初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：一元一次方程的應(yīng)用

5.3一元一次方程的應(yīng)用

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

一元一次方程的應(yīng)用會(huì)用一元一次方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

二、核心綱要

1.設(shè)未知數(shù)的三種方法

（1）直接設(shè)未知數(shù)

直接設(shè)未知數(shù)指題目問(wèn)什么就設(shè)什么，它多適用于要求的未知數(shù)只有一個(gè)的情況.

⑵間接設(shè)未知數(shù)

設(shè)間接未知數(shù)，是指所設(shè)的不是所求的，而解得的間接未知數(shù)對(duì)所求的量起中介作用.

（3）引入輔助未知數(shù)

設(shè)輔助未知數(shù)，就是為了使題目中的數(shù)量關(guān)系更加明確，可以引進(jìn)輔助未知數(shù)幫助建立方程.輔助未知數(shù)往往

不需要求出，可以在解題時(shí)消去.

2.列方程解應(yīng)用題的步驟

⑴審：分析問(wèn)題中的已知量和未知量，明確各數(shù)量之間的關(guān)系，從中找出能夠表示實(shí)際問(wèn)題全部含義的相等

關(guān)系.要注意題中的相等關(guān)系有些是明顯的，有些是不明顯的，需要結(jié)合生活實(shí)際來(lái)發(fā)現(xiàn).

（2）找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系.

⑶設(shè)：設(shè)未知數(shù)，一般求什么，就設(shè)什么為x,若有幾個(gè)未知數(shù)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x擇其中的一個(gè)，用字母x表示出

來(lái).有時(shí)直接設(shè)不容易的話，可采用間接設(shè).

（4）列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出方程.

（5）解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值.

（6）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的解是否是原方程的解及是否符合題意與實(shí)際意義.

⑺答：寫出答案（包括單位名稱）.

3.一元一次方程應(yīng)用常見(jiàn)的分類

⑴和、差、倍、分問(wèn)題

①倍數(shù)關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長(zhǎng)率……”來(lái)體現(xiàn).

②多少關(guān)系：通過(guò)關(guān)鍵詞語(yǔ)“多、少、和、差、不足、剩余……”來(lái)體現(xiàn).

③兩數(shù)和=較大的數(shù)+較小的數(shù)，較大的數(shù)=較小的數(shù)x倍數(shù)土增（或減）數(shù)；

⑵行程問(wèn)題

行程問(wèn)題中有三個(gè)基本量：路程、時(shí)間、速度.關(guān)系式為：①路程=速度x時(shí)間；②速度=%;③時(shí)間二路程.

H對(duì)B

速度?

可尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系.

航行問(wèn)題是行程問(wèn)題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會(huì)發(fā)生變化：

①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）;

②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無(wú)風(fēng)）速度-水流速度（風(fēng)速）.

（3）工程問(wèn)題

工程問(wèn)題的基本量有：工作量、工作效率、工作時(shí)間.

關(guān)系式為：①工作量=工作效率X工作時(shí)間.

②工作時(shí)間=工作量量

③工作效率=工作量箱.

總工作量看做整體1.

（4）市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、打折銷售問(wèn)題

①商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品成本價(jià)

②商品利潤(rùn)率=商品利泡存xlOO%

③商品銷售額=商品銷售價(jià)x商品銷售量

④商品的銷售利潤(rùn)=（銷售價(jià)-成本價(jià)）x銷售量

⑤商品打幾折出售，就是按原價(jià)的十分之幾出售，如商品打8折出售，即按原價(jià)的總出售.

⑸存貸問(wèn)題

存貸問(wèn)題中的基本量：本金利息、利息稅.

其關(guān)系式有：①利息=本金x利率x期數(shù)；

②利息稅=利息、稅率；

③本息和（本利）=本金+利息-利息稅.

（6）數(shù)字問(wèn)題

①要搞清楚數(shù)的表示方法：一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a,十位數(shù)字是b,個(gè)位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù),

且taW9,0WbW9,0WcW9）則這個(gè)三位數(shù)表示為:100a+10b+c.然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方

程.

②數(shù)字問(wèn)題中一些表示：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比較小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n、

2n+2或2n-2表示;奇數(shù)用2n+l或2n-1表示.

（7）濃度問(wèn)題

濃度問(wèn)題有四個(gè)基本量：溶質(zhì)、溶劑、溶液、濃度.其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑

②濃度=—x100%=濃硫酸x100%

混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是解決濃度問(wèn)題的主要等量關(guān)系.

雖然我們分了幾種類型對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行了研究，但實(shí)際生活中的問(wèn)題是千變?nèi)f化的，遠(yuǎn)不止這幾類問(wèn)題，例如

還有面積問(wèn)題、比例問(wèn)題、配套問(wèn)題、時(shí)鐘問(wèn)題、年齡問(wèn)題、方案策略問(wèn)題……因此我們要想學(xué)好列方程解應(yīng)用

題，就要學(xué)會(huì)觀察事物，關(guān)心日常生產(chǎn)生活中的各種問(wèn)題，要會(huì)具體情況具體分析，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真審

題，適當(dāng)設(shè)元，尋找等量關(guān)系，從而列出方程，解出方程，使問(wèn)題得解.

本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)方法（設(shè)未知數(shù)方法）、一個(gè)步驟、一個(gè)應(yīng)用.

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

1.“地球停電一小時(shí)”活動(dòng)的某地區(qū)燭光晚餐中，設(shè)座位有X排，每排坐30人，則有8人無(wú)座位；每排坐31人，則

空26個(gè)座位.則下列方程正確的是（）

A.30x-8=3lx+26B.30x+8=31x+26

C.30x-8=31x-26D.30x+8=31x-26

2.甲、乙二人去商店買東西，他們所帶錢數(shù)的比是7：6,甲用掉50元，乙用掉60元，則二人余下的錢數(shù)比為3：

2,求二人余下的錢分別是（）

A.140元、120元B.60元、40元C.80元、80元D.90元、60元

3.四點(diǎn)鐘后，時(shí)針與分針第二次成90。角,共經(jīng)過(guò)（）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）.

A.30B.33C.38D.40

4.某道路一側(cè)原有路燈106盞，相鄰兩盞燈的距離為36m,現(xiàn)計(jì)劃全部更換為新型的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離

變?yōu)?0m,則需更換的新型節(jié)能燈有（）盞

A.54B.55C.56D.57

能力提升

和、差、倍、分問(wèn)題

5.某糧庫(kù)裝糧食，第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)是第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)存糧的3倍，如果從第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中取出20噸放入第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)中，第二

個(gè)倉(cāng)庫(kù)中的糧食是第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)中糧食意，問(wèn)每個(gè)倉(cāng)庫(kù)各有多少噸糧食

配套問(wèn)題

6.某車間22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘1200個(gè)或螺母2000個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母，為

了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘？多少名工人生產(chǎn)螺母？

行程問(wèn)題

7.某船從A地順流而下到達(dá)B地，然后逆流返回，到達(dá)A、B兩地之間的C地，一共航行了7h,已知此船在靜水

中的速度為8km/h,水流速度為2km/h.A、C兩地之間的路程為10km,求A、B兩地之間的路程.

8.甲、乙兩站相距480km,一列慢車從甲站開(kāi)出，每小時(shí)行90km,一列快車從乙站開(kāi)出，每小時(shí)行140km.

(1)慢車先開(kāi)出lh，快車再開(kāi)，兩車相向而行，問(wèn)快車開(kāi)出多少小時(shí)后兩車相遇？

⑵兩車同時(shí)開(kāi)出，相背而行多少小時(shí)后兩車相距600km?

(3)兩車同時(shí)開(kāi)出，慢車在快車后面同向而行，多少小時(shí)后快車與慢車相距600km?

(4)兩車同時(shí)開(kāi)出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時(shí)后快車追上慢車？

(5)慢車開(kāi)出lh后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開(kāi)出后多少小時(shí)追上慢車？

工程問(wèn)題

9.一個(gè)蓄水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管丙，單獨(dú)開(kāi)甲管6小時(shí)可注滿水池；單獨(dú)開(kāi)乙管8小時(shí)可注滿水池,

單獨(dú)開(kāi)丙管9小時(shí)可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時(shí)開(kāi)放2小時(shí)，然后打開(kāi)丙管，問(wèn)打開(kāi)丙管后幾小時(shí)可注

滿水池？

10一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先做30分鐘，然后甲、乙一

起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作？

銷售問(wèn)題

11.某商品的進(jìn)價(jià)為800元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為1200元，后來(lái)由于該商品積壓，商店準(zhǔn)備打折出售，但要保持利潤(rùn)率不

低于5%,則最多打幾折.

12.一家商店將某種型號(hào)的彩電先按原售價(jià)提高40%,然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”.經(jīng)顧客投訴后，執(zhí)法

部門按已得非法收入的10倍處以每臺(tái)2700元的罰款，求每臺(tái)彩電的原售價(jià).

存貸問(wèn)題

13.小明的爸爸前年存了年利率為2.25%的二年期定期儲(chǔ)蓄，今年到期后，所得利息正好為小明買一只價(jià)值576元

的CD機(jī)，問(wèn)小明爸爸前年存了多少錢？

方案策略問(wèn)題

14.團(tuán)體購(gòu)買公園門票，票價(jià)如下：

購(gòu)票人數(shù)/人1?5051?100100以上

每人票價(jià)/元13119

今有甲、乙兩個(gè)旅游團(tuán)，若分別購(gòu)票，兩團(tuán)總計(jì)應(yīng)付門票1314元，若合在一起作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，總計(jì)支付

門票1008元,問(wèn)這兩個(gè)旅游團(tuán)各有多少人？

數(shù)字問(wèn)題

15.一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的3倍，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，所成的新數(shù)比原數(shù)少54,求原數(shù).

濃度問(wèn)題

16.有含鹽15%的鹽水2()千克，要使鹽水含鹽20%,需要加鹽多少千克?

年齡問(wèn)題

17.父親和女兒現(xiàn)在的年齡之和是91歲，當(dāng)父親的年齡是女兒現(xiàn)在年齡的2倍時(shí)，女兒的年齡是父親現(xiàn)在年齡的1/

3,求女兒現(xiàn)在的年齡.

等積問(wèn)題

18.長(zhǎng)方體甲的長(zhǎng)、寬、高分別為260mm、150mtn、325mm，長(zhǎng)方體乙的底面積為130mmx130mm,又知甲的體積是

乙的體積的2.5倍，求乙的高.

19.把棱長(zhǎng)為4的正方體分割成29個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的正方體(且沒(méi)有剩余)，求棱長(zhǎng)為1的正方體的個(gè)數(shù).

20.江南生態(tài)食品加工廠收購(gòu)了一批質(zhì)量為10000千克的某種山貨，根據(jù)市場(chǎng)需求對(duì)其進(jìn)行粗加工和精加工處理，

已知精加工的該種山貨質(zhì)量比粗加工的質(zhì)量3倍還多2000千克.求粗加工的該種山貨質(zhì)量.

21.某校高一年級(jí)有12個(gè)班.在學(xué)校組織的高一年級(jí)籃球比賽中，規(guī)定每?jī)蓚€(gè)班之間只進(jìn)行一場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽都

要分出勝負(fù)，每班勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分.某班要想在全部比賽中得18分，那么這個(gè)班的勝負(fù)場(chǎng)數(shù)應(yīng)分別

是多少？

22.兒子今年13歲，父親今年40歲，是否有哪一年父親年齡恰好是兒子的4倍?

巔峰突破

23.某人以4千米/小時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小時(shí)的速度從乙地返回甲地，那么此人往返一次

的平均速度是一千米/小時(shí).

24.某商場(chǎng)經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了6.4%，使得利潤(rùn)率增加了8個(gè)百分點(diǎn)，那么經(jīng)銷這種商

品原來(lái)的利潤(rùn)率為多少？

25.一個(gè)袋中有若干個(gè)紅色和藍(lán)色的小球，如果從袋中取出一個(gè)紅色的小球后，袋中剩下的小球數(shù)的巳是紅色的；

把這個(gè)紅色的小球放回袋中，再?gòu)拇腥〕?個(gè)藍(lán)色小球后，袋中剩下的小球數(shù)的看是紅色的，那么袋中原有多

少個(gè)小球？

26.某人從家里騎摩托車到火車站，如果每小時(shí)行30千米，那么比火車開(kāi)車時(shí)間早到15分鐘，若每小時(shí)行18千

米，則比火車開(kāi)車時(shí)間遲到15分鐘，現(xiàn)在此人打算在火車開(kāi)車前10分鐘到達(dá)火車站，則此人此時(shí)騎摩托車的

速度應(yīng)為多少？

基礎(chǔ)演練

1.D

2.D

【提示】設(shè)甲乙消費(fèi)前甲乙錢數(shù)分別為7x和6x元.

根據(jù)題意得(7x-50):(6x-60)=3:2

解得:x=20.

甲余下的錢為：7x-50=90元.

乙余下的錢為：6x-60=60元.

3.C

【提示】此題可以用淘汰的方法，把度數(shù)設(shè)為未知數(shù)x,從4點(diǎn)到五點(diǎn)這段時(shí)間時(shí)針走的為30x高，分針走

OU

的為360x3

OU

解：設(shè)走了X分鐘

則得到方程：

360X--120-30X—=90

6060

解得:xW8

4.B

【提示】設(shè)需更換的新型節(jié)能燈有x盞，則

70(x-l)=36x(106-l)

70x=3780,

x=55

則需更換的新型節(jié)能燈有55盞.

能力提升

5.設(shè)第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)存糧x噸，則第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)存糧3x噸，根據(jù)題意得：

|(3x-20)=尤+20,

解得x=30,3x=3x30=90,

答：第一個(gè)倉(cāng)庫(kù)存糧90噸,第二個(gè)倉(cāng)庫(kù)存糧30噸.

6.設(shè)x名工人生產(chǎn)螺釘，(22-x)名工人生產(chǎn)螺母.

根據(jù)題意得：2x1200x=2000(22-x)

解得:x=10,22-x=12

答：10名工人生產(chǎn)螺釘，12名工人生產(chǎn)螺母.

7.設(shè)A、B兩地之間的路程為xkm,則B、C兩地之間的距離為(x-10)km.

根據(jù)題意得：亳+言=7,解得x=32.5.

OTZO-Z

答:A、B兩地之間的路程為32.5km.

8。)分析：相遇問(wèn)題，畫圖表示為：

A

(------V----人----、

III

甲乙

等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480km.

解：設(shè)快車開(kāi)出X小時(shí)后兩車相遇，由題意得，140x+90(x+l)=480

解這個(gè)方程,230x=390

Y16

X=1—,

23

答：快車開(kāi)出奈小時(shí)兩車相遇

(2)分析：相背而行，畫圖表示為：

600

甲乙

等量關(guān)系是：兩車所走的路程和-+480km=600km.

解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600km,

由題意得,(140+90)x+480=600

解這個(gè)方程,2,230x=120”x=￡

答H3小時(shí)后兩車相距600km

⑶分析：等量關(guān)系為：快車所走路程一慢車所走路程+480km=600km.

解：設(shè)x小時(shí)后兩車相距600km,由題意得，(140-90)x+480=600,50x=120,；.x=2.4

答:2.4小時(shí)后兩車相距600km.

⑷分析：追及問(wèn)題，畫圖表示為：

乙甲

等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里.

解：設(shè)x小時(shí)后快車追上慢車.

由題意得,140x=90x+480解這個(gè)方程,50x=480，x=9.6

答：9.6小時(shí)后快車追上慢車.

⑸分析：追及問(wèn)題，等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480km.

解：設(shè)快車開(kāi)出x小時(shí)后追上慢車.由題意得，140x=90(x+l)+480,50x=570,；.x=11.4

答：快車開(kāi)出1L4小時(shí)后追上慢車.

9.設(shè)打開(kāi)丙管后x小時(shí)可注滿水池，由題意得，

(泊)("+2)-1

解這個(gè)方程得.乂=2(

答：打開(kāi)丙管后22小時(shí)可注滿水池.

10.設(shè)甲、乙一起做還需x小時(shí)才能完成工作根據(jù)題意，得：x升值+力％=L得x=?

62\64/5

答：甲、乙一起做還苦5小時(shí)才能完成工作

11.設(shè)至多打X折,根據(jù)題意有x100%=5%,解得x=7

答：至多打7折出售.

12.設(shè)每臺(tái)彩電的原售價(jià)為x元，根據(jù)題意,有10[x(l+40%)x80%-x]=2700,

x=2250

答：每臺(tái)彩電的原售價(jià)為2250元.

13.設(shè)小明爸爸前年存了x元，依題意得：

2.25%x2x=576

解得x=12800

答：小明爸爸前年存了12800元.

14.因?yàn)?008>100X9,所以兩團(tuán)總?cè)藬?shù)在100人以上，根據(jù)100人以上每人9元的票價(jià)，我們可以計(jì)算出兩團(tuán)的

總?cè)藬?shù)為：1008+9=112(人)；

因?yàn)?12x11=1232<1314,112xl3=1456>1314,所以只能是一個(gè)團(tuán)的人數(shù)在1~50人之間，另一個(gè)團(tuán)的人數(shù)在51

~100人之間，兩個(gè)團(tuán)加起來(lái)的人數(shù)在100人以上.

設(shè)人數(shù)在1~50人之間的一個(gè)團(tuán)的的人數(shù)為x人.

根據(jù)題意可得:13x+l1x(112-x)=1314.

解得x=41,

答：兩個(gè)團(tuán)的人數(shù)分別為41人和71人.

15.設(shè)原來(lái)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x,則十位數(shù)字為3x,這個(gè)兩位數(shù)是:30x+x.

根據(jù)題意得：(30x+x)-(10x+3x)=54.解得x=3,故原數(shù)為93.

答：原來(lái)的兩位數(shù)為93.

16.解法一：

抓住加鹽前后溶劑(水)未變這一等量關(guān)系.

設(shè)需加鹽X千克根據(jù)題意可得:=1_20%,解之得：x=1.25;

解法二：

從“使鹽水含鹽20%”入手，設(shè)需加鹽x千克，根據(jù)題意可得：歿等=20%,解之得：x=1.25;

解法三：

從“加鹽后水和溶液之比為80%”入手，設(shè)需加鹽x千克，根據(jù)題意可得：苦產(chǎn)=1—20%,解之得:x=L25;

20+x

解法四：

從“加鹽后的溶液中減去水的質(zhì)量必然等于鹽的質(zhì)量”入手，設(shè)需加鹽X千克，根據(jù)題意可得：(20+x)-20(l-l

5%)=(20+x)20%,解之得:x=L25;

解法五：

從“最后溶液質(zhì)量中減去鹽的質(zhì)量必然等于水的質(zhì)量”入手，

設(shè)需加鹽x千克，根據(jù)題意可得：(20+x)-(20+x)20%=20(1-15%),

解之得：x=L25;

解法六：

從“加鹽后的溶液中鹽與水的比是1:4”入手，設(shè)需加鹽x千克，根據(jù)題意可得：箸鬻=%，解之得：x=L2

5

答：需要加鹽L25千克.

17.隨著歲月的流逝，每個(gè)人的年齡都發(fā)生著變化.比較兩人的年齡時(shí)，有一個(gè)不變量是父親與女兒的年齡差，

這就是本題的相等關(guān)系.于是問(wèn)題可以解決.

設(shè)女兒現(xiàn)在的年齡是x歲，則父親現(xiàn)在的年齡是(91-x)歲.

依題意得：(91-%)-%=2%-|(91-%).

解得x=28.

答：女兒現(xiàn)在是28歲.

18.設(shè)乙的高為xmm,根據(jù)題意得

260x150x325=2.5