數(shù)學（九省新高考新結構卷1）-2024年高考押題預測卷

2024年高考押題預測卷01【新九省卷】

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知復數(shù)貝丘=（）

3+41

A.1+iB.—1—iC.1—iD.—1+i

2.為了了解學生們的身體狀況，某學校決定采用分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個年級共抽取100

人進行各項指標測試.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高三年級抽取

的人數(shù)為（）

A.30B.25C.20D.15

3.已知〃=(〃?/)，6=(3/w-l,2),若)〃力，則加=()

22

A.1B.-1c.D.——

33

4.若3sin(兀-a)—4cosa=0,貝ijl—cos2a=()

7-182732

A.—B.—c.D.

25252525

22

5.雙曲線C：,方=1（。>0]>0）的左、右焦點分別為耳,月,|耳閭=4,且C的一條漸近線與直線

/：、Qx-y+l=0平行，則雙曲線C的標準方程為（）

22

vy2D.《-史=1

A.x2--=1B.—-y2=lc*-1

3341234

6.我國元代瓷器元青花團菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁,圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白

釉，以青花為裝飾，釉質潤澤，底足露胎，胎質致密.碗內口沿飾有一周回紋，內底心書有一文字，碗外

壁繪有一周纏枝團菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團菊花紋小盞口徑&4厘米，底徑2.8厘米，高

4厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側面積約為（單位：平方厘米）（)(附：V149?12.2)

A.34JIB.27兀C.207tD.18兀

7.己知o為坐標原點，直線/：x="?y+3與圓C：f+y2-6x+8=0相交于A,B兩點,則方.3=（）

A.4B.6C.8D.10

8.在同一平面上有相距14公里的48兩座炮臺，A在B的正東方.某次演習時，A向西偏北6方向發(fā)射炮

彈，8則向東偏北e方向發(fā)射炮彈，其中e為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標，接著

A改向向西偏北5方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點“，則3炮臺與彈著點M的距離為（）

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機取出兩個球，設事件4="取出的

球的數(shù)字之積為奇數(shù)“，事件8=”取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C="取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”,

貝IJ（）

A.事件A與8是互斥事件B.事件A與8是對立事件

C.事件3與C是互斥事件D.事件3與C相互獨立

10.已知函數(shù)/（*）=出311（5+。）（0＞0,0＜。＜兀）的部分圖象如圖所示，則（）

,兀

A.（D（pA=一

6

B./（x）的圖象過點（吟，孚）

c.函數(shù)尸|/卜）|的圖象關于直線x號對稱

D.若函數(shù)y=，（x）|+4/（x）在區(qū)間上不單調，則實數(shù)義的取值范圍是［-1』

11.如圖，在棱長為2的正方體4BCD-44GD1中，M是棱8。的中點，N是棱上的動點（含端點）,

則下列說法中正確的是（）

A.三棱錐4一團斷的體積為定值

B.若N是棱的中點，則過4,M,N的平面截正方體"BCD-44GA所得的截面圖形的周長為

76

2

C.若N是棱的中點，則四面體鼻-⑷斷的外接球的表面積為7兀

D.若CW與平面第C所成的角為6,則sinde中包

第二部分（非選擇題共92分）

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4=卜|/<4},5=何”14x40+1},若Nc3=0,則。的取值范圍是.

22

13.已知橢圓CY:\+3=l（a>6>0）的一個焦點的坐標為。,0）,一條切線的方程為x+P=7,則C的離心

ab

率6=.

14.關于x的不等式xea+加?-lnx21（a>0）恒成立，則白的最小值為.

a

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（本小題滿分13分）為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發(fā)出“讀書好、讀好書、

好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學后，學校統(tǒng)計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間

（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

后三個小矩形的高度比為3：2：1.

1頻率/組距

0.0125

0.0075

萬『,04’06米疝1丸1；0時簡/分鐘

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作

為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于［80,100）的人數(shù)記為

求隨機變量J的分布列與數(shù)學期望.

16.（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱48C-44G中，F(xiàn)與84的距離為6，AB=AC=&B=2,

AC=BC=2歷.

(1)證明：平面4/8及_L平面/8C；

(2)若點N在棱4G上，求直線NN與平面4SC所成角的正弦值的最大值.

17.(本小題滿分15分)已知函數(shù)〃x)=e2，+e工-辦.

⑴當。=3時，求“X)的單調區(qū)間；

(2)討論〃x)極值點的個數(shù).

18.(本小題滿分17分)設拋物線C:/=2.(0>0),過焦點尸的直線與拋物線C交于點”(國,必),

鞏.1).當直線48垂直于％軸時，|/創(chuàng)=2.

(1)求拋物線C的標準方程.

(2)已知點尸(1,0),直線/尸，分別與拋物線C交于點C,D.

①求證：直線CD過定點；

②求AP4B與APCD面積之和的最小值.

19.(本小題滿分17分)給定整數(shù)”23,由〃元實數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集7={|。-小以如果

min(7)=1,則稱集合S為一個〃元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)/為其中所有元素絕對值之和.

⑴判斷/={-0.1,-1.1,2,2.5}、2={-:1.5,-0.5,0.5,1.5}哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；

(2)任取一個〃元規(guī)范數(shù)集S,記憶、初分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：|min(S)|+Max(S),〃-l；

(3)當$={%,&，1M2023}遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)/的最小值.

注：min(X)、max(X)分別表示數(shù)集X中的最小數(shù)與最大數(shù).

絕密★啟用前

2024年高考押題預測卷01【新九省卷】

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知復數(shù)2=三，貝5=（）

3+41

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

【答案】A

z7+i（7+。（3叫21-28i+3i+4,.…

【解析】由心仔~一（3+4i）（3-4i）-----------------=1T,故z=l+i,故選A

2.為了了解學生們的身體狀況，某學校決定采用分層抽樣的方法，從高一、高二、高三三個年級共抽取100

人進行各項指標測試.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高三年級抽取

的人數(shù)為（）

A.30B.25C.20D.15

【答案】B

【解析】根據(jù)分層抽樣的性質可知：

高三年級抽取的人數(shù)為100x=25,故選B

500+700+800

3.已知〃=（私1）,5=（3加一1,2）,若?！Γ瑒t加二（）

22

A.1B.-1C.-D.一一

33

【答案】A

l

【解析】因為。=（陽,1）,加=（3加一1,2）,allb?

所以2"一（3〃—1）=0,解得陽=1,故選A.

4.若3sin（兀一a）-4cosa=0,貝ijl-cos2a=（）

-7-18-7

A.—B.——C.二

2525；

【答案】D

cirizy4

【解析】因為3sin（兀-a）-4cosa=0,所以3sina—4cosa=0,所以tana=----=—

cosa3

?16

「八i八八.2\.22sin2a2taii2cr-X-o"32,..

所以1—cos2a=l—（l-2sm2a）=2sin2a------=—%一；=9=二.故選:D

17sm2a+cos2atan2a+l1625

------r1

9

5.雙曲線的左、右焦點分別為耳耳|%=4,且C的一條漸近線與直線

/:、/Jx-y+l=0平行，則雙曲線C的標準方程為（）

ciy2-1

A.x2-^―=1B.—~y2=1

33.412

【答案】A

2c=44=1

【解析】由題意知＜3=6解得力=6，故雙曲線C的標準方程為？-仁=1.故選A.

c=23

222

a+b^c

6.我國元代瓷器元青花團菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白

釉，以青花為裝飾，釉質潤澤，底足露胎，胎質致密.碗內口沿飾有一周回紋，內底心書有一文字，碗外

壁繪有一周纏枝團菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高

4厘米，它的形狀可近似看作圓臺，則其側面積約為（單位：平方厘米）（）（附：7149?12.2）

A.34兀B.27兀1871

【答案】B

【解析】設該圓臺的上底面、下底面的半徑分別為Rr,

由題意可知：R=4.2,r=1.4,則圓臺的母線長/=)42+(4.2-1.4『=4ji不,

所以其側面積為兀x(4.2+1.4)x4>/f^271x(4.2+1.4)x4x1.22x27/1.

故選：B.

7.已知。為坐標原點，直線/：x="?y+3與圓C:x2+y2_6x+8=0相交于A,3兩點，則弧.3=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】圓。：X2+/一6*+8=0即(X-3)2+V=I,圓心為C(3,0),半徑？=1,

又直線/：x=wj，+3,令y=0,則x=3,即直線/恒過點C(3.0),即直線恒過圓心，

又直線/：x=〃?y+3與圓C:x2+V—6x+8=0相交于A,B兩點，

所以有=-赤，

所以方.方=(反+瓦］(灰+而)=(5?+B).(歷一石)

=OC2-CA=32-12=S

故選：C

8.在同一平面上有相距14公里的48兩座炮臺，A在8的正東方.某次演習時，A向西偏北6方向發(fā)射炮

彈，8則向東偏北e方向發(fā)射炮彈，其中夕為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標，接著

A改向向西偏北g方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點“，則3炮臺與彈著點M的距離為()

A.7公里B.8公里C.9公里D.10公里

【答案】D

【解析】依題意設炮彈第一次命中點為C,則48=14.4C=8C=4M=18.

0

ZCBA^ZCAB=0,NMAB=一，

2

在“8C中+&g2-24C.48cos6>,

7

BP182=142+182-2X14X18COS6?,解得COS〃=J,

1o

所以coseuZcosig-luN，又。為銳角，解得cosg==(負值舍去)，

21826

^^ABMBM1AM2+AB2-2AM-ABcos^

=182+142-2X18X14X-=100,

6

所以=10,即夕炮臺與彈著點〃的距離為10公里.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.袋子中有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中隨機取出兩個球，設事件/="取出的

球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件3="取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C="取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”,

則（）

A.事件A與3是互斥事件B.事件A與B是對立事件

C.事件B與C是互斥事件D.事件8與C相互獨立

【答案】AB

【解析】對于AB：取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)不可能同時發(fā)生，且必有

一個發(fā)生，故事件A與8是互斥事件，也是對立事件，AB正確；

對于C：如果取出的數(shù)為2,4,則事件3與事件C均發(fā)生，不互斥，C錯誤；

尸（8）=1-|I=9P（C）=管=|,尸①)=C[_j_

對于D：Cf=5'

則尸（8）尸（0/尸（8C）,即事件8與C不相互獨立，D錯誤;

故選：AB.

10.已知函數(shù)/（x）=/tan（0x+°）（0>O,O<9<7i）的部分圖象如圖所示，貝I］（）

5兀

~~66

,R

A.a)(pA=—

6

/(X)的圖象過點(當,￥

B.

o3

函數(shù)產(chǎn)|/(x)|的圖象關于直線X號對稱

C.

5兀71

上不單調，則實數(shù)，的取值范圍是[-L1]

D.若函數(shù)yT,6

【答案】BCD

5兀

【解析】A：設該函數(shù)的最小正周期為T,則有7=介仁-=>0=1,

兀兀兀,即/(x)=Ztan(兀

即/(x)=Ztan(x+0),由函數(shù)的圖象可知:—\-(p———=>cp=——XT---

6233

由圖象可知：/(0)=4tang=2/n4=2,

所以。9Z=與，因此本選項不正確;

117C11兀兀c13兀八?71?八V3_2^3

B：/=2tail——+—2tan-----=2taii—=2x

6366~T~^~

所以本選項正確;

l.?5兀)?人(5兀兀、

C因為45TJ=2可7r+j|2tanx|,

=|2taiix|,

所以函數(shù)y=|/(x)|的圖象關于直線x=?對稱，因此本選項正確；

.(JI

D：y=|/(x)|+2/(x)=2tanx+—+22taiifx+y

I3

兀兀

當時,

v=|/(.r)|+z/(x)=2tan(x+g)+2ztan^x+-1-j=2tan^x+y…/兀71

+22tailx+一=(2+22)tanX+—

I33

當T

y=|/(x)|+，/(x)=2tan(兀X+兀」(兀

X+—+22tanl-Yj=_2tan!x+22tanx+—

3I3

兀

=(—2+2A)tanx+—

3

5兀71

上不單調時,

當函數(shù)『二V'7

ljllJ^(2+22)(-2+22)<0=>-l<2<l,

故選：BCD

11.如圖，在棱長為2的正方體相44GA中，河是棱的中點，N是棱。2上的動點（含端點）,

則下列說法中正確的是（）

A.三棱錐4-㈤0的體積為定值

B.若N是棱。A的中點，則過aM,N的平面截正方體48C。-44GA所得的截面圖形的周長為

7布

2

C.若N是棱。2的中點，則四面體A-WN的外接球的表面積為7兀

73V6

D.若CN與平面45c所成的角為夕，則sin，e

1T''T

【答案】AD

【解析】對于A,連接因為。鼻//9.

%u平面z平面440、

所以。2〃平面43.

所以點N到平面4/M的距離為定值，設為

則，-3=4-4&=3s，4，xd=gxg叵xd=￥",為定值，故A正確;

對于B.如圖，

四邊形4WHN為過4,M,N的平面截正方體4BCD-431G。所得的截面圖形,

因為平面AADDJI平面為BCC1,且平面4血口平面AMHN=AN.

且平面BiBCCxn平面AMHN=MH,

根據(jù)面面平行的判斷定理知，AN//MH,

又因為M,N為中點，所以H為四等分點，

則四邊形"IffiN的周長為：

+=正+與+羋+喬='故B錯誤:

對于C.如圖所示，連接4R.取40的中點為AT,

連接MM',設AADK外接圓圓心為O,外接球球心為。，

連接。AT,則0E=0'M,

在A4D]N中，設其外接圓半徑為r,

..心$=?=2r

由正弦定理知，sinN皿N近，

所以，=巫，即ow=典，

22

依題易得AAND]三AZWN,故ZAMD'=ZAND,

弦皿所對的圓周角相等，故四點共圓，則。%r=ow=典.

2

設外接球半徑為風過。作0E1MM'，交MM'于E.

則在RtAOEM中，OM2=OE2+ME2.

即/=[萼「（2-0?！孩?/p>

在RLOO'N中，ON2=OO'2+OH?,即R2=OO'2+1j，②

7

聯(lián)立①②，解得OO'=L&2=5，

故外接球的表面積為4〃2=14兀，故C錯誤；

對于D,以A為坐標原點，建立如下圖所示空間直角坐標系,

則4（0,0,0）,耳（2,0,2）,。（2,2,0）?。?,2,；1）。丸0,2],

則拓=(2,0,2),就=(2,2,0),K=(_2,0"),

設平面451c的法向量。=(x,y,-),

n?AB1=02x+2z=0

則—.n

n-AC=02x+2y=0

令x=l,則y=z=-l,故萬

則知—頡對何=—?

_幣/r+42+473r4^~

=2

TVZ+4=TV

當2=o時，sin6=,

3

當2/0時，

32+4\2+1313,

當且僅當；1=2時等號成立，

又sine*瓦

綜上可知，sin6e,故DiE確，

33

故選：AD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知集合4={x|X?v4},8={x|a-lMxVa+1},若/c_B=0,則。的取值范圍是

【答案】（y,-3）U（3,r）

【解析】由x?M4,得（X-2）（X+2）40,解得-24X42,

所以4={M-24X42}.

因為Zc8=0,

所以〃+1<—2或〃一1>2,解得〃〈一3或。>3,

所以a的取值范圍是（-叫-3）U（3,+s）.

22

13.已知橢圓C:一+彳=1（。>6>0）的一個焦點的坐標為（1,0）,一條切線的方程為x+N=7,則C的離心

ab

率c二.

【答案】I

f22

二+匕=]

【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程//一,可得（〃+/卜2_14/%+49/一/62=0,

x+y=7

由x+y=7為橢圓切線，則有A=196/-4（/+/）（49.2_//）=。，

化簡得筒6?+H=49a%2,又a>。>0,故a2+/=49,

又橢圓的一個焦點的坐標為（1,0）,故有/一/=1,

則Y=25,故。=5,則0=。

14.關于x的不等式xe"+6x-lnx21（。>0）恒成立，則”的最小值為.

a

【答案】-1

【解析】令〃x）=e;x-l,則/（x）=e=l,

當％<0時，/r（x）<0,當％>0時，/'（%）>0,

所以函數(shù)/（X）在（-8,0）上單調遞減，在（0,+。）上單調遞增，

所以/（力”（0）=0,所以e-x+1,

由xe6+樂一Inx之1（。>0）,得eflx+lnx>-bx+\nx+l（a>0）,

而QX+Inx￡R,

令+Inx+12-bx+Inx+1（。>0）,

則q+bNO,所以22—1,

a

若a+b<0，

如圖作出函數(shù)>=-"（?！?）/=1"工的圖象,

尸一個

\y=lnx

0V1

h

由函數(shù)圖象可知，方程ax+lnx=0有唯一實數(shù)根x0e(O,l),

即ax0+Inx0=0,

由xe""+bx-lnx?l(q>0),得產(chǎn)+1nx2-bx+lnx+l,

即y+1nx-(辦+lnx)21-(a+b)x,

當％=%0時，e°-O>l-(<7+Z?)xo,即(Q+6)XONO,

又a+b<0,x0e(O,l),所以(a+b)/<0,

所以(a+6)/20不成立，

即當a+b<0時，xe^+bx-lnx>l(tz>0)不恒成立，

綜上所述，2的最小值為T.

a

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(本小題滿分13分)為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發(fā)出“讀書好、讀好書、

好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學后，學校統(tǒng)計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間

(單位：分鐘)，得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075,0.0125,

后三個小矩形的高度比為3：2：1.

1頻率/組距

0.0125------------

0.0075-1—

4’06：8%右01：0時簡/分鐘

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點值為代表)；

(2)開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作

為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于［80,100)的人數(shù)記為

4,求隨機變量；的分布列與數(shù)學期望.

【解】(1)由題知：各組頻率分別為：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均閱讀時間的平均數(shù)為：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67（分鐘）

(2)由題意，在[60,80),[80,100),[100,120］三組分別抽取3,2,1人

J的可能取值為：0,1,2

則P(a0)=哭=；尸?=1)=等=：

l2

尸?=2)=與CC=上1

C；5

所以4的分布列為：

EF

ni

131

月修）=0x—+lx—+2x—=1

''555

16.(本小題滿分15分)如圖，在三棱柱48C-44G中，與8片的距離為6，4B=4C=4B=2,

4c=BC=2近.

(1)證明：平面448瓦，平面4BC：

(2)若點N在棱4G上，求直線3與平面451c所成角的正弦值的最大值.

【解】(1)取棱中點D,連接助，因為48=48,所以即_1必

因為三棱柱ABC-44G，所以必，/BBi-

所以瓦，所以BD=6

因為48=2,所以4D=1,必=2；

因為4c=2,4c=20，所以4。?+封=4。2,所以/C_L曰.

同理4C_L4B,

因為411rl48=4,且可，4Bu平面4月所以/(7_1平面4484,

因為4Cu平面4BC,

所以平面44881_L平面ABC；

(2)取4B中點O,連接4。，取BC中點尸，連接。尸，則。尸〃4C,

由(1)知4C_L平面448瓦，所以QP_L平面448片

因為4。平面44881，4Bu平面44BB],

所以。尸，40,OP1AB,

因為45=4/=48,則4O_LZB

以。為坐標原點，OP,OB,所在的直線為x軸、y軸、二軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

O-xy-,

則4(0,T0),4(0.0,73),5,(0,2,V3),C(2,-l,0),

可設點N=(dO,0),(0<a<2),

福=(0,2,0),4^=(2,-l,-x/3),而=(a,L百)，

,、n-=0=2y

設面44c的法向量為萬=(》)/),得《竺L，

方4。=0=2x-y—j3工

取X=百，貝Ijy=o,z=2,所以萬=(6,0,2)

設直線4V與平面43。所成角為e,

則sinefcosv瓦加

11

\H\]AN\V7行77

著。=0,則sin6=也^9

7

所以直線3與平面44c所成角的正弦值的最大值年.

17.(本小題滿分15分)已知函數(shù)/(x)=e2，+e'-G.

(1)當a=3時，求/")的單調區(qū)間;

(2)討論/(x)極值點的個數(shù).

【解】(1)當。=3時，/(x)=e2工+eX-3x定義域為R.

又/'(x)=2e2，+e-3,

所以r(x)=(2e，+3)(ex-l),

由/?卜)>0,解得x>0,此時/(x)單調遞增;

由/'(x)<0,解得*<0,此時/(x)單調遞減,

所以〃x)的單調遞增區(qū)間為(0,+8),單調遞減區(qū)間為

(2)函數(shù)/(x)的定義域為R,

由題意知，f'(x)=2e2x+ex-a,

當aMO時，/qx)>0,所以/(%)在R上單調遞增,

即/(x)極值點的個數(shù)為。個：

當a>0時，易知1+8。>0,

故解關于/的方程2/+/_。=0得，zzzl±i]

424

所以廣(x)=2(e，Tj(e，T2)，

,,-1+J1+8。-1+1+-1-J1+8a

乂L=--------------->--------=0n,L=----------------<0,

2444

所以當x>ln/2時，/”)>0,即/(x)在(In/R)上單調遞增,

當x<ln%時，/'(戈)<0，即/(x)在(口,，外上單調遞減，

即/(x)極值點的個數(shù)為1個.

綜上，當440時，/(x)極值點的個數(shù)為。個；當。>0時，/(x)極值點的個數(shù)為1個.

18.(本小題滿分17分)設拋物線C:y2=2"(p>0),過焦點F的直線與拋物線C交于點4(4”),

5仁,為).當直線4B垂直于x軸時，|劣|=2.

(1)求拋物線C的標準方程.

(2)己知點尸。,0),直線/P,AP分別與拋物線C交于點C,D.

①求證：直線C。過定點；

②求與APCD面積之和的最小值.

【解】(1)由題意，當直線里垂直于x軸時，±=彳，代入拋物線方程得出=±P.則|J5|=2p,所

以2P=2,即p=l,所以拋物線。:產(chǎn)=2立

(2)(i)設CH①)，。(*北)，直線4B:x="?y+g,

與拋物線C：y2=2x聯(lián)立，得J，2-2叩-1=0,因此弘+必=2m，yxy2=-1.

設直線ZC：x=〃y+l,與拋物線C：K=2x聯(lián)立，W/-2W-2-0,

一2—2

因此％+必=2",M％=一2,則必=二-洞理可得以=一.

y\J’2

k_必一丁_MF_2_2_MM_1

CD;2

所以X3-X4y3y4y3+y4M+必2m.

22My2

因此直線CZ):x=2〃My-y3)+X3，由對稱性知，定點在x軸上，

令7=0得，

cc竹c-21「-2丫4m2

^=-2加期3+》3=—2〃7%+—^=一2〃?——+———=——+—T

"-2yl2d弘乂

=2("+。)+4=2+2但+3]=2+2.^Vl=2,

M弘*V1)y\

所以直線8過定點0(2,0).

(ii)因為%48=今尸尸卜|%-％|=：卜1一必|，

S.PCD=：|尸0卜卜3-閭=：，一~----=~~~=卜1一引,

22x\y2%y2y\y2

所以S.P'B+S.PCD=；卜1一闖=；，4〃/+4+1,

當且僅當加=0時取到最小值g.

19.(本小題滿分17分)給定整數(shù)〃23,由〃元實數(shù)集合S定義其相伴數(shù)集7={|"即。力eS,aM},如果

min(T)=l,則稱集合S為一個〃元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)/為其中所有元素絕對值之和.

⑴判斷/={-0.1,-1.122.5}、8={-L5,-0.5,0.5,L5}哪個是規(guī)范數(shù)集，并說明理由；

(2)任取一個“元規(guī)范數(shù)集S,記加、M分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：|min(S)|+max(S)|z〃-l；

(3)當$={%,4，9023}遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時，求范數(shù)/的最小值.

注：min(X)、max(X)分別表示數(shù)集X中的最小數(shù)與最大數(shù).

【解】(1)對于集合4因為|2.5-2|=0.5<1,所以集合4不是規(guī)范數(shù)集：

對于集合8：因為8={-15-0.5,0.5,1.5},

X|-l-5-(-0.5)|-l,|-1.5-0.5|=2,|-1.5-1.5|=3,|-0.5-0,5|=1,|-0.5-1.5|=2,|0.5-1.5|-1,

所以8相伴數(shù)集7={1,2,3},即min(T)=l,故集合5是規(guī)范數(shù)集.

(2)不妨設集合S中的元素為X]，即min(S)=X],max(S)=x,,

因為S為規(guī)范數(shù)集，貝UVieN*,14zW"-l,則%「占21,>3z0eN*,l<z0<?-l,使得4+「%=l,

當看NO時,

則|min(S)+|max(5)|=|xj|+\xn\=x}+xn=(x2—Xj)+(x3-x2)+L(x“-xn_1)+2x1n-l+2xj>n-\,

當且僅當職「匕=1且玉=0時，等號成立；

當x“V0時，

則|min(S)|+|max⑸卜聞+聞=一再-3=(蒞一再)+(昌-尤2)+1+(^?-xn_1)-2xn>n-l-2xri>n-l