函數(shù)的奇偶性2

5.4函數(shù)的奇偶性【考點梳理】考點一：函數(shù)奇偶性的幾何特征一般地，圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)稱為奇函數(shù)．考點二：函數(shù)奇偶性的定義1．偶函數(shù)：函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．2．奇函數(shù)：函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．考點三：奇(偶)函數(shù)的定義域特征奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．重難點：奇偶性的應(yīng)用考點四：用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個區(qū)間[a，b]上的解析式，想求關(guān)于原點的對稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為：(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．考點五：奇偶性與單調(diào)性若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調(diào)性；若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調(diào)性．【題型歸納】題型一：函數(shù)奇偶函數(shù)的判斷1．（2022秋·江蘇南京·高一?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，既是奇函數(shù)，又在上為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義和基本函數(shù)的單調(diào)性逐個分析判斷【詳解】對于A，的定義域為，因為定義域不關(guān)于原點對稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以A錯誤，對于B，的定義域為，因為，所以此函數(shù)為奇函數(shù)，因為在上為增函數(shù)，所以B正確，對于C，在上為減函數(shù)，所以C錯誤，對于D，的定義域為，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，所以D錯誤，故選：B2．（2022·江蘇·高一宿遷中學(xué)?？计谥校┫铝兴膫€函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義及函數(shù)在上單調(diào)遞減，逐一判斷即可．【詳解】對于A，，，，所以為偶函數(shù)；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不符題意；對于B，，定義域為，，為奇函數(shù)，不符題意；對于C，，，，所以為偶函數(shù)；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不符題意；對于D，，定義域為，，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，符合題意．故選：D．3．（2023·高一課時練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)奇函數(shù)(2)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)(4)偶函數(shù)【分析】由奇偶性的定義對各個題一一判斷即可得出答案.【詳解】（1）的定義域是，關(guān)于原點對稱，又，所以是奇函數(shù)．（2）因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（3）因為的定義域為，所以，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．（4）方法一（定義法）

因為函數(shù)的定義域為R，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．①當(dāng)x＞1時，，所以；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，，所以．綜上，可知函數(shù)為偶函數(shù)．方法二（圖象法）

作出函數(shù)的圖象，如圖所示，易知函數(shù)為偶函數(shù)．題型二：利用奇偶性求函數(shù)的解析式4．（2022秋·江蘇南京·高一南京市雨花臺中學(xué)校考期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則時，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用偶函數(shù)將的情況轉(zhuǎn)化為的情形，代入解析式即可.【詳解】當(dāng)時，，則

①又因為是定義在上的偶函數(shù)，所以②所以由①②得：當(dāng)時，.故選：A.5．（2022秋·江蘇揚州·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)及得出，把轉(zhuǎn)化為，根據(jù)所給解析式可求結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，因為，所以，當(dāng)時，；因為當(dāng)時，，所以所以.故選：D.6．（2022秋·江蘇常州·高一常州高級中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的解析式；(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).【答案】(1)時，(2)見解析【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及已知區(qū)間上的解析式即可求解，（2）由單調(diào)性的定義即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，則，所以，由于是偶函數(shù)，故，故時，（2）任取，且，所以，由于，所以，故，即，所以在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù).題型三：抽象函數(shù)的奇偶性問題7．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，得到，解得，結(jié)合函數(shù)奇偶性得到在上單調(diào)遞減，從而列出不等式，求出不等式的解集.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，解得：，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，故，解①得：或，解②得：，故故選：C8．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，若實數(shù)滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得，由此可求得的取值范圍.【詳解】解：由題意得∵奇函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增∴在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．若實數(shù)滿足，即故有，解得，所以的取值范圍為.故選：D9．（2021·高一單元測試）已知函數(shù)對于任意、，總有，且當(dāng)時，，若已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，分析出函數(shù)為上的增函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出，即可求得原不等式的解集.【詳解】令，則，對任意的、，總有，則，令，可得，可得，令時，則由，即，當(dāng)時，，即，任取、且，則，即，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，由，可得，即，所以，，所以，，解得.因此，不等式的解集為.故選：A.題型四：奇偶性函數(shù)的應(yīng)用10．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，考慮和兩種情況，將問題轉(zhuǎn)化為或，再根據(jù)函數(shù)值結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.【詳解】函數(shù)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，由，即，得到或（舍棄），所以，當(dāng)時，由，即，得到，所以，綜上所述，或，故選：B.11．（2022秋·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，得到在上單調(diào)遞增，且求解.【詳解】解：因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，所以不等式的則不等式解集為.故選：A12．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于對稱，從而可得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性解不等式即可.【詳解】解：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于對稱，則，因為在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由不等式，得或，解得或，所以不等式的解集為.故選：C.題型五：奇偶性求解不等式問題13．（2022秋·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，再根據(jù)不等式，分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式組，最后求并集得結(jié)果．【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以在上也是單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以由，可得或，即或，解得，得的取值范圍為.故選：A．14．（2022秋·江蘇南京·高一南京市雨花臺中學(xué)?？计谥校┒x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得在上單調(diào)遞減，在上是減函數(shù)，且，再討論和，可得不等式的解集.【詳解】由定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得在上是減函數(shù)；又，不等式，等價為或，所以時，即有，解得；時，即有，解得；綜上可得的解集為.故選：C.15．（2022秋·江蘇常州·高一華羅庚中學(xué)?？计谥校┡己瘮?shù)的定義域為，且對于任意，均有成立，若，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由，得，將兩邊平方，解得即可.【詳解】解：偶函數(shù)的定義域為，且對于任意均有成立，所以在單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，因為，所以，所以，化簡得，解得或，即.故選：B.題型六：奇偶性的對稱問題16．（2022秋·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則方程的所有根之和等于（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到關(guān)于對稱，即，從而得到，再解方程即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，即.當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以.因為，所以或，解得，，，，所以.故選：A17．（2022秋·江蘇宿遷·高一?？计谥校┖瘮?shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，且，當(dāng)x[0，1]時.若，則=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得的圖像關(guān)于直線對稱，從而得到，然后由，可得函數(shù)為周期函數(shù)，在中令，結(jié)合條件求出，再由周期性可得答案【詳解】由為偶函數(shù)，則，所以的圖像關(guān)于直線對稱所以由，令，可得，所以，則，即由，令，可得，又，所以所以，則，由的圖像關(guān)于直線對稱，則故選：C18．（2019秋·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱，且在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減.，由函數(shù)的單調(diào)性即可比較函數(shù)值的大小.【詳解】因為函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱，又因為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減.因為，，所以，即，故選：B.題型七：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解綜合問題19．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果；（2）由（1）得到，再求的值域，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，得到，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故實數(shù)的值為.（2）由（1）知，，當(dāng)時，，又的對稱軸為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，又的對稱軸為，所以當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，故不等式恒成立時，，所以實數(shù)的取值范圍20．（2022秋·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且(1)確定函數(shù)的解析式；(2)用定義證明在上單調(diào)遞減;(3)求函數(shù)在的值域.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到方程，求出，再根據(jù)求出a，即得到解析式；（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟，取值，作差，判號，下結(jié)論；（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得為在為減函數(shù)，利用單調(diào)性求值域.【詳解】（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，整理得，即，所以，又因為，解得，所以.（2）對，且，則∵，則，∴，即，故在上單調(diào)遞減.（3）∵函數(shù)為奇函數(shù)且在為減函數(shù)，則函數(shù)為在為減函數(shù)，∴函數(shù)在為減函數(shù)，且，故函數(shù)在的值域為.21．（2022秋·江蘇常州·高一?？计谀┮阎x在上的函數(shù)恒有，當(dāng)時，，且.(1)判斷的奇偶性；(2)若對所有的恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)(2)【分析】（1）由賦值法與奇偶性的定義判斷，（2）先判斷的單調(diào)性，然后轉(zhuǎn)化為最值問題列式求解，【詳解】（1）取，得解得，取，得，所以為奇函數(shù)（2）任取且，則，因為當(dāng)時，，所以，所以，又因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以是定義在上的減函數(shù)，所以在上的最大值為，由題意得，即對所有的恒成立，令則，解得或，故的取值范圍為【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)）設(shè)函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和充要條件的定義，分析可得結(jié)論．【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，則，即函數(shù)為偶函數(shù)；若函數(shù))為偶函數(shù)，則，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)是為偶函數(shù)的充分必要條件，故選：A．23．（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）對于定義在上的函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．若，則函數(shù)是增函數(shù)B．若，則函數(shù)不是減函數(shù)C．若，則函數(shù)是偶函數(shù)D．若，則函數(shù)不是奇函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】函數(shù)單調(diào)遞增，需要變量大小關(guān)系恒成立，故A錯誤，若，則函數(shù)一定不是減函數(shù)，故B正確，若恒成立，則是偶函數(shù)，故C錯誤，當(dāng)時，也有可能是奇函數(shù)，故D錯誤，故選：B．24．（2023秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得的值，從而確定函數(shù)解析式，即可求得的值.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，且，故，所以，所以，則.故選：B.25．（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法及奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由，解得，所以函數(shù)的定義域為，所以，所以為奇函數(shù)，排除A；當(dāng)時，，排除D；當(dāng)時，，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）即，排除B；所以C正確.故選：C.26．（2023秋·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？计谀┒x在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先得到在時大于0和小于0的取值區(qū)間,再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到在定義域內(nèi)的取值情況，然后根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則得到平移后大于0和小于0的取值區(qū)間，最后分類討論和時滿足的區(qū)間即可.【詳解】當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其中故當(dāng)時，的區(qū)間為，的區(qū)間為因為為偶函數(shù)，所以的區(qū)間為，，的區(qū)間為，故的區(qū)間為，，的區(qū)間為當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即故選：A27．（2023秋·江蘇連云港·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，若對任意的實數(shù)x，恒有成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先令，然后判斷的奇偶性和單調(diào)性，然后將原不等式轉(zhuǎn)化為，再利用的奇偶性和單調(diào)性得對于任意的實數(shù)恒成立，最后解二次函數(shù)恒成立問題即可.【詳解】令，由于，所以得為奇函數(shù).又因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.已知對于任意的實數(shù)，恒有，整理得：，即，由于為奇函數(shù)，得，由于在上單調(diào)遞減，得對于任意的實數(shù)恒成立，即對于任意的實數(shù)恒成立.當(dāng)時，不恒成立，故，當(dāng)時，有，解得.故選：C28．（2022秋·江蘇連云港·高一期末）已知a∈R，函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷的奇偶性并證明；(3)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并證明．【答案】(1)2；(2)奇函數(shù)，證明見解析；(3)減函數(shù)，證明見解析.【分析】（1）把給定點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出a值作答.（2）利用奇函數(shù)定義推理判斷作答.（3）利用函數(shù)式判斷單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性定義推理作答.【詳解】（1）因函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，解得，所以實數(shù)a的值2.（2）由（1）知，，函數(shù)定義域為，是奇函數(shù)，，所以函數(shù)是奇函數(shù).（3）函數(shù)在上是減函數(shù)，，，因，則，，因此，即，所以函數(shù)在上是減函數(shù).29．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在區(qū)間上是單調(diào)遞增；(2)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)證明見解析.(2)或【分析】（1）由奇函數(shù)的定義得a的值，結(jié)合單調(diào)性的定義：任取→作差→變形→斷號→寫結(jié)論可證得結(jié)果.（2）由題意知：，再由的單調(diào)性求得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求關(guān)于m的一元二次不等式.【詳解】（1）∵為奇函數(shù)，定義域為∴∴即：∴∴證明：設(shè)，，則∵∴，∴，即：∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）∵對任意的，不等式恒成立，∴∵由（1）知：在區(qū)間上單調(diào)遞增∴在區(qū)間上單調(diào)遞增∴∴，即：解得：或.【高分突破】一、單選題30．（2022秋·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由解析式確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，并對函數(shù)式變形，然后利用性質(zhì)化簡不等式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，從而得參數(shù)范圍．【詳解】首先，為偶函數(shù)，時，是增函數(shù)，，因此不等式先化為，是偶函數(shù)，則有，又時，是增函數(shù)，因此，，，因此有，，，所以對恒成立，（時取等號），（時等號成立），所以．故選：D．31．（2022秋·江蘇蘇州·高一蘇州中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意的，成立，當(dāng)時，，若對任意的，都有，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)在區(qū)間、上的值域，然后在時解不等式，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得實數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】令，其中，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，由可得或，當(dāng)時，，由可得，解得.故選：A.32．（2022秋·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？计谥校┤羰瞧婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將所求不等式轉(zhuǎn)化為且；根據(jù)奇偶性和已知區(qū)間單調(diào)性可求得且在上是增函數(shù)，利用單調(diào)性可解得不等式的解集.【詳解】由得：且；為奇函數(shù)，，又在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時，；的解集為.故選：B.33．（2022秋·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期中）已知f（x）為偶函數(shù)，且函數(shù)g（x）＝xf（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，則不等式（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0的解集為（）A．（﹣∞，） B．（﹣∞，1） C．（，+∞） D．（1，+∞）【答案】B【分析】由已知得到函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，將不等式整理為，從而利用g（x）的單調(diào)性解不等式.【詳解】f（x）為偶函數(shù)，g（x）＝xf（x）為奇函數(shù)，又g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）在R上單調(diào)遞減.∴由（1﹣2x）f（2x﹣1）+xf（x）＜0，得（1﹣2x）f（1﹣2x）+xf（x）＜0.∴g（1﹣2x）十g（x）＜0，∴g（1﹣2x）＜﹣g（x）＝g（﹣x），∴1﹣2x＞﹣x，解得x＜1，即x∈（﹣∞，1）.故選：B.34．（2022秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知定義在的函數(shù)是奇函數(shù)，且對任意兩個不相等的實數(shù)，都有.則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得到，確定函數(shù)的定義域和單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域得到答案.【詳解】時，，是奇函數(shù)，故，函數(shù)關(guān)于點中心對稱，取得到得到.，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)中心對稱知函數(shù)在上單調(diào)遞減.，即，故，故，解得；考慮定義域：，解得.綜上所述：故選：B二、多選題35．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，則（

）A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)D．不具有奇偶性，且在區(qū)間上的單調(diào)性不確定【答案】ABD【分析】對于A，若，根據(jù)偶函數(shù)的圖像性質(zhì)推出矛盾即可；對于B，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的性質(zhì)結(jié)合已知條件即可判斷；對于C，舉出反例即可；對于D，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義和單調(diào)性的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對于A，若，因為為偶函數(shù)，則函數(shù)在和上的單調(diào)性相反，與函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)矛盾，所以，故A正確；對于B，因為函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的性質(zhì)，則在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，故B正確；對于C，令，則在上為減函數(shù)，故C錯誤；對于D，設(shè)，其定義域為，由題意得，則，所以不具有奇偶性.因為在上是增函數(shù)，而在區(qū)間上都是增函數(shù)，則在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上的單調(diào)性不確定，故D正確；故選:ABD.36．（2023秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的函數(shù)，且對于任意實數(shù)恒有．當(dāng)時，．則（

）A．為奇函數(shù)B．在上的解析式為C．的值域為D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，分析可得區(qū)間上，的解析式，再分析函數(shù)的周期性，可得的圖象關(guān)于原點對稱，由此分析選項是否正確，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，時，，因為時，，所以，又由，則，即，，若，則，，若，則，，故在區(qū)間上，所以關(guān)于原點對稱，又由，則，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點對稱，由此分析選項：對于A，的圖象關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，故A正確；對于B，當(dāng)時，則，則，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，則，故B正確；對于C，在區(qū)間上，，則，，所以，故的值域一定不是，故C錯誤；對于D，因為時，，所以，，又，則，則有，，故，所以，故D正確；故選：ABD．37．（2023春·江蘇泰州·高一靖江高級中學(xué)校考階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)滿足，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時,,則（

）A．的圖像關(guān)于點對稱B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的值域為D．的實數(shù)根個數(shù)為6【答案】BC【分析】由得的最小正周期為4，為偶函數(shù)得的圖像關(guān)于直線對稱，借助的解析式可畫出對應(yīng)圖像，進(jìn)而對選項逐一辨析即可.，【詳解】是定義在R上的函數(shù),，即，即的最小正周期為4.又為偶函數(shù)，可得，即的圖像關(guān)于直線對稱，又的對稱軸為，在上，時取得最大值1，或時取得最小值，則的值域為，故C正確;由，即，則的圖像不關(guān)于點對稱，故錯誤;由，而關(guān)于對稱且最小正周期為4，則也是對稱軸，故B正確；的實數(shù)根個數(shù)等價為與的交點個數(shù),由在的圖像向右平移4個單位可得在的圖像，得，由可得，解得或,即有直線與在有兩個交點,畫出的圖像和直線可得它們有7個交點,所以的實數(shù)根個數(shù)為7，故D錯誤.故選：BC.38．（2022秋·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學(xué)校考期中）給出定義：若，則稱為離實數(shù)最近的整數(shù)，記作.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個結(jié)論，其中正確的是（

）A．函數(shù)值域為B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【分析】根據(jù)的定義，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判定即可.【詳解】根據(jù)的定義知函數(shù)的定義域為,又，則即所以故函數(shù)值域為，正確；函數(shù)的圖象如下圖所示，有圖可知函數(shù)是偶函數(shù)，正確；函數(shù)在上有增有減，錯誤；由圖可知的圖象關(guān)于對稱，正確.故選：三、填空題39．（2023秋·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？计谀┮阎x在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則.【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性求解即可.【詳解】因為定義在R上的函數(shù)滿足，所以函數(shù)的周期為，所以．因為當(dāng)時，，所以.故答案為：1．40．（2022秋·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的解析式為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義與性質(zhì)運算求解.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時，則，可得，所以.故答案為：.41．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則、、的大小關(guān)系為．【答案】/【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，計算可得，，然后分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)，滿足，則，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即.故答案為：.42．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知是上的奇函數(shù)，且，若對任意給定的實數(shù)，均有恒成立，則的解集為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，均有恒成立，得，顯然當(dāng)時，有成立，當(dāng)時，有成立，即是上的單增函數(shù)，是上奇函數(shù)，令，而，故為偶函數(shù)，當(dāng)時，，又奇函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，故，則，所以在上遞增，根據(jù)偶函數(shù)對稱性知：上遞減，由等價于，亦即，所以得：，故，所以不等式解集為．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用偶函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.43．（2022·江蘇·高一期末）定義域為的函數(shù)滿足條件：①，，恒有；②；③，則不等式的解集是.【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求得正確答案.【詳解】①，，，恒有，所以在上單調(diào)遞增；②，，所以是偶函數(shù)；所以在上遞減；③，；不等式可轉(zhuǎn)化為或，所以不等式的解集是.故答案為：【點睛】四、解答題44．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)．(1)判斷在定義域上的單調(diào)性，并證明；(2)解不等式：；(3)若對成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求得參數(shù)，利用單調(diào)性定義，可得答案；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，整理不等式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，建立不等式組，可得答案；（3）根據(jù)不等式恒成立，求得的最小值，將問題等價轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用函數(shù)的最值，建立不等式組，可得答案.【詳解】（1）由已知是定義在上的奇函數(shù)，，由，可得，解得，代入，解得，，經(jīng)檢驗，滿足條件在定義域上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，則，易知，，即，在上的單調(diào)遞增.（2）是定義在上的奇函數(shù)，，在上單調(diào)遞增，可得，整理可得，解得，故原不等式的解集為．（3）在上單調(diào)遞增，，對有成立，問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，即對恒成立，設(shè)，是一次或常值函數(shù)，圖像是一條線段，必須，可得，整理可得，，綜上，實數(shù)的取值范圍是45．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，.(1)求的值；(2)解不等式；(3)若對所有、恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由奇函數(shù)定義可得，代入即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)單調(diào)性和定義域可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果；（3）根據(jù)單調(diào)性可將恒成立不等式化為對恒成立，令，分別在、和的情況下，根據(jù)，結(jié)合一次函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】（1）為定義在上的奇