不等式和基本不等式講義-高三數(shù)學一輪復習

不等式與基本不等式等式與不等式【知識點梳理】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．2．不等關系與不等式不等關系就是不相等的關系，如2和3不相等，是相對于相等關系來說的，比如與就是相等關系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞0就是不等式．3.不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【練習】1．下列結論正確的是（）A．若a＞b，則 B．若a＞b，c＞0，則ac＞bc C．若a＞b，c≠0，則 D．若a＞b，則a2＞b22．下列命題中正確的是（）A．若0＞a＞b，則a2＞b2 B．若a2＞b2，則a＞b＞0 C．若a＞b，則 D．若a＞b，則a3＞b33．下面命題正確的有（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．若a＞b，則 C．若a3＞b3，則a＞b D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd4．若a＞b＞0，c＞d＞0，則一定有（）A． B． C． D．5．已知a＞b＞c＞d＞0，則下列結論不正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+d B．a(chǎn)c＞bd C． D．6．實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，下列判斷正確的是（）﹣c＜b B．a(chǎn)＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c不等式比較大小【知識點梳理】不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．【練習】1．若A＝﹣y2+4x﹣3，B＝x2+2x+2y，則A、B的大小關系為（）A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．無法確定2．已知t＝2a+2b，s＝a2+2b+1，則（）A．t＞s B．t≥s C．t≤s D．t＜s3．已知P＝a2+b2+2，Q＝2a+2b，則（）A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q4．已知t＝a+4b，s＝a+b2+4，則t和s的大小關系是（）A．t≤s B．t≥s C．t＜s D．t＞s5．已知a＝+2，則a，b的大小關系是（）A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＜b D．無法確定6．已知，，若x≥0，則P，Q的大小關系是（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由x的取值確定基本不等式及其應用【概述】基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．【練習】1．若x＞0，y＞0，x+2y＝5，則的最小值為（）A． B． C． D．2．若a＞0，b＞0且a+b＝6，則ab的最大值為（）A．5 B．6 C．8 D．93．已知正數(shù)a，b滿足4a+9b＝4，則ab的最大值為（）A． B． C． D．4．已知a＞0，b＞0，且3a+4b＝4，則ab的最大值為（）A．1 B． C． D．技巧一：湊項（求和積一定）點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．【練習】1．若x＞1，則的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．122．代數(shù)式x2+取得最小值時對應的x值為（）A．2 B． C．±2 D．3．若x＞﹣3，則的最小值是（）A． B． C． D．4．若x＜0，則函數(shù)有（）A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值5．已知x＞0，則的最小值為（）A．﹣2 B．0 C．1 D．技巧二：湊系數(shù)（求積和一定）例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．【練習】函數(shù)的最大值是函數(shù)的最大值是______________________函數(shù)的最大值是_______________________技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當且僅當x＝1時取“＝”號）【練習】1．的最小值為（）A．4 B．7 C．11 D．242．若x＞1，則的取值范圍是．3．函數(shù)的最大值為．技巧四：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．【練習】1．若兩個正實數(shù)x，y滿足，則x+3y的最小值為（）A．6 B．9 C．12 D．152．設a，b為正實數(shù)，且a+b＝10ab，則a+9b的最小值為（）A． B． C． D．3．設x，y∈（0，+∞），且x+4y＝1，則的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．94．已知a＞0，b＞0，且a+b＝2，則的最小值是（）A．2 B．4 C． D．95．已知a，b均為正數(shù)，且，則2a+b的最小值為（）A．8 B．16 C．24 D．326．已知正實數(shù)a，b滿足，則a+2b的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．127．若正實數(shù)a，b滿足a+4b＝1，則的（）A．最大值為9 B．最小值為9 C．最大值為8 D．最小值為88．設m，n為正數(shù)，且m+n＝2，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．9．已知x+y＝1，y＞0，x＞0，則的最小值為（）A． B．0 C．1 D．10．若正數(shù)x，y滿足x+3y＝5xy，則3x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5實際應用1．如圖，用一段77米的籬笆圍成三個一邊靠墻、大小相同的矩形羊圈，每個矩形都有一個1米的門，墻的最大可用長度為30米．（1）如果羊圈的總面積為300平方米，求邊AB的長；（2）羊圈的總面積能為500平方米嗎？若能，請求出邊AB的長；若不能，說明理由．2．某貨輪勻速行駛在相距300海里的甲、乙兩地間運輸貨物，運輸成本由燃料費用和其他費用組成．已知該貨輪每小時的燃料費用w與其航行速度x的平方成正比（即：w＝kx2，其中k為比例系數(shù)）；當航行速度為30海里/小時時，每小時的燃料費用為450元，其他費用為每小時800元，且該貨輪的最大航行速度為50海里/小時．（1）請將從甲地到乙地的運輸成本y（元）表示為航行速度x（海里/小時）的函數(shù)；（2）要使從甲地到乙地的運輸成本最少，該貨輪應以多大的航行速度行駛？3．某牙膏廠生產(chǎn)的牙膏的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬支與年廣告費用a萬元（a≥0）滿足（k為常數(shù)），如果不進行廣告宣傳，則該牙膏的年銷售量是1萬支．已知2014年生產(chǎn)該牙膏的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬支該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每支牙膏的銷售價格定為每支牙膏平均成本的倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括廣告費用）．（1）將2014年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年廣告費用a萬元的函數(shù)；（產(chǎn)品的利潤＝銷售收入﹣產(chǎn)品成本﹣廣告費用）（2）該廠家2014年的廣告費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？最大值是多少？不等式與基本不等式答案等式與不等式1．【解答】解：對于選項A，取a＝0，b＝﹣1，顯然不成立，故選項A錯誤；對于選項B，由不等式性質(zhì)知a＞b，c＞0，則ac＞bc正確，故B正確；對于選項C，取c＝﹣1時，由a＞b可得，故選項C錯誤；對于選項D，當a＝0，b＝﹣1時，顯然02＜（﹣1）2，故選項D錯誤．故選：B．2．【解答】解：對于A，由0＞a＞b知，|a|＜|b|，即b2＞a2，故錯誤；對于B，如a＝﹣4，b＝1，則a＞b＞0不成立，故錯誤；對于C，如a＝﹣2，b＝﹣4，則不成立，故錯誤；對于D，由冪函數(shù)y＝x3為增函數(shù)，所以若a＞b，則有a3＞b3，故正確．故選：D．3．【解答】解：對于A，若a＞0＞b，則不能推出a2＞b2，故A錯誤；對于B，若a＞0＞b，則不能推出，故B錯誤；對于C，由y＝x3為R上的增函數(shù)，可知由a3＞b3可推出a＞b，故C正確；對于D，若a＞0＞b，c＞0＞d，則不能推出ac＞bd，故D不正確．故選：C．4．【解答】解：由a＞b＞0，c＞d＞0，取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D正確．故選：D．5．【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d，故A正確；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正確；取a＝4，b＝3，c＝2，d＝0.1，則，此時，故C錯誤；∵c＞d＞0，則，又a＞b＞0，則，故D正確．故選：C．6．【解答】解：由實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點可知a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，則|b|＞|c|＝c，∴﹣b＞c，故﹣c＞b，A錯誤；由|a|＞|c|，∴﹣a＞c，故a＜﹣c，B錯誤；由于a﹣b＜0，故|a﹣b|＝﹣（a﹣b）＝b﹣a，C正確；由于c﹣a＞0，故|c﹣a|＝c﹣a，D錯誤．故選：C．不等式比較大小1．【解答】解：A﹣B＝﹣y2+4x﹣3﹣x2﹣2x﹣2y＝﹣x2+2x﹣y2﹣2y﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣（y+1）2﹣1＜0，則A＜B．故選：B．2．【解答】解：由t＝2a+2b，s＝a2+2b+1，s﹣t＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，所以s≥t，故選：C．3．【解答】解：∵P﹣Q＝a2+b2+2﹣2a﹣2b＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，∴P≥Q，故選：C．4．【解答】解：因為t＝a+4b，s＝a+b2+4，所以s﹣t＝b2+4﹣4b＝（b﹣2）2≥0，所以s≥t．故選：A．5．【解答】解：因為60＞48，即，所以，所以，所以a＞b．故選：A．6．【解答】解：取x＝0，則，此時P＜Q．要證P＜Q，只需證，只需證，只需證，只需證，只需證x2+7x+6＜x2+7x+12，即證6＜12，顯然6＜12成立，所以P＜Q成立．故選：C．基本不等式及其應用1．【解答】解：因為x＞0，y＞0，x+2y＝5，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為．故選：A．2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝6，∴6＝a+b≥2，∴ab≤9，當且僅當a＝b＝3時，等號成立．故選：D．3．【解答】解：正數(shù)a，b滿足4a+9b＝4，由基本不等式得：，解得：，當且僅當4a＝9b，即時，等號成立，ab的最大值為．故選：A．4．【解答】解：因為4＝3a+4b，解得，當且僅當，時，等號成立．故選：C．技巧一：湊項（求和積一定）1．【解答】解：因為x＞1，則＝4（x﹣1）++4+4＝8，當且僅當4x﹣4＝，即x＝時取等號，故選：B．2．【解答】解：由題意得x2＞0，則，當且僅當，即時取等號，故選：D．3．【解答】解：由x＞﹣3，可得x+3＞0，，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．故選：B．4．【解答】解：因為x＜0，所以，當且僅當，即時取等．故選：B．5．【解答】解：∵x＞0，∴＝x+﹣4≥2﹣4＝0，當且僅當x＝，即x＝2時取等號．故選：B．技巧二：湊系數(shù)（求積和一定）1．【解答】解：≤，當且僅當x＝2﹣x，即x＝1時，等號成立，故函數(shù)y的最大值為．故答案為：．2．【解答】解：，當且僅當2x＝1﹣2x，即x＝時，等號成立，故函數(shù)y的最大值為．3．【解答】解：，當且僅當x＝1﹣x，即x＝時，等號成立，故函數(shù)y的最大值為1．故答案為：1．技巧三：分離1．【解答】解：x＞﹣1，則x+1＞0，，當且僅當，即x＝1時等號成立．故選：B．2．【解答】解：因為x＞1，所以x﹣1＞0，故，當且僅當，即時取等號，即的取值范圍是，故答案為：．3．【解答】解：令t＝x+1，則t≥1，則y＝t+≥2，所以y＝＝＝∈（0，]．故答案為：．技巧四：整體代換1．【解答】解：x＞0，y＞0，，則，當且僅當，即x＝6，y＝2時取等號，故選：C．2．【解答】解：因為a，b為正實數(shù)，且a+b＝10ab，所以+＝1，所以a+9b＝（a+9b）（+）＝++1≥2+1＝，當且僅當＝，即a＝，b＝時取“＝”，所以a+9b的最小值為．故選：C．3．【解答】解：因為，當且僅當，即x＝2y，即時取得等號，故選：D．4．【解答】解：因為a+b＝2，所以（a+1）+（b+1）＝4，則＝，當且僅當，時，等號成立．故選：C．5．【解答】解：當b∈（0，2）時，，，故，不符合題意，故b＞2，所以2a+b＝2（a+1）+（b﹣2）＝2[2（a+1）+（b﹣2）]（）＝8+2+8＝16，當且僅當8?＝2，即a＝3，b＝10時等號成立．故選：B．6．【解答】解：因為正實數(shù)a，b滿足，則a+2b+1＝（a+b+b+1）（）＝5+＝9，當且僅當且，即b＝2，a＝4時取等號，此時a+2b取得最小值8．故選：B．7．【解答】解：因為正實數(shù)a，b滿足a+4b＝1，則＝＝5+＝9，當且僅當且a+4b＝1即b＝，a＝時取等號，此時取得最小值9．故選：B．8．【解答】解：由題意m，n為正數(shù)，且m+n＝2，則，當且僅當，結合m+n＝2，即m＝n＝1時等號成立，即的最小值為2．故選：A．9．【解答】解：因為x+y＝1，y＞0，x＞0，令t＝，t＞0，所以t+1＞1，則＝＝+＝+＝（1+2t）+++＝，當且僅當，即t＝，此時x＝，y＝時取等號．故選：A．10．【解答】解：因為正數(shù)x，y滿足x+3y＝5xy，所以＝5，則3x+4y＝（3x+4y）（）＝（13+）＝＝5，當且僅當且x+3y＝5xy，即y＝，x＝1時