2023-2024學(xué)年八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷（二）（北師大版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷（2）

【北師大版】

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分）

考卷信息：

本卷試題共23題，單選12題，填空4題，解答7題，滿分100分,限時(shí)120

分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面題有深度，可衡量學(xué)生掌握本冊(cè)內(nèi)容的具

體情況！

一、單項(xiàng)選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.下列各式f，小，二7,病，一一中，分式有（）個(gè)

37x-19萬

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.航天員的宇航服加入了氣凝膠可以抵御太空的高溫.氣凝膠，是一種具有納米多孔結(jié)構(gòu)

的新型材料，氣凝膠顆粒尺寸通常小于0.00000002m,數(shù)據(jù)0.00000002用科學(xué)記數(shù)法表示為

（）

A.2x10-8B.2x109C.0.2x10-8D.2x10s

3.在一次體檢中，測(cè)得八（1）班第一組同學(xué)的身高（單位：厘米）分別為：

158,165,168,175,162,170,166,170,該組同學(xué)身高的中位數(shù)是（）

A.166厘米B.167厘米C.168厘米D.169厘米

4.如圖，口。48。的頂點(diǎn)。（0,0）,/（4,0）,點(diǎn)￡（5,1）是邊的中點(diǎn)，則對(duì)角線/C,OB

A.（3,1）B.（4,1）C.（1,3）D.（2,1）

5.已知x<>,則下列不等式一定成立的是（）

A.x+5<y+5B.2x>2yC.y>yD.-2x<-2y

試卷第1頁，共6頁

6.如圖所示，在平行四邊形48CD中，對(duì)角線/C、BD交于5O,下列結(jié)論中一定成立的

是（）

A.AC1BDB.OA=OCC.AC=ABD.OA=OB

7.若把分式葉上中x,y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）

xy

A.不變B.縮小為原來的;

C.擴(kuò)大為原來的3倍D.縮小為原來的g

8.如圖，在“8C中，D,E分別是48,NC的中點(diǎn)，AC=12,F是DE上一點(diǎn)且

DF=\,連接4F,CF,若NAFC=90。，則3C的長(zhǎng)度為（）.

A.12B.13C.14D.15

9.如圖1,在長(zhǎng)方形/BCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿4B-BC-CD運(yùn)動(dòng),至點(diǎn)。處停

止.點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為x,AADP的面積為幾且了與x之間滿足的關(guān)系如圖2所示，則當(dāng)y=8

時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值是

圖1圖2

A.4B.4或12C.4或16D.5或12

10.某校初二年級(jí)的同學(xué)乘坐大巴車去北京展覽館參觀“砥礪奮進(jìn)的五年”大型成就展.北京

展覽館距離該校12千米.1號(hào)車出發(fā)3分鐘后，2號(hào)車才出發(fā)，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá).已知2

號(hào)車的平均速度是1號(hào)車的平均速度的1.2倍，求2號(hào)車的平均速度，設(shè)1號(hào)車的平均速度

為xkm/h,可列方程為（）

試卷第2頁，共6頁

1212

x1.2x60x1.2x

12123

1.2xx60x1.2x

關(guān)于X的不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，則。滿足（

A.a=10B.10<?<12C.10<tz<12D.\0<a<n

12.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△月4G的位置，點(diǎn)8、。分

別落在點(diǎn)名、G處，點(diǎn)用在x軸上，再將△幺耳￡繞點(diǎn)片順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)

c?在x軸上，將繞點(diǎn)c?順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到鳥c2的位置，點(diǎn)應(yīng)在x軸上，依次進(jìn)行下

去…若點(diǎn)5（0,2）,則點(diǎn)砥18的坐標(biāo)為（）.

A.（6048,0）B.（6054,0）C.（6048,2）D.（6054,2）

二、填空題（本題共4小題，每小題3分，共12分.）

13.把〃因式分解的結(jié)果是.

14.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角等于150。，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為條.

15.命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是.

16.如圖，有一張平行四邊形紙片/BCD,AB=5,AD=1,將這張紙片折疊，使得點(diǎn)B

落在邊4D上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)"，折痕為EF,若點(diǎn)E在邊48上，則。夕長(zhǎng)的最小值等

于.

三、解答題（本題共7小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

試卷第3頁，共6頁

17.（1）解方程5聯(lián)v-1

x-22-x

20

（2）化簡(jiǎn)：（—―-

a-2a2-4

18.在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系

08c是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上）;

（1）作出關(guān)于原點(diǎn)。成中心對(duì)稱的0q,并寫出△&烏。三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)4

（）,4（）,q（）；

⑵把△44G向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△4芻。2,畫出.

⑶△4與4與小BC成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo)（）.

19.如圖，在中，點(diǎn)。，E分別為4c的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)尸，使得

CF//AB,連接。C,AF.

⑴求證：“ADEmACFE；

（2）求證：四邊形8DPC是平行四邊形.

20.我們把連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形的中位線有如下性質(zhì):

三角形的中位線平行于三角形的第三邊并且等于第三邊的一半.下面請(qǐng)對(duì)這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行證明.

試卷第4頁，共6頁

AAD

(1)如圖1,點(diǎn)、D,E分別是“8C的邊4B,/C的中點(diǎn)，求證：DE//BC,S.DE=^BC；

(2)如圖2,四邊形48CD中，點(diǎn)M是邊48的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊。。的中點(diǎn)，若AD〃BC,

4D=4,MN=5,直接寫出6c的長(zhǎng).

21.某商店購進(jìn)甲、乙兩種手寫筆進(jìn)行銷售，若售出2支甲種手寫筆和1支乙種手寫筆共收

入354元，若售出3支甲種手寫筆和2支乙種手寫筆共收入600元.

(1)求甲、乙兩種手寫筆每支的售價(jià)是多少元？

(2)每支甲種手寫筆的成本83元，每支乙種手寫筆的成本103元.商店購進(jìn)甲、乙兩種手寫

筆共20支，其中乙種手寫筆的數(shù)量不超過甲種手寫筆數(shù)量的3倍，那么當(dāng)購進(jìn)甲、乙兩種

手寫筆分別是多少支時(shí)，該商店銷售完后獲得利潤(rùn)最大？最大獲利多少元？

22.如圖，在等邊三角形/3C中，點(diǎn)尸為。5c內(nèi)一點(diǎn)，連接/尸，BP,CP,將線段AP

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到/尸‘，連接尸P,BP'.

(1)用等式表示與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵當(dāng)/8尸。=120。時(shí)，

①直接寫出NPBP的度數(shù)為；

②若M為8c的中點(diǎn)，連接尸70,用等式表示與/P的數(shù)量關(guān)系，并證明.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線夕=-x+3與x軸、7軸分別交于點(diǎn)A、B,直線5c

與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,且CO=2/O.

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(1)求點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)沿射線C4以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接8尸，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為:(秒)，尸。的面積為S,求S與/的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量/的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，在線段8c上是否存在點(diǎn)。，連接。尸，使得△ADP是以為直角邊

的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求出?的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

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1.B

【分析】根據(jù)分式的定義逐個(gè)判斷即可.

【詳解】三,啟的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式；

3797r

1二3二的分母中含有字母是分式.

x-1X-X

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵，分式的概念：一般

A

地，如果45表示兩個(gè)整式，并且5中含有字母，那么式子彳叫做分式.

2.A

【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axl（T",與較大數(shù)

的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字

前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

【詳解】解：0.00000002=lxl0-8,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axl（T",其中1＜忖＜10,n

為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

3.B

【分析】本題考查了中位數(shù)的求解，中位數(shù)，是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的一

個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）.據(jù)此即可求解.

【詳解】解:將身高數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：158,162,165,166,168,170,170,175,

166168

...中位數(shù)為：+=167（厘米），

故選：B.

4.A

【分析】根據(jù)題意易得。/=4,再證明OE為AO/2的中位線，結(jié)合中位線的性質(zhì)求得

DE=goA=2,即可獲得答案.

【詳解】???0（0,0）,一（4,0）,

OA-4,

?.?四邊形0/3。為平行四邊形，對(duì)角線/C,08的交點(diǎn)為

答案第1頁，共15頁

OD=BD,

又?.,點(diǎn)E是邊48的中點(diǎn)，

DE//OA,且DE=—OA=2,

2

???點(diǎn)E（5,l）,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,1）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)，熟

練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

5.A

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)一性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一

個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等

號(hào)的方向不變；性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.據(jù)此即

可判斷答案.

【詳解】解：A、尤+5"+5,原不等式成立，符合題意；

B、2x<2九原不等式不成立，不符合題意；

C、原不等式不成立，不符合題意；

D、-2x>-2y,原不等式不成立，不符合題意；

故選：A.

6.B

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：???四邊形48co是平行四邊形，

OA=OC,AB=DC,

但無法得到ZC/BD,AC=AB,OA=OB,

故A、C、D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

7.B

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，可得答案.

【詳解】把x和丁都擴(kuò)大3倍后，

答案第2頁，共15頁

原式=等三=/等’約分后縮小為原來的

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能夠正確利用分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.分式的

基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

8.C

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出所，進(jìn)而求出。E,再根據(jù)三角形中位線定

理求解即可.

【詳解】解：=90。，點(diǎn)E是/C的中點(diǎn)，AC=12,

.-.EF=-AC^-xl2=6.

22

???DF=1,

:.DE=DF+EF=7.

???￡>,E分別是N3,4c的中點(diǎn)，

BC=IDE=14.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線定理.掌握三角形的中位線平

行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，準(zhǔn)確的分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置，獲得相應(yīng)的解題條

件是本題的解題關(guān)鍵,根據(jù)圖象求出42和4D,再分析當(dāng)點(diǎn)尸在43上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)尸在。C

上運(yùn)動(dòng)時(shí)的冬皿的高為4,據(jù)此求出x的值即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3處時(shí)，x=6,y=12,即/B=6,SAABC=^AD-AB=12,

AD=4,

BC=4,DC=6,

當(dāng)點(diǎn)P在48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S.的=**=8,

AP=4,

/.x=4,

當(dāng)點(diǎn)P在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，SAADP=^AD-DP=8,

DP=4,

答案第3頁，共15頁

二.％=6+4+6—4=12,

故選：B

10.A

【分析】首先設(shè)1號(hào)車的平均速度為x千米/時(shí)，則2號(hào)車的平均速度是L2x千米/時(shí)，進(jìn)而

利用1號(hào)車出發(fā)3分鐘后，2號(hào)車才出發(fā)，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)得出等式求出答案.

【詳解】解：設(shè)1號(hào)車的平均速度為x千米/時(shí)，則2號(hào)車的平均速度是1.2x千米/時(shí)，根據(jù)

題意可得：

x1.2x60

故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

11.B

【分析】先分別求出每一個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)口訣“同大取大、同小取小、大小小大

中間找、大大小小找不到”并結(jié)合不等式組有3個(gè)整數(shù)解，得出關(guān)于a的不等式求解即可.

【詳解】解：由6-3x<0得：x>2,

由2xVa得：x<—,

2

???不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，

??.不等式組的整數(shù)解為3、4、5,

5<—<6,解得10Wa<12,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組、不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)，掌握“同大取

大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答本題的關(guān)鍵.

12.D

【分析】首先根據(jù)己知求出三角形三邊長(zhǎng)度，然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，B、鳥、為…每偶數(shù)之間

的B相差6個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可以求得3刈8的坐標(biāo).

【詳解】解：???2（0,2）,

3

\OA=~,OB=2,

2

..Rt"OB中,AB=YIOA2+OB2

答案第4頁，共15頁

35

/.OA+ABX+BXC2=—+2+—=6,

.??巴的橫坐標(biāo)為6,且32c2=2,即與(6,2),

的橫坐標(biāo)為：2x6=12,

二點(diǎn)8刈8的橫坐標(biāo)為：2018+2x6=6054,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：2,

即點(diǎn)鳥88的坐標(biāo)為(6054,2),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律變化以及勾股定理的運(yùn)用，通過圖形旋轉(zhuǎn)，找到所有8點(diǎn)

之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

13.b(a+6)(a-6)

【分析】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分

解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解

法.因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止.

先提取公因式b,再利用平方差公式進(jìn)行分解即可.

【詳解】解:a2b-b3=b(a2-b2)=b(a+b^a-b),

故答案為：b(a+b)(a-b).

14.12

【詳解】多邊形內(nèi)角和為180。(n-2)，則每個(gè)內(nèi)角為180。(n-2)/n=150。再=12,所以應(yīng)填

12.

15.兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形

【分析】本題主要考查了寫出一個(gè)命題的逆命題，對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)

論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原

命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題，據(jù)此求解即可.

【詳解】解；命題“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題是兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角

形，

故答案為：兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。

16.2

【分析】根據(jù)題意，EB=EB',當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，符合題意，據(jù)此即可求解.

答案第5頁，共15頁

【詳解】解：???將這張紙片折疊，使得點(diǎn)3落在邊4D上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)"，

EB=EB',

^\B'E<AE+AB',

當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，EB'=AB=AB'=5,此時(shí)。夕的長(zhǎng)最小，

:.DB'=AD-aB'=4D-AB=7-5=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，理解當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)。夕的長(zhǎng)最小是解題的關(guān)鍵.

17.(1)x=-l；(2)2a+4

【分析】(1)利用分式方程的解法步驟求解即可；

(2)利用分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)分式即可.

【詳解】解：(1)兩邊同時(shí)乘以(x-2)得：5+x-2=l-x,

移項(xiàng)得：x+x=l+2-5,

合并同類項(xiàng)得：2尤=-2,

解得x=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)尸-1是原方程的解，

???原方程的解為x=-l；

2?

(2)原式=T-S+2)+

a—2(a—2)(Q+2)

“2_(Q+2)(Q-2)(Q-2)(a-2)

一'a^lX2

_a2-a2+4("2)(a+2)

―a^2X2

=2(a+2)

=2Q+4.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程、分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式方程的解法步驟，掌握分式

的混合運(yùn)算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵.

18.(1)作圖見解析；3,0；5,-3；1,-1

⑵見解析

(3)(0,2)

答案第6頁，共15頁

【分析】此題考查中心對(duì)稱圖形的畫法，平移圖形的畫法，中心對(duì)稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì),

對(duì)稱中心的確定方法，正確掌握中心對(duì)稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)作出點(diǎn)N、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4，B、，J,然后順次連接即可；

（2）根據(jù)平移特點(diǎn)先作出點(diǎn)4,B1,G平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4，B2,C2,然后順次連接即可；

（3）連接兩組對(duì)稱點(diǎn)的交點(diǎn)即為對(duì)稱中心，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出此點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】（1）解：如圖，△44G為所求作的三角形；

根據(jù)圖可知,4（3,0）,4（5,-3）,

故答案為：3,0；5,-3；1,-1.

（2）解：如圖，△/282G為所求作的三角形；

（3）解：連接臺(tái)與、CC2,則臺(tái)與、CC?的交點(diǎn)即為對(duì)稱中心,

?.?5（-5,3）,息（5』）,

一5+53+1

???對(duì)稱中心的坐標(biāo)為2'F

即對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（0,2）.

故答案為：（0,2）.

答案第7頁，共15頁

19.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查全等三角形判定，平行四邊形的判定的綜合，掌握全等三角形判定,

平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)點(diǎn)E是4C的中點(diǎn)，可得=根據(jù)C/〃AB,可得NDAE=/FCE,由“角

邊角”即可求證；

(2)根據(jù)中位線，平行線的性質(zhì)，四邊形的判定“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊

形”，由此即可求解.

【詳解】(1)證明：???點(diǎn)E是ZC的中點(diǎn)，

AE=EC,

■：CF//AB,

NDAE=ZFCE,

在和△CEF中，

ZDAE=ZFCE

<AE=CE,

ZAED=NCEF

:."DE知CFE(ASA).

(2)解：???點(diǎn)D,E分別是48,NC的中點(diǎn)，

.?.OE是AA8C的中位線，

DE//BC,

答案第8頁，共15頁

CF//AB,DE//BC,

，四邊形BDFC是平行四邊形.

20.⑴見解析

⑵6

【分析】（1）如圖所示，延長(zhǎng)￡>￡到尸，使得DE=FE,證明△/￡￡?會(huì)ACE尸，得到

/4=/FCE,AD=CF,則/?！?。/，再由點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，得到4D=8D=CF,即

可證明四邊形5CF7）是平行四邊形，則。E〃3C,DF=BC,再由=即可證明

DE=-BC；

2

（2）如圖所示，連接NN并延長(zhǎng)交3C延長(zhǎng)線于￡,證明之△ECN,得到

AD=CE=4,AN=NE,即點(diǎn)N是/E的中點(diǎn)，由（1）的結(jié)論可知BE=2MN=10,則

BC=BE-CE=6.

【詳解】（1）證明：如圖所示，延長(zhǎng)DE■到尸，使得DE=FE,

:點(diǎn)￡是/C的中點(diǎn)，

AE=CE,

在△4EZ＞和△(?￡■尸中,

AE=CE

＜NAED=NCEF,

DE=FE

AAEDmACEF(SAS),

：.AA=AFCE,AD=CF,

：.AD//CF,

r點(diǎn)。是＞8的中點(diǎn),

AD=BD=CF,

.?.四邊形BCFD是平行四邊形，

答案第9頁，共15頁

：.DE//BC,DF=BC,

又?；DE=FE,

：.DE=-DF=-BC,

22

.-.DE//BC,S.DE=^BC；

(2)解：如圖所示，連接MV并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于E,

ZNAD=ZNEC,ZNDA=ZNCE,

???點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，

DN=CN,

在和A￡CN中，

ZNAD=ZNEC

<ZNDA=ZNCE,

DN=CN

AADN^AECN(AAS),

AD=CE=4,AN=NE,即點(diǎn)N是4E的中點(diǎn)，

又,?,點(diǎn)〃是48的中點(diǎn)，

.?.由(1)的結(jié)論可知8E=2兒W=10,

：.BC=BE-CE=\Q-4=6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位

線定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

21.(1)甲、乙兩種手寫筆每支的售價(jià)分別是108元和138元

(2)購進(jìn)甲5支，乙15支，獲利最大，最大獲利為650元

【分析】(1)設(shè)甲、乙兩種手寫筆每支的售價(jià)分別是x元和了元，根據(jù)題意，列出方程組進(jìn)

行求解即可；

答案第10頁，共15頁

(2)設(shè)購進(jìn)甲種手寫筆。支，總利潤(rùn)為卬，求出卬關(guān)于。的函數(shù)表示式，根據(jù)乙種手寫筆

的數(shù)量不超過甲種手寫筆數(shù)量的3倍，求出。的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出最

值即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲、乙兩種手寫筆每支的售價(jià)分別是x元和了元，由題意，得：

(2x+y=354]尤=108

k如'解得：I

[3x+2y=600[y=138

...甲、乙兩種手寫筆每支的售價(jià)分別是108元和138元；

(2)解：設(shè)購進(jìn)甲種手寫筆。支，則購進(jìn)乙種手寫筆(20-。)支，

由題意，得：20—a<3a,解得：a>5,

設(shè)總利潤(rùn)為W，

貝°：w=(108-83)a+(138-103)(20-a),

整理，得：w=-10o+700,

???卬隨著。的增大而減小，

.?.當(dāng)。=5時(shí)，該商店銷售完后獲得利潤(rùn)最大，為-10x5+700=650元.

即：購進(jìn)甲手寫筆5支，乙手寫筆20-5=15支時(shí)，商店獲得利潤(rùn)最大，為650元.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程

組和一次函數(shù)表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵.

22.(1)BP'=CP,見解析

(2)①60。；②AP=2PM,見解析

【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用倍長(zhǎng)中線構(gòu)造平行四邊形是解

題的關(guān)鍵.

(1)利用SAS證明"8尸WAHCP,即可得出答案；

(2)①由三角形內(nèi)角和定理知/8+/6=180O-/APC=60。，再利用角度之間的轉(zhuǎn)化對(duì)

/P5P進(jìn)行轉(zhuǎn)化，^P'BP=Z4+Z7=Z5+600-Z8=60°-Z6+60°-Z8,從而解決問題；

②延長(zhǎng)PM到N,使=兒0，連接BN,CN,得出四邊形PBNC為平行四邊形,則BN//CP

旦BN=CP,再利用SAS證明AP&P均A?P,得PP'=PN=2PM.

答案第11頁，共15頁

【詳解】(1)BP-CP,

證明：?.?△48C是等邊三角形，

AB=AC,ABAC=60°,

Z2+Z3=60°

將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AP，

AP=AP',/PAP=60°,

/.Zl+Z2=60°,

/./1=/3,

.\AABP^ACP(SAS),

BP'=CP；

(2)①當(dāng)/5QC=120。時(shí)，

則Z8+Z6=l80°-ZBPC=60°,

?;AABPOACP,

/4=/5,

ZPrBP=Z4+Z7

=Z5+60°-Z8

=60°-Z6+60°-Z8

=120°-(Z6+Z8)

二120?！?0。

二60。，

故答案為：60°；

@AP=2PM,理由如下：

延長(zhǎng)9到N,使PM=MN,連接BN,CN,

BM=CM,

答案第12頁，共15頁

???四邊形尸5NC為平行四邊形，

:.BN〃CP且BN=CP,

BN=BP,Z9=Z6,

又「Z8+Z6=60°,

/.Z8+Z9=60°,

ZPBN=60°=AP'BP,

又BP=BP,P,B=BN,

二.△△尸’8尸包沖尸(SAS),

,ppf=PN=2PM,

又???AA