2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：干脆證明與間接證明

第六節(jié)干脆證明與間接證明

最新考綱

1.了解干脆證明的兩種基本方法一一分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思索過程和特點(diǎn).2.

了解反證法的思索過程和特點(diǎn).

學(xué)問梳理

1.干脆證明

（1）綜合法

①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最終推導(dǎo)出

所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.

②框圖表示：|舊?|—T?=>—TQi=—>—?Q,,=Q（P表示已知條件、已有的定義、定

理、公理等，0表示所要證明的結(jié)論）.

（2）分析法

①定義：從要證明的動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最終，把要證明的結(jié)

論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明方法叫做分析

法.

②框圖表示：匹］一反迅］一|於閭———?|得到一個(gè)明顯成立的條件.

2.間接證明

反證法：假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下,結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最終得出

沖突，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明白原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.

3.利用反證法證題的步驟

（1）反設(shè)：假設(shè)所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面（否定命題）成立；（否定結(jié)論）

（2）歸謬：將“反設(shè)”作為條件，.由此動(dòng)身經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出沖突一一與假設(shè)沖突，與已知

條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實(shí)沖突或自相沖突；（推導(dǎo)沖突）

（3）立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生沖突的緣由在于“反設(shè)”的謬誤.既然原命題結(jié)論的反面不

成立，從而確定了原命題成立.（命題成立）

4.反證法證明中，常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”

原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞

至少有一個(gè)一個(gè)也沒有對(duì)全部X成立存在某個(gè)X不成立

至多有一個(gè)至少有兩個(gè)對(duì)隨意X不成立存在某個(gè)X成立

至少有,77個(gè)至多有〃一1個(gè)P或q-1,且一

至多有〃個(gè)至少有個(gè)。且。—1夕或一10

典型例題

考點(diǎn)一分析法的應(yīng)用

因.><）,即川HJ-（2一偵）>0,

a，

所以只需證/+占）三,?+￡-2-a

'■-V#/Lx.<J

和2（2-亞）|?4=28-<T\A，只需證.4-M2.

、出0

幽皿顯然成立（當(dāng)且僅當(dāng)4%】時(shí)等號(hào)成立），所以要證的不等式眩

規(guī)律方法

（1）當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、干脆，或證明過程中所需用的學(xué)問不太明確、詳細(xì)

時(shí)，往往.采納分析法，特殊是含有根號(hào)、確定值的等式或不等式，?？紤]用分析法.

（2）分析法的特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，逐步找尋結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需

知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采納“欲證

一只需證一己知”的格式，在表達(dá)中要留意敘述形式的規(guī)范性.

【變式訓(xùn)練1】已知的三個(gè)內(nèi)角4B,C成等差數(shù)列，A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C.

求擊a+b^~b~\-c~a+b+c

ii3

【證明】要證上人工，

a十b白十ca十白十c

口,a+b+c,c,a

即證a+6+6+c=3'也就a正市+==1'

只需證c(b+c)+a(a+6)=(a+Z?)(6+c),

需證c+a=ac-\-l),

又△/阿三內(nèi)角4&。成等差數(shù)列，故8=60°,

由余弦定理，得9=1+一一2accos60°,

即廿="a—ac,故廿+才=己0+方成立.

于是原等式成立.

考點(diǎn)二綜合法的應(yīng)用

【例2】已知函數(shù)F(x)=ln(l+x),g{x)=a+bx~^x,函數(shù)p=F(x)與函數(shù)尸g(x)的圖象

在交點(diǎn)(0,0)處有公共切線.

(1)求a,6的值；

(2)證明:/tx)Wg(x).

【解析】(l)F'g'{x)=b—x+x,

\g0=f0,

由題意得，,,解得a=0,6=1.

lff0=W0,

(2)證明：令力(x)=f(x)—g(x)=ln(x+1)—JY'+JV—x(x>—1),

1-/

h'(x)=-)77—f+x-1=^77,

x+1x十1

Vx>-1,???當(dāng)一k水0時(shí),h'(x)>0；

當(dāng)x〉0時(shí)，H(x)<0.

則力(x)在(一1,0)上為增函數(shù)，在(0,+8)上為減函數(shù).

力(x)max=為(0)=0,力(x)W力(0)=0,即f(x)Wg(x).

規(guī)律方法綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，常與分

析法結(jié)合運(yùn)用，用分析法探路，綜合法書寫，但要留意有關(guān)定理、性質(zhì)、結(jié)論題設(shè)條件的正確運(yùn)

用.

77S

【變式訓(xùn)練2】設(shè){aj是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(共0),S是其前〃項(xiàng)的和.記+，

〃￡N*,其中c為實(shí)數(shù).若c=0,且61,民,4成等比數(shù)列，證明：Snk=nSk{k,〃￡N*).

【證明】由題意得，Sn=na-\d.

2

由c=0,得6尸比一十丁日

又因?yàn)閎i,bi,4成等比數(shù)列，所以用=瓦兒，即(a+受之:3口十5,，化簡(jiǎn)得"一2〃d=0.

因?yàn)閐#0,所以d=2a.

因此，對(duì)于全部的勿WN*,有￡=〃％.

2

從而對(duì)于全部的次，〃dN*,WS?t=^nli)a=n1<a=nSk.

考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用

命題角度一證明否定性命題

【例3】設(shè)｛aj是公比為g的等比數(shù)列，￡是它的前〃項(xiàng)和.

⑴求證：數(shù)列｛S｝不是等比數(shù)列；

(2)數(shù)列｛￡｝是等差數(shù)列嗎？為什么？

【解析】(1)證明：若｛5｝是等比數(shù)列，則6=S?W,即a：(l+g)2=ai?a“l(fā)+g+/),Va^0,

...(1+初2=1+°+/,解得q=0,這與g/0相沖突，故數(shù)列｛￡｝不是等比數(shù)列.

⑵當(dāng)(7=1時(shí)，｛￡｝是等差數(shù)列.

當(dāng)gWl時(shí)，｛5｝不是等差數(shù)列.假設(shè)gWl時(shí)，S,Si,W成等差數(shù)列，即2￡=S+￡,2a1(1+)=

ai+ai(l+g+/).

由于ai#0,.,.2(l+<7)=2-\-q+q,即g=./,1,^=0,這與<?W0相沖突.

綜上可知，當(dāng)g=l時(shí)，｛$｝是等差數(shù)列；當(dāng)0W1時(shí)，｛￡｝不是等差數(shù)列.

命題角度二證明“至多”，“至少”，“唯一”性命題

【例4】已知四棱錐5—4式》中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，又SB=SD=*弘=1.

(1)求證：弘，平面46(力；

(2)在棱SC上是否存在異于S,C的點(diǎn)凡使得即〃平面必。？若存在，確定尸點(diǎn)的位置；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

【解析】(1)證明：由己知得弘2+/)=初，

：.SALAD.同理SA±AB.

y.AB^AD=A,...玄，平面/aZZ

⑵假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點(diǎn)凡使得毋〃平面$1〃

'：BC//AD,跖I平面SAD.

〃平面SAD.而BCCBF=B,

平面句%〃平面SAD.這與平面,和平面S42有公共點(diǎn)S沖突，，假設(shè)不成立.

故不存在這樣的點(diǎn)“使得哥'〃平面必〃

規(guī)律方法反證法的適用范圍及證明的關(guān)鍵

⑴適用范圍：當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證

法來證.

⑵關(guān)鍵：在正確的推理下得出沖突，沖突可以是與已知條件沖突，與假設(shè)沖突，與定義、公理、

定理沖突，與事實(shí)沖突等，推導(dǎo)出的沖突必需是明顯的.

【變式訓(xùn)練，4］設(shè)｛a.｝是公比為q的等比數(shù)列.

⑴推導(dǎo)｛aj的前〃項(xiàng)和公式；

(2)設(shè)證明數(shù)例J｛a〃+1｝不是等比數(shù)列.

【解析】⑴設(shè)｛aj的前〃項(xiàng)和為S,

當(dāng)Q--1時(shí)，S=&+ai+…+ai=nai；

當(dāng)(7#1時(shí)，S=ai+aig+ai/d----,①

qSn—aiq-\-ai(f----Ya^q,②

①一②得,(1—Sn=a1—aiq,

no,1，q—1,

Si1-q

Sn=--------,，S=J劭1一q”

(2)證明：假設(shè)J+D是等比數(shù)列，則對(duì)任意的上€『,

.+線8分

丁瓏女,，2/=］：+廣)

,，/-2。+1=0,

二?卡L這與己口矛盾.

，假設(shè)不成立，故｛&+H不是等比數(shù)列.

課堂總結(jié)

1.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思索起來比較自然，簡(jiǎn)單找尋到解題的思路和方法，缺點(diǎn)

是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)捷地解決問題，但不便于思索.實(shí)際證題時(shí)

經(jīng)常兩法兼用，先用分析法探究證明途徑，然后再用綜合法敘述出來.

2.用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要留意書寫格式的規(guī)范性，經(jīng)常用“要證（欲證）…”“即要

證…”“就要證…”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論.

3.利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒有用假設(shè)命題推理

而推出沖突結(jié)果，其推理過程是錯(cuò)誤

課后作業(yè)

1.用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）

A.三個(gè)內(nèi)角都不大于60°

B.三個(gè)內(nèi)角都大于60。

C.三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°

D.三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°

【答案】B

【解析】“至少有一個(gè)不大于60°”的反面是“都大于60°”.

2.用反證法證明命題：若a+b+c為偶數(shù)，則“自然數(shù)a,b,c恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確反設(shè)為

（）

A.自然數(shù)a,b,。都是奇數(shù)B.自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)

C.自然數(shù)a,b,。中至少有兩個(gè)偶數(shù)D.自然數(shù)a,b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)

【答案】D.

【解析】由于“自然數(shù)a,b,。中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定是“自然數(shù)a,b,。都是奇數(shù)或至少有兩

個(gè)偶數(shù)”，故選D.

3.用反證法證明命題：“已知a,6GN,若他可被5整除，則a,6中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，

反設(shè)正確的是（）

A.a,6都不能被5整除B.a,6都能被5整除

c.a,6中有一個(gè)不能被5整除D.a,6中有一個(gè)能被5整除

【答案】A,.

【解析】對(duì)原命題的結(jié)論的否定敘述是：a,6都不能被5整除.

4.設(shè)x,y,z都是正實(shí)數(shù)，a—x+~,b=r+-,c=z+~,則a,b,c三個(gè)數(shù)（）

yzx

A.至少有一個(gè)不大于2B.都小于2

C.至少有一個(gè)不小于2D.都大于2

【答案】C

【解析】若a,b,c都小于2,則a+6+c<6,①

而a+6+c=x+'+H-,+z+126,②

xyz

明顯①②沖突，所以C正確.

5.若a+7,^=^a+3+-\/a+4（a^0）,貝！IP,0的大小關(guān)系是（）

A.P>QB.—Q

C.KQD.由a的取值確定

【答案.】C.

【解析】不妨設(shè)尸<0,：要證尸<0,只要證尸〈仇

只要證2a+7+2^\^a+7-<2a+7+2?y]a+3a+4-,

只要證a2+7a<a2+7a+12,

只要證0<12,

:0<12成立，；.P〈Q成立.

6.在中，三個(gè)內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且4B,，成等差數(shù)列，a,b,c成等

比數(shù)列，則的形態(tài)為.

【答案】等邊三角形.

,,qJI

【解析】由題息28=/+G又4+8+。=兀，.?.8=不，

又6=ac,由余弦定理得Z?2=—+c2—2accosB=a-\-c—ac,

???才+——2ac=0,即（@一0）2=0,a=c,

JI

,\A=C,.\A=B=C=—,為等邊三角形.

7.已知點(diǎn)4（〃，a）為函數(shù)尸圖象上的點(diǎn),B?{n,4）為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn)，其中AGN*,

設(shè)c?=a?—b?,則與以+i的大小關(guān)系為.

【答案】??C?C〃+i.

【解析】由題意知，an=y]n+1,bn=n,。隨著〃的增大而減

,??C/?>C/J+1.

8.設(shè)a,b,。均為正數(shù)，且a+b+c=l.

證明：(1)(2)-^+—(3)y[a+y[b+y[c^y[3.

【證明】(1)由才+62,2乃方，I)~\~c^2bc,c-\-a^2ac,

得￡+//+0223,+6c+

由題設(shè)得(a+6+c)2=L即c-\-2ab-\-2bc-\-2ca=l.

所以3(助+bc~\~ca)W1,即ab+bc~\~caW；.

⑵因?yàn)榕c一+6三2a,片—+c>26,ca^2c,

bca

2/22222

OAlZ>oAzj

故工+—+—+(a+b+c)22(H+6+C),即工+—+—2a+6+c.

bcabca

2[22

所以9+—+￡》】?

bca

(3)欲證

則只需證2W3,

即證a+b-\-c+2(yl~^b-\-y^bc+\1~^c)W3,

即證1.

又與上+2/=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c=