常用邏輯用語(yǔ)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第2課時(shí)常用邏輯用語(yǔ)

［考試要求］i.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與

充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱(chēng)量詞

和存在量詞的意義，能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

［鏈接教材?夯基固本］落實(shí)主干,激活技能

C梳理?必備知識(shí)

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則夕是q的充分條件，q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q書(shū)p

p是q的必要不充分條件p書(shū)q且qnp

夕是q的充要條件poq

p是q的既不充分也不必要條件p書(shū)q且q書(shū)p

2.全稱(chēng)量詞與存在量詞

⑴全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，用符

號(hào)“亡表示.

⑵存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”，，至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，

用符號(hào)“3”表示.

3.全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題

名稱(chēng)全稱(chēng)量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對(duì)A/■中任意一個(gè)x,p(x)成立存在河中的元素x,p(x)成立

簡(jiǎn)記YxRM,Hx)

否定

提醒：含有一個(gè)量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”，即兩變一不變,

量詞與結(jié)論變，條件不變.

［常用結(jié)論］

設(shè)p,夕成立的對(duì)象構(gòu)成的集合分別為4,B.

(1)夕是夕的充分不必要條件上；

(2)上是q的必要不充分條件

（3）/7是q的充要條件

（4）夕是q的既不充分也不必要條件QZ與B沒(méi)有包含關(guān)系.

€>激活?基本技能

一、易錯(cuò)易混辨析（正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）當(dāng)夕是q的充分條件時(shí)，q是夕的必要條件.（）

⑵。>1”是“x>0”的充分不必要條件.（）

（3）”三角形的內(nèi)角和為180?！笔谴嬖诹吭~命題.（）

（4）寫(xiě)全稱(chēng)量詞命題的否定時(shí)，全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.（）

［答案］（1）V（2）V（3）x（4）V

二,教材經(jīng)典衍生

1.（人教A版必修第一冊(cè)P31練習(xí)Ti改編）已知命題p：V〃GN*,n2>n-l,則命

題夕的否定為（）

A.V〃GN*,一1B.V〃?N*,n2<n-1

C.一1D.m〃GN*,n2<n一1

C［由全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題可得命題p：V〃GN*,-i的否

定F為/w〃-1”.］

2.（人教A版必修第一冊(cè)P22習(xí)題1.4T2⑵改編）“一元二次方程ax2+bx-\-c=0有

實(shí)數(shù)根”是“加一4ac》0（aW0）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］C

3.（多選）（人教A版必修第一冊(cè)P31習(xí)題1.5「、T2改編）下列命題是全稱(chēng)量詞命

題且為真命題的是（）

A.X2—x+1>0

B.sinx=2

C.存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D.平面內(nèi)，到Z,5兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在線(xiàn)段Z5的垂直平分線(xiàn)上

［答案］AD

4.（人教B版必修第一冊(cè)P38習(xí)題1—2BT5改編）已知2=（—8,0，5=（—8,

3),且xGN是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

［答案］［3,4-o0)

［典例精研?核心考點(diǎn)］重難解惑?直擊高考

□考點(diǎn)一充分'必要條件

考向1充分、必要條件的判定

［典例1］(1)(2023?天津高考)“層=居”是“/+〃=2仍”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

B［由屋=〃，即(a+b)(a—6)=0,解得a=—6或a=b,a2+b2=2ab,即(a

—6)2=0,解得a=6,故'％2=加”不能推出“W+N=2ab”,充分性不成立，

aa2+b2=2abv能推出“序=〃”，必要性成立，故"，=抉”是“。2+爐=2。6”

的必要不充分條件.故選B.］

考向2充分、必要條件的探求

［典例2］(2023?天津和平區(qū)二模)若x,則“x>y”的一個(gè)充分不必要條

件可以是()

A.|x|>|j|B.x2>j2

C.->1D.2x~y>2

y

D［由/>產(chǎn)推不出x>y,排除AB；

由:>1可得三>0,解得x>y>0或x<y<Q,所以：>1是x>y的既不充分也不必要條

件，排除C;2x~y>2^x>y,反之不成立，D正確.故選D.］

考向3充分、必要條件的應(yīng)用

［典例3］請(qǐng)?jiān)冖俪浞植槐匾?；②必要不充分；③充要中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線(xiàn)

處，并解答.

已知集合幺={%|%2—x—12W0},5={%|%2—2%+1-m2^0,zn>0},且

是的條件，判斷實(shí)數(shù)機(jī)的值是否存在，若存在，求出機(jī)的取值范

圍；若不存在，說(shuō)明理由.

［解］由不等式f—x—12=(X—4)(X+3)W0,解得一3WXW4,可得Z=

{%|—3W%W4},

由不等式x2—2x+1—4=(》一機(jī)一i)(x+機(jī)一i)W0(機(jī)>0),解得1—mWxWl+m,

所以8={%|1—znWxWl+m,m>0j.

’1——3,

若選擇條件①，則集合幺是8的真子集，得(m+1^4,解得機(jī)三4.

、m>0,

當(dāng)機(jī)=4時(shí)，8={%|—3W%W5},AB,符合題意.

fl—mN—3,

若選擇條件②，則集合8是/的真子集，得］m+lW4,解得0<%W3.

(m>0,

當(dāng)加=3時(shí)，8={K|—2W%W4},則8A,符合題意.

1一771=—3,

m+1=4,無(wú)解，所以不存在滿(mǎn)足條件③

(m>0,

的實(shí)數(shù)m.

名師點(diǎn)評(píng)(1)充分條件、必要條件的判定方法：定義法、集合法.

(2)充分條件、必要條件的探求要分清題干的條件和結(jié)論，如“p的充分條件是q”

等價(jià)于飛今夕是真命題”.

(3)應(yīng)用集合之間的關(guān)系解答充分條件、必要條件求參數(shù)問(wèn)題時(shí)需注意區(qū)間端點(diǎn)

值的檢驗(yàn).

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)“l(fā)n(x+l)<0"的一個(gè)必要不充分條件是()

1

A.—l<x<--B.x>0

e

C.—l<x<0D.x<0

⑵(2023?山東濰坊二模)若是“sinx+cosx>l”的一個(gè)充分條件，貝!Ja

的一個(gè)可能值是.

(1)D(2.只需滿(mǎn)足aG(2Mi,2/01+§(左62)即可)［(l)ln(x+1)<0等價(jià)于0<x

+K1,即一l<x<0.因?yàn)橐?cx<0可以推出x<0,而x<0不能推出一1<%<0,所

以“x<0”是“一l<x<0"的必栗不充分條件，所以“l(fā)n(x+l)<0"的一個(gè)必要不

充分條件是“x<0”.故選D.

(2)由sinx+cosx>l可得V^sin

則sin(%+：)"?,

所以2A7I+：<X+：<2左兀+系左￡2),

解得2E<x<2后i+式左金Z).

因?yàn)椤皒=a”是“sinx+cosx>l”的一個(gè)充分條件，故a的一個(gè)可能取值為；.]

□考點(diǎn)二全稱(chēng)量詞與存在量詞

考向1含量詞命題的否定

[典例4](1)命題?的否定為‘Fx<0,使得》+2>2爐，則命題?為()

A.Vx<0,x+2>2*B.2x^0,使得兀+2>2工

C.Vx<0,x+2W2*D.使得x+2W2、

(2)命題：“奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是.

(1)C(2)存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù)[(1)因?yàn)槊}?的否定為‘勺x<0,

使得丫+2>2云”，所以命題?為"Vx<0,x+2W2，x”.故選C.

(2)命題的否定為存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方不是奇數(shù).]

考向2含量詞命題的真假判斷

[典例5](多選)下列四個(gè)命題中為真命題的是()

A.VxGR,2i4>0B.VxGN*,(%-1)2>0

C.2x￡R,lgx<lD.Bx^R,tanx=2

ACD[當(dāng)x=l時(shí)，(x—1>=0,故B為假命題，其余都是真命題，故選ACD.]

考向3含量詞命題的應(yīng)用

[典例6]若命題p：x2—mx—m^0v為假命題，則實(shí)數(shù)加的取值范圍

是.

(—4,0)[法一：若夕為真命題，即x2—mx—m^0,/.zl=m2+4m^0,

???加20或加W—4,

/.當(dāng)p為假命題時(shí)，-4<m<0.

法二：.「p為假命題，

:?「p:VxGR,x2—mx—m>0為真命題，

即/=m2+4m<0,二.—4<m<0.]

名師點(diǎn)評(píng)含量詞命題的解題策略

(1)判定全稱(chēng)量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題,

只要找到一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可以先判斷其否定的真

假.

(2)由命題真假求參數(shù)的取值范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的取值范圍；

二是利用等價(jià)轉(zhuǎn)化，根據(jù)命題與命題的否定之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.

(3)全稱(chēng)量詞命題對(duì)應(yīng)恒成立，存在量詞命題對(duì)應(yīng)成立.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

2.(1)命題P：VadR,一元二次方程x2—ax—1=0有實(shí)根，則對(duì)命題P的真假

判斷和?正確的為()

A.真命題，r：BaER,一元二次方程/一辦一1=0無(wú)實(shí)根

B.假命題，「p：BaGR,一元二次方程?―1=0無(wú)實(shí)根

C.真命題，~p：Ba￡R,一元二次方程/一辦一1=0有實(shí)根

D.假命題，一元二次方程x2—ax—1=0有實(shí)根

(2)(2024?陜西咸陽(yáng)模擬)若命題“文6[1,4],使心;2+x—2>0成立”的否定是

真命題，則實(shí)數(shù)九的取值范圍是.

(1)A(2)(—8,-i][⑴在一元二次方程N(yùn)一辦一1=0中，/=/+4>0恒成立,

故對(duì)任意a,方程都有實(shí)根，故命題?為真命題，fp:BaGR,一■元二次方程/

—ax—1=0無(wú)實(shí)根.故選A.

(2)若4],使A%2+x—2>0成立"的否定"VxG[1,4],使&?+x—2W0”

為真命題，即4W號(hào).

令/(》)=要=2&_{)2_\由xe[l,4],亮1],所以/(X)min=/(4)=一

,所以后一白

課時(shí)分層作業(yè)(二)常用邏輯用語(yǔ)

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一'單項(xiàng)選擇題

1.(2024?河南周口期中)命題。40,/—±0”的否定為()

A.3x>0,x2—-^0B.x2--^0

XX

_-11

C.Vx>0,x2—^0D.VxWO,x2-^0

XX

C［命題“天>0,f—go”的否定為“Vx>o,x2-i^0v.故選C.］

2.（2024?廣東深圳模擬）若a>0,則“序<〃”是“質(zhì)一產(chǎn)的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

B［若4=1,b=2,滿(mǎn)足原<52,不能得到時(shí)一兒充分性不成立，

因?yàn)閍>0,Q<a<~b,兩邊平方得必要性成立.

則“/<〃，，是可<一6”的必要不充分條件.

故選B.］

3.（2023?廣東東莞三模）已知全集。和它的兩個(gè)非空子集48的關(guān)系如圖所示,

則下列命題正確的是（）

A.Bx^A,x^BB.Vx莊4,x^B

C.x^AD.Yx壬B,x^A

B［由圖可知514,且4,5非空,

則根據(jù)子集的定義可得：

對(duì)于A,錯(cuò)誤；

對(duì)于B,Vx莊4,%莊5正確；

對(duì)于C,3xGB,x生/錯(cuò)誤；

對(duì)于D,Xfx^B,錯(cuò)誤.］

4.“復(fù)數(shù)2=山+/口，b￡R）是純虛數(shù)”的充分不必要條件是（）

A.QWO且6=0B.b=0

C.。=1且6=0D.a=b=O

C［因?yàn)椤皬?fù)數(shù)z=ai+b（a,b￡R）是純虛數(shù)”的充要條件是ZWO且6=0”，

‘％=1且6=0”是“aWO且6=0”的充分不必要條件，

所以“a=l且6=0"是''復(fù)數(shù)2=ai+b(a,b?R)為純虛數(shù)”的充分不必栗條件.故

選C.]

5.下列命題既是存在量詞命題又是真命題的是()

A.銳角三角形有一個(gè)內(nèi)角是鈍角

B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使/WO

C.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)

D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使工>2

X

B[A中，銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以A是假命題；B中，當(dāng)x=0時(shí)，

x2=0,滿(mǎn)足/W0,所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中，因?yàn)轸~(yú)+(一魚(yú))

=0不是無(wú)理數(shù)，所以C是假命題；D中，對(duì)于任意一個(gè)負(fù)數(shù)X,都有-0,不滿(mǎn)

X

足工>2,所以D是假命題.]

X

6.(2024?湖南長(zhǎng)沙模擬)命題p：ax2+2ax-4^0，,為假命題，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.(-4,0]B.[-4,0)

C.(-4,0)D.[-4,0]

A[命題?：BxGR,ax2+2ax—4三0為假命題，即命題瘙㈱>P：VxGR,ax2

+2ax—4<0為真命題.

當(dāng)a=0時(shí)，-4<0恒成立，符合題意；

當(dāng)aW0時(shí)，貝Ua<0且/=(2a)2+16a<Q,即一4<a<0,

綜上可知，一4<aW0.故選A.]

7.已知條件p：/—3x+2W0,條件q：X2—4x+4-m2^0.若夕是q的充分不

必要條件，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(一8,0]B.[1,+°°)

C.{0}D.(—8,-1]U[1,+8)

D[由X2—3X+2W0,得1WXW2,

由4X+4——wo,得2—附WxW2+附，

若夕是q的充分不必要條件，貝42?加或I?加I<1,解得用?1,所

(2+|m|>2(2+\m\^2,

以機(jī)W—1或7〃三1.故選D.]

222

8.(2024?廣東深圳開(kāi)學(xué)考試)久三遍”是“圓Ci：x+y=l與圓C2：(x+a)

十(y—2a)2=36存在公切線(xiàn)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

A[當(dāng)兩圓無(wú)公切線(xiàn)時(shí)，兩圓內(nèi)含，

圓C1的圓心為(0,0),半徑口=1,圓。2的圓心為(-a,2a),半徑為功=6,

所以?xún)蓤A的圓心距為<7=|C1C21=Va2+4a2=V5a2,

即V5a2<|6—1|,解得一V5<a<V5,

所以當(dāng)兩圓有公切線(xiàn)時(shí)aN正或aW—迷，

所以正能推出圓G和G有公切線(xiàn)，而圓G和G有公切線(xiàn)不能推出心乘,

22

所以"口三店"是''圓。1：/+廿=1與圓(2;2：(x+a)+(y—2a)=36存在公切線(xiàn)”

的充分不必要條件.故選A.]

二、多項(xiàng)選擇題

9.命題“VxGR,2區(qū)2+去一1<o"為真命題的充分不必要條件可能是()

O

A.左￡(—3,0)B.左￡(—3,0]

C.左￡(——3,——1)D.左￡(——3,+°°)

AC[因?yàn)閂xGR,2區(qū)2+丘一|<o為真命題，

所以《=0或1k<Q，解得一3〈左W0,

U2+3k<0,

所以左e(—3,0)是命題“VxeR,2kx2+kx-^<0^,為真命題的充分不必栗條件，

A符合題意；

所以左￡(—3,0]是命題“Vx￡R,2kx2~\~kx—~<0v為真命題的充要條件，B不

8

符合題意；

所以左￡(—3,—1)是命題“Vx￡R,2Ax2+Ax—-<0,,為真命題的充分不必要條

8

件，C符合題意；

所以左￡(—3,+8)是命題“\/x￡R,2Ax2+Ax--|<0為真命題的必要不充分條

8

件，D不符合題意.故選AC.]

10.(2024?廣東東莞模擬)下列哪些選項(xiàng)是m<2的充分不必要條件()

A.y=x2—機(jī)x+1在[1,+8)上單調(diào)遞增

B.Vx@R,/一相%+1>0恒成立

C.Vxe[2,+°°),/一根x+l>0恒成立

D.y=x2—mx+1只有一■個(gè)零點(diǎn)

BD[對(duì)于A,—m丫+1的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=],因?yàn)槭?/p>

一根X+1在[1,+8)上單調(diào)遞增，

所以1W1,即機(jī)W2,所以y=x2—mx+1在[1,+8)上單調(diào)遞增是機(jī)W2的充要

條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,VxGR,x2—mx+1>0,即加2—4<0,即一2<m<2,

所以VxGR,X2—相x+1>0恒成立是機(jī)W2的充分不必要條件，故B正確；

對(duì)于C,VxG[2,+8),x2~mx+1>0,即機(jī)<x+：在[2,+8)上恒成立，所以

m<(x+-),令g(x)=x+3則g〈x)=l—W當(dāng)x?[2,+8)時(shí)，g，(x)>0,所

以g(x)在[2,+8)上單調(diào)遞增，g(x)min=g(2)=|,所以機(jī)<|,

所以Vx￡[2,+8),N—加工+]>()恒成立是加W2的必要不充分條件，故C錯(cuò)

、口

沃；

對(duì)于D,y=x2一加x+1只有一■個(gè)零點(diǎn)，即以2—4=0,即加=2或加=一2,

所以j=x2—mx+1只有一■個(gè)零點(diǎn)是機(jī)W2的充分不必栗條件，故D正確.

故選BD.]

三、填空題

11.設(shè)p,r都是q的充分條件，s是q的充要條件，/是s的必要條件，力是r的

充分條件，那么P是/的條件，r是/的條件.(用“充分不必

要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)

充分不必要充要[由題意知夕qos,snt,又tnr,rnq,故P是/的充

分不必要條件，r是力的充栗條件.]

12.若命題“五<0,。+工>6”是假命題，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為.

a--------

[-2,+8）[因?yàn)槊}“也<0,是假命題，

所以命題“VaVO,。+工忘6”是真命題.

a

又當(dāng)QV0時(shí)，〃+[=—（_@+4）忘—2J—a?（―，）=—2,

當(dāng)且僅當(dāng)一。=工，即Q=—1時(shí)等號(hào)成立，

—a

所以（a+工）=—2,

'Wmax

所以6三一2,

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[—2,8）.]

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

13.在△4BC中，角Z,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則“a>b”“Z+cos

A>B+cos