2020年高考理科數(shù)學(xué)《數(shù)列》題型歸納與訓(xùn)練

202。年高考理科數(shù)學(xué)《數(shù)列》題型歸納與訓(xùn)練

【題型歸納】

等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算

題綱一等愛數(shù)列法本?的計*

例I設(shè)工為等差數(shù)列的前“麗和.l：ui=l,公差d=2.&一廣&二把,則g

A.5B.6

C.7D.?

【答第】D

【IWE】叫法i：由iffl屈，m，”4—.￡,廣（#+2戶,由工”-S尸36得?g+

2）:-/r=4?+4=36.所以n=8.

解法二；5“2-$產(chǎn)%，|+/，：=%|+（2?+1）?/=2+20+1>=36,解材〃=8.所以選D.

【易錯點】對孔儲-S0=36.解析為發(fā)斗錯諷.

思蛆二等比數(shù)列基本■的計算

例2在任項均為正數(shù)的等比敷姆加/中，著%=1，勺="4加,，則他的值是_______.

【岑案】4

【解析】設(shè)公比為qgO）.??飛=1.則由4=4+24得/?=/+2/.即/-/-2=。,解得爐=2,

?'?%="H=4

［易得點］忌「條件中的正數(shù)的蜂比數(shù)列.

【思錐點撥】

等箜.（比）數(shù)列基本量的計力是解決等9（比）數(shù)列蛙型時的基網(wǎng)方法，在高考中常有所體現(xiàn).多以

送界網(wǎng)或地空瞧的形式呈現(xiàn),仃時也會出現(xiàn)在解答通的第一問中，怩基礎(chǔ)網(wǎng)-等基（比）數(shù)列基本運算的解迤

思路；

<1）設(shè)￥本中3網(wǎng)公弟小公比0.

⑵列、解方程4L把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)予s和d*曲方程（姐）,然后求帆，注意整體計算，以減少運算量.

等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明

題組一等差數(shù)列的判定與證明

例I設(shè)數(shù)列的各項都為正數(shù),其前”項和為工.已知對任意”W、?.工是足和外的等差中項.

（I）證明，數(shù)列|4｝為等差數(shù)列t

（2）2；“xr+S,求］。?人）的最大項的但井茨出取的大值時”的tfL.

【答案】（I）見M析：（2）當(dāng)m2豉”3時.［明?瓦｝的他大廈的位為6.

【解析】⑴由已知可存2s產(chǎn)后+%.且“"）?

當(dāng)尸1時.2。|=?什也，解得0i=1：

當(dāng)破2時，有25?2和+“.”

所以,2?M=25「2Sn-產(chǎn)“之-3-|+%-/i，

所以屆-加-1=??+tn,1111?.+俏-1K（ta-a?-1t=a?+?>-i.

因為心+a.-iX）,

所以外-o,11（碎2）.

故數(shù)列（4）處首項為I,公差為I的等旌數(shù)列.

由=小

(2)(l)uj%1at

Kic^mb..財<?“二”(-"+3)=-/十5”二(“一券十金，

因為“GN；

所以當(dāng)n=2或"3時，的以大項的值為6.

【易錯點】&是加和?“的等差中項?無法構(gòu)建?個等式去求解出加

【思建點撥】

3若數(shù)外的為定與證明的方法，

①定義法t%-q=d(”G、)或a。-*=d(〃22.〃vN')<=>{4}是等與數(shù)列:

②定義變影鐵，臉證是否滿足/“一4=4-47（”22,〃€1<）:

③等花中項法：勿”“=?.+4〃加GN）o｛aa｝為等差數(shù)列；

④通現(xiàn)公式法，通項公式形如4?〃〃十為常數(shù)）o｛”,｝為等差均列?

⑤前n項和公式法IS.=，/Sq為常數(shù)）o｛q｝為等差數(shù)以

注意r

行刑Bi?個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項勺使得與即可；

（2）如果要注明一個數(shù)列是等光數(shù)列，則必須用定義法或等學(xué)中項法.

題組二等比數(shù)列的刊定與證明

例2設(shè)散刊（司的前屆項和為民,已如0=1.Sn-iMtf.,+2.

“）設(shè)"=%.廠〃，證明：數(shù)州|兒］是司比數(shù)列：

Q）求數(shù)列|四）的通頂公式.

1答案】⑴見解析:（2）。尸（3n-D2T

【解6］（1）由6=1及工r=4ae+2.由ai+a?=S2=4<ii+2.

.*.02=5.

.'.fri=tfr_2oi=3.

“S?”=4q+2,①

^|S.=4a,i+2?②

①-②.得a-i=k2.-4<ti.

&丁|）-

,廠%”

?'?-=28??

故仍/是H胤也=3,公比為2的等比數(shù)列.

⑵由（I）知x-la^-T'.

.即！如3

**2W12d-4,

施忸是苜頊片.公并為%的等/數(shù)利.

【乳■+m-i卜壯F，

戰(zhàn)53LI>2””.

【易儲點】對于1>產(chǎn)廝，IR.在條件中無法構(gòu)造出來，等比數(shù)列的刊定與證明常用的方法不清楚.

【用維點裁】

等比數(shù)列的刊定。證明常用的方法，

<1）定義法?竽=4（4為常效114*。）0數(shù)列［可｝是等比數(shù)螞.

（2）等比中項法：。）=4?4.式〃亡1<，4或0）0數(shù)列｛4｝是等比效列.

<3）通項公式法：wO,"wN'）Q故列｛"」是等比我列.

（4）前〃項和公式法：著數(shù)列的前“攻&5.=-A°"*A（AwO,夕工。,勺=1）,則該數(shù)列是等比數(shù)列.

其中前期種方法是證明等比數(shù)列的常用方法,而埼兩種方法?般用于選杼題、以々題中.

注意：

“）若要為定?個敷列不是等比數(shù)列.則只需判定存在連續(xù)三項不應(yīng)色比數(shù)列即可.

（2）乂滿足?！?舛“（9*0）的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要％工0.

等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

題組一等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

例［右是等空數(shù)列,首項aiX）,on+cioi+O，?OWOIIMKO,則使而“項和SX）成叱的用人正空敢“

是

A.2016B.2017

C.4052D.4033

【答案】C

【崎"'「】因為"1乂）.。,”6+位川，>0.t^ou-A?ni?<0.所以的0.碩01。0.moiW）.

所m=403網(wǎng)=4032（仆”+外口）>°,工““=4033（“\"神”=4033%7V0?所以

222

使前，或和SK）成立的最大止格數(shù)“是4032.

【易錯點】等差數(shù)列的求和與等差數(shù)列的某一項有關(guān)系.

題組二等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

例2已知數(shù)列｛“.1是等比數(shù)列，列為其酋“項他若“I十幻十a(chǎn)i=4,a十os十彌N,則與產(chǎn)

A.40B.M）

C.32D.50

【答案】B

【解析】由等比數(shù)列的性1?仃知，數(shù)列Sj.又-8.Sn-S是等比數(shù)外，即數(shù)列&8,S，.

總等比數(shù)列，因此$：=4%8$16；32FO.送B.

【易特點】也=1+/.等式不會抬化.

5“

【思維點撥】

等受（比〉數(shù)列的件或是每年高考的熱點之一，利用等差（比）數(shù)列佻性腦進(jìn)行求W可使題4減少運

Stt.柳鼻以選擇題或以登腿為主，垂度不大，屬中低檔題.

應(yīng)用等差數(shù)列性隨的注蔻點，

<1)熱榛學(xué)握等差數(shù)列性質(zhì)的實防

等差數(shù)51的性整及等差數(shù)列的定義.通項公式以及苒”項和公式等柒空知識的推廣與變形.熟練章川和式

清應(yīng)用這些性質(zhì)可以仃效、力便.快戰(zhàn)地蝴決許多等差數(shù)夕峋阻

<2)應(yīng)用等差數(shù)列的性能時答何題的美鍵

了找項數(shù)之間的關(guān)系，?但要注遇性質(zhì)運用的條件,如若切+〃=〃+4?則=%+%(6

qwNb，需耍當(dāng)"號之和相等、項數(shù)相同時月成立，再比如只有當(dāng)?shù)炔罡牧械膎t”項和s“中的"為奇

收時”才仃SEW+成立.

應(yīng)用等比數(shù)列性垢時的注誨，/

(1)在解決等比故列的“關(guān)何題時，要注意挖拈隱含條件，利用ft班.特別是件府“若行+什+q,則

而w尸”q”，可以減少運算量，提高解題速度.

(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解想時,噴注宜性質(zhì)成點的前提條件，有時需嚶進(jìn)行適當(dāng)變形，此外，解現(xiàn)時注點設(shè)

而不求忠姻的EHL

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

例I已知｛出｝是等基數(shù)列.公差d不為零.第〃斯和是$?.七.”“,，公嫌等比數(shù)列.則

A.aidX).d850B.auMLdSQ

C.mrfX),dl1VoD.a*O,dSuX)

【答案】B

【M"1由ed="UM.+2z/Mai+7</)=(?i+V)"."，4PI1<A5f/+3</i)=0.乂的).；.s=jJ,則”i仁節(jié)戶<0.

乂?.?&=4"+膽］d,.’.嶼>；/<0,故注B.

【易借點】對三項成等裁數(shù)列的卬項性質(zhì)應(yīng)用.

例2已知皎列｛4｝滿足：a,，L&=d”WN-l.前”項和id為亂,a尸九$二21.

”)求數(shù)列|%|的地項公K；

(2)設(shè)數(shù)列［〃"；尚足力邛,%「4二片?來數(shù)列｛6｝的通項公式.

【答案】⑴a?=3〃+1；⑵瓦與2"'.

【1*所】(1〕由已知數(shù)列(”.)為等差數(shù)列.公差為d,則&=3x4+/J=2l.M行rf=3.

所以數(shù)列的通項公式為ai郵+1.

(2)曲⑴得兒+1-32%+'.

當(dāng)后時.fr=(

2?-fc.?>+(￡>ni-fe.?)+...+(d：-bi)4-Z>i.

二…+2w-s*1624[|-2,<*"]161….、川

Hr11A=2-+2J*$+--4-2+—-------；_：4—=-x2u2).

071-2*77I>

又包￥酒足8?斗2熊”.

所MVnWN",兒=!><2"!

【易情點】雙加法的聯(lián)想和使用.

考點5等差效列與等比數(shù)列的創(chuàng)新同居

周館一等差效列與等比數(shù)列的新定義問題

例I收S為數(shù)列｛5｝的前”項和.磴(“GW)走非零常Jft.則稱該軌列為“和等比數(shù)列若數(shù)列(，?｝是首

項為2、公差為小血0)的等差數(shù)列,且故列匕/是“和等比故列”，則&.

【答案】4

【解析】由感色可知，數(shù)列|c/的前施項何為S.=坐*.前2n頊和為S、.=.1：%)?所以萍

22

2”(，u)

——24-..2^-24—4~；.所以當(dāng)“4時.自為非零常數(shù).

nfc.+cj4+，W-d4^S”

-----2-----nd

【易鋒點】數(shù)列新定義型創(chuàng)新期.

【思隹點撥】

改列新定義型創(chuàng)新理的一般解胭趙路：

(1)面讀審清。新定義”：

(2)結(jié)介常規(guī)的等整數(shù)列,等比數(shù)列的相關(guān)知識?化歸'?；幸粯?biāo)定義”的相關(guān)知識：

<3)利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識.求解證明相關(guān)結(jié)論.

超組二號差數(shù)列與等比數(shù)況的文化背景向理

例2<九章血術(shù)》卷第4《均輸》中.提到如下前即，“今有竹九U.卜三節(jié)人簞四升.上四節(jié)4*三升.向

〒四二節(jié)砍均客，各多少？”其中“歐均守'的點思星：使容星殳化均勻，用餐節(jié)的容員成等是數(shù)外.在這個

網(wǎng)志中的，!，舊兩節(jié)容用分刈是

A.2升、以升B.2升、3畀

6633

二野二開?"備開

【答案】D

【所折】設(shè)從上而下.記第i節(jié)晌容吊為qJt,故q+%+4+/=3.%十%十q=4.設(shè)公差為4.

M+21(/=4

4?146</=3

【易錯點】數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)知識的結(jié)合需要學(xué)生的應(yīng)用意識.

公式法求和

題怛一等差數(shù)列的求和公式

例1設(shè)等差數(shù)列㈤的前k項和為S?，H滿足S“X),Si.<0.陪，7.…，警t你大的項為

<4I??15

AS~>,?S>?

A*B.工

C.-D.近

45。

【棄案】c

【解析】因為｛"/是等處數(shù)列,所以So-衛(wèi)絲士立?17加>0.所以出>0?又8■史如吆坦1叫3十

22

<0.所以.<0,即諼等差數(shù)列楠9項均是正數(shù)現(xiàn)從第I。項開始是負(fù)數(shù)現(xiàn)吟最大，故選C.

【易錯點】等差數(shù)列的公差和求和的關(guān)系.

題組二等比數(shù)列的求和公式

例2住等比微列中,a+，)?=34.A.O.I-64.HUI“項和—則以敬m等于

A.4

C.6D.7

KB%1B

【解析】設(shè)等比數(shù)列m?i的公比為s由題而:得產(chǎn)?心=H,

Ztfi+?,,=M.解得tn=2,〃?=32或川=32,a?=2.

當(dāng)ai-2.ar32時.￡■華瞪^_?二二"2H"?,解得02.又如PI/'所以2x2",-2--32,超用n~5.

同理.當(dāng)，時.由&=汨▼[.又&=。|心|=乂」=所

”=32.0r=2爾:-9)_北；叱_]_3=62.M326>2.

以(加小^1即"T4E

綜上，項敷修等于5?故選B.

【易密點】等比數(shù)列中域性質(zhì)的求髀.

例3己知等差數(shù)列[“/的前”項和為￡，115,-9.ai.?u卬成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列1小|的通項公式：

<2)若o^ui(當(dāng)n>2時),數(shù)列｛兒｝滿足兒=L1求數(shù)列(仇|的前wJSfilT..

【弟案】(1)3〃+1或a*3i<2)7>2/J.

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列3｝的公券為d.由雕"斛。巾所即皿+MHsm+&r),化簡得仁%?或出o.

?3x219

力/4小時-S?=3<Ji+I=2?I=9.di=2.J=l.

即

.\ov=<ri+(n-1>/=2+(w-1)=/?+1.01rsn+1：

當(dāng)上。時.由*=9.好<h=3,

/.ru=3.

練匕a.-n?IiS.aj=3.

⑵曲麴點可知"2%=2”'.

.*.Ai=4.^--2.

是以4為首項.2為公比的崎比數(shù)列.

，3^^=呷*.一

1-(/1-2

【易錯點】等差數(shù)學(xué)與等比數(shù)列的互利交叉使用.

【思維點撥】

1.兩組求和公式

.、皿上一山?”(■+”.)Mw-I),

⑴等差數(shù)如，5尸一L—E-^na.4-—-d,

22

navi1,=I

等比數(shù)列「

(2)?S.=01amaa,

~;、q*1

I-qI-q

2.在進(jìn)行等莖(比)數(shù)列項與和的運兌時,若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯.則均可化成關(guān)fw和小小的方程

組求解，但婆注意消無法及整體H麻.以減少計兌量.

注，在運用等比數(shù)列前〃項和1公式的.一定要注意判斷公比q是否為I.切算行目套用公式導(dǎo)致失誤.

錯位相減法求和

例I己知等比數(shù)列｛4｝的前“魚和為S",若$、?7,1-63,則數(shù)列｛，q)的曲”項和為

A.-3+(n+l)x2"B.3+(n+1)x2'

C.l+(n+l)x2?D.l+{/J-l)x2"

【答案】D

'兩式瞰斛腎=力得,姍…'

【超析】當(dāng)”1時?不gU當(dāng)"1陸

則分=1,所以a“=6，T=2"L所以止a=〃々1,則數(shù)列卜叫}的前“項和為

7；=1+2?2+3?2'+…+”=1.

27；=|.24-2-22+-+(/r-l)2"'4?2\

(Y

兩大和M得到；-7；=1+2+2:+--+2"-,-?-2,,=^^-/1-2,=(1-?)-2'-1,

11—2

所以rHI+G.I)?.故近D.

【易錯點】注莫:祜位MIM的運笈生理一

例2已知等差數(shù)列｛4｝滿足;%=1,讀數(shù)列的前三項分別加上I,I，3%成售比數(shù)

列.t/w+2log.^=-1.

(I)求數(shù)列｛對｝.｛”｝的通項公式;

(2)求教列｛4?2｝的抑”項和工,

2/?+3

【答案】(lia.=2"-l,"=2'；(2)r.=3-

2"

【陰析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公互為旦/>0.

由q=1,q=l+d,%=l+2d,分別加上I.I.3后成等比墳列.得(2+df=2(4+24).解燈4=2.

=I+(M-1)X2=2/1-1.

V<r.-f-llogj/j,--I.

.,.log,/>?=-?.即〃產(chǎn)

2〃一I

(2)由(1闈而打=——.

2"

2"

1135

20=^+1+彳+..4^1,②

①-②.徉

【易錯點】注意錯位和竣的運算步AL

【思維點SU

錯位相及法

道川卜各期由一個等率數(shù)則和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘棋祖成的數(shù)列.把—圖+…+〃”網(wǎng)邊”乘

以相應(yīng)等比數(shù)列的公比仆得刊g￡=aq+。想+…+“”，兩式錯位相減即U求出S?.

裂項相消法求和

例1已知數(shù)列｛“”｝的前”項和S.二必/2”,則數(shù)列｛丁!

的前6項和為

(rttl

A.14

1515

「510

C.—

II

【答案】A

【附析】數(shù)列｛4｝的前“項和5,=〃、2〃，〃之2時.兩式作差得到a.=204l("N2),

當(dāng)”=1時.也適合上式，所以4=2”*I.所以一!—=

(2〃+1)(2〃+3)2(2w+l-2n+3),裂星

求和忤斗;乂I112

+----.....I=---故答案為A.

35571315)15

【易錯點】需要檢驗*1時通收公式.

【思維點撥】本題考占的是數(shù)列通附公*的求法及數(shù)列求和的常用方法.數(shù)則電項的求法中有常見的.已知$.

他”.的關(guān)系.求處的表達(dá)式.一般是寫出S“TK兩式作冷得通項,但是這件方法需要檢驗，尸IH通頂公式

是否地用,散刑求和利常用方法有：脩位和依、裂項求和、分姐求和等.

例2已如等比數(shù)列3/的前〃頂和為￡,Hg=3""+(x”wN).

“)求”的值及數(shù)列I。)的通項公式：

<2UibKl“力!讖1(/口".|),求數(shù)列的前n以和T?.

【棄案】(l)?=-3.a^=y'(/iFN'h(2)7>4

SW：TI；.

【解析】(l)V65,=3-4|4-(A/ieN*>.

工當(dāng)ml時，6Si=6ai=9+a.

當(dāng)他2時.<MJ.,=6(S.-SB-I)=2X3\即53”'.

?.1a｝是等比數(shù)列.

；.。1=1.M09+^=6.W/r=-3.

工數(shù)網(wǎng)［〃｝的通項公式為〃.=3"InWN).

42)由11南屏=(1-刖)1髭、(底?“…)=<3"-2乂2”+I).

耳一―-)

擊盤+專+…％“一2)(3〃+廿++抖+3”一2

【易播點】裂題相治法注題分廣.

【思維點技】裂項相消法

將數(shù)列的通項分成兩個式子的代敵和的形式.然舊通過累加抵消中間E干項的方法.裂項相消法說用

于形為：；；卜｝(其中I。/是各項均不為零的等差數(shù)列,。為常數(shù))的致利?

I<>?*???1J

拆項分組法求和

例1已知的數(shù)Ra,=/(?)+/(/i+l).則…+4g=

A.-100B.0

C.I(X)D.102()0

【答案】A

【解析】由題盤可用,a,=-l+24.。：=2'一3'?dj=-3,+4s.4=4：—5'.......

所M4+硒+…+%=(-1+2?)+…+(-99?+1儀尸)=(1+2)+(3+4)+…+(99+100)=5050.

i21

a,+?4+...+aKI：,=(2-3)+.-4-(l00-IOP)=-(24-3+.??41()04101)=-515().

所以6+的+…+%n=5050-5150--1()().

【易錯點】奇數(shù)項與例數(shù)項分別求和，得個和都兄等差數(shù)列的和.從制埼十求解.

【思維點撥】故列?求和的常用方法：公式法、分綱求和法、裂壩相泊法、并項求和法、制序相加法等，當(dāng)

通到收列的地項為4=(-1)"f(”)的形式時,可以用并項求和法或占用分41求和法,111于本圖中

(，.=(一1)""+(-1>'(”+1『二(一『”［，1+(“+1)］,因此我們把奇數(shù)項與偶數(shù)項分別求和.何個和都是

號才15cx的和，從而特戶求解.

例2已知3弄數(shù)列|呢［中，s=5,前4項和￡=28.

U)求收列恒?｝的通項公式：

⑵若bKTM，求數(shù)列｛4｝的前2n項和人

［專案

］(I)<i?=4n-3：<2)/2t=4n.

<n=m+d=5,

【超析】(D設(shè)等差數(shù)列SJ的公差為4剜山已知條收得.，，4x3,

&=4ui+-yxd=28,

竹、

14=4.

)xr/=4n-3.

⑵由(I聞符兒=(-1尸3-1廣(33).

:.3-1+5f+13-17+...+(8n-3)=4xgU.

【易錯點】注意拆項分綱是為了介并.

【思篋點技】

拆收分組法

把數(shù)列的知一項拆成兩項(或多項卜再由新絹合成兩個(或多個)簡單的熱列.最后分別求和.

.效列求通項

例I設(shè)S”足數(shù)列|斯|的前”項和，以也=-1,aa，i=S?rS”，則S?=.

【存案】子

【解折】法一：構(gòu)造法

illdinft/以?j=-S/?-S.=￡f?￡,?

兩邊用時除以&十工.Rr1—f--|.

故故列上是以-I為首項，-I為公理的等處數(shù)列.

?JJ-=—1+(?-1)X(-1)=—n,

所以工二一5

法二；歸納推理法

由叫■一I,tfSA-i可得G=WmSi十0：)?故6■+,土，同理可存。嚴(yán)看=*,皿==二

擊.…，由此猜想當(dāng)臉2時，仃。?=信詞=崗一%所以當(dāng)論2時，S.=fli+fl2+...+a,=-l+(l-1)

7

十(；―9十(；一：)十…十年T-!)=一土又因為S=一1也適合上式，所以5n=一5

【易《＞點】(I)條件中既有/…乂仃$”自然患劉陽公式％=，：?：-、、乂因為箝果求S”,所以韋感

用公式/7=&”-S換去進(jìn)第4到關(guān)F工的遞推公式，用構(gòu)造新數(shù)列使向明獲鮮.

(2)號慮到填空剪的題型特點.由通推關(guān)系求出6,?).a，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)8(律，背擔(dān)遹項公式出.最后也

小求出&,當(dāng)然這需要冒一定風(fēng)險.

【思雄點談】

I.一般地.前于既向外.乂有工的數(shù)列題,應(yīng)充分利用公式a尸［：］；.'行時將化為

&.〃時將￡轉(zhuǎn)化為的.要根燃用中所紿條件靈活變動.特別注點的是,公式an=S“一S.?明11僅當(dāng)”R

時成立,所以在利用作整法求解數(shù)列的通項公式時，應(yīng)注意對”=1的依驗.

2.由逐推公式求數(shù)列通項的常用萬”、

⑴招如a”T=a"+人”）.常用於加法.即利用恒等式”.二。|+（6-5）+（小一化）+…+（〃”一。.1）求通

公式.

（2）形如“產(chǎn)常可果用費乘法.鄴利用恒等式詈…」上求通項公式.

?1020^-1

（3）膨如“T=fw.十小艮中從d為常散.MU）的數(shù)列,例用KJ造法.其讓爾出路是：陽造a-r+K=b（a

十乂彳典中*-昌）則m.+0是公比為力的等比數(shù)列，利用它即可求出“4

（4）形如人.|=合力，q,r是常賬）的致圳，將凡變形為￡=：!+*

若/，一〃?則!;是等差數(shù)列.只公建為方可用公式求通項；

乃內(nèi)，.則可采用（3）的辦法求解.

數(shù)列的像合應(yīng)用

題但一致列與不等式的交匯

例I設(shè)等差數(shù)列I”）的前泮項和為S.,已知s=9,s為整數(shù)，且SW&.

求luj的通鬼公式；

。）設(shè)數(shù)列的前”項和為人，求證，TA

aWn?I~

【答案】⑴3J?2ih⑵見加折.

【郵析】（I）由5=9,由為所I可知,等冷敦列|，川的公不，/為格效.

又一$?

二。侖0.^￡0.于是9,4企0,9+5rf<0.解御爭代?

?；d為空數(shù),

：.d=-2.

故loj的通題公式為awll-2”.

⑵曲“）得'3-J（|]_2“M9_2m飛-%H-2nb

,*?H）+卅）+“+（±7七

由話數(shù)/U?=U五的圖象關(guān)于點《5,0）對稱及其曲調(diào)性.如。VbiVb2〈hVb1,bi<尿<bjV…<0

'?b?Sb?=\.

**?1~

【易錯點】數(shù)列的不等式注意最后的分析.

題期二敷列與函敷的交匯

例2設(shè)的拽尸20IKdk，E、?2018）處的切線與x軸的文也他,：肥標(biāo)為匕,令/=1。氏小三?

則十…十trjon的值為

A.2018B.2017

【答案】D

【解析】閃為產(chǎn)20陽”十1丫.所以切卷力和足廠20昨2（）185十1人1）.所以七不”.

x1

所以+<?；+...+tfi01?=logjOW<X|-X；-...Xi01r)=log2W|■?■37j}^>=logjMM="l.故選D.

一,~2018

【易錯點】數(shù)列結(jié)合了導(dǎo)致和對數(shù)的知識.繪合性強.

【思維點撥】

戴列。不等式的交匯名為不等式恒成立或證明和的范圉的形式，在求總時要注意等價轉(zhuǎn)化,即分離參

數(shù)法。收縮法的技巧應(yīng)用.

己即函數(shù)條件解決數(shù)列向網(wǎng)，此類阿也一般利用函數(shù)的性筋、圖以耳先數(shù)列問題I己知數(shù)列條件解決

南數(shù)何遨，斜決此類同眈一般婆充分利用數(shù)川的色圍、公式、求和方法*對式子化韻變形.

【鞏固訓(xùn)練】

題至一求等差致列和等比致列的基本量

I-已切國匯數(shù)列｛4｝的而”項和為，.11.^5=12.勺=0.暑4、0,則51n

A.420B.340

c.72。.D.-340

【答案】D

【解析】根挺等差數(shù)列的性偵桁到qq=l2n(%+d)(%+M)f2nd=-2q=2.

M)x19

故得劑Sp=2。X2+X(-2)=-340.

2.在等比數(shù)的{4b3若%二&，%"則"'十"=

A.i

BI

C.1D.2

2

(斛析】說出比數(shù)列佃.｝的公比為</?則q=%2

gxj2

虢=湍弁=A圈*4皿.

3.已知等1數(shù)列｛nJ的前“項和是S”.“必+%+為+弓=18.則下列命咫正確的是

A.&是常數(shù)B.其是常放

足格數(shù)$。是法散

C.0KlD.

【答案】D

【解析】?：%+%+<<+珥=2(%+4)=18二/+，《=9，二，。=，")=5(七+%)=45.

為常數(shù)，故逸D,

題加二等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和藹本?求解

I.對于數(shù)列也｝,定義數(shù)列卜*-M,｝為數(shù)列上｝的“2倍差數(shù)處,若4=2｛叫的“2倍差數(shù)時?的通

項公式為幺“-2%=2'*',則數(shù)列也｝的前n項和S.=.

【存案】(〃一1)2”“劣2

【解析】由三2d?Ha,=2,得黑一祟?1，所以數(shù)列｛3;衣示酉壩為1'公漁d=l的

等差數(shù)列,所以M="("-1)x1="?所以a”="2’

則展+

5r,=1-2'+23"<…+<”T)2'+〃2,

25.=1-22+2-2*+3-2+4--.+(n-1)-2"+n-2^'.

兩式加旗可斜-5'=2+(22+2'+???+2")一小2-'=2+2(；：；)一小2T.

解將S.=（，LI）-2”“+2

2.等比數(shù)列｛。力中，已知對任童自然數(shù)小a,+a,+o,+...?<?,=2'-].則a；+a；+a；+???+o:等于

A.2*-IB.1（3"-1）

C.-（4"-l）D.以上都不刻

【答案】C

【解析】當(dāng)，，=1時，《=2'-1=1,

當(dāng)n2:2時，％十七+/+???+”6=2'-1.6+處十〃>十…十=2"1-1.

網(wǎng)式住整可堀，（i?=2--2'_,=2'_,.當(dāng)〃=1時.2'-'=2°=I=</,.

綠上可行.數(shù)列｛4｝的通項公式為故a；?（2*T）=4T.則故列付｝是否?項為I,公比為4

的等比數(shù)如其前〃頂和為。:4uj4fl；+...+a;=）=；（4"-）本題選擇C選項

3.LL如正期鬻比數(shù)列｛q｝的前八項和為只外緣=2%,勺與”的等差中項為;，則壬=

A.36B.33

C.32.D.31

【答案】D

【解析】：a1atl-2af.aiai=2a｝,故%=2?乂%+2ati=3..:,q=L?（=16.

16

$=」-'---（：_1）J.=3I.故選D.

1--

2

4-中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個向鹿：今有牛、馬、羊食人苗，苗主貴之栗五斗r羊主口：

“我羊償華馬.”馬主口；“我馬食華牛）今欲哀倭之，時各出幾何?此問題的譯文是；今有牛、馬、羊吃了

刖人的禾苗,禾苗主人要求腦催S斗栗,￥主人說；“我羊所吃的禾苗只有馬的一半產(chǎn)馬主人說：“我馬所

吃的禾苗只有，牛的?半”打翼按此比率使還,他為各應(yīng)償還多少?已如牛、I、羊的主人應(yīng)償還“開.h

n.CTHi斗為io升.則下列判斷正確的是

A.a/.c依次成公比為2的，等比數(shù)列,Ra=T

b.依次成公比為2的可比數(shù)列.且

C.ab.c依次成公比為」的等比數(shù)列,且。=二

27

?<()

D.0,反。依次成公比為3的等比致列?Hc-y

【谷案】D

1”析】由條件如a，方.。依次成公比為L的等比數(shù)列.三者之和為50n.根據(jù)等比數(shù)列的前，，項和.

■

50

即。+勿+4。=50=>。=],故答案為口.

典型三敷列求和

I.記其為等差數(shù)列的前“項和，已見產(chǎn)尸-7.5,=-15

(1>求的通項公式.

(2,求并求工的呆小值.

【答案】⑴4="9；(2>S.=/-8"及小值為?16.

【前所】(I)收；"’的公"為“，由因怠的招.M'-IS.

由《.=-7將(/-2.所以I"」的通項公