安徽省滁州市明光中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試試題理含解析

PAGE21-安徽省滁州市明光中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試試題理（含解析）時間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題)一、單選題（共12題，每題5分)1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿意，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，最終利用復(fù)數(shù)求模公式，求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】，所以，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、求模公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和特別函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，逐一推斷.【詳解】∵依據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式可得，∵，∴A錯；∵，∴B錯；∵，C錯；D正確.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及特別函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.下列說法錯誤的是（）A.命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”B.“”是“”的充分而不必要條件C.若且為假命題，則、均為假命題D.命題“存在，使得”，則非“隨意，均有”【答案】C【解析】【分析】A中命題的逆否命題是條件與結(jié)論互換并且同時否定；B中充分而不必要條件要說明充分性成立，必要性不成立；C中且為假命題，則、中至少有一個為假命題；D中非是特稱命題的否定，為全稱命題；逐一推斷即可得解.【詳解】解：對于選項(xiàng)A，命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，即原命題為真命題；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時，，當(dāng)，或，即原命題為真命題；對于選項(xiàng)C，若且為假命題，則、中至少有一個為假命題，即原命題為假命題；對于選項(xiàng)D，命題“存在，使得”，則非“隨意，均有”，即原命題為真命題；故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的逆否命題的真假、充分必要條件、復(fù)合命題的真假及特稱命題的否定，重點(diǎn)考查了邏輯推理實(shí)力，屬中檔題.4.函數(shù)的大致圖象為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,并依據(jù)函數(shù)的正負(fù)推斷即可.【詳解】,故在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增.且當(dāng)時.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的推斷,屬于中等題型.5.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率之積為1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算雙曲線的焦點(diǎn)為，離心率，得到橢圓的焦點(diǎn)為，離心率，計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，離心率，故橢圓焦點(diǎn)為，離心率，即.解得，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，焦點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，則等于（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】，所以，得，故選B．7.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”時，從到，等式的左邊須要增乘的代數(shù)式是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)條件分別求出和時左邊的式子，從而可求得由到時須要增乘的代數(shù)式.【詳解】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，所以由到時，等式左邊應(yīng)當(dāng)增乘的代數(shù)式是.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.2024年4月，習(xí)近平總書記專程前往重慶石柱考察了“精準(zhǔn)脫貧”工作.為了進(jìn)一步解決“兩不愁，三保障”的突出問題，當(dāng)?shù)刂浒?、乙在?nèi)的5名專家對石柱縣的3個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行調(diào)研，要求每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少支配一名專家，則甲、乙兩名專家支配在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算總共可能的安排狀況,再分析甲、乙兩名專家支配在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的狀況數(shù)再求概率即可.【詳解】5名專家對石柱縣的3個不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行調(diào)研,分兩大類：①其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)有3個專家,另外兩個分別有1個,共種狀況.②其中一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)有1個專家,另外兩個分別有2個,共種狀況.故共種狀況.其中甲、乙兩名專家支配在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)可能的狀況同上分析,有種可能.故甲、乙兩名專家支配在同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用排列組合方法求解概率的問題,須要依據(jù)題意分狀況求總的狀況數(shù)與滿意條件的狀況數(shù),再進(jìn)行概率的求解.屬于中檔題.9.已知，是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，是雙曲線漸近線上一點(diǎn)，滿意，若以為焦點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則此雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），由MF1⊥MF2以及點(diǎn)M（x0，y0）在直線上，列出方程，依據(jù)拋物線的定義可知|MA|=x0+a=2a，然后最終求解雙曲線的離心率即可．【詳解】設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），A(a,0)，M（x0，y0），由可知，又點(diǎn)M（x0，y0）在直線上，所以，解得，所以M（a，b），軸，于是依據(jù)拋物線的定義可知，所以b=2a，即，由，則雙曲線的離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題，涉及拋物線的基本性質(zhì)，圓錐曲線問題的基本思路是利用題目條件得出a、b、c的等量關(guān)系，確定離心率，屬于簡潔題.10.的綻開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為32，則該綻開式中x的系數(shù)為（）A.10 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】令得各項(xiàng)系數(shù)和，求得，再由二項(xiàng)式定理求得綻開式中x的系數(shù)．【詳解】令得，，二項(xiàng)式為，綻開式通項(xiàng)為，令，，所以的系數(shù)為．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)綻開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．駕馭二項(xiàng)式定理是解題關(guān)鍵．賦值法是求二項(xiàng)綻開式中各項(xiàng)系數(shù)和的常用方法．11.如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，SA，AB=2，BC.若E，F(xiàn)是SC的三等分點(diǎn)，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為()A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求異面直線所成的角．【詳解】以中軸，過與平面垂直的直線為軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾A⊥底面ABC，所以與軸平行，則，，，，，，，，.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，通過建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法計(jì)算夾角的余弦，考查學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力．12.設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得在定義域上單調(diào)遞增，從而得到，由此能求出（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集．【詳解】解：設(shè)，則，，，，在定義域上單調(diào)遞增，，，，．，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．第II卷（非選擇題)二、填空題（共4題，每題5分)13.“或”是“”的__________條件（填寫“充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也非必要”）【答案】必要不充分【解析】【分析】取得到，不充分；考慮必要性對應(yīng)命題的逆否命題為真，得到必要性；得到答案.【詳解】取得到，故不充分；考慮必要性對應(yīng)命題的逆否命題：若且，則易知成立，必要性；故答案為必要不充分【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件，意在考查學(xué)生的推斷實(shí)力，取特別值可以快速得出結(jié)論，是解題的關(guān)鍵.14.在一個童話故事里，獅子每逢星期一、二、三撒謊，老虎每逢星期四、五、六撒謊.某天獅子和老虎進(jìn)行了一段對話.獅子說：“昨天是我的撒謊日.”老虎說：“昨天也是我的撒謊日.”依據(jù)以上對話，推斷當(dāng)天是星期__________.【答案】四【解析】【分析】既然他們說同一天是他們?nèi)鲋e日，可見必有一個撒謊，一個沒有撒謊，所以須要通過假設(shè)，從而最終得出結(jié)論．【詳解】可先假設(shè)獅子說的是實(shí)話，則當(dāng)天應(yīng)是星期四，再結(jié)合題意可得，這種假設(shè)成立；當(dāng)假設(shè)獅子說的是謊話，則當(dāng)天可能是星期二或星期三，老虎說的應(yīng)當(dāng)是實(shí)話，而題中老虎說：“昨天也是我的撒謊日．”所以假設(shè)不成立，所以第一種假設(shè)正確．故答案為：四．【點(diǎn)睛】本題主要考查了推理與論證問題，能夠通過已知條件找出突破口，從而通過推理得出結(jié)論．15.頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線上有一動點(diǎn)，圓上有一動點(diǎn)，則的最小值為__【答案】4【解析】【分析】先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的準(zhǔn)線方程.利用拋物線的定義，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，由此推斷出的最小值等于圓心到準(zhǔn)線的距離減去半徑，進(jìn)而求出最小值.【詳解】由題知，拋物線方程為，其準(zhǔn)線為，設(shè)為到準(zhǔn)線的距離，則的最小值等于圓心到準(zhǔn)線的距離減去半徑，即.故答案為4【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的準(zhǔn)線方程，考查拋物線的定義，考查直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.16.如圖，平行六面體中，,,則__________．【答案】【解析】【分析】用基底表示出，然后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量法計(jì)算線段的長，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題(共6題，17題10分，18-22題均12分)17.已知的綻開式中其次項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36．（1）求的值；（2）求綻開式中含的項(xiàng)及綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（I）；（II）.【解析】分析：（1）由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值;(2)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于，求得r的值，可得綻開式中含的項(xiàng),進(jìn)而得到綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).詳解：（I）由題意知，其次項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，,,得或（舍去）.(II)的通項(xiàng)公式為：，令8﹣5k=3，求得k=1，故綻開式中含的項(xiàng)為．又由知第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．18.已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程;（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值.【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.【解析】【詳解】試題分析：第一問求拋物線的焦點(diǎn)弦長問題可干脆利用焦半徑公式，先寫出直線的方程，再與拋物線的方程聯(lián)立方程組，設(shè)而不求，利用根與系數(shù)關(guān)系得出，然后利用焦半徑公式得出焦點(diǎn)弦長公式，求出弦長，其次問依據(jù)聯(lián)立方程組解出的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，和向量的坐標(biāo)關(guān)系表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在拋物線上滿意拋物線方程，求出參數(shù)值.試題解析：(1)直線AB的方程是y＝2（x-），與y2＝2px聯(lián)立，消去y得8x2－10px＋2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝.由拋物線定義得|AB|＝＋p＝9，故p=4(2)由(1)得x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，從而A(1，－2)，B(4，4)．設(shè)＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.【點(diǎn)睛】求弦長問題，一般采納設(shè)而不求聯(lián)立方程組，借助根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長公式去求；但是遇到拋物線的焦點(diǎn)弦長問題時，可干脆利用焦半徑公式，運(yùn)用焦點(diǎn)弦長公式，求出弦長.遇到與向量有關(guān)的問題，一般采納坐標(biāo)法去解決，依據(jù)聯(lián)立方程組解出的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，和向量的坐標(biāo)關(guān)系表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在拋物線上滿意拋物線方程，求出參數(shù)值.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在時取得極值，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對隨意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】試題分析：（1）由，依題意有：，即，通過檢驗(yàn)滿意在時取得極值．（2）依題意有：從而，令，得：，，通過探討①和②，進(jìn)而求出的取值范圍.試題解析：（1），依題意有，即，解得.檢驗(yàn)：當(dāng)時，.此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿意在時取得極值.綜上可知.（2）依題意可得：對隨意恒成立等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立.因?yàn)椋畹茫海?①當(dāng)，即時，函數(shù)在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，于是，解得，此時；②當(dāng)，即時，時，；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，不合題意，此時.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【方法點(diǎn)睛】對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,一般通過變量分別，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造協(xié)助函數(shù)，利用恒成立；恒成立，即可求出參數(shù)范圍.20.如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點(diǎn)，，，，直線與平面所成的角等于．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)見證明；(Ⅱ)．【解析】【分析】（Ⅰ）先證得，再證得，于是可得平面，依據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用幾何法求解或建立坐標(biāo)系，利用向量求解即可得到所求．【詳解】（Ⅰ）在中，是斜邊的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以，所以.又因?yàn)椋?，又，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫á颍┓椒ㄒ唬喝≈悬c(diǎn)，連，則，因?yàn)椋?又因?yàn)?，，所以平面，所以平面．因此是直線與平面所成的角．故，所以.過點(diǎn)作于，則平面，且．過點(diǎn)作于，連接，則為二面角的平面角．因，所以，所以，因此二面角的余弦值為．方法二：如圖所示，在平面BCD中，作x軸⊥BD，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD，BA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?同方法一,過程略)則，,．所以,,，設(shè)平面的法向量，則，即，取得．設(shè)平面的法向量則，即，取,得．所以，由圖形得二面角為銳角，因此二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】利用幾何法求空間角的步驟為“作、證、求”，將所求角轉(zhuǎn)化為解三角形的問題求解，留意計(jì)算和證明的交替運(yùn)用．利用空間向量求空間角時首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通過求出兩個向量的夾角來求出空間角，此時須要留意向量的夾角與空間角的關(guān)系．21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上隨意一點(diǎn)，的最小值為，且該橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且，若，試問直線是否經(jīng)過一個定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）（2）直線過定點(diǎn)【解析】【分析】（1）依題意得到方程組解得；（2）已知且，可知點(diǎn)同在軸的上方或下方，由對稱性可知，若動直線經(jīng)過一個定點(diǎn)，