計算機算法分析與設(shè)計(研究生)全冊配套課件(二)

計算機算法分析與設(shè)計(研究生)全冊配套課件(二)0-1背包問題(0-1KnapsackProblem)設(shè)有n個物體和一個背包,物體i的重量為wi價值為pi背包的載荷為M,若將物體i(1

i

n,)裝入背包,則有價值為pi.目標是找到一個方案,使得能放入背包的物體總價值最高算法設(shè)計與分析>回溯法若取W=(20,15,15),P=(40,25,25),C=30例題有限離散問題總可以用窮舉法求得問題的全部.例如取N=3,問題所有可能的解為(解空間):(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)

可表示為一棵3層的完全正則二叉樹時間復雜性:O(2n)求解過程相當于在樹中搜索滿足條件的葉結(jié)點.第五章.回溯法(Backtracking)設(shè)問題的解可表示為n元組(x1,x2,…xn),xi

si,si為有限集,n元組的子組(x1,x2,…xi)i<n應滿足一定的約束條件D.設(shè)已有滿足約束條件的部分解(x1,x2,…xi),添加xi+1

si+1,若(x1,x2,…xi,xi+1)滿足約束條件,則繼續(xù)添加xi+2;若所有可能的xi+1

si+1均不滿足約束條件,則去掉xi,回溯到(x1,x2,…xi-1),添加尚未考慮過的xi,如此反復進行,直到(x1,x2,…xk)k

n滿足所有的約束條件或證明無解.5.1基本思想算法設(shè)計與分析>回溯法E={(x1,x2,…xn),xi

si,si為有限集}稱為問題的解空間.約束條件隱約束:元組的分量間滿足函數(shù)關(guān)系f(x1,...xn)顯約束:每個xi的范圍都給定的約束.滿足顯約束的全體向量構(gòu)成解空間.例題算法設(shè)計與分析>回溯法1.子集樹:當解向量為不定長n元組時,樹中從根至每一結(jié)點的路徑集合構(gòu)成解空間.樹的每個結(jié)點稱為一個解狀態(tài),有兒子的結(jié)點稱為可擴展結(jié)點,葉結(jié)點稱為終止結(jié)點,若結(jié)點v對應解狀態(tài)(x1,x2,…xi),則其兒子對應擴展的解狀態(tài)(x1,x2,…xi,xi+1).滿足所有約束條件的解狀態(tài)結(jié)點稱為回答結(jié)點.2.排序樹:當解向量為定長n元組時,樹中從根至葉結(jié)點的路徑的集合構(gòu)成解空間.樹的每個葉結(jié)點稱為一個解狀態(tài).解空間樹構(gòu)造:搜索按深度優(yōu)先策略從根開始,當搜索到任一結(jié)點時,判斷該點是否滿足約束條件D(剪枝函數(shù)),滿足則繼續(xù)向下深度優(yōu)先搜索,否則跳過該結(jié)點以下的子樹(剪枝),向上逐級回溯.搜索過程:求解過程可表示為在一棵解空間樹作深度優(yōu)先搜索.0-1背包問題設(shè)有n個物體和一個背包,物體i的重量為wi價值為pi背包的載荷為M,若將物體i(1

i

n,)裝入背包,則有價值為pi.目標是找到一個方案,使得能放入背包的物體總價值最高算法設(shè)計與分析>回溯法

設(shè)N=3,W=(20,15,15),P=(40,25,25),C=30例題x1=123x2=233x3=3ABCDEFGH子集樹排序樹中間結(jié)點可以是解,例如,只裝物體1,B是解只有葉結(jié)點可以是解xi表示第i次選擇物體號ProcedureBACKTRACK(n)；{k:=l；

repeatifTK(x1,x2,...xK-1)中的值未取遍then{xK:＝TK(x1，x2，...,xK-1)中未取過的一個值；

ifBK(x1,x2,...,xK)then//狀態(tài)結(jié)點(x1,...xk)被激活

ifk＝nthenoutput(x1,x2,...,xk)//輸出一個回答結(jié)點

e1sek:＝k+l；

}

//深度優(yōu)先

e1sek:＝k-l；//回溯

untilk＝0；//回溯到根結(jié)點end；{BACKTRACK}算法模式回溯法解題步驟:1).針對所給問題,定義問題的解空間2).確定解空間結(jié)構(gòu).3).以深度優(yōu)先方式搜索解空間.算法設(shè)計與分析>回溯法遞歸回溯算法設(shè)計與分析>回溯法voidBacktrack(intt){if(t>n)Output(x);else//f(n,t):leftChild;g(n,t):rightChildfor(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++)x[t]=h(i);//Valueforcurrentchildif(Constraint(t)&&Bound(t))Backtrack(t+1)}}voidIterativeBacktrack(void){intt=1;while(t>0){if(f(n,t)<=g(n,t))//對剩下子樹處理

for(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(Constraint(t)&&Bound(t)){if(Solution(t))Output(x);elset++;}}//i=f(n,t)-1,進入下一結(jié)點

elset--;//所有剩下子樹處理完畢}}}迭代回溯算法思路1:問題的解可表示為k元向量{x1,x2,...xk},1

k

n,xiW

解空間樹為子集樹.1)當i

j,xi

xj

2)3)

問題陳述:給定n個不同正實數(shù)的集合W={w(i)|1

i

n}和一個正整數(shù)M,要求找到子集S,使得=M算法設(shè)計與分析>回溯法>子集和

例如設(shè)n=4,W=(11,13,24,7),M=31

滿足約束條件的子集為(11,13,7),和(24,7),5.2子集和問題S=(1,2,4),和S=(3,4),約束條件x1=w1w2w3w4x2=w2w3w4w4w4w4w3w3w4w4w4+xj+1

M+

M選xj+1代表的分枝不超界選xj+1代表的分枝最終能夠達到M元素不能重復選取算法設(shè)計與分析>回溯法算法思路2:問題的解可表示為n元向量{x1,x2,...xn},

xi=1或0則問題的解空間樹為排序樹約束條件:>子集和+

Mn=4,W=(11,13,24,7),M=31//即使選了下一個,和不超界,所以,選與不選的//子樹都可以展開//未來值有可能使累和達到Mproceduresumofsub(s，k，r)；

{正實數(shù)組W[l..n]，布爾數(shù)組X[l..n).M，n：均為全局量。

W[l..n]按非降次序排列，s=W[j]X[j]，r=W[j]

假定W[l]≤M及W[i]≥M}{X[k]:=1；

lfs+W[k]=MthenPrinttheresultX[1..k]elseifs+W[k]+W[k+1]<＝Mthensumofsub(s+W[k]，k+1，r-W[k])ifs+r-W[k]>＝Mands+W[k+1]≤＝Mthen{X[k]:=0;sumofsub(s,k+1，r-W[k])；}算法復雜性:約為窮舉法的1/3子集合問題回溯算法(排列樹)算法設(shè)計與分析>回溯法>子集合//進右子樹及條件(不選后不超界,且有達到M的可能)//進左子樹及條件(選后不超界,而達到M的可能性在進入第k層時已保證)算法設(shè)計與分析>回溯法>子集合n=6,m=30,w={5,10,12,13,15,18}時由算法生成的部分解空間樹子集和s剩余元素之和r當前層次k算法設(shè)計與分析>回溯法>n后問題5.3裝載問題問題描述:n個集裝箱裝到2艘載重量分別為c1,c2的貨輪,其中集裝箱i的重量為wi且

問題要求找到一個合理的裝載方案可將這n個貨箱裝上這2艘輪船。例如當n=3,c1=c2=50,w=[10,40,40],可將貨箱1和2裝到第一艘船上;貨箱3裝到第二艘船上;若w=[20,40,40],則無法將全部貨箱裝船.當時問題等價于子集和問題;當c1=c2且時問題等價于劃分問題.若裝載問題有解,采用如下策略可得一個最優(yōu)裝載方案:(1)將第一艘輪船盡可能裝滿;(2)將剩余的貨箱裝到第二艘輪船上。將第一艘船盡可能裝滿等價于如下0-l背包問題:xi{0,1},1in可采用動態(tài)規(guī)劃求解,其時間復雜性為:O(2n)算法設(shè)計與分析>回溯法>裝載問題算法思路:用排序樹表示解空間,則解為n元向量{x1,...,xn},

xi{0,1}

+wj+1

c1約束條件:由于是最優(yōu)化問題,可利用最優(yōu)解性質(zhì)進一步剪去不含最優(yōu)解的子樹:設(shè)bestw:當前最優(yōu)載重量,cw=:當前擴展結(jié)點的載重量;r=:剩余集裝箱的重量;cw+r≤bestw+wj+1>c1選wj+1就超界,所以,左分枝不能選剪左子樹條件:剪右子樹條件:不選wj+1,結(jié)果無法達到最優(yōu),所以右分枝不能選算法設(shè)計與分析>回溯法>裝載問題例如n=4,c1=12,w=[8,6,2,3].cw=0cw=8cw=14cw=8cw=10cw=13bestw=10cw=8bestw=11cw=0cw=6cw=8bestw=11算法設(shè)計與分析>回溯法>裝載問題template<classType>voidLoading<Type>::Backtrack(inti){//搜索第i層結(jié)點

if(i>n){//到達葉結(jié)點

bestw=cw；

return；}

//搜索子樹

r-=w[i];if(cw+w[i]<=c){//x[i]=1cw+=w[i]；

Backtrack(i+1)；

cw-=w[i];//復原}if(cw+r>bestw){//x[i]=0Backtrack(i+1)；

r+=w[i];//復原

}

template<classType>TypeMaxloading(typew[],typec,intn,)loading<Type>X；

//初始化XX.w=w;//集裝箱重量數(shù)組

X.c=c;//第一艘船載重量

X.n=n；//集裝箱數(shù)

X.bestw=0;//當前最優(yōu)載重

X.cw=0;//當前載重量

X.r=0;//剩余集裝箱重量

for(inti=1;i<=n;i++)X.r+=w[i]//計算最優(yōu)載重量

X.Backtrack(1)；

returnX.bestw；}裝載問題的回溯算法算法復雜性:O(2n)算法設(shè)計與分析>回溯法>n后問題5．3批處理作業(yè)調(diào)度問題描述:給定n個作業(yè)的集合J=(J1,J2,...,Jn)。每一作業(yè)Ji都有兩項任務要分別在2臺機器上完成.每一作業(yè)須先由機器l處理,再由機器2處理.設(shè)tji是作業(yè)Ji在機器j上的處理時間,i=1,...,n,j=1,2.Fji是作業(yè)Ji在機器j上完成處理的時間.所有作業(yè)在機器2上完成時間和:f=∑F2i

稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時間和.對于給定的J,要求制定一個最佳作業(yè)調(diào)度方案,使完成時間和最小.算法思路:設(shè)解為n元向量{x1,...,xn},

xi{1,..n},用排序樹表示解空間

約束條件:當i

j,xi

xj(元素不能重復選取)

例題例題算法設(shè)計與分析>回溯法>作業(yè)調(diào)度voidFlowshop::Backtrack(inti){if(i>n){for(intj=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestf=f;}elsefor(intj=i;j<=n;j++){fl+=M[x[j]][1];f2[i]=((f2[i-1]>fl)?f2[i-1]:fl)+M[x[j]][2];f+=f2[i];if(f<bestf){Swap(x[i],x[j]);Backtrack(i+1);Swap(x[i],x[j]);}fl-=M[x[j]][1];f-=f2[i];}}intFlow(int**M,intn,intbestx[]){intub=32767;FlowshopX;X.x=newint[n+1];//當前調(diào)度

X.f2=newint[n+l];X.M=M;//各作業(yè)所需處理時間

X.n=n;//作業(yè)數(shù)

X.bestx=bestx;//當前最優(yōu)調(diào)度

X.bestf=ub;//當前最優(yōu)調(diào)度時間

X.fl=0;//機器2完成處理時間

X.f=0;//機器1完成處理時間

for(inti=0;i<=n;i++)X.f2[i]=0,X.x[i]=i;X.Backtrack(1);delete[]X.x;delete[]X.f2;returnX.bestf;}算法復雜性:O(n!)作業(yè)調(diào)度回溯算法算法設(shè)計與分析>回溯法>作業(yè)調(diào)度

機器1機器2

作業(yè)121

作業(yè)231

作業(yè)323tji

這三個作業(yè)的6種可能調(diào)度方案是:1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,l,2;3,2,l;相應的完成時間和分別是:10,8,10，9，7，8。最佳調(diào)度:3,1,2;完成時間為7。機器1機器2J1J1J3J3J2J2調(diào)度1,3,2例題機器1機器2J3J3J2J2調(diào)度3,1,2J1J1算法設(shè)計與分析>回溯法>作業(yè)調(diào)度

機器1機器2

作業(yè)121

作業(yè)231

作業(yè)323tji

這三個作業(yè)的6種可能調(diào)度方案是:1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,l,2;3,2,l;相應的完成時間和分別是:10,8,10，9，7，8。最佳調(diào)度:3,1,2;完成時間為7。x1=J1J2J3x2=J2J3J1x3=J3ABCDEFJ2bestx=7J3EFJ3J1J2EFJ2J2J1例題算法思路:將棋盤從左至右,從上到下編號為1,...,n,皇后編號為1,...,n.設(shè)解為(x1,...,xn),xi為皇后i的列號,且xi位于第i行.解空間:E={(x1,...,xn)|xi

Si,i=1,...,n},Si={1,...,n},1

i

n解空間為排列樹.其約束集合D為

1)xi

xj2)xi-i

xj-j3)xi+i

xj+j皇后i,j不在同一斜線上算法設(shè)計與分析>回溯法>n后問題5.3n后問題皇后i,j不在同一列上問題描述:nxn棋盤上放置n個皇后使得每個皇后互不受攻擊.即任二皇后不能位于同行同列和同一斜線上.

如四后問題的解算法設(shè)計與分析>回溯法>n后問題回溯求解四后問題過程中被激活過的結(jié)點算法設(shè)計與分析>回溯法>n后問題算法設(shè)計與分析>回溯法>n后問題boolQueen::Place(intk){for(intj=1;j<k;j++)if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k]))returnfalse;returntrue;}

voidQueen::Backtrack(intt){if(t>n)sum++;elsefor(inti=1;i<=n;i++){x[t]=i;if(Place(t))Backtrack(t+1)}}intnQueen(intn){QueenX；

//初始化X

X.n=n；//皇后個數(shù)

X.sum=0；

int*p=newint[n+1]；

for(inti=0；i<=n；i++)p[i]=0；

X.x=p；

X.Backtrack(1)；

ddete[]p；

returnX.sum；}n后問題的回溯算法算法設(shè)計與分析>回溯法>最大團問題設(shè)無向圖G=(V,E),UV,若對任意u,vU,有(u,v)

E,則稱U是G的一個完全子圖。G的完全子圖U是G的一個團(完備子圖)當且僅當U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團是G中所含頂點數(shù)最多的團。如果UV,且對任意u,vU,(u,v)

E,則稱U是G的一個空子圖。G的空子圖U是G的一個獨立集當且僅當U不包含在G的更大的空子圖中。G的最大獨立集是G中所含頂點數(shù)最多的獨立集。*若U是G的一個完全子圖,則U是G的補圖的一個獨立集.5.7

最大團問題

問題描述:在G中找一個最大團.

例如最大團:{1,2,5},{1,4,5},:{2,3,5}G的補圖基本概念設(shè)無向圖G=(V,E),|V|=n,用鄰接矩陣a表示圖G,問題的解可表示為n元向量{x1,...xn},

xi{0,1}.問題的解空間用排序樹表示.約束條件:{x1,x2,...xi}

{xi+1}是團.目標函數(shù)限界:設(shè)bestn:已求出的最大團的尺寸;cn:當前團的尺寸;r:剩余結(jié)點數(shù)目;當cn+r≤bestn時,將cn對應右子樹剪去。.算法設(shè)計與分析>回溯法>最大團問題

算法思路.........101101算法設(shè)計與分析>回溯法>最大團問題

最大團問題的回溯算法voidclique::Backtrack(inti)if(cn+n-i>bestn){{if(i>n){//找到更大團,更新x[i]=0;//進入右子樹

for(intj=1;j<=n；j++)Backtrack(i+1);}bestx[j]=x[j];bestn=cn;return;}

//檢查頂點i是否與當前團相連

intOK=1;for(intj=1;j<=i;j++)if(x[j]&&a[i][j]==0){//i不與j相連

OK=0;break;}if(OK){//進入左子樹

x[i]=1;//把i加入團

cn++;Backtrack(i+1);cn--;}intMaxClique(int**a,intv[i],intn)CliqueY;Y.x=newint[n+l];Y.a=a;//圖G的鄰接矩陣

Y.n=n;//圖G頂點數(shù)

Y.cn=0;//當前團頂點數(shù)

Y.bestn=0;//當前最大團頂點數(shù)

Y.bestx=v;//當前最優(yōu)解

Y.Backtrack(1);delete[]Y.x;returnY.best}算法設(shè)計與分析>回溯法>著色問題圖的m色判定問題:給定無向連通圖G和m種顏色。用這些顏色為圖G的各頂點著色.問是否存在著色方法,使得G中任2鄰接點有不同顏色。圖的m色優(yōu)化問題:給定無向連通圖G,為圖G的各頂點著色,使圖中任2鄰接點著不同顏色,問最少需要幾種顏色。所需的最少顏色的數(shù)目m稱為該圖的色數(shù)。5.8圖的m著色問題

問題描述若圖G是個平面圖,則它的色數(shù)不超過4色(4色定理).4色定理的應用:在一個平面或球面上的任何地圖能夠只用4種顏色來著色使得相鄰的國家在地圖上著有不同顏色4321512345a).將G的結(jié)點按照度數(shù)遞減的次序排列.b).用第一種顏色對第一個結(jié)點著色,并按照結(jié)點排列的次序?qū)εc前面著色點不鄰接的每一點著以相同顏色.c).用第二種顏色對尚未著色的點重復步驟b).用第三種顏色繼續(xù)這種作法,直到所有點著色完為止.

任意圖的著色WelchPowell法a1a5a4a6a2a3a7a8

排序:a5,a3,a7,a1,a2,a4,a6,a8

著第一色:a5,a1,

著第二色:a3,a4,a8

著第三色:a7,a2,a6圖論

>對偶圖與著色算法設(shè)計與分析>回溯法>圖的m著色設(shè)圖G=(V,E),|V|=n,顏色數(shù)=m,用鄰接矩陣a表示G,用整數(shù)1,2…m來表示m種不同的顏色。頂點i所著的顏色用x[i]表示。問題的解向量可以表示為n元組x={x[1],...,x[n]}.x[i]{1,2,...,m},解空間樹為排序樹,是一棵n+1層的完全m叉樹.在解空間樹中做深度優(yōu)先搜索,約束條件:x[i]

x[j],如果a[j][i]=1.

算法思路n=3,m=3時的解空間樹132a=算法設(shè)計與分析>回溯法>著色問題intmColoring(intn,intm,int**a){ColorX；

//初始化XX．n=n；//圖的頂點數(shù)

X．m=m//可用顏色數(shù)

X．a(chǎn)=a；//圖的鄰接矩陣

X．Sum=0;//已找到的著色方案數(shù)

int*p=newint[n+1]；

for(inti=0；i<=n；i++)p[i]=0；

X.x=p//當前解；

X.Backtrack(1)；

delete[]p；

returnX．sum；}

算法復雜性:著色問題回溯算法boolColor::Ok(intk){//檢查顏色可用性

for(intj=1；j<=n；j++)if((a[k][j]==1)＆＆(x[j]==x[k]))returnfalse；

returntrue；voidColor::backtrack(intt){if(t>n){sum++；

for(inti=1;i<=n;i++)cout<<x[i]<<‘’；

cout<<endl；}elsefor(inti=1;i<=m;i++){x[t]=i;if(Ok(t))Backtrack(t+1);}}M叉樹的剪枝條件31第5章分支限界法32學習要點理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架（1）隊列式(FIFO)分支限界法（2）優(yōu)先隊列式分支限界法通過應用范例學習分支限界法的設(shè)計策略。（1）單源最短路徑問題（2）裝載問題；（3）布線問題（4）0-1背包問題；（5）最大團問題；（6）旅行售貨員問題（7）電路板排列問題（8）批處理作業(yè)調(diào)度問題335.1 分支限界法的基本思想分支限界法與回溯法（1）求解目標：回溯法的求解目標是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標則是找出滿足約束條件的一個解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。（2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費優(yōu)先的方式搜索解空間樹。

345.1 分支限界法的基本思想分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。此后，從活結(jié)點表中取下一結(jié)點成為當前擴展結(jié)點，并重復上述結(jié)點擴展過程。這個過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點表為空時為止。在分支限界法中，每一個活結(jié)點只有一次機會成為擴展結(jié)點?；罱Y(jié)點一旦成為擴展結(jié)點，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點。在這些兒子結(jié)點中，導致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點被舍棄，其余兒子結(jié)點被加入活結(jié)點表中。355.1 分支限界法的基本思想常見的兩種分支限界法（1）隊列式(FIFO)分支限界法按照隊列先進先出（FIFO）原則選取下一個節(jié)點為擴展節(jié)點。

（2）優(yōu)先隊列式分支限界法按照優(yōu)先隊列中規(guī)定的優(yōu)先級選取優(yōu)先級最高的節(jié)點成為當前擴展節(jié)點。365.2 單源最短路徑問題1.問題描述下面以一個例子來說明單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個非負邊權(quán)。要求圖G的從源頂點s到目標頂點t之間的最短路徑。375.2 單源最短路徑問題1.問題描述下圖是用優(yōu)先隊列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個結(jié)點旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點所對應的當前路長。385.2 單源最短路徑問題2.算法思想解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用一極小堆來存儲活結(jié)點表。其優(yōu)先級是結(jié)點所對應的當前路長。算法從圖G的源頂點s和空優(yōu)先隊列開始。結(jié)點s被擴展后，它的兒子結(jié)點被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當前路長的結(jié)點作為當前擴展結(jié)點，并依次檢查與當前擴展結(jié)點相鄰的所有頂點。如果從當前擴展結(jié)點i到頂點j有邊可達，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點i再到頂點j的所相應的路徑的長度小于當前最優(yōu)路徑長度，則將該頂點作為活結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。這個結(jié)點的擴展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點優(yōu)先隊列為空時為止。395.2 單源最短路徑問題3.剪枝策略在算法擴展結(jié)點的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個結(jié)點的下界不小于當前找到的最短路長，則算法剪去以該結(jié)點為根的子樹。在算法中，利用結(jié)點間的控制關(guān)系進行剪枝。從源頂點s出發(fā)，2條不同路徑到達圖G的同一頂點。由于兩條路徑的路長不同，因此可以將路長長的路徑所對應的樹中的結(jié)點為根的子樹剪去。405.2 單源最短路徑問題

while(true){for(intj=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]<inf)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//頂點i到頂點j可達，且滿足控制約束

dist[j]=E.length+c[E.i][j];prev[j]=E.i;//加入活結(jié)點優(yōu)先隊列

MinHeapNode<Type>N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);}try{H.DeleteMin(E);}//取下一擴展結(jié)點

catch(OutOfBounds){break;}//優(yōu)先隊列空

}}頂點I和j間有邊，且此路徑長小于原先從原點到j的路徑長415.3裝載問題1.問題描述有一批共個集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個合理的裝載方案可將這個集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。容易證明：如果一個給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。425.3裝載問題2.隊列式分支限界法在算法的while循環(huán)中，首先檢測當前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點是否為可行結(jié)點。如果是則將其加入到活結(jié)點隊列中。然后將其右兒子結(jié)點加入到活結(jié)點隊列中(右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點)。2個兒子結(jié)點都產(chǎn)生后，當前擴展結(jié)點被舍棄?；罱Y(jié)點隊列中的隊首元素被取出作為當前擴展結(jié)點，由于隊列中每一層結(jié)點之后都有一個尾部標記-1，故在取隊首元素時，活結(jié)點隊列一定不空。當取出的元素是-1時，再判斷當前隊列是否為空。如果隊列非空，則將尾部標記-1加入活結(jié)點隊列，算法開始處理下一層的活結(jié)點。435.3裝載問題2.隊列式分支限界法while(true){//檢查左兒子結(jié)點

if(Ew+w[i]<=c)//x[i]=1EnQueue(Q,Ew+w[i],bestw,i,n);//右兒子結(jié)點總是可行的

EnQueue(Q,Ew,bestw,i,n);//x[i]=0Q.Delete(Ew);//取下一擴展結(jié)點

if(Ew==-1){//同層結(jié)點尾部

if(Q.IsEmpty())returnbestw;Q.Add(-1);//同層結(jié)點尾部標志

Q.Delete(Ew);//取下一擴展結(jié)點

i++;}//進入下一層}}445.3裝載問題3.算法的改進節(jié)點的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當前最優(yōu)解；ew是當前擴展結(jié)點所相應的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當ew+r

bestw時，可將其右子樹剪去，因為此時若要船裝最多集裝箱，就應該把此箱裝上船。另外，為了確保右子樹成功剪枝，應該在算法每一次進入左子樹的時候更新bestw的值。455.3裝載問題3.算法的改進//檢查左兒子結(jié)點

Typewt=Ew+w[i];//左兒子結(jié)點的重量

if(wt<=c){//可行結(jié)點

if(wt>bestw)bestw=wt;//加入活結(jié)點隊列

if(i<n)Q.Add(wt);}提前更新bestw//檢查右兒子結(jié)點

if(Ew+r>bestw&&i<n)Q.Add(Ew);//可能含最優(yōu)解

Q.Delete(Ew);//取下一擴展結(jié)點右兒子剪枝

465.3裝載問題4.構(gòu)造最優(yōu)解

為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應的最優(yōu)解，算法必須存儲相應子集樹中從活結(jié)點到根結(jié)點的路徑。為此目的，可在每個結(jié)點處設(shè)置指向其父結(jié)點的指針，并設(shè)置左、右兒子標志。

classQNode{QNode*parent;//指向父結(jié)點的指針

boolLChild;//左兒子標志

Typeweight;//結(jié)點所相應的載重量475.3裝載問題找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點，找到最優(yōu)解。4.構(gòu)造最優(yōu)解//構(gòu)造當前最優(yōu)解for(intj=n-1;j>0;j--){bestx[j]=bestE->LChild;bestE=bestE->parent;}485.3裝載問題5.優(yōu)先隊列式分支限界法解裝載問題的優(yōu)先隊列式分支限界法用最大優(yōu)先隊列存儲活結(jié)點表?；罱Y(jié)點x在優(yōu)先隊列中的優(yōu)先級定義為從根結(jié)點到結(jié)點x的路徑所相應的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。優(yōu)先隊列中優(yōu)先級最大的活結(jié)點成為下一個擴展結(jié)點。以結(jié)點x為根的子樹中所有結(jié)點相應的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級。子集樹中葉結(jié)點所相應的載重量與其優(yōu)先級相同。在優(yōu)先隊列式分支限界法中，一旦有一個葉結(jié)點成為當前擴展結(jié)點，則可以斷言該葉結(jié)點所相應的解即為最優(yōu)解。此時可終止算法。495.4布線問題1.算法思想解此問題的隊列式分支限界法從起始位置a開始將它作為第一個擴展結(jié)點。與該擴展結(jié)點相鄰并且可達的方格成為可行結(jié)點被加入到活結(jié)點隊列中，并且將這些方格標記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。接著，算法從活結(jié)點隊列中取出隊首結(jié)點作為下一個擴展結(jié)點，并將與當前擴展結(jié)點相鄰且未標記過的方格標記為2，并存入活結(jié)點隊列。這個過程一直繼續(xù)到算法搜索到目標方格b或活結(jié)點隊列為空時為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。505.4布線問題Positionoffset[4];offset[0].row=0;offset[0].col=1;//右

offset[1].row=1;offset[1].col=0;//下

offset[2].row=0;offset[2].col=-1;//左

offset[3].row=-1;offset[3].col=0;//上定義移動方向的相對位移

for(inti=0;i<=m+1;i++)grid[0][i]=grid[n+1][i]=1;//頂部和底部

for(inti=0;i<=n+1;i++)grid[i][0]=grid[i][m+1]=1;//左翼和右翼設(shè)置邊界的圍墻515.4布線問題for(inti=0;i<NumOfNbrs;i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//該方格未標記

grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col))break;//完成布線

Q.Add(nbr);}}找到目標位置后，可以通過回溯方法找到這條最短路徑。525.50-1背包問題算法的思想首先，要對輸入數(shù)據(jù)進行預處理，將各物品依其單位重量價值從大到小進行排列。在下面描述的優(yōu)先隊列分支限界法中，節(jié)點的優(yōu)先級由已裝袋的物品價值加上剩下的最大單位重量價值的物品裝滿剩余容量的價值和。算法首先檢查當前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點的可行性。如果該左兒子結(jié)點是可行結(jié)點，則將它加入到子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列中。當前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點一定是可行結(jié)點，僅當右兒子結(jié)點滿足上界約束時才將它加入子集樹和活結(jié)點優(yōu)先隊列。當擴展到葉節(jié)點時為問題的最優(yōu)值。535.50-1背包問題上界函數(shù)while(i<=n&&w[i]<=cleft)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間{cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間b+=p[i];//p[i]表示i的價值i++;}if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;

//b為上界函數(shù)545.50-1背包問題

while(i!=n+1){//非葉結(jié)點

//檢查當前擴展結(jié)點的左兒子結(jié)點

Typewwt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點為可行結(jié)點

if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);}up=Bound(i+1);//檢查當前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點

if(up>=bestp)//右子樹可能含最優(yōu)解

AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);

//取下一個擴展節(jié)點（略）}分支限界搜索過程555.6最大團問題給定無向圖G=(V，E)。如果U

V，且對任意u，v

U有(u，v)

E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團當且僅當U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團是指G中所含頂點數(shù)最多的團。下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個完全子圖不是團，因為它被G的更大的完全子圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團。1.問題描述565.6最大團問題2.上界函數(shù)用變量cliqueSize表示與該結(jié)點相應的團的頂點數(shù)；level表示結(jié)點在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize+n-level+1作為頂點數(shù)上界upperSize的值。在此優(yōu)先隊列式分支限界法中，upperSize實際上也是優(yōu)先隊列中元素的優(yōu)先級。算法總是從活結(jié)點優(yōu)先隊列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個擴展元素。575.6最大團問題3.算法思想子集樹的根結(jié)點是初始擴展結(jié)點，對于這個特殊的擴展結(jié)點，其cliqueSize的值為0。算法在擴展內(nèi)部結(jié)點時，首先考察其左兒子結(jié)點。在左兒子結(jié)點處，將頂點i加入到當前團中，并檢查該頂點與當前團中其它頂點之間是否有邊相連。當頂點i與當前團中所有頂點之間都有邊相連，則相應的左兒子結(jié)點是可行結(jié)點，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點優(yōu)先隊列，否則就不是可行結(jié)點。接著繼續(xù)考察當前擴展結(jié)點的右兒子結(jié)點。當upperSize>bestn時，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時將右兒子結(jié)點加入到子集樹中并插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。585.6最大團問題3.算法思想算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個葉結(jié)點(即n+1層結(jié)點)成為當前擴展結(jié)點。對于子集樹中的葉結(jié)點，有upperSize＝cliqueSize。此時活結(jié)點優(yōu)先隊列中剩余結(jié)點的upperSize值均不超過當前擴展結(jié)點的upperSize值，從而進一步搜索不可能得到更大的團，此時算法已找到一個最優(yōu)解。595.7旅行售貨員問題1.問題描述某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費)。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費)最小。路線是一個帶權(quán)圖。圖中各邊的費用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個頂點在內(nèi)的一條回路。周游路線的費用是這條路線上所有邊的費用之和。旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點到任一葉結(jié)點的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費用最小的周游路線。605.7旅行售貨員問題2.算法描述算法開始時創(chuàng)建一個最小堆，用于表示活結(jié)點優(yōu)先隊列。堆中每個結(jié)點的子樹費用的下界lcost值是優(yōu)先隊列的優(yōu)先級。接著算法計算出圖中每個頂點的最小費用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個頂點沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個頂點都有出邊，則根據(jù)計算出的minout作算法初始化。算法的while循環(huán)體完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點的擴展。對于當前擴展結(jié)點，算法分2種情況進行處理：615.7旅行售貨員問題2.算法描述1、首先考慮s=n-2的情形，此時當前擴展結(jié)點是排列樹中某個葉結(jié)點的父結(jié)點。如果該葉結(jié)點相應一條可行回路且費用小于當前最小費用，則將該葉結(jié)點插入到優(yōu)先隊列中，否則舍去該葉結(jié)點。2、當s<n-2時，算法依次產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的所有兒子結(jié)點。由于當前擴展結(jié)點所相應的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點是從剩余頂點x[s+1:n-1]中選取的頂點x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對于當前擴展結(jié)點的每一個可行兒子結(jié)點，計算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費用cc和相應的下界lcost。當lcost<bestc時，將這個可行兒子結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。625.7旅行售貨員問題2.算法描述算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個葉結(jié)點成為當前擴展結(jié)點。當s=n-1時，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個頂點。因此，當s=n-1時，相應的擴展結(jié)點表示一個葉結(jié)點。此時該葉結(jié)點所相應的回路的費用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點的lcost值不小于已找到的回路的費用。它們都不可能導致費用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點所相應的回路是一個最小費用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。算法結(jié)束時返回找到的最小費用，相應的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。635.8電路板排列問題算法描述算法開始時，將排列樹的根結(jié)點置為當前擴展結(jié)點。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點優(yōu)先隊列中取出具有最小cd值的結(jié)點作為當前擴展結(jié)點，并加以擴展。首先考慮s=n-1的情形，當前擴展結(jié)點是排列樹中的一個葉結(jié)點的父結(jié)點。x表示相應于該葉結(jié)點的電路板排列。計算出與x相應的密度并在必要時更新當前最優(yōu)值和相應的當前最優(yōu)解。當s<n-1時，算法依次產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的所有兒子結(jié)點。對于當前擴展結(jié)點的每一個兒子結(jié)點node，計算出其相應的密度node.cd。當node.cd<bestd時，將該兒子結(jié)點N插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。645.8電路板排列問題算法描述do{//結(jié)點擴展

if(E.s==n-1){//僅一個兒子結(jié)點

intld=0;//最后一塊電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)ld+=B[E.x[n]][j];if(ld<bestd){//密度更小的電路板排列

delete[]bestx;bestx=E.x;bestd=max(ld,E.cd);}S=n-1的情況，計算出此時的密度和bestd進行比較。655.8電路板排列問題算法描述else{//產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的所有兒子結(jié)點

for(inti=E.s+1;i<=n;i++){BoardNodeN;N.now=newint[m+1];for(intj=1;j<=m;j++)//新插入的電路板

N.now[j]=E.now[j]+B[E.x[i]][j];665.8電路板排列問題intld=0;//新插入電路板的密度

for(intj=1;j<=m;j++)if(N.now[j]>0&&total[j]!=N.now[j])ld++;N.cd=max(ld,E.cd);if(N.cd<bestd){//可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點

N.x=newint[n+1];N.s=E.s+1;for(intj=1;j<=n;j++)N.x[j]=E.x[j];N.x[N.s]=E.x[i];N.x[i]=E.x[N.s];H.Insert(N);}elsedelete[]N.now;}delete[]E.x;}算法描述計算出每一個兒子結(jié)點的密度與bestd進行比較大于bestd時加入隊列675.9批處理作業(yè)調(diào)度問題1.問題的描述給定n個作業(yè)的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個作業(yè)Ji都有2項任務要分別在2臺機器上完成。每一個作業(yè)必須先由機器1處理，然后再由機器2處理。作業(yè)Ji需要機器j的處理時間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對于一個確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)是Fji是作業(yè)i在機器j上完成處理的時間。則所有作業(yè)在機器2上完成處理的時間和稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時間和。批處理作業(yè)調(diào)度問題要求對于給定的n個作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時間和達到最小。685.9批處理作業(yè)調(diào)度問題2.限界函數(shù)在結(jié)點E處相應子樹中葉結(jié)點完成時間和的下界是：注意到如果選擇Pk，使t1pk在k>=r+1時依非減序排列，S1則取得極小值。同理如果選擇Pk使t2pk依非減序排列，則S2取得極小值。這可以作為優(yōu)先隊列式分支限界法中的限界函數(shù)。695.9批處理作業(yè)調(diào)度問題3.算法描述算法的while循環(huán)完成對排列樹內(nèi)部結(jié)點的有序擴展。在while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點優(yōu)先隊列中取出具有最小bb值（完成時間和下界）的結(jié)點作為當前擴展結(jié)點，并加以擴展。首先考慮E.s=n的情形，當前擴展結(jié)點E是排列樹中的葉結(jié)點。E.sf2是相應于該葉結(jié)點的完成時間和。當E.sf2<bestc時更新當前最優(yōu)值bestc和相應的當前最優(yōu)解bestx。當E.s<n時，算法依次產(chǎn)生當前擴展結(jié)點E的所有兒子結(jié)點。對于當前擴展結(jié)點的每一個兒子結(jié)點node，計算出其相應的完成時間和的下界bb。當bb<bestc時，將該兒子結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中。而當bb

bestc時，可將結(jié)點node舍去。705.9批處理作業(yè)調(diào)度問題

while(E.s<=n){if(E.s==n){//葉結(jié)點

if(E.sf2<bestc){bestc=E.sf2;for(inti=0;i<n;i++)bestx[i]=E.x[i];}delete[]E.x;}3.算法描述當E.sf2<bestc時，更新當前最優(yōu)值bestc和相應的最優(yōu)解bestx715.9批處理作業(yè)調(diào)度問題3.算法描述else{//產(chǎn)生當前擴展結(jié)點的兒子結(jié)點

for(inti=E.s;i<n;i++){Swap(E.x[E.s],E.x[i]);intf1,f2;intbb=Bound(E,f1,f2,y);if(bb<bestc){MinHeapNodeN;N.NewNode(E,f1,f2,bb,n);H.Insert(N);}Swap(E.x[E.s],E.x[i]);}delete[]E.x;}//完成結(jié)點擴展當bb<bestc時，將兒子結(jié)點插入到活結(jié)點優(yōu)先隊列中72第6章 NP完全性理論736.1 計算模型6.1.1隨機存取機RAM6.1.2隨機存取存儲程序機RASP6.1.3RAM模型的變形與簡化6.1.4圖靈機6.1.5圖靈機模型與RAM模型的關(guān)系6.1.6問題變換與計算復雜性歸約746.1.1隨機存取機RAM1.RAM的結(jié)構(gòu)756.1.1隨機存取機RAM2.RAM程序

一個RAM程序定義了從輸入帶到輸出帶的一個映射?？梢詫@種映射關(guān)系作2種不同的解釋。解釋一：把RAM程序看成是計算一個函數(shù) 若一個RAM程序P總是從輸入帶前n個方格中讀入n個整數(shù)x1，x2，…，xn，并且在輸出帶的第一個方格上輸出一個整數(shù)y后停機，那么就說程序P計算了函數(shù)f(x1，x2，…，xn)=y解釋二：把RAM程序當作一個語言接受器。 將字符串S=a1a2…an放在輸入帶上。在輸入帶的第一個方格中放入符號a1，第二個方格中放入符號a2，…，第n個方格中放入符號an。然后在第n+1個方格中放入0，作為輸入串的結(jié)束標志符。如果一個RAM程序P讀了字符串S及結(jié)束標志符0后，在輸出帶的第一格輸出一個1并停機，就說程序P接受字符串S。766.1.1隨機存取機RAM3.RAM程序的耗費標準標準一：均勻耗費標準 在均勻耗費標準下，每條RAM指令需要一個單位時間；每個寄存器占用一個單位空間。以后除特別注明，RAM程序的復雜性將按照均勻耗費標準衡量。標準二：對數(shù)耗費標準 對數(shù)耗費標準是基于這樣的假定，即執(zhí)行一條指令的耗費與以二進制表示的指令的操作數(shù)長度成比例。在RAM計算模型下，假定一個寄存器可存放一個任意大小的整數(shù)。因此若設(shè)l(i)是整數(shù)i所占的二進制位數(shù)，則776.1.2隨機存取存儲程序機RASP1.RASP的結(jié)構(gòu) RASP的整體結(jié)構(gòu)類似于RAM，所不同的是RASP的程序是存儲在寄存器中的。每條RASP指令占據(jù)2個連續(xù)的寄存器。第一個寄存器存放操作碼的編碼，第二個寄存器存放地址。RASP指令用整數(shù)進行編碼。2.RASP程序的復雜性

不管是在均勻耗費標準下，還是在對數(shù)耗費標準下，RAM程序和RASP程序的復雜性只差一個常數(shù)因子。在一個計算模型下T(n)時間內(nèi)完成的輸入-輸出映射可在另一個計算模型下模擬，并在kT(n)時間內(nèi)完成。其中k是一個常數(shù)因子?？臻g復雜性的情況也是類似的。786.1.3RAM模型的變形與簡化1.實隨機存取機

RRAM在RRAM模型下，一個存儲單元可以存放一個實數(shù)。下列的各運算為基本運算且每個運算只耗費單位時間。(1)算術(shù)運算+，－，×，／。(2)2個實數(shù)間的比較(<，≤，=，≠，≥，>)。(3)間接尋址(整數(shù)地址)。(4)常見函數(shù)的計算，如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等。優(yōu)點：能夠方便處理實數(shù)；

適合于用FORTRAN，PASCAL等高級語言寫的算法。796.1.3RAM模型的變形與簡化2.直線式程序 對于許多問題，所設(shè)計的RAM程序中的轉(zhuǎn)移指令僅用于重復一組指令，而且重復的次數(shù)與問題的輸入規(guī)模n成比例。在這種情況下，可以用重復地寫出相同指令組的方法來消除程序中的循環(huán)。由此，對每一個固定的n得到一個無循環(huán)的直線式程序。經(jīng)過對RAM模型的簡化，得到直線式程序的指令系統(tǒng)如下：x←y+zx←y-zx←y*zx←y/zx←i其中x，y和z是符號地址(或變量)，而i是常數(shù)。每條指令耗費一個單位時間。806.1.3RAM模型的變形與簡化3.位式計算 直線式程序計算模型顯然是基于均勻耗費標準的。在對數(shù)耗費標準下，使用另一個RAM的簡化計算模型，稱之為位式計算(BitwiseComputation)模型。 除了下列2點外，該計算模型與直線式程序計算模型基本相同：(1)假設(shè)所有變量取值0或1，即為位變量。(2)所用的運算是邏輯運算而不是算術(shù)運算。 用∧代表與，∨代表或，

代表異或，

代表非。在位式計算模型下，每個邏輯運算指令耗費一個單位時間。

816.1.3RAM模型的變形與簡化4.位向量運算(BitVectorOperations)若在直線式程序計算模型中，假設(shè)所有變量均為位向量，而且所用的運算均為位操作指令，則得到位向量運算計算模型。例如，要表示一個有100個頂點的圖中從頂點v到其余各頂點間有沒有邊相連，可以用100位的一個位向量表示。若頂點v到頂點vj之間有邊相連，則該位向量的第j位為1，否則為0。缺點：所需的機器字長要遠大于其他模型。

826.1.3RAM模型的變形與簡化5.判定樹判定樹是一棵二叉樹。它的每個內(nèi)結(jié)點表示一個形如x∶y的比較。指向該結(jié)點左兒子的邊相應于x≤y，標號為≤。指向該結(jié)點右兒子的邊相應于x>y，標號為>。每一次比較耗費一個單位時間。下圖是對a，b，c三個數(shù)進行排序的一棵判定樹。在判定樹模型下，算法的時間復雜性可用判定樹的高度衡量。最大的比較次數(shù)是從根到葉的最長路徑的長度。836.1.3RAM模型的變形與簡化6.代數(shù)計算樹ACT 以x=(x1，x2，…，xn)為輸入的一棵代數(shù)計算樹T是一棵二叉樹，且：(1)每個葉結(jié)點表示一個輸出結(jié)果YES或NO。(2)每個單兒子內(nèi)部結(jié)點(簡單結(jié)點)v表示下列形式運算指令：

op或op或其中，和分別是結(jié)點v在樹T中的祖先結(jié)點v1和v2處得到的結(jié)果值，或是x的分量；op∈{+，－，×，/}；c是一個常數(shù)。(3)每個有2個兒子的內(nèi)部結(jié)點(分支結(jié)點)v，表示下列形式的測試指令：>0或≥0或=0其中，是結(jié)點v在樹T中的祖先結(jié)點v1處得到的結(jié)果值，或是x的分量