微探究小專題7　有關(guān)旋轉(zhuǎn)的基本模型

第二十三章旋轉(zhuǎn)微探究小專題7有關(guān)旋轉(zhuǎn)的基本模型模型1

“奔馳”模型1.如圖所示，等邊三角形

ABC

內(nèi)有一點(diǎn)

O

，已知

OA

＝4，

OB

＝3，

OC

＝5，求∠

AOB

的度數(shù).1234解：如圖，將△

AOB

繞點(diǎn)

A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△

AMC

，連接

OM

.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知

MC

＝

OB

，

AM

＝

AO

.

∵∠

OAM

＝∠

BAC

＝60°，∴△

AMO

為等邊三角形.∴

OM

＝

OA

＝4，∠

OMA

＝60°.又∵

MC

＝

OB

＝3，

OC

＝5，∴在△

COM

中，

OM2＋

MC2＝

OC2.∴∠

OMC

＝90°.∴∠

AMC

＝∠

OMA

＋∠

OMC

＝60°＋90°＝150°.∴∠

AOB

＝∠

AMC

＝150°.1234模型2

費(fèi)馬點(diǎn)模型2.問題的提出：如果

P

是銳角三角形

ABC

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，如何確定一個(gè)位

置，使點(diǎn)

P

到△

ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和

PA

＋

PB

＋

PC

的值最??？

想要解決這一問題，可按以下步驟進(jìn)行證明：(1)問題的轉(zhuǎn)化：把△

APC

繞點(diǎn)

A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP'C'，連接PP'.

請(qǐng)你利用圖1證明：

PA

＋

PB

＋

PC

＝

BP

＋PP'＋P'C'；(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAP'＝60°，

PA

＝P'A，

PC

＝P'C'，∴△

APP

'是等邊三角形.∴

PP

'＝

PA

.

又∵

PC

＝P'C'，∴

PA

＋

PB

＋

PC

＝

BP

＋PP'＋P'C'.1234(2)解：由(1)可知，當(dāng)

B

，

P

，P'，C'在同一直線上時(shí)，

PA

＋

PB

＋

PC

的值最小.∵∠APP'＝60°，∠

APB

＋∠APP'＝180°，∴∠

APB

＝120°.∵∠AP'P＝60°，∠AP'C'＋∠AP'P＝180°，∴∠AP'C'＝120°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠

APC

＝∠AP'C'＝120°.(2)問題的結(jié)局：當(dāng)點(diǎn)

P

到銳角三角形

ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和

PA

＋

PB

＋

PC

的值最小時(shí)，求∠

APB

和∠

APC

的度數(shù)；1234(3)問題的延伸：圖2是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，

P

是這個(gè)三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你利用以上方法，求點(diǎn)

P

到這個(gè)三角形各

頂點(diǎn)的距離之和的最小值.

1234由旋轉(zhuǎn)得

BP

＝BP'，∠PBP'＝60°，

PC

＝P'C'，∴△

BPP

'是等邊三角形.∴

PP

'＝

PB

.

∴

PA

＋

PB

＋

PC

＝

PA

＋PP'＋P'C'.∴當(dāng)點(diǎn)

A

，

P

，P'，C'在同一直線上時(shí)，

PA

＋

PB

＋

PC

的值最小，且

最小值為AC'.∵∠

ABC

＝∠

ABP

＋∠

CBP

＝∠

ABP

＋∠C'BP'＝30°，

∴∠ABC'＝∠

ABP

＋∠PBP'＋∠C'BP'＝90°.

1234模型3

手拉手模型3.如圖，在等腰三角形

AOB

中，

OA

＝

OB

，∠

AOB

＝120°，將△

AOB

繞點(diǎn)

O

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△

MON

，延長(zhǎng)

MA

交

BN

延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D

.

【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為60°時(shí)，線段

BD

與

MD

的數(shù)量關(guān)系是

?

，∠

MDB

＝

?；BD

＝

DM

60°

1234【解析】當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為60°時(shí)，∴∠

AOM

＝∠

BON

＝60°.∵∠

AOB

＝120°，∴∠

AOM

＋∠

AOB

＝180°.∴點(diǎn)

B

，

O

，

M

共線.∵

OA

＝

OM

＝

ON

＝

OB

，∴△

AOM

，△

BON

都是等邊三角形.∴∠

AMO

＝∠

OBN

＝60°.∴∠

D

＝180°－2×60°＝60°.∴△

DBM

是等邊三角形.∴

BD

＝

DM

，∠

MDB

＝60°.1234【類比探究】(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立，并說明

理由.解：結(jié)論成立.理由：如圖，過點(diǎn)

O

作

OJ

⊥

AM

于點(diǎn)

J

，

OK

⊥

BN

于點(diǎn)

K

，連接

OD

.

∵∠

AOB

＝∠

MON

＝120°，∴∠

AOM

＝∠

BON

.

∵

OA

＝

OB

＝

OM

＝

ON

，1234∴△

AOM

≌△

BON

(SAS).∴

AM

＝

BN

.

∵

OJ

⊥

AM

，

OK

⊥

BN

，∴

OJ

＝

OK

.

∵

OD

＝

OD

，∠

OJD

＝∠

OKD

＝90°，∴Rt△

DOJ

≌Rt△

DOK

(HL).∴

DJ

＝

DK

.

∵

AJ

＝

JM

，

NK

＝

KB

，

AM

＝

BN

，1234∴

JM

＝

KB

.

∴

DM

＝

DB

.

∵△

AOM

≌△

BON

，∴∠

MAO

＝∠

AMO

＝∠

ONB

＝∠

OBN

.

∵∠

MAO

＋∠

DAO

＝180°，∴∠

DAO

＋∠

OBN

＝180°.∴∠

ADB

＋∠

AOB

＝180°.∵∠

AOB

＝120°，∴∠

MDB

＝60°.1234模型4

半角模型4.已知，如圖1，四邊形

ABCD

是正方形，

E

，

F

分別在邊

BC

，

CD

上，且∠

EAF

＝45°，這樣的模型稱為半角模型.在解決“半角模型”的

問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法.(1)在圖1中，連接

EF

，為了證明結(jié)論“

EF

＝

BE

＋

DF

”，小亮將△

ADF

繞點(diǎn)

A

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后解答了這個(gè)問題，請(qǐng)按小亮的思路寫出證明過程；1234

1234(2)如圖2，當(dāng)∠

EAF

繞點(diǎn)

A

旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試探究

EF

與

DF

，

BE

之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)解：

EF

＝

DF

－

BE

.

理由：如圖，把△

ABE

繞點(diǎn)

A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使

AB

與

AD

重合，點(diǎn)

E

與點(diǎn)

G

對(duì)應(yīng)，同(1)可證得△

AEF

≌△

AGF

(SAS)，∴

EF

＝

GF

，且

DG

＝

BE

，∴

EF

＝

DF

－

DG

＝

DF

－

BE

.

1234

專題進(jìn)階小練

1234【解析】如圖，將△

ABP

繞點(diǎn)

B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

CBM

，連接

PM

，過點(diǎn)

B

作

BH

⊥

PM

于點(diǎn)

H

.

又∵

PC2＝

CM2＋

PM2，∴∠

PMC

＝90°.∵∠

BPM

＝∠

BMP

＝45°，1234∴∠

CMB

＝∠

APB

＝45°＋90°＝135°，∴∠

APB

＋∠

BPM

＝135°＋45°＝180°.∴點(diǎn)

A

，

P

，

M

共線.∵

BH

⊥

PM

，∴

PH

＝

HM

.

∴

BH

＝

PH

＝

HM

＝1.

12342.如圖，四邊形

ABCD

是正方形，△

ABE

是等邊三角形，

M

為對(duì)角線

BD

(不含點(diǎn)

B

)上任意一點(diǎn)，將

BM

繞點(diǎn)

B

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到

BN

，連接

EN

，

AM

，

CM

.

(1)證明：△

ABM

≌△

EBN

；(1)證明：∵△

ABE

是等邊三角形，∴

BA

＝

BE

，∠

ABE

＝60°.∵∠

MBN

＝60°，∴∠

ABE

－∠

ABN

＝∠

MBN

－∠

ABN

，即∠

NBE

＝∠

MBA

.

又∵

MB

＝

NB

，∴△

ABM

≌△

EBN

(SAS).1234(2)當(dāng)點(diǎn)

M

在何處時(shí)，

AM

＋

BM

＋

CM

的值最小？請(qǐng)說明理由.(2)解：如圖，連接

CE

，

MN

，當(dāng)點(diǎn)

M

位于

BD

與

CE

的交點(diǎn)時(shí)，

AM

＋

BM

＋

CM

的值最小.理由：由(1)可知△

ABM

≌△

EBN

，∴

AM

＝

EN

.

∵∠

MBN

＝60°，

MB

＝

NB

，∴△

MBN

是等邊三角形.∴

BM

＝

MN

.

∴

AM

＋

BM

＋

CM

＝

EN

＋

MN

＋

CM

.

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得

EN

＋

MN

＋

CM

＝

EC

時(shí)最短.∴當(dāng)點(diǎn)

M

位于

BD

與

CE

的交點(diǎn)時(shí)，

AM

＋

BM

＋

CM

的值最小，最小值

為

EC

的長(zhǎng).12343.如圖1，

E

，

G

分別是邊長(zhǎng)為6的菱形

ABCD

邊

AB

，

AD

上的點(diǎn)，且

AE

＝

AG

，以

AE

，

AG

為鄰邊作菱形

AEFG

.

將菱形

AEFG

繞點(diǎn)

A

逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)一定角度得到圖2，連接

BE

，

DG

.

(1)求證：

BE

＝

DG

；(1)證明：依題意可知

AE

＝

AG

，

AB

＝

AD

，∠

BAD

＝∠

EAG

，

∴∠

BAE

＝∠

DAG

.

∴△

ABE

≌△

ADG

(SAS).∴

BE

＝

DG

.

1234

(2)解：如圖，過

G

作

GM

⊥

AD

于點(diǎn)

M

，

12344.如圖，△

ABC

是正三角形，△

BDC

是等腰三角形，

BD

＝

CD

，∠

BDC

＝120°，以

D

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交

AB

，

AC

邊于

M

，

N

兩點(diǎn)，