2009-2010一學期微積分考卷b答案

20092010一學期微積分考卷B一、選擇題（每題1分，共5分）1.下列函數中，哪個函數是奇函數？A.y=x^2B.y=x^3C.y=|x|D.y=e^x2.定積分∫(from0toπ)sin(x)dx的值為？A.0B.1C.1D.π3.微分方程y''y=0的通解為？A.y=C1e^x+C2e^xB.y=C1sin(x)+C2cos(x)C.y=C1x+C2D.y=C1e^x+C24.函數f(x)=x^2在x=0處的泰勒展開式為？A.f(x)=x^2B.f(x)=x^2+xC.f(x)=x^2+1D.f(x)=x^2+x+15.下列極限中，哪個是無窮大量？A.lim(x→∞)(1/x)B.lim(x→0)(1/x)C.lim(x→1)(1/(x1))D.lim(x→∞)(e^x)二、判斷題（每題1分，共5分）1.若函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則該函數在該區(qū)間上一定可積。（）2.微分方程的解一定包含其對應的齊次方程的解。（）3.二重積分可以交換積分次序。（）4.函數的導數在駐點處必定為0。（）5.若函數f(x)在點x=a處可導，則f(x)在點x=a處一定連續(xù)。（）三、填空題（每題1分，共5分）1.函數f(x)=x^33x在x=1處的導數值為______。2.微分方程y'=2x的通解為______。3.設平面區(qū)域D由y=x和y=x^2圍成，則二重積分?Ddxdy的值為______。4.函數f(x)=ln(x)的不定積分是______。5.曲線y=e^x在點(0,1)處的切線方程為______。四、簡答題（每題2分，共10分）1.簡述羅爾定理的內容。2.什么是函數的極值？如何求函數的極值？3.舉例說明如何使用換元積分法求解定積分。4.什么是泰勒公式？簡述泰勒公式的應用。5.簡述定積分與不定積分的關系。五、應用題（每題2分，共10分）1.求函數f(x)=x^36x^2+9x在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。2.計算定積分∫(from0to1)(1+sin(x))^2dx。3.求微分方程y''+2y'+y=e^x的通解。4.求曲線y=x^3在點(1,1)處的切線方程和法線方程。5.已知平面區(qū)域D由y=x和y=x^2圍成，求D的面積。六、分析題（每題5分，共10分）1.設函數f(x)=x^33x+2，求證：在區(qū)間(∞,+∞)上，函數f(x)有且僅有一個零點。2.已知某物體在直線上的運動方程為s=t^22t+1（其中s為位移，t為時間），求物體在t=2時的速度和加速度。七、實踐操作題（每題5分，共10分）1.利用微積分基本定理，求函數f(x)=x^2在區(qū)間[1,3]上的平均值。2.給定函數f(x)=e^x，求曲線y=f(x)在x=0處的曲率。八、專業(yè)設計題（每題2分，共10分）1.設計一個函數，使得其在區(qū)間(0,π)上單調遞增，在區(qū)間(π,2π)上單調遞減，并且在x=π處取得最大值。2.給定函數f(x)=x^24x+3，設計一個算法求該函數的零點。3.設計一個積分過程，計算由曲線y=sin(x)和直線x=π,y=0所圍成的圖形的面積。4.設計一個微分方程，其解為y=e^(x)cos(x)。5.設計一個實驗方案，用于驗證微積分基本定理。九、概念解釋題（每題2分，共10分）1.解釋什么是導數的物理意義。2.簡述定積分和不定積分的區(qū)別。3.解釋什么是微分方程的階數。4.簡述泰勒公式的應用范圍。5.解釋什么是曲率，并說明其幾何意義。十、思考題（每題2分，共10分）1.若函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)，試問f(x)在區(qū)間(a,b)內是否一定有零點？2.如果一個函數的導數在區(qū)間[a,b]上恒大于0，那么這個函數在該區(qū)間上是怎樣的單調性？3.在什么條件下，一個函數的不定積分可以表示為一個初等函數？4.如何判斷一個微分方程的解是否唯一？5.為什么在計算定積分時，要考慮被積函數在積分區(qū)間上的連續(xù)性？十一、社會擴展題（每題3分，共15分）1.微積分在經濟學中的最優(yōu)化問題有哪些應用？請舉例說明。2.在實際工程問題中，如何利用微積分方法解決曲線擬合問題？3.微積分在生物學研究中有什么應用？請舉例說明。4.如何利用微積分原理分析社會人口增長模型？5.請結合微積分知識，談談如何優(yōu)化城市交通流量。一、選擇題答案1.B2.B3.B4.A5.D二、判斷題答案1.√2.√3.√4.×5.√三、填空題答案1.62.y=x^2+C3.1/64.∫(x^3dx)=1/4x^4+C5.y=x1四、簡答題答案1.略2.略3.略4.略5.略五、應用題答案1.最大值f(0)=2，最小值f(2)=22.∫(from0to1)(1+sin(x))^2dx=2√3/2+π/43.y=(1/2)e^x+C1e^(x)+C2e^x4.切線方程y=3x2，法線方程y=(1/3)x+(1/3)5.面積為1/6六、分析題答案1.略2.速度v=4m/s，加速度a=2m/s^2七、實踐操作題答案1.平均值(3^3+1^3)/(31)=52.曲率k=|f''(0)|/(1+[f'(0)]^2)^(3/2)=11.微分學導數的概念與計算導數的應用（極值、單調性、曲線的切線與法線）高階導數與隱函數求導微分方程的基本概念和解法2.積分學不定積分的概念與計算定積分的概念、性質與應用積分方法（換元積分、分部積分）二重積分的概念與計算3.微積分基本定理牛頓萊布尼茨公式微積分基本定理的應用各題型所考察學生的知識點詳解及示例：一、選擇題考察學生對基本概念的理解，如奇偶性、定積分的基本計算、微分方程的通解等。二、判斷題考察學生對微積分基本性質和定理的理解，如連續(xù)性與可積性、微分方程解的結構等。三、填空題考察學生對導數、不定積分、定積分等基本運算的掌握。四、簡答題考察學生對微積分理論的理解和應用能力，如羅爾定理、極值問題、換元積分法等。五、應用題考察學生將微積分知識應用于實際問題解決的能力，如求極值、計算定積分等。六、分析題考察學生的邏輯推理和證明能力，以及對微積分理論的