2024年中考數(shù)學復習幾何輔助線進階訓練-構造中線

幾何輔助線進階訓練——構造中線

一'階段一

1.已知：如圖，在44BC中，AD是BC邊上的高線，CE是4B邊上的中線，G是EC的中點，連結

DG,CD=AE,AD=6,BD=8.

(1)求CD的長.

(2)求證：DG1CE.

2.如圖，/ABC中ZC=9O。，AB=10,AC=8,BC=6,線段DE的兩個端點0、E分別在邊AC,

BC上滑動，且DE=4,若點M、N分別是DE、4B的中點，則MN的最小值為

3.

(1)【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1,在△ABC中，若AB=

13,AC=9,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E,使DE=AD,連接BE,容

易證得△ADC^AEDB,再由“三角形的三邊關系”可求得AD的取值范圍是.

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知

條件和所求證的結論集中到同一個三角形之中.

(2)【初步運用】如圖2,AD是AABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且NFAE=

ZAFE.若AE=4,EC=3,求線段BF的長.

圖2

(3)【拓展提升】如圖3,在△ABC中，D為BC的中點，DELDF分別交AB,AC于點E,

F.求證：BE+CF>EF.

圖3

4.如圖，在線段AB上取一點C,分別以AC,BC為邊長作菱形BCFG和菱形ACDE,使點D在邊

CF上，連接EG,H是EG的中點，且CH=5,則EG的長是.

5.在中，已知點D、E、F分別是邊AE、BF、CD上的中點，若AABC的面積是14,貝必

DEF的面積為.

6.ABAC=72°,過C作CFII4B,連接AF與BC相交于點G,若

GF=2AC,求ZBAG的度數(shù).

7.如圖，AABC中，AB=AC,AD平分ZBAC與BC相交于點D,點E是AB的中點，點F是DC

的中點，連接EF交AD于點P.若AABC的面積是24,PD=1.5,則PE的長是()

8.如圖所示，E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC,P為CE上任意一

點，PQLBC于點Q,PRLBE于點R,貝1|PQ+PR的值是()

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB,CE_LAB于E,F為AD的中點，若NAEF=54。，則

B.60°C.66°D.72°

10.

(1)方法學習：數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1,在△ABC中，AB=8,

AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如

圖2),

E

圖1圖2圖3

①延長AD到M,使得DM=AD；

②連接BM,通過三角形全等把AB、AC、2AD轉化在AABM中；

③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到AD的取

值范圍是多少；

（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明.

（3）深入思考：如圖3,AD是AABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=90°,請

直接利用（2）的結論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關系，并加以證明.

二'階段二

11.如圖，在中,乙4cB=90。，4=30°,BC=4.將△4BC繞頂點C旋轉得到△

若點O是BC中點,點P是D中點，在旋轉過程中，線段。P的最大值等于（）

A.4B.6C.8D.10

12.如圖1,在AABC中,CD,BE分另是48,4C邊上的高線，M,N分別是線段BC,DE的中點.

(1)求證：MN1DE.

（2）連接DM,ME,猜想乙4與NOME之間的關系，并說明理由.

（3）若將銳角三角形ABC變?yōu)殁g角三角形ABC,其余條件不變，如圖2,直接寫出ZBAC與

NOME之間的關系.

13.如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線，E為力。上一點，連接BE并延長交力C于點F,若乙4"

Z.FAE,BE=4,EF=1.6,則CF的長為.

14.如圖，AZBC的面積為12,點D,E,F分別為BC,AD,CE的中點，則陰影部分的面積為

)

A.2B.3C.4D.6

15.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D,E分別為線段AB,AC上一點，且AD=AE,

連接BE、CD交于點G,延長AG交BC于點F.以下四個結論正確的是（）

①BF=CF；②若BELAC,貝UCF=DF；③若BE平分NABC,貝UFG=|；④連結EF,若

BE_LAC,則NDFE=2/ABE.

A.①②③B.③④C.①②④D.①②③④

16.閱讀理解：親愛的同學們，在以后的學習中我們會學習一個定理：直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半.即：如圖1：在中，乙4cB=90。，若點。是斜邊力B的中點，貝!

(1)牛刀小試：在圖1中，若47=6,BC=8,其他條件不變，則CD=

(2)活學活用：如圖2,已知乙4BC=^ADC=90。，點E、F分別為ZC、8。的中點，AC=26,

BD=24.求EF的長；

(3)問題解決：為了提高全民健身環(huán)境，公園管理部門想要建一個形狀如圖3中的四邊形

ABCD,其中，^ABC=90°,^ADC=60°,AD=CD=6千米，要在公園的B、。之間鋪設一條筆直

的塑膠跑道，若跑道鋪設成本每米200元，當BD最大時，請問管理部門預算160萬元夠用嗎？

17.如圖，在△力BC中，ADJ.BC于點D,CE1AB于點E,AD與CE相交于點F,連接DE.

(1)若BD=2,AD=4,CE=6,求SAABO

(2)若ZACF=25。，Z.DEB=45°,求ZB.

18.如圖，菱形ABCD的邊長是4,NA=60。，點G為AB的中點，以BG為邊作菱形BEFG,其中

點E在CB的延長線上，點P為FD的中點，連接PB.貝|PB=.

19.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,點E,F分別是AO,BC的中點，連接

EF.按以下步驟作圖：①分別以點0,C為圓心，大于30c的長為半徑作弧，兩弧交于點P；②作

直線PF,交AC于點G若AD=4V^,BD=8,則線段EF的長為

20.如圖，在平行四邊形ABCD中，CD=2AD,BE1AD于點E,F為DC的中點，連結

EF,BF,下列結論：?^ABC=2LABF,（2）ADEF+^EBF=90°；③S四邊形DEBC=

2SAEFB；?^CFE=3ADEF,其中正確結論的個數(shù)共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

三、階段三

21.在平行四邊形ABC。中，AC1CD,E為BC中點，點M在線段BE上，連接AM,在下方有一點

(1)若乙BCN=6?！?AE=5,求的面積；

(2)若MA=MN,MC=EA+CN,求證：AB=43AE.

（1）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1,AABC中，AB=AC,^BAC=90°,點。為BC的中點，E、尸分別

為邊AC、48上兩點，若滿足NEDF=90。，貝熊E、AF.48之間滿足的數(shù)量關系是.

（2）【類比應用】如圖2,AABC中，AB^AC,NBAC=120。，點。為BC的中點，E、P分別為

邊AC、上兩點，若滿足NEDF=60。，試探究4E、AF,48之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由.

（3）【拓展延伸】在AABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，點。為BC的中點，E、F分別為直

線AC、上兩點，若滿足CE=1,/.EDF=60°,請直接寫出AF的長.

23.如圖，在4ABC中，ABAC=90°,AB=AC=5,點。在AC上，且4。=2,點E是AB上的動

點，連結DE,點F,G分別是BC,DE的中點，連接ZG,FG,當AG=FG時，線段DE長為

AEB

24.如圖，在R3ABC中，C為直角頂點，ZABC=20°,O為斜邊的中點，將OA繞著點。逆時

針旋轉0。（0<0<180）至OP,當△BCP恰為軸對稱圖形時，e的值為.

25.在菱形ABCD中，ZD=60°,CD=4,E為菱形內(nèi)部一點，且AE=2,連接CE,點F為CE中

點，連接BF,取BF中點G,連接AG,則AG的最大值為.

26.如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過點A作AHLBC于點H,連接OH,若

OB=4.5,S菱形ABCD=36,則OH的長為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

27.點P是平行四邊形ZBCD的對角線4c所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過

點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F.點O為AC的中點.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當點P與點O重合時，線段0E和。F的關系是；

（2）當點P運動到如圖2所示的位置時，請證明（1）中的結論仍然成立.

（3）如圖3,點P在線段04的延長線上運動，當N0EF=30。時，試探究線段CF、AE.OE之間

的關系.

28.綜合與實踐

問題背景：數(shù)學小組在一次課外學習交流時，組內(nèi)一同學提出如下問題：在AABC中，

乙4cB=90。，□為BC邊上一點，但不與點B,點C重合，過點D作DE人AB于點E.連接

AD,M為/。的中點，連接EM,CM.

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1,EM與CM之間的數(shù)量關系是；

（2）思考分享：如圖2,將ABDE繞點B順時針旋轉，其他條件不變，則（1）中的結論還成

立，請證明.小明是這樣思考的：延長DE至點0,，使得ED'=DE,連接AD'運用三角形中

位線定理，.…按照他的思路或采用其他方法證明；

EB

即

AC

圖2

（3）探究計算：若^ABC=30°,AC=4,DE=2,在XBDE繞點B旋轉一周的過程

中，當直線DE經(jīng)過點A時，線段AD的長為.

29.已知，點P是RtAABC斜邊AB上一動點（不與A、B重合），分別過A、B向直線CP作垂

線，垂足分別為D、E,M為斜邊AB的中點（備注，可以直接用結論：直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半）.

（1）如圖1,當點P與點M重合時，AD與BE的位置關系是,MD與ME的數(shù)量關

系是.

（2）如圖2,當點P在線段AB上不與點M重合時，試判斷MD與ME的數(shù)量關系，并說明理

由；

（3）如圖3,當點P在線段BA的延長線上且PQ是不與AB重合的任一直線時，分別過A、B

向直線PQ作垂線，垂足分別為D、E,此時（2）中的結論是否成立？若成立，請說明理由.

30.在AABC與ACDE中，乙ACB=乙CDE=90°,AC=BC2遙，CD=ED=2,連接

AE,BE,點F為AE的中點，連接DF,ACDE繞著點C旋轉.

B

B

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當點D落在AC的延長線上時，DF與BE的數(shù)量關系是：；

(2)如圖2,當ACDE旋轉到點D落在BC的延長線上時，DF與BE是否仍有具有(1)

中的數(shù)量關系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；

(3)旋轉過程中，若當乙800=105。時，直接寫出DF2的值.

答案解析部分

L【答案】(1)解：,.?AD是BC邊上的高線，AD=6,BD=8,

：.AADB=90°,AB=VXD2+BD2=V62+82=10,

是AB邊上的中線，

1

：-BE=AE=^AB=5,

■:CD=AE,

：.CD=5

(2)證明：連接DE,

9：^ADB=90°,CE是43邊上的中線，

：.DE=AE,

：.DE=DC,

???G是EC的中點，

：.DG1CE.

2.【答案】3

3.【答案】(1)2<AD<11

(2)解：延長AD至點E,使DG=AD,連接BG,

AE=4,EC=3

???AC=AE+CE=7；

TAD是中線，

???BD=CD,

在^ADC和^GDB中

DG=AD

'乙BDG=^ADC

、BD=CD

.*.△ADC^AGDB(SAS),

???AC=BG=7,NG=NDAC,

???NFAE=NAFE=NBFG,

??.NG=NBFG,

???BF=BG=7

(3)證明：延長ED使DG=ED,連接FG,CG,

VFD±ED,

???FD垂直平分EG,

???EF=FG,

在^BED和^CGD中

DG=ED

乙BDE=MDG

BD=CD

.*.△BED^ACGD(SAS),

???BE=CG,

在^CFG中

CG+CF>FG即BE+CF>EF

4.【答案】10

5.【答案】2

6.【答案】解：取FG的中點D,連接CD,如圖所示.

設NF=x。,

VZB=90°,CF〃AB,

AZBAG=x°,ZBCF=90°,

???DC=DF=DG.

又,.?GF=2AC,

???AC=DC=DF=DG,

:.NADC=NDAC=2x。.

?.,NBAC=72。，

???3xo=72。，

.\ZBAG=ZF=xo=24°.

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】(1)解：如圖2,延長AD到M,使得DM=AD,連接BM,

TAD是△ABC的中線，

???BD=CD,

在^MDB和^ADC中，

(BD=CD

\^BDM=^LCDA,

(DM=AD

.*.△MDB^AADC(SAS),

???BM=AC=6,

在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM,

A8-6<AM<8+6,2<AM<14,

.\1<AD<7,

故答案為：1VADV7；

方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關

系.

(2)解：AC/7BM,且AC=BM,

理由是：由(1)知，△MDB^AADC,

???NM=NCAD,AC=BM,

AAC//BM；

(3)解：EF=2AD,

理由：如圖2,延長AD到M,使得DM=AD,連接BM,

由(1)知，△BDM^ACDA(SAS),

???BM=AC,

\?AC=AF,

???BM=AF,

由(2)知：AC〃BM,

JNBAC+NABM=180°,

VZBAE=ZFAC=90°,

???NBAC+NEAF=180。，

???NABM=NEAF,

在^ABM和4EAF中，

AB=EA

乙ABM=LEAF,

BM=AF

.*.△ABM^AEAF(SAS),

???AM=EF,

VAD=DM,

AAM=2AD,

VAM=EF,

???EF=2AD,

即：EF=2AD.

11.【答案】B

12.【答案】(1)證明：如圖，連接DM,ME,

E

6

8匕-----V

VCD,BE分另I」是48,4C邊上的高線，M是3C的中點，

11

APM=|BC,ME=^BC,

：.DM=ME,

又〈N為DE中點，

：.MNIDE；

(2)解：z.DME=180°-2zX；理由如下：

在△力BC中，Z.ABC+LACB=180°-z7l,

VW=ME=BM=MC,

：.Z.ABC=Z-BDM,乙ACB=^CEM,

?"BMD=180°-乙ABC-乙BDM=180°-2乙ABC,

MME=180°-Z.ACB一乙CEM=180°-2/.ACB,

"BMD+MME=(180°-2^ABQ+(180°-2zXCB)

=360°-2^ABC+Z.ACB)

=360°-2(180°-Z.A)

=2"

?"DME=180°-(4BMD+ZCME)=180°-2^A；

(3)解：^DME=2Z-BAC-180°

13.【答案】2.4

14.【答案】B

15.【答案】D

16.【答案】(1)5

(2)解：如圖2,連接BE、DE,

A

v/LABC=90°,點E是AC的中點，AC=26,

1

???BE=jAC=13,

???（ADC=90°,

1

???DE="C=13,

??.BE=DE=13,

???點尸是3。的中點，BD=24,

11

BF=DF=^BD=1x24=12,EF1BD,

???乙BFE=90°,

??.EF=VBE2-BF2=V132-122=5，

???即的長是5.

（3）解：如圖3,連接力C,取4C的中點E,連接BE、DE,

???zMDC是等邊三角形，

???AC-AD—6千米，

??.AE=CE=,4。=2x6=3（千米），

DE1AC,

??.Z.AED=90°,

??.DE=yjAD2-AE2=V62-32=3V3（千米）,

???/,ABC=90°,

1

BE=^AC=3千米，

BD<DE+BE,

BD<(3逐+3)千米，

如圖4,當B、E、。在同一直線上時，BD的值最大，此時3。=(38+3)千米,

?跑道鋪設成本每米200元，

(3V3+3)X1000X200=(600000g+600000)元，

二跑道鋪設的總成本為(600000國+600000)元，

???600000V3+600000>1600000,

.??管理部門預算160萬元不夠用.

17.【答案】(1)解：'：AD1BC,：.^ADB=90°,在RtAABD中，BD=2,AD=4,.'.AB=

-11

VXD2+BD2=2近，*/CE=6,CELAB,:，S&ABC=-CF=X2V5X6=6函；

(2)解：如圖，取CA的中點G,連接DG,EG,

"J^BDA=90°,CELAB,：.^ADC=^AEC=90°,：G為CA的中點，:.GE=AG=GC=DG=

1

：?CGDE=CGED,^GEA=^GAE,9：^DEB=45°,：.^DEG+/LGEA=135°,：.Z,DGA=

360°-2xl35°=90°,：.DGLAG,〈AG=GC,：.DA=DC,：.^DCA=45°,：.^BCE=45°-

25°=20°.VzBEC=90°,AzB=90°-Z-BCE=90°-20°=70°.

18.【答案】V7

19.【答案】207

20.【答案】D

21.【答案】（1）解：??,四邊形ABCD為平行四邊形,

???AB〃CD,AD〃BC,

:.NCAD=NACB=NBCN=60。,

XAC±CD,

AAB±AC,

???NB=30。，

在Rt^ABC中，E為BC的中點,

???BC=2AE=10,

AAC=|BC=5,

^AB=yjBC2-AC2=5V3,

,?S^ABE~?AABC=*x/x5x5V3=竿遍

由（1）知NACM=NGCM,

又MC=MC,

???△ACM之△GCM,

AAM=GM,NMAC=NG,

又AM=MN,

AGM=MN,

JNG=NMNG=ZMAC=ZMAE+ZEAC,

又由（1）可得EC=EA,

:.NEAC=NACE=ZNCM,

NMNG=ZNCM+ZNMC,

AZNMC=ZMAE,

在MC上截取MF=AE,

；.△MAE且△NMF,

；.ME=FN,

又MC=ME+CE=MF+CF,MC=EA+CN,

VEA=MF=CE,

；.ME=CN=FN=CF,

AANCF為等邊三角形，

；./MCN=60°,；./ACB=60°,/.ZABC=30°,:.AB=9BC，

VAE=1BC,.\AB=V3AE.

22.【答案】AB=AF+AE【類比應用】（2）如圖2,AABC中，AB=AC,Z.BAC=120°,點,D為BC

的中點，E、F分別為邊AC、上兩點，若滿足乙EDF=60。,試探究ZE、AF,48之間滿足的數(shù)量

關系，并說明理由.【答案】解：4E+ZF=理由是：取中點G,連接DG,如圖2

:點G是△ADB斜邊中點，：.DG=AG^BG^^AB,'：AB=

圖2

AC,^BAC=120°,點D為BC的中點，/./.BAD=^CAD=60°,；.ZG￡M=乙BAD=60°,即

ZGDF+AFDA=60°,XVzFXD+AADE=/.FDE=60°,：.^GDF=^ADE,"：DG=AG,

ABAD=60°,；.△ADG為等邊三角形，：.^AGD=^CAD=60°,GD=AD,J.hGDF=△

ADE(ASA),：.GF=AE,：.AG=^AB=AF+FG=AE+AF,+AF=【拓展延伸】

(3)在△ABC中，AB=AC=5,ABAC=120°,點。為BC的中點，E、尸分別為直線ZC、上兩

點，若滿足CE=1,/.EDF=60°,請直接寫出4F的長.【答案】解：4F的長為|或彳

(1)AB=AF+AE

(2)解：AE+4F=aAB.理由是：

取ZB中點G,連接DG,如圖2

圖2

??,點G是△力斜邊中點，

1

:?DG=AG=BG=^AB,

9：AB=AC,Z-BAC=120°,點D為3C的中點，

：.^BAD=乙CAD=60°,

：.^GDA=^BAD=60°,即4GDF+￡.FDA=60°,

又,.,4尸力。+乙ADE=乙FDE=60°,

:?(GDF=Z.ADE,

\*DG=AG,ABAD=60°,

.??△力DG為等邊三角形，

：.^AGD=乙CAD=60°,GD=AD,

：.^GDF三△力DEQ4s力)，

AGF=AE,

^AG=^AB=AF+FG=AE+AF,

i

.\AE+AF=^AB;

(3)解：4F的長為|或彳

23.【答案】V13

24.【答案】40或100或70

25.【答案】|+V7

26.【答案】C

27.【答案】(1)OE=OF

(2)解：補全圖形如圖所示，OE=OF仍然成立,

F

圖2

證明如下：延長E。交CR于點G,

U：AE1BP,CFIBP,

：.AE//CF,

：.^EAO=乙GCO,

丁點。為AC的中點，

：.A0=CO,

又,.,44?！?(COG,

：.AAOE=ACOG,

：.0E=OG,

■:乙GFE=90°,

1

-'-OF=|EG=OE;

(3)解：當點P在線段04的延長線上時，線段CF、AE,0E之間的關系為0E=CF+4E,

證明如下：延長E。交FC的延長線于點H,如圖所示，

H

圖3

由（2）可知AA0EmAC0H,

：.AE=CH,0E=OH,

又「NOEF=30。，AHFE=90°,

1

:?HF=^EH=。凡

：.0E=CF+CH=CF+AE.

28.【答案】(1)EM=CM

(2)解：(2)如圖,

延長DE到點D',使得D'E=DE,延長AC到點A',使得A'C=AC,分別連接D'A、

D'B、A'B和A'D,

?：DE1BE,

：.BE為。。的垂直平分線，

：.BD'=BD,

:.乙D'BD=2乙DBE,

同理可得BA=BA',LABA'=2ZABC,

;4DBE=AABC,

：2D'BD=2LABA',

：.^D'BA=^DBA',

在AD'BA和ADBA'中，

'BD'=BD

AD'BA=ADBA'，

BA=BA'

J.AD'BAADBA'(SAS),

：.D'A=DA',

'：DE=D'E,AM=DM,AC=A'C,

：.ME,MC分別是AD'DA和AADA'的中位線，

-'-EM=^D'A,CM=/，

：.EM=CM；

(3)2V13-2或2m+2

29.【答案】(1)AD//BE；MD=ME

(2)如圖，延長EM交4。于F,

cB

P

由（1）得：ADUBE，

.-./.FAM=Z.MBE,

M為AB的中點，