七年級數(shù)學(xué)下冊巧用平方根的概念解決相關(guān)題目（解析版）

第05講巧用平方根的概念解決相關(guān)題目

類型一：巧用非負(fù)性求值

類型二：巧用正數(shù)的兩個(gè)平方根的關(guān)系求值

類型三：巧用算術(shù)平方根的最小值求值

類型四：巧用平方根的定義解方程

【類型一：巧用非負(fù)性求值】

1.（2023秋景姚市期中）已知后4+（n+9）2=o,則1的值是（）

m

A.9B..J.C.2D.N

4422

【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：.??V^+（n+9）2=0，

/.m-4=0,n+9=0,

解得m=4,n=-9,

.n_-9_

m44

故選：B.

2.（2023春扉云縣期末）已知仁歷+b-11=0.那么（a+b）2023的值為（）

A.-1B.1C.32023D.-32023

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值的非負(fù)性，求出a、b的值，再代入計(jì)算即可.

【解答】解：運(yùn)+|b-l|=0.

/.a+2=0,b-1=0,

即a=-2,b=l,

.?.（a+b）2023=（-2+1）2023=-1,

故選：A.

3.（2023春至華區(qū)校級期中）已知x,y滿足正工+（y+1）2=0,那么x-y的平方根是（）

A.±73B.5/3C.1D.±1

【分析】利用算術(shù)平方根的定義以及偶次方的性質(zhì)得出x,y的值，再利用平方根的定義求出答案.

【解答】解：y滿足Vx-2+（y+l）2=0,

「?x=2,y=-1,

x-y—2-（-1）—3,

，x-y的平方根是：

故選：A.

4.（2023秋區(qū)東區(qū)期中）GI+|b+2|=0,則J（a+b）2的值是（）

A.0B.2018C.-1D.1

【分析】直接利用絕對值以及算術(shù)平方根的性質(zhì)得出a,b的值，代入計(jì)算得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意得a-1=0,b+2=0,

解得:a=l,b=-2,

則Y（a+b）2=｛（1-2）2=1.

故選：D.

5.（2023春至崗區(qū)月考）已知（4-a）2與后j互為相反數(shù)，則a-b的平方根是（）

A.V5B.V3C.±V5D.土6

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、偶次方的非負(fù)性求出a、b的值，再求出a-b的值，由平方根的定義進(jìn)行計(jì)

算即可.

【解答】解：由題意得，（4-a）2+J而=0,而（4-a）22o,

.*.4-a=0,b+l=0,

解得a=4,b=-1,

??a—b==5,

a-b的平方根是±

故選：C.

6.(2022秋E龍坡區(qū)期末)已知a、b、c都是實(shí)數(shù)，若互+|2b」|+(c+2a)2=0，則①J的值等

2a+4b

于()

A.1B.-2C.2D.-2

3

【分析】先根據(jù)平方，絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出a,b,c的值，再將a,b,c代入卓-中即可

a+4b

求解.

【解答】解：：Va-2+|2b|+(c+2a)2=0，

7a~2>0,i>_|^0,(c+2a)2》o,

.'.a-2—0,2b--=0,c+2a=0,

2

：.a=2,b—―■c=-4,

4t

.a-c_2-(-4)_2+4=2

a+4b2+4x]2+1

4

故選：C.

7.(2023春亥罕區(qū)期中)已知則a2+b2的值為()

A.2B.V2C.1或-1D.1

【分析】由已知得Wl-b2=l-bAl-a2,兩邊平方整理可得(l-a2-b2)2=0,從而可選出正確答案.

【解答】解：aVl-b2=l-bVl-a2'

則兩邊平方得a?(i-2)=l+b2(l-a2)-2bVl-a2>

整理得2bVl-a2=1+b2-a2，

兩邊平方得4b2(1-a2)=(1+b2-a2)2=(1-a2)2+2b2(1-a2)+b4,

所以(1-a2)2-2b2(1-a2)+b4=0,即(1-a2-b2)2=0,

所以1-a2-b2=0,即a2+b2=i,

故選：D.

8.(2023春山區(qū)校級月考)Va-b-3+l2a-41=0，貝Ua+b=()

A.a+b=-1B.a+b=lC.a+b=2D.a+b=3

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性，可得a-b-3=0,2a-4=0,從而得到a=2,b=-l,即

可求解.

【解答】解：vVa-b-3+l2a-4I=0,Va-b-3>0,|2a-4|>0,

/.Va-b-3=0,|2a-4|=0,

.,.a-b-3=0,2a-4=0,

解得：a=2,b=-1,

/.a+b=l.

故選：B.

【類型二：巧用正數(shù)的兩個(gè)平方根的關(guān)系求值】

9.(2023秋里陽區(qū)校級月考)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2a-3和5-a,則這個(gè)數(shù)是()

A.49B.25C.16D.7

【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)得出2a-3+5-a=0,求出a的值，即可求出

這個(gè)數(shù).

【解答】解：由題意得，2a-3+5-a=0,

解得a=-2,

/.5-a=5-(-2)=7,2a-3=2X(-2)-3=-7,

(±7)2=49,

即這個(gè)數(shù)是49,

故選：A.

10.（2023春/'江區(qū)校級期末）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是3m+1與2m-6,則m的值是（）

A.-7B.-4C.1D.16

【分析】根據(jù)平方根的定義得出3m+l+2m-6=0,再進(jìn)行求解即可得出答案.

【解答】解：..,一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是3m+l與2m-6,

3m+l+2m-6—0,

??m=1；

故選：C.

11.（2023秋宣武區(qū)校級期中）若一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是2a-2和-a+3,則a=-1,這個(gè)正數(shù)是

16.

【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)即可求得a的值，然后根據(jù)平方根的定義即可求得這個(gè)正數(shù)的值.

【解答】解：:一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根是2a-2和-a+3,

2a-2-a+3—0,

解得：a=-1,

貝U-a+3=1+3=4,

那么這個(gè)正數(shù)是16,

故答案為：-1;16.

12.（2023春百通期末）已知正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根是a和a+b,若2a2x+（a+b）2X=27,貝Ux=3.

【分析】一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可得乂=@2=（a+b）2,然后將其代入2a2x+（a+b）2X

=27中，利用平方根的定義計(jì)算后根據(jù)題意確定x的值即可.

【解答】解：?..正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根是a和a+b,

/.x=a2=(a+b)2,

2a2x+(a+b)2x=27,

2xB~x區(qū)=27,

即3x2=27,

則x2=9,

:X為正實(shí)數(shù)，

/.x=3,

故答案為：3.

13.(2023秋M和區(qū)期中)若yjaT=2,正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是2c-1和-c+2,求2a+b+c平方根.

【分析】由于一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，得：2c-l和-c+2=0.解方程即可求出c,然后即可

求b,根據(jù)算術(shù)平方根的定義可求a,再代入計(jì)算可求2a+b+c平方根.

【解答】解：..?正數(shù)b的兩個(gè)平方根分別是2c-l和-c+2,

/.2c-1-c+2=0,解得c=-1,

，b=(-2-1)2=9,

?Va-l=2,

解得a=5,

???2a+b+c=10+9-1=18,

.'.18的平方根是±3&.

14.(2023春藩蘭店區(qū)期中)一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是2a-1與-a+2,求a的值和這個(gè)正數(shù)x的值.

【分析】正數(shù)x有兩個(gè)平方根，分別是-a+2與2a-11,所以-a+2與2a-1互為相反數(shù)；即-a+2+2a

-1=0解答可求出a；根據(jù)x=(-a+2)2,代入可求出x的值.

【解答】解：:正數(shù)x有兩個(gè)平方根，分別是-a+2與2a-1,

/.一a+2+2a-1=0

解得a=-1.

所以x=(-a+2)2=(1+2)2=9.

15.(2023秋西汾月考)若實(shí)數(shù)b的兩個(gè)不同平方根是2a-3和3a-7,求5a-b的平方根.

【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行解題即可.

【解答】解：由題意得(2a-3)+(3a-7)=0,

解得a=2,

：.b=(2a-3)2=1,

5a-b=9.

5a-b的平方根為±3.

16.(2023春速陽區(qū)期末)已知正實(shí)數(shù)x的兩個(gè)平方根分別為a和a+b.

(1)若a=-2,求b和x的值；

(2)若b=6時(shí)，求a和x的值；

(3)若a2x+(a+b)2X=8,求x的值.

【分析】(1)根據(jù)平方根的定義及性質(zhì)即可求得b的值和x的值；

(2)根據(jù)平方根的定義及性質(zhì)即可求得a的值和x的值；

(3)根據(jù)平方根的定義將原式進(jìn)行變形后解方程，然后結(jié)合已知條件確定x的值即可.

【解答】解：(1)I,正實(shí)數(shù)x的平方根分別為a和a+b,

a+a+b=0,

即2a+b=0,

Va=-2,

.,.b=4,x=(-2)2=4；

(2)?/2a+b=0,b=6,

2a+6=0,

解得：a=-3,

.*.x=(-3)2=9；

（3）二,正實(shí)數(shù)x的平方根分別為a和a+b,

.'.x=a2=（a+b）2,

'/a2x+（a+b）2x=8,

.??X2+X2=8,

即2x2=8,

解得：x=±2,

?「x為正實(shí)數(shù),

.,.x=2.

【類型三：巧用算術(shù)平方根的最小值求值】

17.（2023毒玉縣一模）當(dāng)x=4時(shí),式子3+JT4有最小值，且最小值是3.

【分析】先根據(jù)二次根式非負(fù)的性質(zhì)求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解答】解：

...當(dāng)X-4=0時(shí)，3+77城會有最小值，

/.當(dāng)x=4時(shí)，3W7工會有最小值，且最小值是3.

故答案為：4,3.

18.（2023春藤湖區(qū)校級期中）已知y=-9+J13-X，當(dāng)x=13時(shí),y的最小值=-9

【分析】由算術(shù)平方根的非負(fù)性求解即可.

【解答】解：VV13-X>0,

,當(dāng)X=13時(shí)，A/13-X有最小值是0,

.,.當(dāng)x=13時(shí)，y有最小值，最小值為-9+0=-9,

故答案為：13；-9.

19.（2023春國陽區(qū)期末）已知（12-m是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（）

A.2B.3C.8D.11

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得被開方數(shù)是9,進(jìn)而求出答案.

【解答】解：若：12-m是整數(shù),則自然數(shù)m的最小值是3,

故選：B.

20.（2023春^淀區(qū)校級期中）關(guān)于式子m2+l（m為實(shí)數(shù)），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.式子m2+l定有平方根

B.當(dāng)m=0時(shí)，式子m2+l有最小值

C.無論m為何值，式子m2+l的值一定是有理數(shù)

D.式子m2+l的算術(shù)平方根一定大于等于1

【分析】分別根據(jù)平方根有意義的條件，最小值，無理數(shù)的意義及算術(shù)平方根的意義判斷求解.

【解答】解：：m2+l（m為實(shí)數(shù)）21,

.,.A：m2+l定有平方根,

B：當(dāng)m=0時(shí)，m2+l有最小值1,

D：m2+l的算術(shù)平方根大于等于1,

C：當(dāng)m="時(shí)，m2+l是無理數(shù)，

故選：C.

21.（2023春雎北月考）當(dāng)a取什么值時(shí)，,2a+l+1的值最??？請求出這個(gè)最小值.

【分析】根據(jù)寂2a+l川,即可求得a的值，以及所求式子的最小值.

【解答】解：,.?收+1

???當(dāng)a=-￡時(shí)，：2a+l有最小值,是0.

則。2a+l+1的最小值是1.

【類型四：巧用平方根的定義解方程】

(2023秋永修縣期中)已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不相等的平方根是a+5與2a-11.

(1)求a及m的值；

(2)求關(guān)于x的方程ax2-16=0的解.

【分析】(1)根據(jù)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)解答；

(2)根據(jù)平方根的定義解方程即可.

【解答】解：(1)由題意得：a+5+2a-11=0,

解得：a=2,

二m=(a+5)2=49；

(2)原方程為：2x2-16=0,

二x2=8,

解得：X=±2&.

23.(2023春蹶野區(qū)校級期中)解方程：

(1)16x2=49；

(2)(x-2)2=64.

【分析】(1)(2)如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，由此即可求解.

【解答】解：(1)16x2=49,

(2)(x-2)2=64,

；.x-2=±8,

.'.x=10或x=-6.

24.(2023春國和縣期中)解方程:

)252-49=0；

(2)2(x+1)2-49=l.

【分析】(1)利用一元二次方程的解法求解即可;

(2)把(x+1)看作一個(gè)整體，求解即可.

【解答】解：(1)25x2-49=0,

.77

*2=萬；

(2)2(x+1)2-49=1,

化為：(x+1)2=25,

.,.x+1=±5,

X!=4,電=-6.

25.(2023春澄海區(qū)期末)已知|2i+b-4|與叱先+12互為相反數(shù).

(1)求5a-4b的平方根；

(2)解關(guān)于x的方程ax2+5b-5=0.

【分析】(1)依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，然后再求得5a-4b的值，最后依據(jù)平方根的定義求

解即可；

(2)將a、b的值代人得到關(guān)于x的方程，然后解方程即可.

【解答】解：(1)由題意，得|2a+b-4IW3b+12=0,

.\2a+b-4=0,3b+12=0,

解得：a=4,b=-4,

.\5a-4b=5X4-4X(-4)=36,

~4b的平方根為±6；

（2）將a=4,b=-4代入ax2+5b-5=0,

得4x2-25=0,

解得：x=±*^".

26.（2023春鄱陽縣期末）已知a、b滿足j2a+10+II=0＞解關(guān)于x的方程（a+4）x+b2=a-1.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，然后代入代數(shù)式得到關(guān)于x的一元一次方程，求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意得，2a+10=0,b-V5=0,

解得a=-5,b=遙，

所以，方程為（-5+4）x+5=-5-l,

即-x+5=-6,

解得x=ll.

27.（2023春沃河區(qū)期中）已知一個(gè)正數(shù)的平方根是a+6與2a-9,

（1）求a的值；

（2）求關(guān)于x的方程ax3-64=0的解.

【分析】（1）根據(jù)平方根的定義可求出a的值；