2024-2025學(xué)年遼寧省重點高中高一（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省重點高中高一（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合U={x∈N?|x≤5}，A={1,3}，B={1,2,4}，則A?(A.{1,3,5} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4} D.{1,2,4,5}2.命題p：?x∈I,xx?1>0，則?p是A.?x∈I,xx?1≤0 B.?x∈I,xx?1≤0

C.?x∈I,x3.若a<0，則a+1a(

)A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值?2 D.有最大值?24.若不等式ax2?x?c>0的解集為{x|?1<x<12}A. B.

C. D.5.已知a，b為互不相等的正實數(shù)，則下列四個數(shù)中最大的數(shù)是(

)A.2a+b B.1a+1b 6.已知集合M={x|x2?3x+2=0}，N={x|x2?ax+3a?5=0}，若M∪N=MA.? B.{2} C.{a|2<a<10} D.{a|2≤a<10}7.手機屏幕面積與整機面積的比值叫手機的“屏占比”，它是手機外觀設(shè)計中一個重要參數(shù)，其值通常在(0,1)之間．設(shè)計師將某手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量，升級為一款新的手機外觀，則該手機“屏占比”和升級前比有什么變化(

)A.“屏占比”不變 B.“屏占比”變小 C.“屏占比”變大 D.變化不確定8.已知命題p：?x∈[1,3]，x2?ax+4<0是真命題，則p的一個必要不充分條件是(

)A.a<5 B.a>3 C.a<4 D.a>4二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知a>b，c>d>0，則(

)A.a?d>b?c B.ac>bd C.ac2>b10.若關(guān)于x的不等式x2?2x+m≤0的解集中恰有3個整數(shù)，則實數(shù)m的取值可以是(

)A.?3 B.?2 C.0 D.111.已知a，b為正實數(shù)，且ab+2a+b=16，則(

)A.ab的最大值為8 B.2a+b的最小值為8

C.a+b的最小值為63?3 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知集合A={1}，集合B={x∈N|x<3}，則滿足關(guān)系A(chǔ)?P?B的所有集合P為______．13.對班級40名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成，另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人，問對A、B都贊成的學(xué)生有______人.14.正實數(shù)a、b滿足：a2?b2=2，且12a四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知全集U=R，集合A={x|1x?3<?1},B={x|x?(a2+2)x?a<0}．

(1)若A∩B≠?，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)命題p：x∈A，命題q：16.(本小題12分)

根據(jù)要求完成下列問題：

(1)解關(guān)于x的不等式(m+1)x2?2mx+m?1≥0(m∈R)；

(2)若不等式(m+1)x2?(m?1)x+m?1≥0(m∈R)對任意17.(本小題12分)

要在墻上開一個上半部為半圓形、下部為矩形的窗戶(如圖所示)，在窗框為定長的條件下，要使窗戶能夠透過最多的光線，窗戶應(yīng)設(shè)計成怎樣的尺寸？18.(本小題12分)

如圖，鐵路線上AB段長100千米，工廠C到鐵路的距離CA為20千米.現(xiàn)要在AB上某一點D處，向C修一條公路，已知鐵路每噸千米的運費與公路每噸千米的運費之比為3：5.為了使原料從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最少，D點應(yīng)選在何處？19.(本小題12分)

根據(jù)要求完成下列問題：

(1)已知全集U=R，集合A={x|x2?x?6<0}，集合B={x|x2+2x?8>0}，集合C={x|x2?4tx+3t2<0}，且(A∩B)?C，求實數(shù)t的取值范圍；20.(本小題12分)

已知集合A為非空數(shù)集.定義：S={x|x=a+b,a,b∈A}，T={x|x=|a?b|,a,b∈A}．

(Ⅰ)若集合A={1,3}.直接寫出集合S，T；

(Ⅱ)若集合A={x1,x2,x3,x4}，x1<x2<x3<x4，且答案解析1.A

【解析】解：由U={1,2,3,4,5}，則?UB={3,5}，故A?(?UB)={1,3,5}．

故選：A2.D

【解析】解：由全稱命題的否定是特稱命題知：原命題的否定為?x∈I,xx?1≤0或x?1=0．

故選：D．

3.D

【解析】解：∵a<0，

則a+1a=?[(?a)+(?1a)]≤?2，即函數(shù)有最大值?2

故選：D．

由4.C

【解析】解：根據(jù)題意，不等式ax2?x?c>0的解集為{x|?1<x<12}，

則方程ax2?x?c=0的解為x1=?1或x2=12，且a<0，

則有(?1)+12=1a(?1)×12=?ca，解可得a=?2c=?1，

5.B

【解析】解：a，b為互不相等的正實數(shù)，則1a+1b>2ab，2a+b<22ab=16.D

【解析】解：方程x2?3x+2=0的根為x=1或x=2，即M={1,2}，

若M∪N=M，則N?M，

當N=?時，有Δ=a2?4(3a?5)<0，解得2<a<10；

當N={1}時，有Δ=a2?4(3a?5)=01?a+3a?5=0，解得a=2；

當N={2}時，有Δ=a2?4(3a?5)=04?2a+3a?5=0，方程組無解；

當N={1,2}時，有a=33a?5=2，方程組無解；

綜上可得，實數(shù)a的取值集合為{a|2≤a<10}．

故選：7.C

【解析】解：設(shè)原來手機屏幕面積為b，整機面積為a，則屏占比=ba(a>b)，

設(shè)手機的屏幕面積和整機面積同時增加相同的數(shù)量為m(0<m<1)，

升級后屏占比=b+ma+m，

∵a>b，∴b+ma+m?ba=ab+am?ab?bma(a+m)=(a?b)ma(a+m)>0，

即該手機“屏占比”和升級前比變大．

8.B

【解析】解：因為?x∈[1,3]，x2?ax+4<0，所以當x∈[1,3]時，a>(x+4x)min，

因為x+4x≥2x?4x=4，當且僅當x=4x，即x=2時，等號成立，

所以a>4是p的充要條件，因為a>4?a>3，但a>3不能推出a>4，

所以9.AC

【解析】解：對于A，由已知條件得a>b且?d>?c，相加得a?d>b?c，故A正確，

對于B，當a=?1，b=?2，c=2，d=1時ac>bd不成立，故B錯誤，

對于C，因為a>b，c2>0，所以ac2>bc2，故C正確，

對于D，ad?bc=ac?bdcd，當a=?1，b=?2，c=2，10.BC

【解析】解：函數(shù)f(x)=x2?2x+m，圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為x=1，

當x=1時，f(x)取最小值，

不等式x2?2x+m≤0的解集中恰有3個整數(shù)，這3個整數(shù)為0，1，2，

所以f(0)=m≤0f(?1)=1+2+m>0，解得?3<m≤0，實數(shù)m的取值范圍是(?3,0]．

故選：BC．

結(jié)合函數(shù)f(x)=x2?2x+m11.ABD

【解析】解：對于A，因為16=ab+2a+b≥ab+22ab，當且僅當2a=b時取等號，

即ab+22ab?16≤0，當且僅當2a=b時取等號，

解得?42≤ab≤22，當且僅當2a=b時取等號，

又因為a，b為正實數(shù)，所以0<ab≤8，

故ab的最大值為8，當且僅當2a=b時取等號，故選項A正確；

對于B，由16=ab+2a+b得：b=16?2aa+1=18a+1?2，

所以2a+b=2a+16?2aa+1=2(a+1)+18a+1?4≥22(a+1)×18a+1?4=8，

當且僅當2(a+1)=18a+1，即a=2時取等號，此時取得最小值8，故選項B正確；

對于C，a+b=a+1812.4

【解析】解：∵集合B={x∈N|x<3}，

∴B={0,1,2}，

若集合A={1}，且A?P?B，

則P={1}，{0,1}，{1,2}，{0,1,2}共4個，

故答案為：4．

根據(jù)集合的包含關(guān)系，求出滿足條件的集合P即可．

本題考查了集合的表示，子集的定義，屬于基礎(chǔ)題．13.18

【解析】解：贊成A的人數(shù)是40×35=24人，贊成B的人數(shù)為24+3=27人，

設(shè)對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)為x，則對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)為13x+1，

設(shè)40名學(xué)生組成的集合為U，贊成A的學(xué)生全體為集合A，贊成集合B的學(xué)生全體為集合B，

作出韋恩圖得：

由韋恩圖得：13x+1+24?x+x+27?x=40，解得x=18．

故答案為：18．

贊成A的人數(shù)是24人，贊成B的人數(shù)為27人，設(shè)對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)為x，則對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)為13x+1，設(shè)40名學(xué)生組成的集合為U，贊成A的學(xué)生全體為集合14.(0,1)

2

【解析】解：令ba=t(t>0)，有a2?a2?t2=2，則a2=21?t2>0，

得到1?t2>0，解得0<t<1，所以ba的取值范圍為(0,1)，

令z=12a2+2ba=a2?b24a2+2ba15.解：(1)不等式1x?3<?1，即x?2x?3<0，解得2<x<3，所以A={x|2<x<3}，

不等式x?(a2+2)x?a<0，由a2+2?a=(a?12)2+74>0恒成立，所以a2+2>a，

故解集為{x|a<x<a2+2}，即B={x|a<x<a2+2}，

若A∩B=?，則有a≥3或a2+2≤2，解得解集為M={a|a=0或a≥3}，

因為A∩B≠?，所以a的取值范圍是?UM={a|a<0或0<a<3}．【解析】(1)解出兩個集合中的不等式，得到這兩個集合，由A∩B≠?，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)依題意有A?B，列不等式求實數(shù)a的取值范圍．

本題主要考查分式不等式的解法，集合的交集運算，充分必要條件的定義，考查運算求解能力，屬于中檔題．16.解：(1)因為(m+1)x2?2mx+m?1≥0，

當m+1=0時，即m=?1時，原不等式可化為2x?2≥0，解得x≥1，

所以原不等式的解集為[1,+∞)；

當m+1≠0時，即m=?1時，原不等式可化為[(m+1)x?(m?1)](x?1)≥0，

當m+1>0時，即m>?1時，(x?m?1m+1)(x?1)≥0，

因為m?1m+1=1?2m+1<1，所以原不等式的解集為(?∞,m?1m+1]∪[1,+∞)；

當m+1<0時，即m<?1時，(x?m?1m+1)(x?1)≤0，

因為m?1m+1=1?2m+1>1，所以原不等式的解集為[1,m?1m+1]；

(2)因為(m+1)x2?(m?1)x+m?1≥0，

即m?(x2?x+1)≥?x2?x+1，

因為x2?x+1=(x?12)2【解析】(1)對不同參數(shù)范圍進行討論，求解不等式即可．

(2)利用分離參數(shù)法結(jié)合換元法對函數(shù)進行化簡，再利用基本不等式求解范圍即可．

本題考查了函數(shù)與不等式的應(yīng)用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．17.解：∵窗框的用料是am，

∴假設(shè)AD=2x，AB=a?πx?4x2，

∴窗子的面積為：S=2x?a?πx?4x2+12πx2=(?π2?4)x2+ax，【解析】根據(jù)窗戶面積為：一個矩形的面積+半圓的面積，分別表示出利用二次函數(shù)最值求法得出邊長即可．

本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及圓的面積和二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了計算能力，屬于中檔題．18.解

設(shè)|DA|=x(千米)，鐵路噸千米運費為3a，公路噸千米運費為5a，從B到C的總運費為y，則依題意，得y=3a(100?x)+5a400+x2,x∈(0,100)．

令y=at，則有t+3x=5400+x2(1)．

平方，整理得16x2?6tx+10000?t2=0

由Δ=36t2?4×16(10000?t2)≥0，得|t|≥80．

∵t>0，∴t≥80【解析】據(jù)題設(shè)知，單位距離的公路運費大于鐵路運費，又知|BD|+|DC|≤|BA|+|AC|，因此只有點D選在線段BA上某一適當位置，才能使總運費最?。粼O(shè)D點距A點x千米，從B到C的總運費為y，建立y與x的函數(shù)，則通過函數(shù)y=f(x)的最小值，可確定點D的位置．

本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，屬于中檔題．19.解：(1)A={x|x2?x?6<0}={x|(x+2)(x?3)<0}={x|?2<x<3}，

B={x|x2+2x?8>0}={x|(x+4)(x?2)>0}={x|x<?4或x>2}，

則A∩B={x|2<x<3}；

C={x|x2?4tx+3t2<0}={x|(x?t)(x?3t)<0}，

因為(A∩B)?C，

當t=0時，C=?，不合題意，舍去；

當t<0時，C={x|3t<x<t}，不合題意，舍去；

當t>0時，C={x|t<x<3t}，由(A∩B)?C可得{x|t≤2且3t≥3，解得1≤t≤2，

綜上所述，實數(shù)t的取值范圍為{t|1≤t≤2}；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+(m?1)x+1，

①若x2+(m?1)x+1=0有唯一實數(shù)解時，Δ=(m?1)2?4=0，

即m2?2m?3=(m?3)(m+1)=0，解得m=?1或m=3，

當m=?1時，原方程可化為x2?2x+1=(x?1)2=0，解得x=1，符合題意；

當m=3時，原不等式可化為x2+2x+1=(x+1)2=0，解得x=?1，不合題