高考數(shù)學壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考《數(shù)列》真題匯編附答案解析

新高中數(shù)學《數(shù)列》專題解析一、選擇題1．設(shè){an}為等比數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.若a2＝1，a10＝16且a6＝b6，則S11＝（）A．20 B．30 C．44 D．88【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝1，a10＝16列式求得q2，進一步求出a6，可得b6，再由等差數(shù)列的前n項和公式求解S11.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝1，a10＝16，得，得q2＝2.∴，即a6＝b6＝4，又Sn為等差數(shù)列{bn}的前n項和，∴.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，訓練了等差數(shù)列前n項和的求法，是中檔題.2．數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和．即：.記該數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系利用裂項相消法探求和項與通項關(guān)系，即得結(jié)果.【詳解】因為，所以，選D.【點睛】本題考查裂項相消法，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，前項和為，且，，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，寫出.由數(shù)列是等比數(shù)列，得，求出，即求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，，，也是等比數(shù)列，，即解得，.故選：C.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且滿足，，成等差數(shù)列，則()A．3 B．9 C．10 D．13【答案】C【解析】【分析】設(shè)的公比為，由成等差數(shù)列，可得，解得，再利用求和公式即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，滿足成等差數(shù)列，，，解得，則，故選C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式與求和公式，屬于中檔題.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)和公式，并靈活應(yīng)用，在運算過程中，還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程.5．若為等差數(shù)列，是其前項和，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由,即可求出進而求出答案．【詳解】∵，∴，，故選B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列前項和性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.6．等差數(shù)列的前項和為，已知，則的值為（）A．63 B．21 C． D．21【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，原式可變?yōu)?，即可求?【詳解】∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】此題考查等差數(shù)列性質(zhì)和求和公式，需要熟練掌握等差數(shù)列基本性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)求和.7．等差數(shù)列的首項為，且從第10項開始為比1大的項，則公差的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，，把的值代入列不等式解得即可.【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列的公差為，首項，則，即，解得.故選：D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，要熟練記憶等差數(shù)列的通項公式．8．設(shè)函數(shù)的導數(shù)為，則數(shù)列的前n項和是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函數(shù)的導函數(shù)，先求原函數(shù)的導數(shù)，兩個導數(shù)進行比較即可求出，，利用裂項相消法求出的前項和即可．【詳解】，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查數(shù)列的求和運算，導數(shù)的運算法則，數(shù)列求和時注意裂項相消法的應(yīng)用．9．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到，任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段去掉，這樣，原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每條小線段重復(fù)上述步驟，得到16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進行“次構(gòu)造”，就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達到初始線段的1000倍，則至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是（）.（取，）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【解析】【分析】由折線長度變化規(guī)律可知“次構(gòu)造”后的折線長度為，由此得到，利用運算法則可知，由此計算得到結(jié)果.【詳解】記初始線段長度為，則“一次構(gòu)造”后的折線長度為，“二次構(gòu)造”后的折線長度為，以此類推，“次構(gòu)造”后的折線長度為，若得到的折線長度為初始線段長度的倍，則，即，，即，至少需要次構(gòu)造.故選：.【點睛】本題考查數(shù)列新定義運算的問題，涉及到對數(shù)運算法則的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造原則得到每次構(gòu)造后所得折線長度成等比數(shù)列的特點.10．等比數(shù)列的前項和為，若，，則等于（）A．-3 B．5 C．-31 D．33【答案】D【解析】【分析】先由題設(shè)條件結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式，求得公比，再利用等比數(shù)列的前n項和公式，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，等比數(shù)列中，，可得，解得，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的前n項和公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.11．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前5項之和的值為（）A．108 B．90 C．72 D．24【答案】B【解析】由于，所以，應(yīng)選答案A．點睛：解答本題的簡捷思路是巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，然后整體代換前項和中的，從而使得問題的解答過程簡捷、巧妙．當然也可以直接依據(jù)題設(shè)條件建立方程組進行求解，但是解答過程稍微繁瑣一點．12．已知數(shù)列的奇數(shù)項依次成等差數(shù)列，偶數(shù)項依次成等比數(shù)列，且，，，，則（）A． B．19 C．20 D．23【答案】D【解析】【分析】本題首先可以設(shè)出奇數(shù)項的公差以及偶數(shù)項的公比，然后對、進行化簡，得出公差和公比的數(shù)值，然后對進行化簡即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)奇數(shù)項的公差為，偶數(shù)項的公比為，由，，得，，解得，，所以，故選D．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，是中檔題．13．已知函數(shù)圖象在點處的切線與直線垂直，若數(shù)列的前項和為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到在時的導數(shù)值，進一步求得，可得函數(shù)解析式，然后利用裂項相消法可計算出的值．【詳解】由，得，，因為函數(shù)圖象在點處的切線與直線垂直，，解得，，則.因此，.故選：D.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用裂項相消法求數(shù)列的前項和，是中檔題．14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的為154，則輸入的為（）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【解析】【分析】找到輸出的的規(guī)律為等差數(shù)列求和，即可算出，從而求出.【詳解】由框圖可知，，即，所以，解得，故最后一次對條件進行判斷時，所以.故選：B【點睛】本題考查程序框圖，要理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的運行，考查學生的邏輯推理能力.屬于簡單題目.15．正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點，則（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可導函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為，得出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解：依題意、是函數(shù)的極值點，也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列，所以∴.故選：B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.16．等差數(shù)列中，，它的前21項的平均值是15，現(xiàn)從中抽走1項，余下的20項的平均值仍然是15，則抽走的項是()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，再根據(jù)前21項的均值和抽取一項后的均值可知抽取的一項的大小為，故可確定抽走的是哪一項.【詳解】因為，所以即.有得，設(shè)抽去一項后余下的項的和為，則，故抽取的一項的大小為，所以抽走的項為，故選A.【點睛】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.17．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學的名著．在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個問題中，這位公公的長兒的年齡為（）A．歲 B．歲 C．歲 D．歲【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列是等差數(shù)列，由，求得數(shù)列的首項，即可得到答案．【詳解】設(shè)這位公公的第個兒子的年齡為，由題可知是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，又由，即，解得，即這位公公的長兒的年齡為歲．故選C．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中認真審題，熟練應(yīng)用等差數(shù)列的前n項和公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．為等差數(shù)列，公差為，且，，，函數(shù)在上單調(diào)且存在，使得關(guān)于對稱，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】推導出sin4d＝1，由此能求出d，可得函數(shù)解析式，利用在上單調(diào)且存在，即可得出結(jié)論．【詳解】∵{an}為等差數(shù)列，公差為d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5?cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos?2cossin2sina5cos2d?2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上單調(diào)∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零點，即，得到ω．故答案為故選D【點睛】本題考查等差數(shù)列的公差的求法，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準確求解數(shù)列的公差是本題關(guān)鍵，考查推理能力，是中檔題．19．《九章算術(shù)·均輸》中有如下問題：“今有五人分十錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢【答案】C【解析】【分析】依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由題意求得a＝﹣6d，結(jié)合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，則答案可求．【詳解】解：依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，則由題意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，則a﹣2d＝a．故選：C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查實際應(yīng)用，正確設(shè)出等差數(shù)列是計算關(guān)鍵，是基礎(chǔ)的計算題．20．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的S的值是A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】本題首先可以通過程序框圖明確輸入的數(shù)值以及程序框圖中所