黑龍江省哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校2024-2025學年九年級上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

工大附中九年級上學期開學驗收數(shù)學試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列四個圖案中，是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查中心對稱圖形的定義及識別，“在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)??，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個圖形重合，那么就說明這兩個圖形的形狀關(guān)于這個點成中心對稱，這個點叫做它的對稱中心”，掌握中心對稱圖形的定義即可求解．【詳解】解：A、不是中心對稱，不符合題意；B、不是中心對稱，不符合題意；C、是中心對稱，符合題意；D、不是中心對稱，不符合題意；故選：C

．2.已知：在銳角中，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】據(jù)特殊角的正切函數(shù)值解答即可．【詳解】解：∵，∴，故選：D．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3.如圖，內(nèi)接于，連結(jié)接，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查圓周角定理．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓周角定理解答．【詳解】解：∵內(nèi)接于，，∴，∴．∴．∴．故選：C4.如圖，P是∠α的邊OA上一點，且點P的坐標為（3，4），則sinα=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：如圖，由題意得，OB=3，PB=4，由勾股定理得，OP=5，sinα=，故選D．考點：1．銳角三角函數(shù)的定義；2．坐標與圖形性質(zhì)．5.在中，，現(xiàn)把這個三角形的三邊都擴大為原來的3倍，則的正弦值（）A.擴大為原來的3倍 B.縮小為原來的3倍 C.不變 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵中，，將各邊長度都擴大為原來的3倍，其比值不變，∴的正弦值不變．故選：C．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的表示以及求值，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6.如圖，一個小球由地面沿著坡度的坡面向上前進了，此時小球距離地面的高度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了三角函數(shù)—坡度問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．過點作，垂足為，根據(jù)題意可得，，設，則，由勾股定理，列方程即可求解．【詳解】解：過點作，垂足為，根據(jù)題意得：，，設，則，由勾股定理，得：，解得：（負值已舍去），故選：D．7.如圖，在中，，，，若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，點A的對應點為D，則的長為（）A.5 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用，由在中，，，，可求得的長，然后由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，點A的對應點為D，可得是等腰直角三角形，繼而求得的長．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，點A的對應點為D，∴，∴，故選：D．8.如圖，AC是電線桿AB的一根拉線，測得BC的長為6米，∠ACB=50°，則拉線AC的長為（）A. B. C.6cos50° D.【答案】B【解析】【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出cos50°=，進而得出答案．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6m，∴cos50°==，∴AC=．故選B．【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．9.如圖，小正方形邊長均為1，則下列圖形中三角形(陰影部分)與△ABC相似的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點求出三角形的三邊，再根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解．【詳解】已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應成比例．故選B．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理．10.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，連接EF，分別交AD，CD于點G，H，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定進行判斷即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC，∴，，，故選：C．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)來分析判斷．二、填空題（每題3分，共30分）11.四邊形和四邊形是位似圖形，點與點對應，點與點對應，點是位似中心，如果，，那么__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，根據(jù)相似（位似）圖形對應邊的比等于相似比（位似比）即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，，∴，故答案為：

．12.如圖，點D、E分別是邊、上的點，且，，那么_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)推出，根據(jù)推出，最后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，即可解答．詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方．13.如圖，是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點處放一水平的平面鏡，光線從點出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻的頂端處，已知，且測得，那么該古城墻的高度是__________．【答案】8【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應用，先證明，再由相似三角形的性質(zhì)得，求得該古城墻的高度．【詳解】解：由題意知：入射光線與反射光線，，又，，所以即，解得米．故答案為：814.如圖，四邊形內(nèi)接于，連接．延長至點，則的度數(shù)為___________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理可得度數(shù)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)，然后根據(jù)鄰補角的定義可得結(jié)果．【詳解】解：∵為圓心，，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)等知識點，熟知以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．15.在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．有一張矩形紙片如圖所示，點在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點對應的點記為點，若點恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是________．【答案】【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)得，從而得到，由折疊的性質(zhì)可得：，從而得到，由此推斷出．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，是解題的關(guān)鍵．16.如圖，AB是半的直徑，點均在半上．于點，若，則的長為___________．【答案】8【解析】【分析】本題考查了直徑所對圓周角為直角，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意可得，，可證，設圓的半徑為，可列式求解半徑的值，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵AB是半圓的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設半圓的半徑為，則，∴，∴，解得，，∴，在中，，故答案為：8

．17.如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為60°，熱氣球A與高樓的水平距離為120m，這棟高樓BC的高度為_________米．【答案】【解析】【詳解】試題分析：過A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m，∴BD=AD?tan30°=120×=m，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m，∴CD=AD?tan60°=120×=m，∴BC=BD+CD==m．故答案為．考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．18.如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為_______．【答案】【解析】【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABD的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接BD，∵BD2=12+12=2，AB2=12+32=10，AD2=22+22=8，2+8=10，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴．故答案為.【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)和勾股定理，作出適當?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．19.已知：正方形ABCD的邊長為2，點P是直線CD上一點，若DP=1，則tan∠BPC的值是_________【答案】2或【解析】【分析】本題無圖，應根據(jù)題意畫出圖形，分點P既可以在邊CD上和在CD的延長線上兩種情況求解.【詳解】如圖所示，由于點P是直線CD上一點，∴點P既可以在邊CD上，也可以在CD的延長線上，當P在邊CD上時，∵BC=2，DP=1，∴；當P在CD延長線上時，∵DP=1，DC=2，∴PC=3，∴．故答案為2或23【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及正方形的性質(zhì)，解題時要考慮到兩種情況，不要漏解．20.如圖，中，交AB于點，交AB于點，若，，CD的長為_____________．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合，根據(jù)題意可得，可得為等腰直角三角形，可求出，，如圖作，根據(jù)等面積法可求出，根據(jù)題意，可得，列式可求出AD，在中運用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即是等腰直角三角形，∴，∴，∴，如圖所示，過點作于點，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，，∵，，即，∴，∴，∴，即，解得，（不符合題意，舍去）或，∴，在中，，故答案為：

．三、解答題（共60分，21、22每題7分，23、24每題8分，25、26、27每題10分）21.先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【答案】；.【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值得出的值，代入計算可得．【詳解】解：原式，，當時，原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則及特殊銳角的三角函數(shù)值．22.在下列網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為個單位長度，在中，，，．（1）試在圖中做出以為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后的圖形，點與點是對應點；（2）若點的坐標為，試在圖中畫出直角坐標系；（3）根據(jù)（2）的坐標系作出與關(guān)于原點對稱的圖形，點與點是對應點，點與點是對應點，并標出點的坐標．【答案】（1）作圖見詳解（2）作圖見詳解（3）作圖見詳解，【解析】【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)作圖，平面直角坐標系的特點，關(guān)于原點對稱的圖形的特點，（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心作圖方法進行作圖即可求解；（2）根據(jù)點與坐標系的特點即可求解；（3）根據(jù)圖形關(guān)于原點對稱的特點即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，即所求圖形；【小問2詳解】解：點的坐標為，直角坐標系如圖所示，【小問3詳解】解：如圖所示，即為所求圖形，∴．23.一艘海輪位于燈塔的北偏東60°方向，距離燈塔海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的東南方向上的處．（1）求的度數(shù)；（2）求海輪所在的處與燈塔的距離（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）（2）海輪所在的B處與燈塔P的距離海里【解析】【分析】本題主要考查方位角的計算，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，（1）根據(jù)題意可得海里，根據(jù)含30°，角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)題意可得，是等腰直角三角形，由此即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，根據(jù)題意，，海里，，∴，，∴；【小問2詳解】解：由題意可知，，且海里，∴海里，海里，∵，∴是等腰直角三角形，∴海里，∴（海里），∴海輪所在的B處與燈塔P的距離海里．24.如圖，在中，，．（1）如圖1，點在邊上，，求的值；（2）如圖2，點在的延長線上，點在AB上，連接，且，求證：．【答案】（1）（2）證明過程見詳解【解析】【分析】本題主要考查勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正弦的計算，相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用，（1）根據(jù)題意，設，則，在中，運用勾股定理可得，根據(jù)正弦的計算方法即可求解；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，且，可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】解：∵，，設，則，在中，，∴；【小問2詳解】證明：∵，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴．25.禹馳商店決定購進A、B兩種紀念品．若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需950元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需800元．（1）求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？（2）若禹馳商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀念品的資金不超過7650元，求禹馳商店至多購進A種紀念品多少件？【答案】（1）購進A、B兩種紀念品每件各需100元、50元（2）禹馳商店至多購進A種紀念品53件【解析】【分析】（1）設購進A種紀念品每件需x元，購進B種紀念品每件需y元，根據(jù)題意，列出二元一次方程組，然后解方程組即可得出結(jié)論；（2）設禹馳商店購進A種紀念品a件，則購進B種紀念品件，根據(jù)題意，列出一元一次不等式，即可求出結(jié)論．【小問1詳解】設購進A種紀念品每件需x元，購進B種紀念品每件需y元由題意可知：解得：答：購進A種紀念品每件需100元，購進B種紀念品每件需50元．【小問2詳解】設禹馳商店購進A種紀念品a件，則購進B種紀念品件由題意可知：解得：∵a為整數(shù)∴a的最大值為53答：禹馳商店至多購進A種紀念品53件．【點睛】此題考查的是二元一次方程組和一元一次不等式的應用，掌握實際問題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．26.如圖，在中，AB為直徑，弦于點，連接．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，過點作于點，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點在弧AD上，，連接，，，求的長．【答案】（1）證明過程見詳解（2）證明過程見詳解（3）的長為【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，由此可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證；（2）連接BD，根據(jù)垂徑定理可得點是AD中點，由此可得是中位線，可得，由（1）可得，根據(jù)弦、弧的關(guān)系，可得，由此即可求證；（3）根據(jù)題意，連接，根據(jù)圓的基礎知識，可證，可得，運用勾股定理可得AB的值，在中可求出的值，的值，由（2）的結(jié)論可得的值．【小問1詳解】證明：∵AB是直徑，弦，∴，且，∴，∴；【小問2詳解】證明：如圖所示，連接BD，∵AB是直徑，∴，，，∴，點是AD的中點，且點是AB的中點，∴，即，由（1）可得，，∴，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：如圖所示，連接，由（1）可知，，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵AB是直徑，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，在中，，由（2）可得，，∴的長為．【點睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握垂徑定理，圓周角定理，直徑所對