的某

4m

組被標(biāo)為3的概率p=1-鼻電=1-；

2

Cm+2m+3m+2m+3m+2

(ii)由題意，5組中恰有3組被標(biāo)為B的概率g(0=C力'(l-p>=10/(i-2p+ph=10(/-2/+,

所以g，(P)=10(3/-8/+5")=1Op?(0-1)(5?-3),0<P<1,

所以當(dāng)p?O,|j時(shí)，g'(0>O,函數(shù)g(o)單調(diào)遞增，

當(dāng)peg/時(shí)，g'(0<O