2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題：立體幾何（教師版新高考專用）

專題09立體幾何

題型一：斜二測(cè)求算面積及周長義易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)斜二測(cè)法規(guī)則掌握不牢

跡二：點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系0、易錯(cuò)點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清

題型三：異面直線成角問題又易錯(cuò)點(diǎn)：忽略異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同

題型四：求線面角0、易錯(cuò)點(diǎn)：線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問題

題型五:求二面角白、易錯(cuò)點(diǎn)：忽略二面角范圍有重新的規(guī)定

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)斜二測(cè)法規(guī)則掌握不牢(斜二測(cè)求算面積及周長)

水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法

用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟

空間幾何體直觀圖的畫法

立體圖形直觀圖的畫法步驟

(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)二軸，直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是△軸.

(2)畫底面：平面X,/表示水平平面,平面一/2’和X'z'表示豎直平面,按照平面圖形的畫

法，畫底面的直觀圖.

⑶畫側(cè)棱：已知圖形中平行于Z軸(或在2軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.

(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.

易錯(cuò)提醒：①建立坐標(biāo)系；②“位置規(guī)則”一一與坐標(biāo)軸的平行的線段平行關(guān)系不變；③“長度規(guī)則”一

一圖形中平行于X軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半.

例.如圖矩形04月C是水平放置的一個(gè)平面四邊形如回的直觀圖，其中0/'=3,0C=1,

(1)判斷平面四邊形物8c的形狀并求周長；

(2)若該四邊形如回以處為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.

【解析】(1)將直觀圖還原得。Q4BC,如下圖，

所以O(shè)A=3,OC=J12+Q0)2=3,

所以平面四邊形。4BC為菱形，其周長為3*43.

(2)四邊形OABC以。4為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周,得到一個(gè)圓柱和兩個(gè)一樣的圓錐，M=兀,h="(20『-3=247

/=/+(2&4=3

S圓錐惻=""=w2忘-3=6底］，S圓柱惻=2萬泌=2萬-2忘?3=12夜萬，

所以5表=S圓柱側(cè)+2s圓錐惻=24A/2TT.

變形1.如圖，梯形44G2是一水平放置的平面圖形A3CD在斜二測(cè)畫法下的直觀圖.若42平行于y軸，

【解析】如圖，根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則,

直觀圖中4A平行于y軸，A2=I，今原圖中A。//。，

從而得出ADVDC,且A￡)=2A2=2,

22

直觀圖中A耳〃G2，A耳=§CQ=2,一原圖中AB//CD,AB=-CD=2,

即四邊形/頗上底和下底邊長分別為2,3,高為2,如圖.

故其面積S=；*(2+3)X2=5.

變形2.如圖所示，正方形O'AB'C是一個(gè)水平放置的平面圖形以回的直觀圖，其中。A=2

(1)求原圖形的面積；

(2)將原圖形以力所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，求該幾何體的表面積與體積.：圖形OABC

與正方形O'AQC'的各點(diǎn)分別一對(duì)應(yīng)，如如對(duì)應(yīng)直觀圖中的0E)

【解析】(1)原圖形O18C是個(gè)平行四邊形，如下圖所示

底為的=2,高為O3=2O?=2x2夜=4近，

S0ABe-OA-OB=8^2；

(2)得到的幾何體是一個(gè)組合體，其形狀是圓柱一側(cè)挖去一個(gè)圓錐，另一側(cè)有多出一個(gè)相同的圓錐,

幾何體體積V=萬、卜亞)x2=64萬

,幾何體表面積S=2%x4形x2+2XiX4ax+2?=64日

變形3.(1)如圖，B'C是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，將其恢復(fù)成原圖形;

(2)在⑴中若|4'。1=2,氏D7/y軸且忸必=1.5,求原平面圖形△/回的面積.

【解析】(1)畫法：①畫直角坐標(biāo)系x勿，在x軸上取即C4=CA\

②在題圖中，過用作軸，交，軸于ZX,在X軸上取OD=O'。，過刀作D8〃y軸，并使

③連接46,BC,則△49。即為△/B'C原來的圖形，如圖.

又忸⑼=1.5且=2,

：.\BD\^3,\AC\^2.：.SAliC=~\BD\-\AC\=3.

1.如圖，A'3'C'是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖,

(1)畫出它的原圖形，

⑵若A'C'=2,..A'B'C的面積是B,求原圖形中AC邊上的高和原圖形的面積.

2

【解析】⑴畫出平面直角坐標(biāo)系xQy，在x軸上取04=0,A',即CA=C'A'，

在圖①中，過B'作8力'//y軸，交尤'軸于。C,在x軸上取0￡>=0力，,

過點(diǎn)。作DBUy軸，并使DB=2D'B',

連接AB,BC,貝hABC即為.A8C'原來的圖形，如圖②所示：

圖①圖②

(2)由(1)知，原圖形中，3DLAC于點(diǎn)。,則5D為原圖形中AC邊上的高，且3￡>=25'。,

在直觀圖中作B'E'±AC'于點(diǎn)E',

。仁?,

/DE'A'x'

則AB'C的面積S..,,=-A'C'xB'E'=B'E'=

AtRSc22，

在直角三角形BED'中，B'D'=6BE=逅，

所以BD=2BD=&,

2

所以SjACxBO=,6.

故原圖形中AC邊上的高為卡,原圖形的面積為".

2.畫出圖中水平放置的四邊形ABCD的直觀圖AB'C'O',并求出直觀圖中三角形8也。?的面積.

JU二二「

X/-1/-yo：/1/2,/3/4x'

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合斜二測(cè)畫法的規(guī)則，可得水平放置的四邊形ABC。的直觀圖AB'C'Z)',

如圖所示，則的面積為s-4x6vf=^-

3.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放管的平面圖，其直觀圖如圖所示，已知A?=3,BC=\,4。=3,且

AD'//B'C.

(1)求原平面圖形/及幻的面積；

(2)將原平面圖形/四繞回旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積.

【解析】(1)還原平面圖形/四，如圖，

因?yàn)锳0=3,B'C=1，AD'=3,且AD'〃8'C,

所以AB=3,BC=2,AD=6,\A.AD//BC,ABJ_AD,

原平面圖形切為直角梯形，故5,8=(2+；*3=[2；

(2)將原平面圖形48切繞員旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐，如圖,

其中圓柱的底面半徑為3,高為6,圓錐的底面半徑為3,高為4,母線長為5,

所以幾何體的表面積為S=nx3x5+2TCX3X6+TIX32=60兀，

幾何體的體積為V=7IX32X6--^TTX32X4=42%.

4.如圖所示，正方形ON'3'C'是一個(gè)水平放置的平面圖形。1BC的直觀圖，其中00=1.

(2)將原圖形以Q4所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，求該幾何體的表面積與體積.(注：圖形

Q4BC與正方形O'AB'C的各點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)，如0B對(duì)應(yīng)直觀圖中的O'B')

【解析】(1)原圖形Q4BC是個(gè)平行四邊形，如下圖所示，底為。4=1,高為08=205=2夜.

S0ABe-OA-OB=lx2-\/2=2-\/2.

(2)得到的幾何體是一個(gè)組合體，其形狀是圓柱一側(cè)挖去一個(gè)圓錐，

另一側(cè)有多出一個(gè)相同的圓錐.

幾彳可體表面積S=27rx2夜xl+27tx2夜xj(2應(yīng)＞+1=16缶-

幾何體體積V=7rx(2A/2)2x1=8兀.

9

5.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示，己知A'?=5,2'C'=2,AD=：且

A!D'//B'C.

(1)求原平面圖形A3CD的面積；

(2)將原平面圖形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的體積.

【解析】(1)將直觀圖復(fù)原為原圖，如圖，作ECLAD,

則ZDAB=ZABC=90",AB=5AD=9,BC=4,

貝I]DE=EC=5,AE=4,

即原圖形ABC。為直角梯形，

故原平面圖形ABCD的面積為5=一4+9、5=當(dāng)65.

22

(2)將原平面圖形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周，

所形成的幾何體是一個(gè)以EC為底面半徑的圓錐和一個(gè)以A3為底面半徑的圓柱組成的組合體，

其體積為V=%錐+十柱=|x7ix52x5+7ix52x4=^y^.

6.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示.已知A，B=4,9C=l,Azy=,且A'。'

//BC.

(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出原平面圖形/反力并求面積；

⑵將原平面圖形40繞理旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積.

【解析】(1)如圖所示：梯形為還原的平面圖形，作CELAD交于點(diǎn),

因?yàn)锳D=5,AB=4,3C=2,所以QE=3,EC=4,DC=5,

”4.

所以口8

(2)將原平面圖形/夕切繞8c旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是一個(gè)以四為底面半徑的圓柱挖去一個(gè)以比為底面

半徑的圓錐,

5圓錐惻=萬工4、5=20兀，S圓柱惻=2萬x4x5=40兀，S圓柱下底=16兀，

所以所形成的幾何體的表面積為S=S國鏈惻+5回槎惻+Sm柱5-底=20TT+4(hi+16TT=76?t,

%!柱=71x42*5=80兀，?錐=；7tx42x3=16兀，

所形成的幾何體的體積為V=%柱-%錐=80^-1671=6471

7.如圖，梯形O'AB'C是水平放置的四邊形CMBC的斜二測(cè)畫法的直觀圖，已知9C,O'A=2,

O'B'=B'C'=3.

(1)在下面給定的表格中畫出四邊形。1BC(不需寫作圖過程);

(2)若四邊形Q4BC以Q4所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，說出該幾何體的結(jié)

構(gòu)特征，并求該幾何體的體積.

【解析】(1)因?yàn)镺'A與尤'軸重合，則Q4與x軸重合，且。4=O，A=2；

B'C'與x’軸平行，則與x軸平行，且BC=8'C'=3；

OB'與V軸重合，則與y軸重合，且03=20?=6；

連接AB,OC,即可得四邊形6MBC.

(2)如圖所示，所得幾何體的上半部分為圓錐，下半部分為圓柱截取一個(gè)圓錐,

故體積為V=36兀*2+36兀x3-；x367tx3=967t.

8.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖A'B'C'D是邊長為2的菱形，且。。'=2,求原平面圖形的周

還原直觀圖可得原平面圖形，如圖所示:

AD=VOA2+OZ）2=7（2A/2）2+42=2指，

.?.原平面圖形的周長為4#+4.

9.如圖所示，O'AB'C'為四邊形"6c的斜二測(cè)直觀圖，其中O'A'=3,O'C'=1,B'C'=\.

（1）畫出四邊形2回的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形如固的面積；

（2）若該四邊形力回以物為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.

【解析】（1）解：在直觀圖中。4'=3,O'C'=1,B'C'=1.

所以在平面圖形中。4=3,OC=20C'=2,BC=B'C'=1,

所以AB=，22+22=2/,

所以平面四邊形Q4BC的平面圖形如下圖所示：

由上圖可知，平面四邊形Q4BC為直角梯形，

所以面積為（13）x2=4.

2

（2）旋轉(zhuǎn)而成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐,

由（1）可知幾何體底面圓半徑為廠=2,圓柱母線長和高都為1,即％=乙=1；

圓錐的高為也=2,母線長為4=20

1Q20

所以體積V=監(jiān)+%=兀戶％+—^r2/^=4^"+—^=—；

所以表面積S=萬，+2萬〃|+〃〃2=4萬+4萬+40萬=（8+4收）萬.

10.如圖，矩形O'AB'C'是用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的一個(gè)平面四邊形Q4BC的直觀圖，其中O'A=3,

O'C'=1.

（1）畫出平面四邊形。4BC的平面圖，并計(jì)算其面積；

（2）若該四邊形（MBC以為軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.

，了

【解析】（1）

圖1

如圖1,設(shè)。與B'C'交點(diǎn)為。

因?yàn)镺'C'=1,ZC0y=45o,所以ozr=應(yīng)，CD'=\.

一"MBC的平面圖如圖2所示:

則OD=20D=2A/2，

SOABC=OAxOD=3x2\[2=6^/2.

(2)由(1)可得，在RtZkODC中，WOC2=OD2+CD2=(272+12=9,

所以，OC-3,所以AB=3.

如圖3,分別過點(diǎn)氏C作。4及其延長線的垂線，垂足為E尸.

矩形FECB繞。4及其延長線，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)底面半徑r=0D=2&,母線4=BC=3的圓柱;

Rt繞。4,旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)底面半徑廠=0￡）=20，母線4=48=3,高4=AE=1的圓錐;

RtACFO繞。4及其延長線,旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)底面半徑廠=OD=20,母線4=OC=3,高色=。尸=CO=1

的圓錐.

所以，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐，與一個(gè)同底的圓錐構(gòu)成的組合體.

則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積即等于圓柱的體積，減去挖去的圓錐體積，加上組合的圓錐的體積,

所以，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積V=兀汽-為也

=7IX(2V2)2-3-17TX(2A/2)2X1+17IX(2^/2)2X1=2471.

旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積即等于圓柱的側(cè)面積，加上兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，

所以S=2磯+nrl2+nrl2=2無x2&x3+兀x272x3+兀x272x3=24扃..

11.在ABC中，角A，B,C所對(duì)邊分別為tz,6,c,若/+/+°2=2百"sinC.

(1)證明：ABC為等邊三角形；

(2)若(1)中的等邊.ABC邊長為2,試用斜二測(cè)法畫出其直觀圖，并求直觀圖面積.

注：只需畫出直觀圖并求面積，不用寫出詳細(xì)的作圖步驟.

【解析】(1)由題及余弦定理知，+b2=2-j3absinC-c2=2y/3absinC-(a2+b2-2oZ>cosC)

即a1+b2=sinC+cosC)=2?ftsin^C+^^lab

TT

又因?yàn)椤?+/22。6,所以。2+/=2口6,即a=6,C=—.

因此，ABC為等邊三角形.

(2)畫法：①如圖(1),在等邊ABC中，取BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為>軸，兩軸相交于點(diǎn)

0；

在圖⑵中，畫相應(yīng)的V軸與軸，兩軸相交于點(diǎn)O',使Nx'O'y'=45。；

②在圖⑵中，以。'為中點(diǎn)，在/軸上取3'C'=BC,在y'軸上取O'A=goA；

③連接A?,AC,擦去輔助線龍，軸和y'軸，得等邊ASC的直觀圖ABC'(圖(3)).

因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，所以AB=3C=2,BC邊上的高為〃=后,

在，A'O'C'中，ZA(yc'=45°,所以9C'=8C=2,AO'=LAO=^,

22

fff

BC,邊上的高h(yuǎn)=AO'sinZAOC=^lx—=—,

224

故"."fc"=gx2x當(dāng)邛，

故直觀圖，AEC面積漁.

4

易錯(cuò)點(diǎn)二：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不清（點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系）

:結(jié)論J①要證線〃面，條件為3個(gè)，其中必有《線?面》

②要證線，面，條件為2個(gè)，其中必有《線〃線或面〃面》

③要證線〃線（面〃面），條件為2或3個(gè)，其中必有《兩個(gè)線，面》

④要證線，線（面，面），條件為2個(gè)，其中必有《，、〃（u）》

⑤要證線，線（面，面），條件為3個(gè)，其中必有q―〃〃》

、線，面、〃〃

易錯(cuò)提醒：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對(duì)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程

度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷，逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明

作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷。

例.已知。力為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，且。，tz,b±j3,則下列命題中的假命題是

A.若a//6,則a/力B.若C/?,則.j_b

C.若6相交，則a,6相交D.若尸相交，則a,6相交

【解析】解：由。、6為兩條不同的直線，尸為兩個(gè)不同的平面，且。，e,b，/3,

若a//6,我們可得且。，尸，由垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可得a〃"，故A正確；

若a_L#,則。//月或"u，，此時(shí)；_L），故B正確；

若。、》相交，則表示。，6不平行，則夕也不平行，則夕相交，故C正確；

若夕相交，則。、匕既可以是相交直線，也可以是異面直線.故D錯(cuò)誤

故選：D.

變式1.在空間中，已知/,m,〃為不同的直線，a,13,7為不同的平面，則下列判斷正卿的是（）

A.若“zutz,mlln,則“〃eB.若加_!_0且力//力，則C/?

C.若/_1_機(jī)，ILn,mua,wua,貝i]/_LaD.若tz_L〃，a±/,貝"〃/

【解析】若〃，ua,m!M,貝!j"〃a或"ua,故A錯(cuò)誤；若7w_Le且加//刀，則a_L，，故B正確；若/_!_〃/,

I.Ln,mua,“ua,貝l]/與a相交或/ua,故C錯(cuò)誤；若夕_L〃，a±/,則尸不一定平行，故。錯(cuò)

誤.

故選：B

變式2.已知為兩條不同的直線，氏，為兩個(gè)不同的平面，則（）

①若a_La,b^/3,且a〃夕，則?！ㄘ?；

②若aLa,b//P,且a〃/，則0_1_6；

③若a//a,bVp,且c_L/7,則a〃8；

④若a_Ltz,bL/3,且。_1/，則:力.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【解析】由》，￡且a〃力，可得

而垂直同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，故①正確；

由于a〃夕，a±a,所以。_L/?,則°_1分，故②正確；

若a與平面a,6的交線平行，貝

故不一定有?！?，故③錯(cuò)誤；

設(shè)a/3=1,在平面夕內(nèi)作直線c，/,

a上B,則cla,又。_Ltz,所以aPc,

b，B，cu（3,所以從而有故④正確.因此，真命題的個(gè)數(shù)是3.故選：B

變式3.若/,機(jī)為兩條不同的直線，a為平面，且〃/1,貝I]“相，?！笔恰跋啵?”（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】由〃/o且m_L（z,能推出〃z_L/,充分性成立；

若〃/a且m則mua或帆//4或機(jī)與a相交，必要性不成立，

amLan是am±r'的充分不必要條件.

故選：A.

1.已知不同直線a,b,不同平面。，￡,y,下列說法正確的是（）

A.若aua,bua,a〃[5,b〃B,則a〃/7

B.若?！?則b尸a

C.若a_L7,4_Ly,ac/=。，則a_L7

D.若ac/3=a,aLb,bu/3,則e_L/?

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,巖aua,bua,a〃B，b〃B,此時(shí)d"可能相交，如下圖所示：

當(dāng)a尸=/,a,6都與/平行時(shí)，/￡相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由。尸1,利用線面平行的性質(zhì)可知存在直線c滿足aPc,且cua,

又ab,所以6Pc,又bBa,所以可得6Pa,即B正確；

對(duì)于C,若a_L%4_Lz，ac尸=a,不妨設(shè)6y=m,/3\y=n,

如下圖所示：

假設(shè)。，，不成立，

過直線a上一點(diǎn)/作AB_L〃于點(diǎn)8,作AC_L〃z于點(diǎn)C；

由e_L/,e'y=in,0i7="可知，AB±y,AC±/,

這與“過平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該平面垂直”矛盾,

所以A5,AC應(yīng)重合為交線a,所以。，九可得C正確；

對(duì)于D,如圖所示：

a

\/b/

若ec6=a,alb,bu/3,此時(shí)a,/?可能斜交，不一定垂直，所以D錯(cuò)誤；

故選：BC

2.已知?月為兩個(gè)不同的平面，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

A.若a貝!!/〃力

B.若/則a/6

C.若旦Iua,m,nu0,則0_1_齊

D.若/〃租,///〃，且加ua,〃u￡,則tz//夕

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若a\/3,lHa,則/〃析或“相交,

例如在正方體ABCD-446。中，平面ABCD1平面ADD^,

且BC,3Du平面ABCD,可知3C〃平面AOQA，BD平面AORA=。，故A不一定成立;

對(duì)于選項(xiàng)B：若/_L￡，/_La,由線面垂直的性質(zhì)可知a〃6，故B成立；

對(duì)于選項(xiàng)C：若/_!_〃，且/ua,wu/7,則d分不一定垂直，

例如在正方體中，平面ABC?！ㄆ矫鍭3IG2，

且BC,ADu平面ABC。，A由u平面44GR，LBC,LAD,故C不一定成立;

對(duì)于選項(xiàng)D：若U,且機(jī)uar,"u/?,則?！?不一定成立，

例如在正方體ABC。-AgCQi中，平面ABCDc平面ADDlAl=AD,

且3Cu平面ABC。，平面4nAA，可知BC//A2A2〃A。，故D不一定成立;

故選：ACD.

3.設(shè)加〃是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且機(jī)u/〃u/7,則下列命題正確的為()

A.若機(jī)〃刀則a〃6；B.若則。_1_/；

C.若a〃"，則機(jī)〃〃,"〃(/；D.若&_1_尸，則相_L/,〃_La.

【答案】BC

【解析】對(duì)A,m//(3,n//a,但a,方位置關(guān)系不能確定，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,由面面垂直的判定可得，因?yàn)?"_L￡,”?ua,則tz_L",故B正確；

對(duì)C,由面面平行的性質(zhì)可得若a〃4，根ua,則加(3,同理〃〃＜，故C正確；

對(duì)D,若。，力，且交于/,但私〃不一定垂直于/,則機(jī)，P，"_Le不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

4.已知/,加，”為三條不同的直線，a,P,7為三個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的有()

A.若/J_a,mA.l,則7〃//ar

B.若a_L7,(31丫,a(3=1,則/

C.若M/￡,/,機(jī)分別與a,夕所成的角相等，則〃/加

D.若aB=l,P'Y=m,yla=n,且m=P,則/,機(jī)，〃交于點(diǎn)P

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,當(dāng)/_Lrz,〃z_L/時(shí)，mlla或mua,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,如圖，設(shè)ay=a,/37=＞，在平面a內(nèi)作m_La,在平面夕內(nèi)作〃_Lb,且與/不重合，因?yàn)?

tzc/=a,所以/w_L7,同理可得〃_Ly,所以："〃"，因?yàn)?，wua,n＜za,所以〃〃a,

因?yàn)椤╱分，a(3=1,所以"〃/,因?yàn)椤╛Ly,所以/_Ly,所以B正確，

對(duì)于C,當(dāng)a〃￡,/,優(yōu)分別與a,夕所成的角相等時(shí)，則/,優(yōu)與&所成的角相等，所以可將/,機(jī)看成

正三棱錐尸-ABC的兩條側(cè)棱所在的直線，平面a為該正三棱錐的底面A3C所在的平面，則/,相與a所成

的角相等，但直線/,加相交，所以C錯(cuò)誤，

m

對(duì)于D,因?yàn)閍。=1,Py=m,Im=P,所以Pea,Pe7，因?yàn)?1c1：=〃，所以由公理3可得尸

所以D正確,

故選：BD

5.設(shè)/是直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）

A.若///e,W，則B.若///?,則

C.若/_La,I-LJ3,則M/尸D.若a〃?，/±?,貝1"，口

【答案】CD

【解析】/是直線，。，夕是兩個(gè)不同的平面，知：

在A中，若///e,〃//，則a與夕相交或平行，故A錯(cuò)誤，

在B中，若a，/,Illa,貝Mu尸或〃/或/與夕相交，相交也不一定垂直，故B錯(cuò)誤,

在C中，若/，夕，尸，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得?！ㄊ?故C正確，

在D中，all/3,Ila,由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得/_1_尸，故D正確，

故選：CD

6.已知e為直線/的方向向量，％%分別為平面名￡的法向量（a,￡不重合），那么下列說法中正確的有

（）

A.6_1_4o///aB.4_1巧0&-1-]

C.4//%oa,11[3D.C-L/o/J-a

【答案】BC

【解析】因?yàn)?為直線/的方向向量，〃],“分別為平面的法向量（a,力不重合）,

_!_4=>///&或/ua,故A、D錯(cuò)誤;

zz,±n2<x>Cf±/?,B正確；

nJIn20ali。,C正確；

故選:BC

7.已知平面tz平面分=根，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.存在直線au平面a,使得直線a_L平面/

B.存在直線。u平面a,使得直線a〃平面口

C.存在直線。<=平面a,直線bu平面尸，使得直線a_L直線〃

D.存在直線。u平面a,直線6u平面夕，使得直線a〃直線6

【答案】BCD

【解析】A.若存在直線au平面a,使得直線。，平面￡,則。，分，故錯(cuò)誤；

B.當(dāng)a//加時(shí)，又a（t/3,m（^/3,所以al1/3,故正確；

C.當(dāng)。_1_根,6（=尸,6//〃?時(shí)，aX.b，故正確；

D.當(dāng)a//機(jī),6u￡,6〃m時(shí)，al1b,故正確；

故選:BCD

8.設(shè)如〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的有（）

A.若aJ■力，aP=m,n±m(xù),則〃_1_2

B.若7〃//a,mlIn,nu/3,貝ijtz〃6

C.若mJM,nVp,"zua,則eJ_77

D.若〃z_La,nu/3,all13,則相_L〃

【答案】CD

【解析】A.缺少“ua這個(gè)條件，故A錯(cuò)誤；

B.若m//a,mlIn,?<=/?,則&〃尸或相交，故B錯(cuò)誤；

C.若〃z〃"，nV[3,則機(jī)_L￡,又根ua,則&_L^,故C正確；

D.若all0,則〃z_L￡,又〃u￡,則m_1_”,故D正確.

故選：CD

9.若加，”為空間中兩條不同的直線，a,尸，/為空間三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若eJ_7，。]丫,則￡〃尸B.若ml//?,則（z_L,

C.若mlla,nLa,則mJ_〃D.若e〃6，mlla,“u尸，則〃z〃〃

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,若,則可能cJ■分，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)闄C(jī)〃尸，則能在口內(nèi)找一條直線6,使得6//〃?，

因?yàn)楦鵢Lc,則6_La,因?yàn)閎u。，由面面垂直的判定定理可得，故B正確；

對(duì)于C,若〃〃/口，則能在。內(nèi)找一條直線。，使得c〃相，

n±a,cua,則〃?_Lc,又因?yàn)閏〃機(jī)，所以機(jī)_L”,故C正確；

對(duì)于D,若all/J,mlla,“u乃，則w"可能異面，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.w是兩條不同的直線，。、夕是兩個(gè)不重合的平面，下列說法正確的是()

A.加、”是異面直線，若mlla,ml113,nila,〃//?，貝ija//月

B.若all/3,mlla,則機(jī)///?

C.若〃z_L〃，mua,nuB,則e_L/?

D.若"?_La,mlIn,nll/3,則(z_L/

【答案】AD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，在直線機(jī)上取一點(diǎn)。，過點(diǎn)。作直線〃，使得〃7/〃，

過直線〃作平面7,使得cc/=a,如下圖所示：

因?yàn)椤ā╝,nuy,acy=a,貝|]°〃〃，又因?yàn)椤ā?，貝!]a〃H,

因?yàn)椤?Za,aua,則〃7/a,設(shè)直線加、〃確定平面。，

因?yàn)椤ā?4,m〃'=。，加、〃'u0,所以，all(p,同理可證/〃°,故a〃6，A對(duì);

對(duì)于B選項(xiàng)，若aH/3,mlla,則m///?或相u2,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若m_L〃，mua,"u尸，則a、口相交(不一定垂直)或平行，C錯(cuò);

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榧覬_(z,mlln,則〃_La,

過直線〃作平面/,使得〃Y=b,如下圖所示:

b

因?yàn)镸/6，nuy,p7=b,則6〃”，

因?yàn)椤╛La,則Z?_La,又因?yàn)?u/?,所以，aL/3,D對(duì).

故選：AD.

11.已知〃&〃為兩條不同的直線，名力為兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（）

A.若mlla,nua,則心//〃B.若mLa,n//a,則m

C.若77z_La,”_L￡,a〃6，則加//"D.若加_1__LJ■《，則租」a

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,若m//a,nua,則〃"/〃，或機(jī)與w異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若zn_La,〃〃a,則故B正確；

對(duì)于C,若tn1a,n1B，a”B,貝!]a//〃，故C正確；

對(duì)于D,如下圖，在長方體中，m，n,n，/3,a，B,則〃?_La,mutz,%//0或加與a相交，故D錯(cuò)誤.

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽略異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同（異面直線成角問題）

R規(guī)方法:）

第一步：將所求直線中的一條用刻度尺進(jìn)行平移然后與另一條直線銜接出現(xiàn)三角形

第二步：將三角形畫到草稿紙上并利用空間圖求出各邊的長

第三步：利用余弦定理求出待求角

第四步：檢查若求出的角為銳角或直角則即為所求，若求出的角為鈍角則補(bǔ)角即為所求

秒殺:

四面體的任何一組對(duì)棱都是異面直線，因此以四面體為載體，把異面直線放在四面體對(duì)棱所在的位置,

利用四面體對(duì)棱夾角公式處理異面直線角度問題

結(jié)論：（在四奇體A—BCD中,若AC與所成的角為。

四面體對(duì)棱夾角公式：cose="+5）-吐+研

2ACDB

ACDB2ACDB

CO

證明如下:2AC\-DB

因?yàn)?元.麗=衣?訪+曰?麗=/.廊+畫+曰?麻+而）

=ACDA+ACAB+CABC+CACD=ACAB-ACBC+CACD-CADA

=AC(AB-BC)+G4-^5-5A)=(AB+BC)-(AB-BC)+(C5+ZM)-^5-ZM)

——?2——?2——?2

AB+CDBC+DA2222

所以cos（n,礪|(AB+CD)-(BC+ZM]

2AC?DB2ACDB

7T

易錯(cuò)提醒：兩異面直線所成角的范圍是（0,'］。兩向量的夾角的范圍是需要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系.

例.已知正四面體A8CD,〃為46中點(diǎn)，則直線以與直線物所成角的余弦值為（)

【解析】如圖，設(shè)正四面體ABCD的棱長為2,取AD的中點(diǎn)/，連接MF、CF,

因?yàn)镸、歹分別為AB、AD的中點(diǎn)，則MF//BD且廝=：8。=1,

因此/CW或其補(bǔ)角為直線CM與直線8。所成的角，

因?yàn)锳BC為等邊三角形，M為45的中點(diǎn)，則四，且CM=ACsin60=石，

__1MF—l

同理C尸=g,在等腰中，cosNCMF=2_=2也,

MCy/36

所以直線◎/與直線初所成角的余弦值為拿.

6

故選：B

變式1.如圖，正方形ABCr>,A8所的邊長均為2,動(dòng)點(diǎn)N在線段A3上移動(dòng)，M,O分別為線段跖,AC中

點(diǎn)，且MOL平面45cD,則當(dāng)NMNO取最大值時(shí)，異面直線MN與PC所成角的余弦值為（）

A'Jj-n叵An布

A.D.RL./3L）.

4223

【解析】因?yàn)镸01?平面ABC。，ONu平面A3CD,所以MO_LON,

所以MNO為直角三角形，所以當(dāng)NO最短時(shí)，4CVO取最大值，

可知NOLAB,即N為48的中點(diǎn)時(shí)，NMM9取最大值，

因?yàn)榉謩e固定在線段斷,AC的中點(diǎn)處，

所以0N=l,MN=2,所以cosNA/NO=^=工，

MN2

因?yàn)?CVO為銳角，所以4CVO=60。，所以O(shè)M=g,

取AD的中點(diǎn)G,連接OG,GC,GP,

因?yàn)镸,N分別為線段的中點(diǎn)，則AN〃月Vf,且AN=E做，且MN〃AF,

可知異面直線MN與FC所成角為NAFC（或其補(bǔ)角）

且。,G分別為線段AC,/⑦的中點(diǎn)，則。G〃8,且OG=C。,

且A3〃CD,且AB=C。，可得0G〃月W,且0G=—Vf,

可知OMFG為平行四邊形，則GP〃OM,且GP=OM,

又因?yàn)镸O_L平面ABC。，則G/_L平面ABC。，

由GCu平面ABCD,可得GF_LGC,

可得AC=2立GC=6CF=JGC2+GF2=2&>

在AAFC中，由余弦定理可得cosZAFC="戶*"‘一叱==正，

2AFFC2x2x2a4

所以異面直線MN與FC所成角的余弦值為正.

4

故選：A

變式2.已知三棱錐P—ABC中，PA_L平面ABC,AB=2,AC=2,BC=2^，PA=3,〃為尸B的中點(diǎn),

則異面直線AD與尸C所成角的余弦值為（

A2A/15口5石9

A.----------D.--------cD.

1512-:13

【解析】如圖所示，取8c的中點(diǎn)反連接力￡,DE,

則DEUPC,—ADE或其補(bǔ)角即為異面直線AD與%所成的角.

由AS=2,AC=2,BC=2A/2>則有AB2+AC2=3C2,所以AB工AC,

￡為比'的中點(diǎn)，則AE=0，

PA^nABC,Rt^MC中，PC7PAi+AC?=5工=而，：.DE=；PC=^

_____________n

RtPAB中，PB=PA1+AB2=V9+4=\/13'?,DA=>

1313

的2+0石2.2；+%9

在VAD石中，根據(jù)余弦定理可得cosNADE=

2ADxDE13

9

所以異面直線2,與"所成角的余弦值為

故選：D

變式3.在四棱錐P-ABCD中，/>￡），平面ABCD,四邊形ABCD為菱形，PD=AB,4Mfi=60。，點(diǎn)E為

PO的中點(diǎn)，則異面直線CE與PB所成角的余弦值為（）

2^/5

連接AC,BD交于點(diǎn)。，連接E。，

因?yàn)镋O//PB,

所以NCEO（補(bǔ)角）是異面直線CE與PB所成角.

因?yàn)镻￡）J_平面ABCD,ACu平面ABCD,

所以PD_LAC,

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，

所以8DL4C,又BDPD=D,所以ACJ_平面處ft

又EOu平面月必，所以ACJ_EO,則△EOC為直角三角形，

設(shè)尸D=AS=2。，在△EOC中，EO=-Jla,OC=y[3a,EC=y[5a

所以85/"0=變=巫，故選：B.

EC5

1.在正方體ABCQ-AgG。中，若點(diǎn)N是棱B片上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)又是線段AG（不含線段的端點(diǎn)）上的動(dòng)

點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.存在直線MN,使MNgCB.異面直線CM與A3所成的角可能為三

__IT____

C.直線CM與平面BWD所成的角為1D.平面BMC〃平面GNA

【答案】B

【解析】對(duì)于A,耳Cu平面8CC4，MN）平面BCG4=N,

二當(dāng)N與B]重合時(shí)，MN與BC相交；當(dāng)N與與不重合時(shí)，與瓦C異面；

即不存在直線與直線與C平行，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,過點(diǎn)M作旦，交耳￡于點(diǎn)H,連接CH,

AB//A.BJ/MH，，/CM”或其補(bǔ)角即為異面直線CMA8所成角;

QAB，平面BCG瓦，.^.Aff/，平面gCC4，又CHu平面BCC]Bi，

設(shè)正方體的棱長為1,MH=x(O<x<l),則G"=7『由G=M"=x,

IT._CHJl+X、

/.HC=+x，，，tan/CMH-----------------，

MHx

若NCMH=W，則正已=6,解得：x=—e[O,l],

3x2

...異面直線CM,AB所成的角可以為:，B正確；

對(duì)于C,連接AC,交BD于點(diǎn)0,連接MO,

_L平面ABC。，4<:匚平面458,，58|，47,

四邊形ABCD為正方形，.?.ACJLB。，又BDcBB^B,8。,8耳<=平面&VD,

.：AC人平面BND,;.ZCMO即為直線CM與平面&VD所成角,

母）,則CO=^^,CM=y/l+a2

設(shè)正方體棱長為1，ClM=a(O<a<

若NCMO=E，則y，-=g，方程無解,

32A/1W2

???直線CM與平面耽D所成的角不能為:，C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,作MG〃4￡,交A用于點(diǎn)G,連接3G,

MG〃月G〃3C,M,G,民C四點(diǎn)共面,

8G,ANu平面ABBH，3G與AN不平行，；.3G與AN相交,

即平面3MC與平面C|M4總是相交，D